中考数学总复习专题14角、相交线与平行线(10个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)

这是一份中考数学总复习专题14角、相交线与平行线(10个高频考点)(强化训练)(全国版)(原卷版+解析)，共57页。


【考点1 角、钟面角、方向角】
1．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最大的是（ ）
A．3：30B．6：40C．9：00D．12：20
3．（2022·河北邯郸·校联考三模）如图，已知A，B为两座海岛，若一个灯塔在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，则灯塔可以表示为（ ）
A．点CB．点DC．点ED．点F
4．（2022·山东德州·校联考中考模拟）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26B．5：26-5：27C．5：27-5：28D．5：28-5：29
5．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
【考点2 对顶角、邻补角】
6．（2022·河北保定·统考二模）下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·陕西西安·二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1=50°，折射角∠2=36°，则∠EDF的度数为（ ）
A．14°B．16°C．18°D．25°
8．（2022·福建漳州·统考模拟预测）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
9．（2022·广西玉林·校联考一模）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
A．B．
C．D．
10．（2022·广西河池·统考三模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2=240°，∠3=______．
【考点3 补角、余角】
11．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于______ ；
（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β= ______ °．
12．（2022·贵州毕节·统考二模）若两个互补的角的度数之比为1∶2,则这两个角中较小的角是 ______度.
13．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=120°，则∠2−∠1=______．
14．（2022·江苏常州·统考一模）如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
15．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，D为AB的中点，点E为AC中点，连接DE，过点E作EF∥AB交BC于点F．
(1)如图1，求证：四边形DBFE是菱形；
(2)如图2，连接BE，请直接写出图中与∠ABE互余的所有角．
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】
16．（2022·浙江杭州·校联考中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．
17．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
18．（2022·山东济宁·统考中考模拟）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1和∠3是同旁内角B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是对顶角
19．（2022·湖北襄阳·统考中考模拟）如图，∠1的同旁内角共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
20．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是_____．
【考点5 角的和差】
21．（2022·北京平谷·统考中考模拟）如图，射线OB、OC在∠AOD的内部，下列说法：
①若∠AOC＝∠BOD＝90°，则与∠BOC互余的角有2个；
②若∠AOD+∠BOC＝180°，则∠AOC+∠BOD＝180°；
③若OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，则∠MON＝12∠AOB；
④若∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，作∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠COD，则∠POQ＝90°
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
22．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC的中点处，其中∠A=∠DOE=90°,∠B=45°，∠D=60°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，OE分别交AB，AC于点M，N，当AN=4，NC=2时，MN的长为______．
23．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在A′处，顶点D落在D′处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边BD′与边BA′重合，若∠1=30°，求∠2=_______，∠CBE=_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边BD′落在∠1内部，若∠1=40°，设∠A′BD′=α，∠EBD=β，求a与β之间的数量关系，并直接写出a，β的取值范围．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图所示，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O按逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕点O按顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM，ON同时运动，运动时间为ts．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有________个直角；当t=3时，∠MON的度数为________，∠BON的度数为________∠MOC的度数为________．
（2）当0（3）当025．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知O是直线AB上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角边ON在直线AB上，另一条直角边OM与AB的夹角∠AOM=90°，射线OC在∠AOM内部．
（1）如图②，将三角尺OMN绕着点O顺时针旋转，当OM平分∠BOC时，试判断∠AON与∠CON的大小关系，并说明理由．
（2）若∠AOC=60°，三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为t，则当t为何值时∠CON=∠MOB？
（3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周的过程中，∠CON+∠MOB的值能否为定值？若能，求t的取值范围．
【考点6 角的大小比较】
26．（2022·山东临沂·校联考一模）下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）
A．B．C．D．
27．（2022·北京大兴·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C是网格线的交点，则∠ABC与∠ACB的大小关系为：∠ABC_______∠ACB（填“>”，“=”或“<”）．
28．（2022·湖南邵阳·校联考中考模拟）如图，∠AOB，∠BOC，∠AOC的大小关系用“＞”连接起来： ________ ．
29．（2022·天津河西·统考中考模拟）如图，已知∠AOB是锐角，过点O作射线OD，∠COD=2∠AOD．
（1）当∠BOD=2∠AOC，且射线OD在∠AOC的内部时，找出图中另一对成2倍关系的角，并说明理由；
（2）当射线OD在∠AOC的外部时，探索∠AOB，∠BOC，∠BOD之间的等量关系；
（3）若∠COD>∠BOC，求∠BOC的取值范围．
30．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针转动，设转动时间为ts．

（1）如图（1），若∠AOB=120°，OM，ON逆时针转动到OM′，ON′处．
①若OM，ON的转动时间t为2，则∠BON′+∠COM′=________；
②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值．
（2）如图（2），若∠AOB=4∠BOC，当OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部转动时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
【考点7 点到直线的距离】
31．（2022·河北·模拟预测）已知直线a//b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（ ）
A．2cmB．6cmC．8cmD．2cm或8cm
32．（2022·河北唐山·统考一模）如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（）
A．点A到l的距离是线段ABB．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线D．A、C、B三点不一定共线
33．（2022·吉林松原·校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A．B．
C．D．
34．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为__________．
35．（2022·河北唐山·统考二模）如图1，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．
(1)观察：如图2中，线段PA1的长度是点P1到线段AB的距离；线段 的长度是点P2到线段AB的距离．
(2)如图3，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（2，1）、（3，2）、（5，0），直线AB与x轴相交于点C．点P（a，0）（a＞0）为x轴上一动点，设点P到线段AB的距离为d．
发现：①∠BCD= °；
②若a=2，求d的值；
(3)尝试：若d=2，求a的值；
(4)拓展：若点P在线段OD上运动，且d为整数，请直接写出a的值．
【考点8 相交线与平行线】
36．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
37．（2022·北京·统考一模）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
38．（2022·贵州毕节·二模）作图题
(1)过点M作直线AB的平行线l；
(2)将三角形ABC平移到三角形A'B'C'，使得点B与点B'重合．
39．（2022·湖北武汉·校联考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝12．
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:
①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分;
③三条直线可把平面最多分成7部分;
④四条直线可把平面最多分成11部分;
……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;
(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;
(3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分?
【考点9 平行公理及其推论】
41．（2022·河北·模拟预测）如图，AB∥EF，则α、β、γ的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝360°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
42．（2022·河北唐山·统考一模）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
43．（2022·四川德阳·统考一模）如图，若AB//EF，AB//CD．则下列各式成立的是（ ）
A．∠2+∠3−∠1=180°B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=180°D．∠1+∠2+−∠3=180°
44．（2022·河北·模拟预测）如图，在平面内作到直线m距离为5的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
45．（2022·吉林·吉林省实验校考一模）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为________
【考点10 平行线的判定与性质】
46．（2022·广东深圳·模拟预测）平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
(1)求证：AD=CD；
(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM，若AD=CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由．
47．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD，试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
48．（2022·福建三明·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点F．
(1)用尺规在直线BC上求作点E，使AE//BF，不写作法，保留作图痕迹；
(2)若AB=4，BC=5，AC=6，求AF．
49．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，
（1）当∠EDC=∠DCB=120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．
50．（2022·重庆綦江·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，点G在y轴上，三角形COG的面积是三角形ABC的面积的12，求出点G的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一个动点，连接OP、AC、DB，OE平分∠AOP，OF⊥CE，若∠OPD+k∠DOF＝k（∠FOP+∠AOE），现将四边形ABDC向下平移23k个单位得到四边形A1B1D1C1，已知AM+BN =53k，求图中阴影部分的面积．直线条数
把平面最多
分成的部分数
写成和的形式
1
2
1+1
2
4
1+1+2
3
7
1+1+2+3
4
11
1+1+2+3+4
…
…
…
专题14 角、相交线与平行线（10个高频考点）（强化训练）
【考点1 角、钟面角、方向角】
1．（2022·北京西城·北京师大附中校考模拟预测）下列四个图形中，能用∠1，∠AOB，∠O三种方法表示同一个角的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示．
【详解】解：能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形是选项A中的图，选项B，C，D中的图都不能用∠1、∠AOB、∠O三种方法表示同一个角的图形，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了角的概念，有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．
2．（2022·浙江杭州·模拟预测）在3：30、6：40、9：00、12：20中，时针和分针所成的角度最大的是（ ）
A．3：30B．6：40C．9：00D．12：20
【答案】D
【分析】根据时针的旋转角减去分针的旋转角，可得答案．
【详解】解：
A、3：30时时针与分针的夹角是90°−12×30°=75°，
B、6：40时时针与分针的夹角是30°×2−30°×4060=40°，
C、9：00时时针与分针的夹角是90°，
D、12：20时时针与分针的夹角是30°×4−30°×2060=110°，
所以时针和分针所成的角度最大的是12：20，
故选：D．
【点睛】本题考查了钟面角，利用了时针与分针的夹角是时针的旋转角减去分针的旋转角．
3．（2022·河北邯郸·校联考三模）如图，已知A，B为两座海岛，若一个灯塔在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，则灯塔可以表示为（ ）
A．点CB．点DC．点ED．点F
【答案】B
【分析】根据方位角的定义，结合图形分析即可解答．
【详解】解：一个灯塔在海岛A北偏东65°的方向上，在海岛B北偏西35°的方向上，则灯塔可以表示为：D点，
故选：B．
【点睛】本题考查了方向角，熟练掌握方位角的定义，并结合图形分析是解题的关键．
4．（2022·山东德州·校联考中考模拟）在下列时间段内时钟的时针和分针会出现重合的是（ ）
A．5：20-5：26B．5：26-5：27C．5：27-5：28D．5：28-5：29
【答案】C
【详解】分析：解这个问题的难处在于时针转过多大的角度，这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系．每一小时，分针转动360°，而时针转动30°，依据这一关系列出方程，可以求出．
详解：设：从5:20开始，经过x分钟，时针和分针会出现重合．
此时分针指向4，时针与分针之间的夹角是30+20×0.5=40∘.
则：6x−0.5x=40
x≈7.27，
即从5:20开始，经过大约7.27分钟，时针和分针会出现重合，在5:27−5:28时间段内重合.
故选C.
点睛：考查钟面角，钟面角里时针和分针的转动问题本质上就是行程中的追击问题，根据追击问题的解题思路解方程即可.
5．（2022·河北邯郸·校考三模）如图，∠AOB的一边OB经过的点是（ ）
A．P点B．Q点C．M点D．N点
【答案】D
【分析】组成角的两边是射线，射线的特点有：①只有一个端点；②直的；③向一边无线延伸．据此可用直尺去连接OB，看矩形内的哪个点在这条射线上即可．
【详解】解：画出射线OB可知，经过点N．
故选：D．
【点睛】此题考查了角、射线的定义和画法，解题的关键是知道射线是直的．
【考点2 对顶角、邻补角】
6．（2022·河北保定·统考二模）下列四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据对顶角的意义求解．
【详解】解：对顶角指的是有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，
所以A两角只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；
B两角也是只有一条边互为反向延长线，另一条边没有互为反向长线，不符合题意；
C两角有一个公共顶点，并且一个角的两边是另一个角两边的反向延长线的两个角，符合题意；
D两角没有公共顶点，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查对顶角的应用，熟练掌握对顶角的意义是解题关键．
7．（2022·陕西西安·二模）当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播方向发生了变化，在物理学中这种现象叫做光的折射．如图，AB⊥液面MN于点D，一束光线沿CD射入液面，在点D处发生折射，折射光线为DE，点F为CD的延长线上一点，若入射角∠1=50°，折射角∠2=36°，则∠EDF的度数为（ ）
A．14°B．16°C．18°D．25°
【答案】A
【分析】根据对顶角相等，计算角的差即可；
【详解】解：∵F点在CD延长线上，
∴∠1=∠FDB=50°，
∴∠EDF=∠FDB-∠2=14°，
故选： A．
【点睛】本题考查了对顶角的概念：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角．
8．（2022·福建漳州·统考模拟预测）如图所示的五边形花环是用五个全等的等腰三角形拼成的，则∠BAC的度数为（ ）
A．28°B．36°C．45°D．72°
【答案】B
【分析】根据题意可得五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，利用正多边形内角和可得∠EAB=∠ACD=108°，再由邻补角得出∠ACB=∠EAC=72°，结合图形代入求解即可．
【详解】解：如图所示，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠EAB=∠ACD=180°×(5−2)5=108°，
∴∠ACB=∠EAC=180°−108°=72°，
∴∠BAC=∠EAB-∠EAC =108°−72°=36°，
故选：B．
【点睛】题目主要考查正多边形内角和及等腰三角形的性质，邻补角等，理解题意，熟练掌握运用正多边形内角和的计算公式是解题关键．
9．（2022·广西玉林·校联考一模）下列各图中，∠1与∠2互为邻补角的是( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：根据邻补角的定义可知：只有D图中的是邻补角，其它都不是．
故选D．
10．（2022·广西河池·统考三模）如图，直线a与b相交，∠1+∠2=240°，∠3=______．
【答案】60°##60度
【分析】先根据∠1=∠2，∠1+∠2=240°，求出∠1的度数，再根据邻补角互补求解即可．
【详解】解：∵∠·1+∠2=240°，∠1=∠2，
∴∠1=∠2=120°，
∴∠3=180°-∠1=60°，
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了对顶角相等，邻补角互补，正确求出∠1的度数是解题的关键．
【考点3 补角、余角】
11．（2022·江苏苏州·苏州中学校考二模）（1）已知∠α=35°19′，则∠α的余角等于______ ；
（2）已知∠β的补角为120°37′46″，∠β= ______ °．
【答案】 54°41′ 59°22′14″
【分析】（1）根据互余两角之和为90°，可得出答案；
（2）根据互补两角之和为180°，可得出答案．
【详解】解：（1）∠α的余角=90°-∠α=90°-35°19'=54°41′，
故答案为：54°41′；
（2）∠β=180°-120°37′46″=59°22′14″．
故答案为： 59°22′14″．
【点睛】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是掌握：互余两角之和为90°，互补两角之和为180°．
12．（2022·贵州毕节·统考二模）若两个互补的角的度数之比为1∶2,则这两个角中较小的角是 ______度.
【答案】60
【分析】余角是指如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角，简称互余，也可以说其中一个角是另一个角的余角．补角是指如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角．其中一个角叫做另一个角的补角．可用未知数表示出这两个互补角的度数，根据补角的定义，可列出方程求得它们的值，进而可求出较小角的余角．
【详解】解：依题意，设这两个互补的角的度数为x、2x；则有：
x+2x=180°，解得：x=60°；
∴90°-x=30°；故这两个角中较小角的余角的度数是30°．
故答案是：30°
【点睛】此题综合考查余角与补角，解答此类题一般先用未知数表示所求角的度数，再根据一个角的余角和补角列出代数式和方程求解．
13．（2022·云南昆明·云大附中校考模拟预测）若∠1与∠2互补，∠3与∠1互余，∠2+∠3=120°，则∠2−∠1=______．
【答案】30°##30度
【分析】根据余角与补角的定义即可求出答案．
【详解】解：∵∠1+∠2=180°，∠3+∠1=90°，
∴180°−∠2=90°−∠3，
即∠2−∠3=90°，
∵∠2+∠3=120°，
∴∠2−∠3=90°∠2+∠3=120°
解得：∠2=105°∠3=15°，
∴∠1=75°，
∴∠2−∠1=105°−75°=30°，
故答案为：30°．
【点睛】本题考查余角与补角的定义以及解二元一次方程组，解题的关键是正确理解余角与补角的定义，本题属于基础题型．
14．（2022·江苏常州·统考一模）如图，△EBF为等腰直角三角形，点B为直角顶点， 四边形ABCD是正方形．
⑴ 求证：△ABE≌△CBF；
⑵ CF与AE有什么特殊的位置关系？请证明你的结论．
【答案】（1）见解析；（2）CF⊥AE，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出BE=BF，∠EBF=90°，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠ABC=90°，根据余角的性质得到∠EBA=∠CBF，最后根据SAS证明结果；
（2）延长CF，交AE于点G，根据补角的性质得出∠AEB+∠BFG=180°，再根据四边形内角和得出∠EGF+∠EBF=180°，从而可得∠EGF=90°，即可得到结果.
【详解】解：（1）∵△EBF为等腰直角三角形，
∴BE=BF，∠EBF=90°，
则∠EBA+∠FBA=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，则∠ABF+∠CBF=90°，
∴∠EBA=∠CBF，
又∵BE=BF，AB=BC，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
（2）延长CF，交AE于点G，
由（1）得：∠CFB=∠AEB，
∵∠CFB+∠BFG=180°，
∴∠AEB+∠BFG=180°，
∴∠EGF+∠EBF=180°，
∵∠EBF=90°，
∴∠EGF=90°，
∴CF⊥AE.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角和补角的性质，四边形内角和，解题的关键是根据题意证明△ABE≌△CBF.
15．（2022·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第四十七中学校考三模）如图，在等腰△ABC中，AB=BC，D为AB的中点，点E为AC中点，连接DE，过点E作EF∥AB交BC于点F．
(1)如图1，求证：四边形DBFE是菱形；
(2)如图2，连接BE，请直接写出图中与∠ABE互余的所有角．
【答案】(1)过程见解析
(2)∠A，∠C，∠CEF，∠AED
【分析】对于（1），根据中位线的定义和性质得出DE∥BC，DE=12BC，再根据EF∥AB，得出四边形DBFE是平行四边形，然后根据DB=12AB，可知BD=DE，即可得出结论；
对于（2），先根据等腰三角形的性质得出∠ABE+∠A=90°，可知与∠ABE互余的角为∠A，再确定与∠A相等的角即可．
（1）
∵点D是AB的中点，点E为AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，DB=12AB，
∴DE∥BC，DE=12BC．
∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形．
∵AB=BC，
∴BD=DE，
∴平行四边形DBFE是菱形；
（2）
∠A，∠C，∠CEF，∠AED．
∵AB=BC，点E是AC的中点，
∴BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠A=90°．
∵AB=BC，
∴∠A=∠C，
∴∠ABE+∠C=90°．
∵EF∥AB，
∴∠A=∠CEF，
∴∠ABE+∠CEF=90°．
∵DE∥BC，
∴∠C=∠AED，
∴∠ABE+∠AED=90°．
所以与∠ABE互余的角有∠A，∠C，∠CEF，∠AED．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线的定义和性质，互余的定义等，灵活的选择判定定理是解题的关键．
【考点4 同位角、内错角、同旁内角】
16．（2022·浙江杭州·校联考中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1是∠2的同旁内角，∠2是∠3的内错角．
（1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3．
（2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3的度数．
【答案】(1)见解析；(2) 36°
【分析】（1）根据内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角进行分析即可，进而画出图形即可；
（2）利用邻补角的关系可求出∠3的度数．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）∵∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，
∴设∠3＝x，则∠2＝2x，∠1＝4x，
故x+4x＝180°，
解得：x＝36°，
故∠3的度数为36°．
【点睛】此题主要考查了三线八角以及邻补角的性质，得出∠1与∠3的关系是解题关键．
17．（2022·辽宁沈阳·统考二模）如图，与∠1是内错角的是（ ）
A．∠2B．∠3C．∠4D．∠5
【答案】C
【分析】根据内错角的定义，即两条直线被第三条直线所截，位于截线的两侧，且夹在两条被截直线之间的两个角，解答即可．
【详解】根据内错角的定义，得：∠1是内错角的是∠4 ．
故选：C
【点睛】本题主要考查了内错角的定义，解题的关键是熟练掌握并理解内错角的定义．
18．（2022·山东济宁·统考中考模拟）如图，下列说法中不正确的是（ ）
A．∠1和∠3是同旁内角B．∠2和∠3是内错角
C．∠2和∠4是同位角D．∠3和∠5是对顶角
【答案】C
【分析】根据同旁内角的定义、内错角的定义、同位角的定义和对顶角的定义逐一判断即可．
【详解】A．∠1和∠3是同旁内角，故正确，不合题意；
B．∠2和∠3是内错角，故正确，不合题意；
C．∠2和∠4不是同位角，故错误，符合题意；
D．∠3和∠5是对顶角，故正确，不合题意；
故选C．
【点睛】此题考查的是同旁内角、内错角、同位角和对顶角的判断，掌握同旁内角的定义、内错角的定义、同位角的定义和对顶角的定义是解决此题的关键．
19．（2022·湖北襄阳·统考中考模拟）如图，∠1的同旁内角共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据同旁内角定义即可得解.
【详解】根据同旁内角的定义可得，∠1的同旁内角有：∠ACE,∠D,∠DCE.
故选C
20．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，有下列3个结论：①能与∠DEF构成内错角的角的个数是2；②能与∠EFB构成同位角的角的个数是1；③能与∠C构成同旁内角的角的个数是4，以上结论正确的是_____．
【答案】①②．
【分析】根据同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形进行判定．
【详解】解：①能与∠DEF构成内错角的角的个数有2个，即∠EFA和∠EDC，故正确；
②能与∠EFB构成同位角的角的个数只有1个：即∠FAE，故正确；
③能与∠C构成同旁内角的角的个数有5个：即∠CDE，∠B，∠CED，∠CEF，∠A，故错误；
所以结论正确的是①②．
故答案为：①②．
【点睛】本题主要考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记“三线八角”中相关的定义和概念，掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形是解答此题的关键．
【考点5 角的和差】
21．（2022·北京平谷·统考中考模拟）如图，射线OB、OC在∠AOD的内部，下列说法：
①若∠AOC＝∠BOD＝90°，则与∠BOC互余的角有2个；
②若∠AOD+∠BOC＝180°，则∠AOC+∠BOD＝180°；
③若OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，则∠MON＝12∠AOB；
④若∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，作∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠COD，则∠POQ＝90°
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据余角和补角的定义和角平分线的定义进行计算即可得到结论．
④要分两种情况讨论. ∠AOP、∠DOQ是在内部还是外部.
【详解】解：①∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC＝90°，
∴与∠BOC互余的角有2个；正确；
②∵∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠BOC+∠COD+∠BCO＝∠AOC+∠BOD＝180°，
∴∠AOC+∠BOD＝180°；故正确；
③如图1，
∵OM、ON分别平分∠AOD，∠BOD，
∴∠DOM＝12 ∠AOD，∠DON＝12∠BOD，
∴∠MON＝∠DOM﹣∠DON＝12（∠AOD﹣∠BOD）＝∠AOB，故正确；
④如图2，
∵∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，
∴∠AOB+∠COD＝150°﹣30°＝120°，
∵∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠COD，
∴∠AOP+∠DOQ＝12（∠AOB+∠COD）＝60°，
∴∠POQ＝150°﹣60°＝90°，
如图3，
∵∠AOD＝150°、∠BOC＝30°，
∴∠AOB+∠COD＝150°﹣30°＝120°，
∵∠AOP＝12∠AOB、∠DOQ＝12∠COD，
∴∠AOP+∠DOQ＝12（∠AOB+∠COD）＝60°，
∴∠POQ＝150°+60°＝210°，
综上所述，∠POQ＝90°或210°，故错误．
故选C．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．
22．（2022·江苏无锡·模拟预测）笑笑将一副三角板按如图所示的位置放置，△DOE的直角顶点O在边BC的中点处，其中∠A=∠DOE=90°,∠B=45°，∠D=60°，△DOE绕点O自由旋转，且OD，OE分别交AB，AC于点M，N，当AN=4，NC=2时，MN的长为______．
【答案】25
【分析】连接AO，证明△AOM≌△CONASA，得AM=NC=2，在利用勾股定理求出MN的长即可．
【详解】如图，连接AO，
∵由题意可知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，O是边BC的中点
∴∠B=∠C=45°，OA=OB=OC，AO⊥BC，∠BAO=∠CAO=12∠BAC=45°
∴∠AON+∠CON=90°，∠BAO=∠C=45°
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠AON=90°，
∴∠AOD=∠CON，
∴△AOM≌△CONASA，
∴AM=NC=2，
∵在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN2=AM2+AN2，
∴MN=AM2+AN2=22+42=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，和勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
23．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图所示，将笔记本活页两角向内折叠，使角的顶点A落在A′处，顶点D落在D′处，BC，BE为折痕．
（1）如图1，使边BD′与边BA′重合，若∠1=30°，求∠2=_______，∠CBE=_______．
（2）如图2，使边BD沿着BE折叠后的边BD′落在∠1内部，若∠1=40°，设∠A′BD′=α，∠EBD=β，求a与β之间的数量关系，并直接写出a，β的取值范围．
【答案】（1）60°，90°；（2）0°＜α＜40°，50°＜β＜70°
【分析】（1）由∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，可得∠2=12∠A′BD=60°；
（2）由折叠的性质得到∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，得到α和β的关系，再结合BD在∠1内部，可得各自的范围．
【详解】解：（1）∵角的顶点A落在点A'处，BC为折痕，
∴∠1=∠ABC=30°．∴∠A'BD=180°-30°-30°=120°，
∵∠A′BD=120°，∠2=∠DBE，
∴∠2=∠DBE=12∠A′BD=60°，
∴∠CBE=∠1+∠2=30°+60°=90°．
（2）由折叠的性质可得：
∠ABC=∠1=40°，∠DBD′=2∠EBD=2β，
∴∠A′BD=180°-∠ABC-∠1=100°，
∵∠A′BD=∠DBD′-∠A′BD′，∠A′BD′=α，
∴2β-α=100°，
∴α=2β-100°，
∵BD在∠1内部，
∴0°＜α＜40°，
∴0°＜2β-100°＜40°，
∴50°＜β＜70°．
【点睛】本题考查翻折变换，平角的性质等知识，解题的关键是利用法则不变性解决问题，属于基础题，中考常考题型．
24．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图所示，两条直线AB，CD相交于点O，且∠AOC=∠AOD，射线OM（与射线OB重合）绕点O按逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON（与射线OD重合）绕点O按顺时针方向旋转，速度为12°/s．两射线OM，ON同时运动，运动时间为ts．（本题出现的角均指小于平角的角）
（1）图中一定有________个直角；当t=3时，∠MON的度数为________，∠BON的度数为________∠MOC的度数为________．
（2）当0（3）当0【答案】（1）4，171°，126°，45°；（2）107或10；（3）当0【分析】（1）根据两条直线AB、CD交于点O，∠AOC=∠AOD，可得四个直角，当t=3时，根据射线运动速度求出角度；
（2）分两种情况讨论，当0（3）先判断当∠MON为平角时t的值，再分两种情况讨论，当0【详解】解：（1）∵∠AOC=∠AOD，∠AOC+∠AOD=180°，
∴∠AOC=∠AOD=90°，
∴∠BOC=∠BOD=90°，
∴一定有4个直角，
当t=3时，
∠BOM=3×15=45°，
∠DON=3×12=36°，
∴∠MON=45°+36°+90°=171°，
∠BON=90°+36°=126°，
∠MOC=90°−45°=45°，
故答案是：4，171°，126°，45°；
（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5s，
当OM与OA重合时，t=180÷15=12s，
①如图，当0∵∠AOM=3∠AON−60°，
∴180°−15°t=390°−12°t−60°，解得t=107；
②如图，当7.5∵∠AOM=3∠AON−60°，
∴180°−15°t=312°t−90°−60°，解得t=10；
综上：若∠AOM=3∠AON−60°，则t的值为107或10；
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15°t+90°+12°t=180°，解得t=103，
①如图，当0∠COM=90°−15°t，∠BON=90°+12°t，
∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15°t+90°+12°t=27°t+90°，
∴7∠COM+2∠BON∠MON=790°−15°t+290°+12°t27°t+90°=810°−81°t27°t+90°；
②如图，当103∠BOM=15°t，∠DON=12°t，
∠MON=360°−∠BOM+∠BOD+∠DON=270°−27°t，
∴7∠COM+2∠BON∠MON=810°−81°t270°−27°t=3，
综上：当0【点睛】本题考查角度的计算综合题，解题的关键是掌握角度和差关系的运用，将角度用t表示出来，列方程进行求解，需要注意进行分类讨论．
25．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知O是直线AB上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角边ON在直线AB上，另一条直角边OM与AB的夹角∠AOM=90°，射线OC在∠AOM内部．
（1）如图②，将三角尺OMN绕着点O顺时针旋转，当OM平分∠BOC时，试判断∠AON与∠CON的大小关系，并说明理由．
（2）若∠AOC=60°，三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周，每秒旋转5°，旋转时间为t，则当t为何值时∠CON=∠MOB？
（3）在（2）的条件下，在三角尺OMN绕点O顺时针旋转一周的过程中，∠CON+∠MOB的值能否为定值？若能，求t的取值范围．
【答案】（1）∠AON=∠CON；（2）t=15；（3）能是定值，12【分析】（1）由∠MON=90°，得到∠AON+∠BOM=90°，∠NOC+∠COM=90°，利用OM平分∠BOC推出∠BOM=∠COM，由此得到∠AON=∠CON；
（2）画出图形，由∠CON=∠MOB推出∠AOC+2∠CON=90°，利用∠AOC=60°计算得出∠CON=15°，根据公式计算出旋转时间为t；
（3）∠CON+∠MOB能是定值，当∠MON在∠BOC内部时， ∠CON+∠MOB=180°-∠AOC-∠MON=30°，旋转角60°<∠AON<90°，计算得出t．
【详解】（1）∠AON=∠CON，理由如下：
∵∠MON=90°，
∴∠AON+∠BOM=90°，∠NOC+∠COM=90°，
∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM=∠COM，
∴∠AON=∠CON；
（2）如图，
∵∠MON=90°，
∴∠AON+∠BOM=90°，
∵∠CON=∠MOB，
∴∠CON+∠AON=90°，
∴∠AOC+2∠CON=90°，
∵∠AOC=60°，
∴∠CON=15°，
∴旋转时间为t=(60+15)÷5=15（秒）；
（3）∠CON+∠MOB能是定值，如图，
∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴当∠MON在∠BOC内部时，∠CON+∠MOB=180°-∠AOC-∠MON=30°，
∴∠CON+∠MOB是定值，
此时60°<∠AON<90°，
∴12．
【点睛】此题考查角平分线的性质，角度互余互补的关系计算，运动角的问题，这是一道角度的基础题，但是有难度．
【考点6 角的大小比较】
26．（2022·山东临沂·校联考一模）下列各图中，∠1大于∠2的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】分析：根据对顶角相等的性质；两直线平行，同位角相等的性质；同弧所对的圆周角相等；三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角的性质．根据各性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
详解：A、根据对顶角相等，得：∠1=∠2，故本选项错误．
B、根据三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，得∠1大于∠2，正确；
C、根据同弧所对的圆周角相等，得：∠1=∠2，故本选项错误；
D、根据两条直线平行，同位角相等，以及对顶角相等，得：∠1=∠2，故本选项错误．
故选B．
点睛：本题主要考查对顶角相等的性质，平行线的性质和三角形的外角性质，圆周角的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
27．（2022·北京大兴·统考一模）如图所示的网格是正方形网格，A,B,C是网格线的交点，则∠ABC与∠ACB的大小关系为：∠ABC_______∠ACB（填“>”，“=”或“<”）．
【答案】<
【分析】在网格中构建和∠ACB一样大的角，比较即可．
【详解】解：如图所示：∠DBC=∠ACB=45°，AB在∠DBC内部，所以，∠ABC<∠ACB，
故答案为：<．
【点睛】本题考查了角的比较，等腰三角形的性质，解题关键是通过网格转换，把两个要比较的角放在一起，直接判断．
28．（2022·湖南邵阳·校联考中考模拟）如图，∠AOB，∠BOC，∠AOC的大小关系用“＞”连接起来： ________ ．
【答案】∠AOC＞∠AOB＞∠BOC
【详解】分析：根据所给出的图形可直接得出答案．
详解：根据题意得：
∠AOC＞∠AOB＞∠BOC．
故答案为∠AOC＞∠AOB＞∠BOC．
点睛：此题考查了角的大小比较，根据图形能正确的表示出各角是本题的关键，是一道基础题．
29．（2022·天津河西·统考中考模拟）如图，已知∠AOB是锐角，过点O作射线OD，∠COD=2∠AOD．
（1）当∠BOD=2∠AOC，且射线OD在∠AOC的内部时，找出图中另一对成2倍关系的角，并说明理由；
（2）当射线OD在∠AOC的外部时，探索∠AOB，∠BOC，∠BOD之间的等量关系；
（3）若∠COD>∠BOC，求∠BOC的取值范围．
【答案】（1）∠BOC=2∠COD，详见解析；（2）∠BOD=2∠AOB−∠BOC；（3）当射线 OD 在 ∠AOC 的内部时，∠BOC<36°；当射线 OD 在 ∠AOC 的外部时，∠BOC<60°
【分析】（1）根据题意，OD在∠AOC 内且将其分为三份，∠AOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD，再根据∠BOD=2∠AOC，进而得出∠BOC=∠BOD−∠COD=4∠AOD=2∠COD；
（2）根据题意，OD在∠AOC 外部且∠AOC=∠AOD，根据∠BOD=∠AOB+∠AOD即可得出结果；
（3）根据已知∠AOB 是锐角，并找出其与∠BOC的关系，即可找出∠BOC的范围．
【详解】解：（1）根据题意画图如下：
由已知，∠COD=2∠AOD可得∠AOC=3∠AOD
又因为∠BOD=2∠AOC，所以∠BOD=6∠AOD
所以∠BOC=∠BOD−∠COD=4∠AOD=2∠COD
（2）根据题意画图如下：
由已知，∠COD=2∠AOD可得∠AOC=∠AOD
又因为∠AOC=∠AOB−∠BOC，所以∠AOD=∠AOB−∠BOC
所以∠BOD=∠AOB+∠AOD=2∠AOB−∠BOC
（3）当OD在∠AOC内时，图如（1）所示．
此时，有等式∠AOC=3∠AOD，∠COD=2∠AOD成立，
而∠COD>∠BOC，
所以2∠AOD>∠BOC，所以∠AOC>32∠BOC．
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC>32∠BOC+∠BOC=52∠BOC．
又因为∠AOB是锐角，
所以52∠BOC<∠AOB<90°
解得，∠BOC<36°；
当OD在∠AOC的外部时，图如（2）所示．
此时有∠AOC=12∠COD>12∠BOC，
所以∠AOB=∠AOC+∠BOC>32∠BOC，
又因为∠AOB是锐角，
所以32∠BOC<∠AOB<90°
解得，∠BOC<60°
综上，当OD在∠AOC内时，若∠COD>∠BOC，需要满足∠BOC<36°；当OD在∠AOC的外部时，若∠COD>∠BOC，需要满足∠BOC<60°．
【点睛】这道题考察的是角的计算和比较．分情况画出OD，看图找出角的关系是解题的关键．
30．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知OC是∠AOB内部的一条射线，M，N分别为OA，OC上的点，线段OM，ON同时分别以30°/s，10°/s的速度绕点O逆时针转动，设转动时间为ts．

（1）如图（1），若∠AOB=120°，OM，ON逆时针转动到OM′，ON′处．
①若OM，ON的转动时间t为2，则∠BON′+∠COM′=________；
②若OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，求∠M′ON′的值．
（2）如图（2），若∠AOB=4∠BOC，当OM，ON分别在∠AOC，∠BOC内部转动时，请猜想∠COM与∠BON的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）①40゜；②60゜；（2）∠COM=3∠BON，理由见解析．
【分析】（1）①先求出∠AOM′、CON′，再表示出∠BON′、∠COM′，然后相加并根据∠AOB=120°计算即可得解；
②先由角平分线求出∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=12∠BOC，再求出∠COM′+∠CON′=12∠AOB=12×120°=60°，即∠M′ON′=60°；
（2）设旋转时间为t，表示出∠CON、∠AOM，然后列方程求解得到∠BON、∠COM的关系，再整理即可得解．
【详解】（1）∵线段OM、ON分别以30°/s、10°/s的速度绕点O逆时针旋转2s，
∴∠AOM′=2×30°=60°，∠CON′=2×10°=20°，
∴∠BON′=∠BOC-20°，∠COM′=∠AOC-60°，
∴∠BON′+∠COM′=∠BOC-20°+∠AOC-60°=∠AOB-80°，
∵∠AOB=120°，
∴∠BON′+∠COM′=120°-80°=40°；
故答案为：40°；
②∵OM′平分∠AOC，ON′平分∠BOC，
∴∠AOM′=∠COM′=12∠AOC，∠BON′=∠CON′=12∠BOC，
∴∠COM′+∠CON′=12∠AOC+12∠BOC=12∠AOB=12×120°=60°，
即∠MON=60°；
（2）∠COM=3∠BON，理由如下：
设∠BOC=x，则∠AOB=4x，∠AOC=3x，
∵旋转t秒后，∠AOM=30t，∠CON=10t，
∴∠COM=3x -30t=3（x -10t），∠NOB=x -10t，
∴∠COM=3∠BON．
【点睛】本题考查了角的计算，读懂题目信息，准确识图并表示出相关的角度，然后列出方程是解题的关键．
【考点7 点到直线的距离】
31．（2022·河北·模拟预测）已知直线a//b，点M到直线a的距离是5cm，到直线b的距离是3cm，那么直线a和b之间的距离是（ ）
A．2cmB．6cmC．8cmD．2cm或8cm
【答案】D
【分析】点M可能在两平行直线之间，也可能在两平行直线的同一侧，分两种情况讨论即可．
【详解】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5—3 = 2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+ 3 = 8（cm）.
故选：D
【点睛】本题主要考查了平行线之间的距离，解决问题的关键是分类讨论，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的1距离．
32．（2022·河北唐山·统考一模）如图，已知，直线l，AB⊥l，BC⊥l，B为垂足，下列说法正确的是（）
A．点A到l的距离是线段ABB．点C到点A的距离是线段AC
C．A、C、B三点共线D．A、C、B三点不一定共线
【答案】C
【分析】逐一进行判断即可．
【详解】A.点A到l的距离是线段AB的长度，故该选项错误；
B.点C到点A的距离是线段AC的长度，故该选项错误；
C.∵AB⊥l，BC⊥l，
∴A、C、B三点共线，故该选项正确；
D.A、C、B三点共线，故该选项错误，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三点共线和点到直线的距离，点与点的距离，掌握距离的定义是关键．
33．（2022·吉林松原·校考一模）小明参加跳远比赛，他从地面踏板P处起跳落到沙坑中，两脚后跟与沙坑的接触点分别为A，B，小明未站稳一只手撑到沙坑C点，则跳远成绩测量正确的图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由于C点到踏板最近，则C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩．
【详解】解：跳远成绩应该为身体与沙坑的接触点中到踏板的垂线段长的最小值．
由于C点到踏板最近，所以C点到踏板的垂线段的长为跳远成绩．
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段最短，点到直线的距离，掌握垂线的定义以及垂线段最短是解题的关键．
34．（2022·陕西西安·陕西师大附中校考三模）如图，正方形ABCD中，AB=4，点E为边BC上一动点，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，则DF的最小值为__________．
【答案】22
【分析】AB上截取AG=EC，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，证明△AGE≌△ECF，△DCH是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，AB上截取AG=EC，过点D作DH⊥CF交CF的延长线于点H，
∵正方形ABCD中，AB=4，将点A绕点E顺时针旋转90°得到点F，
∴BG=BE
∴△BEG是等腰直角三角形
∴∠AEF=90°,∠ABE=∠C=90°,
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=90°
∴∠GAE=∠BAE=∠CEF
∴△AGE≌△ECF
∴∠AGE=∠ECF=135°
∴∠DCF=45°
∴ F在射线CF上运动，
则△DCH是等腰直角三角形，
∴ F与H点重合时，DF取得最小值，等于DH=22DC
∵DC=4
∴DH=22
即DF的最小值为22
故答案为：22
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得F的轨迹是解题的关键．
35．（2022·河北唐山·统考二模）如图1，图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中，若线段PA1最短，则线段PA1的长度称为点P到图形l的距离．
(1)观察：如图2中，线段PA1的长度是点P1到线段AB的距离；线段 的长度是点P2到线段AB的距离．
(2)如图3，在平面直角坐标系中，点A、B、D的坐标分别为（2，1）、（3，2）、（5，0），直线AB与x轴相交于点C．点P（a，0）（a＞0）为x轴上一动点，设点P到线段AB的距离为d．
发现：①∠BCD= °；
②若a=2，求d的值；
(3)尝试：若d=2，求a的值；
(4)拓展：若点P在线段OD上运动，且d为整数，请直接写出a的值．
【答案】(1)P2H
(2)①45；②d=1
(3)a的值为1或3
(4)2−3或2或22+1
【分析】（1）根据“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”分析判断即可；
（2）①利用待定系数法求直线AB的解析式，进而得到点C的坐标，过点A作AE⊥CD于点E，利用等腰直角三角形的判定与性质可得出结论；②利用新定义解答即可；
（3）利用分类讨论的思想，分两种情况：①当点P在点E左侧时，②当点P在点E右侧时，利用新定义的意义解答即可；
（4）利用分类讨论的思想，分三种情况：①点P在点E左侧时，②点P与点E重合时，③点P在点E右侧时，利用d为整数，令d=2、d=1、d=2，利用勾股定理求出线段PE、PC的长度，进而求得线段OP的长，则结论可得．
(1)
解：由“直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短”可知，线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离．
故答案为：P2H；
(2)
① 设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（2，1）、B（3，2）代入，
可得2k+b=13k+b=2 ，解得k=1b=−1，
∴直线AB的解析式为y=x−1，
令y=0，则x−1=0，解得x=1，
∴C（1，0），
∴OC=1，
过点A作AE⊥CD于点E，如图1，则E（2，0），
∴OE=2，AE=1，
∴CE=OE−OC=1，
∴AE=CE，
∴∠BCD=∠CAE=45°．
故答案为：45；
②若a=2，点P与点E重合，
∴线段AE的长度为点P到线段AB的距离d，
∴d=AE=1；
(3)
①当点P在点E的左侧时，PA的长为P到线段AB的距离d，
∵AC=AE2+CE2=2 ，d =2 ，
∴点P与点C重合，
∴a=1；
②当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，
过点A作AF⊥AB交x轴于点F，如图2，
∵∠BCD=45°，
∴CF=2AC=2，AF=AC=2，
∴点P与点F重合，
∵OF=OC+CF=3，
∴P（3，0），即a＝3．
综上所述，若d=2，a的值为1或3；
(4)
（4）①当点P在点E的左侧时，PA的长为点P到线段AB的距离d，
∵PA>AE，d为整数，
∴当d=2时，即PA=2，如图3，
∴PE=PA2−AE2=3，
∴OP=OE−PE=2−3，
∴P（2−3，0），即a=2−3；
②当点P与点E重合时，PA=d=1，符合题意，
∴P（2，0），即a＝2；
③当点P在点E的右侧时，点P到线段AB的垂线段的长度为P到线段AB的距离d，
过点P作PH⊥AB于点H，如图4，当d=2时，即PH=2，
∵∠BCD=45°，
∴CP=2PH=22，
∴OP=OC+CP=22+1，
∴a=22+1，
当d=3时，即PH=3，
∵∠BCD=45°，
∴CP=2PH=32，
∴OP=OC+CP=32+1>5，不合题意．
综上所述，若点P在线段OD上运动，且d为整数，则a的值为2−3或2或22+1．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的性质、一次函数图像上点的坐标的特征、勾股定理以及等腰三角形的判定与性质等知识，本题是阅读型题目，理解并熟练应用新定义是解题关键．
【考点8 相交线与平行线】
36．（2022·江苏苏州·模拟预测）下列说法中正确的个数为（ ）
①在平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④有限小数是有理数，无限小数是无理数；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到这条直线的距离．
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】D
【分析】根据实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，进行逐一判断即可．
【详解】解：①在平面内，不重合的两条直线的位置关系只有：平行和相交（夹角为直角时垂直），故①不符合题意；
②在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意；
③在平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③不符合题意；
④有限小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故④不符合题意；
⑤从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离，故⑤不符合题意．
故符合题意的是②，共1个．
故选：D．
【点睛】本题考查了实数，平行线的判定与性质，点到直线的距离，平行线，平行公理及推论，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
37．（2022·北京·统考一模）根据语句“直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M．”画出的图形是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M进行判断，即可得出结论．
【详解】解：A．直线l2经过点M，故本选项不合题意；
B．点M不在直线l1上，故本选项不合题意；
C．点M不在直线l1上，故本选项不合题意；
D．直线l1与直线l2相交，点M在直线l1上，直线l2不经过点M，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．
38．（2022·贵州毕节·二模）作图题
(1)过点M作直线AB的平行线l；
(2)将三角形ABC平移到三角形A'B'C'，使得点B与点B'重合．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可；
（2）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
(1)
如图，连接CM，直线l即为直线CM，
理由，设网格的每个格子的边长为1，则利用勾股定理易求得AB=CM=5，AM=BC=10，根据平行四边形的判定定理可知ABCM是平行四边形，则有AB∥CM，
直线l即为所求；
(2)
如图，B′相对于B点，是将B点向下移动2个单位，再向右移动三个单位，据此将A、C两点也按照如此的移动轨迹即可找到A′和C′即得到△A′B′C′
【点睛】本题考查作图、平行线的定义、平行四边形的判定、勾股定理以及平移性质的知识，熟练掌握平行线的定义、平行四边形的判定以及平移的性质是解答本题的关键．
39．（2022·湖北武汉·校联考一模）如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．△ABC的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题：
（1）在图1中，①过B作AC边上的高BH（H为垂足）．②在AB边上找一点P，使tan∠ACP＝12．
（2）在图2中，①在BC边上找一点D，使AD平分∠BAC．②AC边上找一点E，使DE∥AB．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）①见解析；②见解析
【分析】（1）取格点T，作直线BT交AC的延长线于H．取格点W，R，Q，连接WR，AQ交于点J，连接CJ交AB于点P，点P即为所求；
（2）取格点O，连接AO交BC于点D，取网格线与AC的交点E，D，E即为所求点．
【详解】解：（1）如图，线段BH即为所求，点P即为所求；
（2）如图，点D即为所求，点E即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，平行线的性质、角平分线的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
40．（2022·浙江杭州·模拟预测）为了探究n条直线能把平面最多分成几部分,我们从最简单的情形入手:
①一条直线把平面分成2部分;
②两条直线可把平面最多分成4部分;
③三条直线可把平面最多分成7部分;
④四条直线可把平面最多分成11部分;
……
把上述探究的结果进行整理,列表分析:
(1)当直线条数为5时,把平面最多分成____部分,写成和的形式:______;
(2)当直线条数为10时,把平面最多分成____部分;
(3)当直线条数为n时,把平面最多分成多少部分?
【答案】(1) 16； (2) 56； (3)n(n+1)2+1部分
【分析】（1）根据已知探究的结果可以算出当直线条数为5时，把平面最多分成16部分；
（2）通过已知探究结果，写出一般规律，当直线为n条时，把平面最多分成1+1+2+3+…+n，求和即可．
【详解】（1）16;1+1+2+3+4+5.
（2）56.根据表中规律知,当直线条数为10时,把平面最多分成56部分,即1+1+2+3+…+10=56.
（3）当直线条数为n时,把平面最多分成1+1+2+3+…+n=n(n+1)2+1部分.
【点睛】本题考查了图形的变化，通过直线分平面探究其中的隐含规律，运用了从特殊到一般的数学思想，解决此题关键是写出和的形式．
【考点9 平行公理及其推论】
41．（2022·河北·模拟预测）如图，AB∥EF，则α、β、γ的关系是（ ）
A．β+γ﹣α＝90°B．α+β+γ＝360°C．α+β﹣γ＝90°D．β＝α+γ
【答案】B
【分析】如图，作GH∥AB．利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，作GH∥AB．
∵AB∥EF，GH∥AB，
∴GH∥EF，
∴∠BCG+∠CGH＝180°，∠FDG+∠HGD＝180°，
∴∠BCG+∠CGH+∠HGD+∠FDG＝360°，
∴α+β+γ＝360°，
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
42．（2022·河北唐山·统考一模）如图所示，AB∥CD，则∠A+∠E+∠F+∠C等于（ ）
A．180°B．360°C．540°D．720°
【答案】C
【详解】解：作EM∥AB，FN∥AB，
∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD．
∴∠A+∠AEM=180°，∠MEF+∠EFN=180°，∠NFC+∠C=180°，
∴∠A+∠AEF+∠EFC+∠C=540°．
故选：C．
43．（2022·四川德阳·统考一模）如图，若AB//EF，AB//CD．则下列各式成立的是（ ）
A．∠2+∠3−∠1=180°B．∠1−∠2+∠3=90°
C．∠1+∠2+∠3=180°D．∠1+∠2+−∠3=180°
【答案】A
【分析】已知AB//EF，AB//CD，可得EF∥CD，根据平行线的性质，即可得到∠3=∠CGE，∠2+∠BGE=180°，进而得出∠2+∠3-∠1=180°．
【详解】∵AB∥EF，AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠3=∠CGE，
∴∠3−∠1=∠CGE−∠1=∠BGE，
∵AB∥EG，
∴∠2+∠BGE=180°
即∠2+∠3−∠1=180°
故选：A
【点睛】本题考查了平行定理，两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行；两条直线平行内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
44．（2022·河北·模拟预测）如图，在平面内作到直线m距离为5的平行线，可作平行线的条数有（ ）
A．0条B．1条C．2条D．无数条
【答案】C
【分析】根据平行公理即可知直线m的上方和下方各有1条直线与直线m的距离为5的平行线．
【详解】如图可知，作出的平行线分别在直线m的上方和下方各1条．
故选：C．
【点睛】本题考查平行公理．掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行是解答本题的关键．
45．（2022·吉林·吉林省实验校考一模）如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为________
【答案】20°##20度
【分析】过B作BE∥m，则根据平行公理及推论可知l∥BE，然后可证明得到∠1+∠2=∠ABC=45°，因此可求得∠2=20°．
【详解】解：过B作BE∥m，如图所示：
∵l∥m，
∴BE∥l，
∴∠1=∠CBE，∠2=∠ABE，
∵∠CBE+∠ABE=45°，
∴∠2=45°−25°=20°．
故答案为：20．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行线公理的应用，作出辅助线，熟练掌握两直线平行内错角相等，是解题的关键．
【考点10 平行线的判定与性质】
46．（2022·广东深圳·模拟预测）平面内，给定不在同一直线上的点A，B，C，如图所示．点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD．
(1)求证：AD=CD；
(2)过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM，若AD=CM，判断直线DE与图形G的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)DE是图形G⊙O的切线；理由见解析
【分析】（1）根据题意可知图形G是△ABC的外接圆⊙O，根据圆周角定理的推论即可证明．
（2）连接OD．根据等量代换思想和等腰三角形的性质确定BC是⊙O的直径，根据等边对等角和等量代换思想确定∠ABD=∠ODB，根据平行线的判定定理和性质，切线的判定定理即可证明．
（1）
证明：如下图所示．
根据题意可知图形G是△ABC的外接圆⊙O．
∵∠ABC的平分线交图形G于点D，
∴∠ABD=∠CBD．
∴AD=CD．
∴AD=CD．
（2）
解：DE是图形G⊙O的切线，理由如下．
如下图所示，连接OD．
∵AD=CM，AD=CD，
∴CD=CM．
∵DF⊥BC，
∴DF=FM．
∴BC垂直平分DM．
∵⊙O的圆心O一定在弦DM的垂直平分线上，
∴点O在BC上．
∴BC是⊙O的直径．
∴OB=OD．
∴∠CBD=∠ODB．
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ODB．
∴AB//OD．
∴∠BED+∠EDO=180°．
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°．
∴∠EDO=180°-∠BED=90°．
∴DE⊥OD．
∴DE是图形G⊙O的切线．
【点睛】本题考查圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定定理，综合应用这些知识点是解题关键．
47．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C=∠EFG，∠CED=∠GHD，试判断∠AED与∠D之间的数量关系，并说明理由．
【答案】∠AED+∠D=180°，理由见解析
【分析】根据平行线的判定定理得出CE∥FG，根据平行线的性质得出∠C=∠FGD，求出∠FGD=∠EFG，根据平行线的判定得出AB∥CD，再根据平行线的性质得出即可．
【详解】解：∠AED+∠D=180°，
理由是：∵∠CED=∠GHD，
∴CE∥FG，
∴∠C=∠FGD，
∵∠C=∠EFG，
∴∠FGD=∠EFG，
∴AB∥CD，
∴∠AED+∠D=180°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键．
48．（2022·福建三明·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点F．
(1)用尺规在直线BC上求作点E，使AE//BF，不写作法，保留作图痕迹；
(2)若AB=4，BC=5，AC=6，求AF．
【答案】(1)作图见解析
(2)AF=83
【分析】（1）根据平行线的判定以及“平行线+角平分线+等腰三角形”中“知二得三”分三种不同方法尺规作图即可；
（2）根据（1）中的结论，利用平行线的性质，角平分线的定义，得到BE=AB=4，再根据平行线分线段成比例定理求出线段长即可．
（1）
解：有三种不同做法，具体如图所示，点E即为所求：
作法一：（内错角相等，两直线平行）
作法二：（同位角相等，两直线平行）
作法三：（等腰三角形外角性质）
（2）
解：由（1）知，如图所示：
∵ BF∥AE，
∴∠AEB=∠FBC，∠EAB=∠ABF，
∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠FBC=∠ABF，
∴∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=4，
根据平行线分线段成比例定理可知AFAC=BEEC =BEBE+BC =49，
∴AF=49AC=49×6=83．
【点睛】本题考查尺规作图与求线段长综合问题，涉及到平行线的判定与性质、外角性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线分线段成比例定理求线段长，熟练掌握尺规作图的方法以及平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．
49．（2022·浙江杭州·模拟预测）如图为一台灯示意图，其中灯头连接杆DE始终和桌面FG平行，灯脚AB始终和桌面FG垂直，
（1）当∠EDC=∠DCB=120°时，求∠CBA；
（2）连杆BC、CD可以绕着B、C和D进行旋转，灯头E始终在D左侧，设∠EDC，∠DCB，∠CBA的度数分别为α，β，γ，请画出示意图，并直接写出示意图中α，β，γ之间的数量关系．
【答案】（1）∠CBA=150°，（2）α+β-γ=90°．
【分析】（1）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠CHA=∠PCH=60°，依据三角形外角性质，即可得到∠CBA的度数；
（2）过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，依据平行线的性质，即可得到∠D+∠DCH+∠FHC=360°，再根据三角形外角性质，即可得到α，β，γ之间的数量关系．
【详解】（1）如图，过C作CP∥DE，延长CB交FG于H，
∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠PCD=180°-∠D=60°，∠PCH=120°-∠PCD=60°，
∴∠CHA=∠PCH=60°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠CBA=60°+90°=150°，
（2）如图，延长CB交FG于H，
∵DE∥FG，
∴PC∥FG，
∴∠D+∠PCD=180°，∠FHC+∠PCH=180°，
∴∠D+∠DCH+∠FHC=360°，
又∵∠CBA是△ABH的外角，AB⊥FG，
∴∠AHB=∠ABC-90°，
∴∠FHC=180°-（∠ABC-90°）=270°-∠ABC，
∴∠D+∠DCH+270°-∠ABC=360°，即∠D+∠DCB-∠ABC=90°．
即α+β-γ=90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
50．（2022·重庆綦江·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0．
（1）求a、b的值；
（2）如图1，点G在y轴上，三角形COG的面积是三角形ABC的面积的12，求出点G的坐标；
（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一个动点，连接OP、AC、DB，OE平分∠AOP，OF⊥CE，若∠OPD+k∠DOF＝k（∠FOP+∠AOE），现将四边形ABDC向下平移23k个单位得到四边形A1B1D1C1，已知AM+BN =53k，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝4；（2）G（0，6）或（0，﹣6）；（3）S阴＝529.
【分析】（1）利用非负数的性质即可解决问题；
（2）过点C作CT⊥AB于T．根据面积关系求出OG的长即可解决问题；
（3）设∠AOE=x，则∠AOP=2∠AOE=2x，∠POB=180°-2x，由CD∥AB，推出∠OPD=∠POB=180°-2x，由∠DOF=∠AOE，推出∠OPD+k∠DOF=k∠FOP+k∠AOE，推出∠OPD=k∠FOP，可得180°-2x=k（90°-x），推出k=2，即可解决问题.
【详解】（1）∵|2a﹣b+8|+（a+b﹣2）2＝0，
又∵|2a﹣b+8|≥0，（a+b﹣2）2≥0，
∴2a−b+8=0a+b−2=0，
解得a=−2b=4，
∴a＝﹣2，b＝4．
（2）如图1中，过点C作CT⊥AB于T．
∵C（﹣1，2），
∴CT＝2，
∵S△ABC＝12×6×2＝6，
∴S△OCG＝12×1×OG＝3，
∴OG＝6，
∴G（0，6）或（0，﹣6）．
（3）如图2中，
设∠AOE＝x，
∵OE平分∠AOP，
∴∠AOP＝2∠AOE＝2x，
∵∠AOB＝180°，
∴∠POB＝180°﹣2x，
∵CD⊥y轴，AB⊥y轴，
∴∠CDO＝∠DOB＝90°，
∴CD∥AB，
∴∠OPD＝∠POB＝180°﹣2x，
∵OF⊥OE，
∴∠FOP＝90°﹣x，
∵∠AOD＝90°，
∴∠AOE+∠EOD＝∠DOF+∠EOD＝90°，
∴∠DOF＝∠AOE，
∴∠OPD+k∠DOF＝k∠FOP+k∠AOE，
∴∠OPD＝k∠FOP，
∴180°﹣2x＝k（90°﹣x），
∴k＝2，
∴23k=43，
∴AM+BN＝53k=103，
∴S阴＝S四边形MNB1A1=12⋅(6+6−103)⋅43=529．
【点睛】本题考查四边形综合题、非负数的性质、三角形的面积、平移变换、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题.直线条数
把平面最多
分成的部分数
写成和的形式
1
2
1+1
2
4
1+1+2
3
7
1+1+2+3
4
11
1+1+2+3+4
…
…
…