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中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题13最值模型-瓜豆原理(原卷版+解析)
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这是一份中考数学常见几何模型全归纳提分精练专题13最值模型-瓜豆原理(原卷版+解析)，共48页。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1． (2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例2． (2023·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
例3． (2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例4． (2023·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
例5． (2023·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
例6． (2023·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．
【模型解读】
模型2、运动轨迹为圆弧
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．
接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：
1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。
例1． (2023·四川乐山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
例2． (2023·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
例3． (2023·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
例4． (2023·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．
例5． (2023·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．
例6． (2023·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
例7． (2023·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
课后专项训练
1． (2023·安徽·合肥市三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
3． (2023·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
4． (2023·广东·乐昌市二模）如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．
5． (2023·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
6． (2023·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
7． (2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
8． (2023·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____，BQ的最小值为 _____．
9． (2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，，连接线段，则线段的最小值为____．
10． (2023·江苏连云港·二模）如图，在中，，，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为______米．
11． (2023·河南·二模）如图，正方形中，，，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
12． (2023·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13． (2023·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
14． (2023·江苏·徐州市三模）如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______．
15． (2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
16． (2023·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
17． (2023·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18． (2023·湖北鄂州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点F是AC上一点，且AF∶FC＝2∶1，点E是边BC上一动点．将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）
A．1.2B．1C．D．3.2
19． (2023·广东·湖景中学一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
20． (2023·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
专题13 最值模型-瓜豆原理
动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1． (2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，，，
，，过B作于H，
，，
，，当时，PQ的值最小，
，，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
例2． (2023·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
例3． (2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
例4． (2023·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
【答案】2
【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．
【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，∴，∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，解得，∴直线F1F2的解析式为y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，解得h=2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
例5． (2023·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】设，作轴，作，作，根据可证明，由此可求，令，，可得在直线上运动，当时，的值最小，再由得，进而得出，即可得出答案．
【详解】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，，∴，
令，，∴，
∴点在直线上运动，当时，的值最小.
在中，令，则，令，则，∴，，∴．
∵，∴，∴，
在中，令，则，∴，∴.
∵，即，解得，所以的最小值为.故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
例6． (2023·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出
即可求出CE的长
【详解】解：在BC上截取，则，中，，
∵，∴在中，，
∴∴，，∴，
∴，∴，∴的角度固定不变，∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵∴∠CQH=∠QAB∴，
∵，∴，CE的最小值是3.
【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【模型解读】
模型2、运动轨迹为圆弧
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．
接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：
1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。
例1． (2023·四川乐山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
例2． (2023·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
【答案】．
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
例3． (2023·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
【答案】．
【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵∴∴
∴∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，∴
∴，∴
又∵∴，
∴即故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．
例4． (2023·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．
【答案】##
【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．
【详解】解：连接AC，以BE为直径作，
∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴点G在上，
连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图，
∵AD＝BC，∴，∵点D为的中点，∴，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，
∵AB为的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，
∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，
∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，
即AG的最小值为，故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键．
例5． (2023·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先求出AC=，AB=，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=，由勾股定理可求CF的长，由点A'在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A'在FC上时，A'F有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，
，，，，
，，，
平分，，
，，，
，，
将沿翻折，得到，，
点在以点为圆心，为半径的圆上，则当点在上时，有最小值，
最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．
例6． (2023·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．∴．∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
例7． (2023·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案．
【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，
设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，
∴当t最大即EP最大时，PQ最大，
由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=；
设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，
∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，∴，
∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，
连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
课后专项训练
1． (2023·安徽·合肥市三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，
∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，
∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
2． (2023·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，
∵,∴,
∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
3． (2023·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
【答案】##
【分析】把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为C，直线CP交x轴于点D，证得△ACD为等腰直角三角形，可得点P的运动轨迹在直线CP上，当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为点C，直线CP交x轴于点D，
则△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC= AO=3，
∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC +∠PAO=45°，即∠CAO=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴点P的运动轨迹在直线CP上，
∴当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，
∵△ACD为等腰直角三角形，AC=3，∴AD=AC=6，
∴OD=6-3，∴OP=3-3．即OP最小值为3-3．故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ACD和△OPD为等腰直角三角形．
4． (2023·广东·乐昌市二模）如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值．
【详解】解：如图，连接CM、CN，
中，，，，∴．
∵，点M，N分别是DE，AB的中点，∴，．
当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为 故答案为：
【点睛】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
5． (2023·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
【答案】
【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE
∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，
∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案为：．
【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．
6． (2023·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【详解】解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，
∴m＝（负根已经舍弃），∴EG的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．
7． (2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，
正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，
是等腰直角三角形,
在射线上运动，则是等腰直角三角形，
与点重合时，取得最小值，等于
即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．
8． (2023·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____，BQ的最小值为 _____．
【答案】 ；
【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，利用三角形相似计算即可．
【详解】 AB＝5，BC=3，AC＝4，
，，，
Rt△PQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N，
外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线，，
当点P与点A重合时，即点，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P与点B重合时，即点，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，为点Q的运动轨迹，
BQ的最小值为点B到的垂线段的长度，过点B作，垂足为E，
三角形AQ1C，三角形BQ2C均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，
，
，，
，，，
，即，解得，故答案为：；．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键．
9． (2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，，连接线段，则线段的最小值为____．
【答案】##
【分析】连接，作于，当点运动到点时，则点运动到，求得，为动点的运动轨迹，当运动到时，最小，据为角所对的直角边，为斜边即可求得答案．
【详解】解：由题意得，连接，作于，如图所示：
、
当点运动到点时，则点运动到，，，
由题意可得：直线为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值，
，故答案为．
【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值是解题的关键．
10． (2023·江苏连云港·二模）如图，在中，，，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为______米．
【答案】2
【分析】根据等腰直角三角形的斜边中线性质得出∠A=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=45°，AC=8， AD=BD，BD⊥AC，进而证得△ADE≌△BDF (SAS) ，得到DE=DF， ∠ADE=∠BDF，∠EDF=90°，从而证得点G在BD的垂直平分线上，证得点E，F运动过程中，点G经过的路线是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求得结果．
【详解】解：在中，，，∴∠A=∠C=45°，
如图，连接BD、BG，
∵，D是斜边AC的中点，∴∠ABD=∠CBD=45°，AC=8， AD = BD，BD⊥AC，
在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF (SAS) ，∴DE = DF， ∠ADE=∠BDF，
∴，
∵G为EF的中点，∴，∴点G在BD的垂直平分线上，
∴在点E、F运动过程中，点G经过的路线是的中位线，如图，
∴DG的最小值为DG=BG=BD=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
11． (2023·河南·二模）如图，正方形中，，，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取CD的中点为O1，连接EO1，所以点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，证明当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，，再证明，利用相似性质及已知条件求解即可．
【详解】解：∵，∴，
取CD的中点为O1，连接EO1，则，∴点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，
∵点为边上一个动点，∴E从O运动到C（逆时针），
∴当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，，
∵，，点坐标为且OABC为正方形，∴，
∵O1为CD中点，∴，，，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，即，解得：．故选：B
【点睛】本题考查动点问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出当O1、E、A三点共线时，AE最小．
12． (2023·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为，AC是正方形的对角线，∴BD=，
∵直线EF经过正方形的中心O，∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，∴，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，∴MH=BH=，AH=，
由勾股定理可得MA=，
∵AG≥AM-MG=，当A，M，G三点共线时，AG最小=，故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
13． (2023·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】在中，，易得，故点P在的外接圆的弧BC上，当时，AP有最小值，则DE的最小值是．
【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴是直角三角形，
∵D为AP的中点，∴DE=AP，∴当AP最小时，DE最小．
∵是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在的外接圆的上，
找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是，
∴当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=BC==3，
∴PF=FC·tan∠PFC=3×=，AF===3，
∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，∴DE的最小值=AP=×2=．故选：D
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．
14． (2023·江苏·徐州市三模）如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，则点在平行的线段上运动，当时，最小，
，则，在中，，，
，即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．
15． (2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
【答案】
【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长．
【详解】解：如图1，连接AG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F是AE的中点∴BF=AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，
如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG，∴OD=OG=2，
∴OC= ，∴CG的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键．
16． (2023·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
【答案】##
【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
【详解】解：令，则，解得，，
，，，，令，则，
，，，为中点，，
由沿折叠所得，，在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，
过点作，垂足为，，，，，
又，，故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
17． (2023·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图
由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，
∵点F为边的中点，∴CF=2，∴，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题．
18． (2023·湖北鄂州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点F是AC上一点，且AF∶FC＝2∶1，点E是边BC上一动点．将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）
A．1.2B．1C．D．3.2
【答案】A
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，证明△AFM∽△ABC，根据相似比的性质得到，求出FM，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．(点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小)
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC ，
∵AB=10，BC=8，∠C=90°，∴AC=6，
∵AF：FC=2：1，∴CF=2，AF=4，，解得：FM＝3.2，
∵将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，
∴PF＝CF＝2，∴PM＝FM-PF=1.2，
∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．
19． (2023·广东·湖景中学一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在正方形中利用勾股定理求出线段AC长即可．
【详解】连接AC，AF，由轴对称知，AF=AB=5，
∵正方形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=90°∴,
∵AF+CF≥AC，∴当点F运动到AC上时，CF=AC-AF，CF取得最小值，
最小值为，故选B
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
20． (2023·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，
即四边形面积的最小值=．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1． (2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例2． (2023·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
例3． (2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例4． (2023·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
例5． (2023·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
例6． (2023·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．
【模型解读】
模型2、运动轨迹为圆弧
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．
接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：
1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。
例1． (2023·四川乐山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
例2． (2023·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
例3． (2023·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
例4． (2023·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．
例5． (2023·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．
例6． (2023·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
例7． (2023·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
课后专项训练
1． (2023·安徽·合肥市三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
2． (2023·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
3． (2023·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
4． (2023·广东·乐昌市二模）如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．
5． (2023·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
6． (2023·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
7． (2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
8． (2023·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____，BQ的最小值为 _____．
9． (2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，，连接线段，则线段的最小值为____．
10． (2023·江苏连云港·二模）如图，在中，，，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为______米．
11． (2023·河南·二模）如图，正方形中，，，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
12． (2023·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13． (2023·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
14． (2023·江苏·徐州市三模）如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______．
15． (2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
16． (2023·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
17． (2023·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
18． (2023·湖北鄂州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点F是AC上一点，且AF∶FC＝2∶1，点E是边BC上一动点．将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）
A．1.2B．1C．D．3.2
19． (2023·广东·湖景中学一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
20． (2023·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
专题13 最值模型-瓜豆原理
动点轨迹问题是中考的重要题型，受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚，该压轴点往往成为学生在中考中的一个坎，致使该压轴点成为学生在中考中失分的集中点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就最值模型中的瓜豆原理（动点轨迹基本类型为直线型和圆弧型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型解读】
瓜豆原理：若两动点到某定点的距离比是定值，夹角是定角，则两动点的运动路径相同。
主动点叫瓜，从动点叫豆，瓜在直线上运动，豆也在直线_上运动；瓜在圆周上运动，豆的轨迹也是圆。
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”。
模型1、运动轨迹为直线
模型1-1如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
解析：当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
理由：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
模型1-2如图，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ为定值，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
解析：当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形。
理由：当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段。
【最值原理】动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。
1）当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值；
2）当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线；④若动点轨迹用上述方法都合适，则可以将所求线段转化为其他已知轨迹的线段求值。
例1． (2023·四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，，且，若，点是线段上的动点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据相似三角形的性质得到，得到，，过B作于H，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，当时，PQ的值最小，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：，，，解得：（负值舍去），
，，，，，
，，过B作于H，
，，
，，当时，PQ的值最小，
，，，，故选：A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
例2． (2023·四川广元·中考真题）如图，在中，，，点D是边的中点，点P是边上一个动点，连接，以为边在的下方作等边三角形，连接．则的最小值是（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，由题意易得∠PDC=∠QDE，PD=QD，进而可得△PCD≌△QED，则有∠PCD=∠QED=90°，然后可得点Q是在QE所在直线上运动，所以CQ的最小值为CQ⊥QE时，最后问题可求解．
【详解】解：以CD为边作等边三角形CDE，连接EQ，如图所示：
∵是等边三角形，∴，
∵∠CDQ是公共角，∴∠PDC=∠QDE，∴△PCD≌△QED（SAS），
∵，，点D是边的中点，
∴∠PCD=∠QED=90°，，∴点Q是在QE所在直线上运动，
∴当CQ⊥QE时，CQ取的最小值，∴，∴；故选B．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等边三角形的性质、含30°直角三角形的性质及最短路径问题是解题的关键．
例3． (2023·湖北·鄂州市三模）如图，在边长为的正方形中，是边的中点，是边上的一个动点不与重合，以线段为边在正方形内作等边，是边的中点，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接AM，在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，所以当AM⊥PM时，PM取得最小值，根据等边三角形的性质得到AM⊥EF，∠EAM=30°，求得∠PAM=60°，进而即可得到PM最小值．
【详解】解：∵P是边AD的中点，AD=6，∴AP=3，如图，连接AM，
∵等边，是边的中点，∴AM平分∠EAF，
∴在点运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，∴当AM⊥PM时，PM取得最小值，
∵是等边的边的中点，∴PM⊥AM， ∠EAM=30°，
∴∠PAM=60°，∴PM=AP=，故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，垂线段最短，等边三角形的性质，推出在点E运动过程中，点M在∠EAF的平分线上，是解题的关键．
例4． (2023·山东日照·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），P是x轴上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，连接OF，则线段OF长的最小值是__________．
【答案】2
【分析】点F运动所形成的图象是一条直线，当OF⊥F1F2时，垂线段OF最短，当点F1在x轴上时，由勾股定理得：，进而得，求得点F1的坐标为，当点F2在y轴上时，求得点F2的坐标为（0，-4），最后根据待定系数法，求得直线F1F2的解析式为y=x-4，再由线段中垂线性质得出，在Rt△OF1F2中，设点O到F1F2的距离为h，则根据面积法得，即，解得h=2，根据垂线段最短，即可得到线段OF的最小值为2．
【详解】解：∵将线段PA绕点P顺时针旋转60°得到线段PF，
∴∠APF=60°，PF=PA，∴△APF是等边三角形，∴AP=AF，
如图，当点F1在x轴上时，△P1AF1为等边三角形，则P1A=P1F1=AF1，∠AP1F1=60°，
∵AO⊥P1F1，∴P1O=F1O，∠AOP1=90°，∴∠P1AO=30°，且AO=4，
由勾股定理得：，∴，∴点F1的坐标为，
如图，当点F2在y轴上时，∵△P2AF2为等边三角形，AO⊥P2O，∴AO=F2O=4，∴点F2的坐标为（0，-4），
∵，∴∠OF1F2=60°，
∴点F运动所形成的图象是一条直线，∴当OF⊥F1F2时，线段OF最短，设直线F1F2的解析式为y=kx+b，
则，解得，∴直线F1F2的解析式为y=x-4，
∵AO=F2O=4，AO⊥P1F1，∴，在Rt△OF1F2中，OF⊥F1F2，
设点O到F1F2的距离为h，则，
∴，解得h=2，即线段OF的最小值为2，故答案为2．
【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的性质以及待定系数法的运用等，解决问题的关键是作辅助线构造等边三角形以及面积法求最短距离，解题时注意勾股定理、等边三角形三线合一以及方程思想的灵活运用．
例5． (2023·福建福州模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点逆时针旋转，得到点，连接，则最小值为______．
【答案】
【分析】设，作轴，作，作，根据可证明，由此可求，令，，可得在直线上运动，当时，的值最小，再由得，进而得出，即可得出答案．
【详解】设，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
∵，∴.
∵，∴.
∵，∴，∴，.
∵，∴，，∴，
令，，∴，
∴点在直线上运动，当时，的值最小.
在中，令，则，令，则，∴，，∴．
∵，∴，∴，
在中，令，则，∴，∴.
∵，即，解得，所以的最小值为.故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象及性质，旋转的性质，三角形全等的判定及性质，确定点的运动轨迹是解题的关键．
例6． (2023·河南南阳·二模）如图所示，，，于点B，点D是线段BC上一个动点，且于点D，，连接CE，则CE长的最小值是______．
【答案】3
【分析】在BC上截取，构造相似，可得出，过C点作CH⊥EQ可得出
即可求出CE的长
【详解】解：在BC上截取，则，中，，
∵，∴在中，，
∴∴，，∴，
∴，∴，∴的角度固定不变，∴CH为CE的最小值．
过C点作CH⊥EQ∴∠CHQ=∠ABQ=90°
∵∴∠CQH=∠QAB∴，
∵，∴，CE的最小值是3.
【点睛】本题主要考查相似的性质与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
【模型解读】
模型2、运动轨迹为圆弧
模型2-1. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．Q点轨迹是？
【分析】观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
【总结】确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，由Q为AP中点可得：AM=AO．Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
模型2-2. 如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP，Q点轨迹是？
【分析】Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．
接下来确定圆心与半径．考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
模型2-3. 如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
【模型原理】动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。
确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：
1）动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。
2）当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形。
例1． (2023·四川乐山·三模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝12，点D为线段BC上一动点．以CD为⊙O直径，作AD交⊙O于点E，则BE的最小值为（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】B
【分析】连接CE，可得∠CED＝∠CEA＝90°，从而知点E在以AC为直径的⊙Q上，继而知点Q、E、B共线时BE最小，根据勾股定理求得QB的长，即可得答案．
【详解】解：如图，连接CE，
∴∠CED＝∠CEA＝90°，∴点E在以AC为直径的⊙Q上，
∵AC＝10，∴QC＝QE＝5，当点Q、E、B共线时BE最小，
∵BC＝12，∴QB＝＝13，∴BE＝QB﹣QE＝8，故选：B．
【点睛】本题考查了圆周角定理和勾股定理，解决本题的关键是确定E点运动的规律，从而把问题转化为圆外一点到圆上一点的最短距离问题．
例2． (2023·山东威海·中考真题）如图，在正方形ABCD中，，E为边AB上一点，F为边BC上一点．连接DE和AF交于点G，连接BG．若，则BG的最小值为__________________．
【答案】．
【分析】根据SAS证明△DEA≌△AFB，得∠ADE=∠BAF，再证明∠DGA=90°，进一步可得点G在以AD为直径的半圆上，且O，G，B三点共线时BG取得最小值．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为：．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，三角形三边关系，圆周角定理等相关知识，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
例3． (2023·四川达州·中考真题）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为___________．
【答案】．
【分析】首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧．连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值．
【详解】如图所示，∵边长为6的等边，
∴，
又∵∴∴
∴∴
∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OA为半径的弧此时
连接CO交⊙O于，当点P运动到时，CP取到最小值
∵，，∴
∴，∴
又∵∴，
∴即故答案为：
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．关键是学会添加辅助线，该题综合性较强．
例4． (2023·广东·二模）如图，在中，AB是的直径，，AD，BC交于点E，点D为的中点，点G为平面内一动点，且，则AG的最小值为__________．
【答案】##
【分析】连接AC，以BE为直径作，先证明点G在上，连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，再求得BE＝AE＝，CE＝AE＝1，则MG＝MB＝ME＝BE＝1，得到CM＝CE＋ME＝2，由勾股定理得到AM，即可得到答案．
【详解】解：连接AC，以BE为直径作，
∵BG⊥EG，∴∠BGE＝90°，∴点G在上，
连接AM，当AM于交于点G时，此时AG最短，如图，
∵AD＝BC，∴，∵点D为的中点，∴，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD，∴AE＝BE，
∵AB为的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠BAD＋∠ABC＝90°，
∴∠CBD＝∠CBA＝∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴AC＝AB＝×2＝，∴BE＝AE＝，CE＝AE＝1，
∵MG＝MB＝ME＝BE＝1，∴CM＝CE＋ME＝2，
∴AM＝，∴AG＝AM－MG＝，
即AG的最小值为，故答案为：
【点睛】此题考查了圆周角定理、勾股定理、解直角三角形等知识，作辅助圆是解题的关键．
例5． (2023·山东·二模）如图，中，，，，点是上的点，将沿翻折，得到，过点作交的平分线于点，连接，则长度的最小值为______．
【答案】
【分析】先求出AC=，AB=，由平行线的性质和角平分线的性质可求AB=BF=，由勾股定理可求CF的长，由点A'在以点C为圆心，AC为半径的圆上，则当点A'在FC上时，A'F有最小值，即可求解．
【详解】解：如图，
，，，，
，，，
平分，，
，，，
，，
将沿翻折，得到，，
点在以点为圆心，为半径的圆上，则当点在上时，有最小值，
最小值为，故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，求出CF的长是本题的关键．
例6． (2023·广西贵港·三模）如图，在△ABC中，，，，点D在AC边上，且，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．根据勾股定理，相似三角形的判定定理和性质求出DM的长度，根据轴对称的性质求出QM的长度，根据点E的运动轨迹确定当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作，过点D作DM⊥AB于M，交于Q．
∵，，，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB，．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴，DC=AC-AD=1．
∴，DQ=DC=1．∴．∴．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．∴点E在上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为．故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，轴对称的性质，三角形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．
例7． (2023·四川成都市·中考真题）如图，在矩形中，，，，分别为，边的中点．动点从点出发沿向点运动，同时，动点从点出发沿向点运动，连接，过点作于点，连接．若点的速度是点的速度的2倍，在点从点运动至点的过程中，线段长度的最大值为_________，线段长度的最小值为_________．
【答案】
【分析】连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，由于，而PG=3，所以当GQ最大时PQ最大，由题意可得当P、A重合时GQ最大，据此即可求出PQ的最大值；设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，易证△FQM∽△EPM，则根据相似三角形的性质可得EM为定值2，于是BM的长度可得，由∠BHM=∠BEM=90°可得B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，于是当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，最小值为DO－OH，为此只需连接DO，求出DO的长即可，可过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，构建Rt△DON，利用勾股定理即可求出DO的长，进而可得答案．
【详解】解：连接EF，则EF⊥AB，过点P作PG⊥CD于点G，如图1，则PE=GF，PG=AD=3，
设FQ=t，则GF=PE=2t，GQ=3t，
在Rt△PGQ中，由勾股定理得：，
∴当t最大即EP最大时，PQ最大，
由题意知：当点P、A重合时，EP最大，此时EP=2，则t=1，∴PQ的最大值=；
设EF与PQ交于点M，连接BM，取BM的中点O，连接HO，如图2，
∵FQ∥PE，∴△FQM∽△EPM，∴，
∵EF=3，∴FM=1，ME=2，∴，
∵∠BHM=∠BEM=90°，∴B、E、H、M四点共圆，且圆心为点O，∴，
∴当D、H、O三点共线时，DH的长度最小，
连接DO，过点O作ON⊥CD于点N，作OK⊥BC于点K，如图3，则OK=BK=1，
∴NO=2，CN=1，∴DN=3，则在Rt△DON中，，
∴DH的最小值=DO－OH=．故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、四点共圆以及线段的最值等知识，涉及的知识点多、综合性强、具有相当的难度，属于中考压轴题，正确添加辅助线、熟练掌握上述知识是解题的关键．
课后专项训练
1． (2023·安徽·合肥市三模）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将△BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G．根据菱形的性质可得点F在∠ABC的平分线上运动，从而得到当AF⊥BF时，AF的长最小．再证明△BEO∽△BAF，可得，再证明△AGE∽△ACB，，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G．
∵四边形BEFD是菱形，∴BF平分∠ABC，
∴点F在∠ABC的平分线上运动，∴当AF⊥BF时，AF的长最小．
在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，∴△BEO∽△BAF，
∴，∴，
在中，AC=4，BC=3，∴AB=5，∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，∴EF=2.5，∵EF∥BC，∴△AGE∽△ACB，
∴，
∴，∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，∴．故选：A
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在∠ABC的平分线上运动是解题的关键．
2． (2023·贵州毕节·中考真题）如图，在中，，点P为边上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则长度的最小值为_________．
【答案】##2.4
【分析】利用勾股定理得到BC边的长度，根据平行四边形的性质，得知OP最短即为PQ最短，利用垂线段最短得到点P的位置，再证明利用对应线段的比得到的长度，继而得到PQ的长度．
【详解】解：∵，∴，
∵四边形APCQ是平行四边形，∴PO＝QO，CO＝AO，
∵PQ最短也就是PO最短，∴过O作BC的垂线，
∵,∴,
∴，∴，∴，∴则PQ的最小值为，故答案为：．
【点睛】考查线段的最小值问题，结合了平行四边形性质和相似三角形求线段长度，本题的关键是利用垂线段最短求解，学生要掌握转换线段的方法才能解出本题．
3． (2023·广东·东莞二模）如图，已知等腰三角形PAB，∠BAP＝45°，AB＝AP，将三角形放在平面直角坐标系中，若点A（，0），点B在y轴正半轴上，则OP的最小值是 _____．
【答案】##
【分析】把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为C，直线CP交x轴于点D，证得△ACD为等腰直角三角形，可得点P的运动轨迹在直线CP上，当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，然后利用等腰直角三角形的性质和勾股定理即可解决问题．
【详解】解：如图，把△AOB绕点A顺时针旋转，使AB与线段AP重合，点O的对应点为点C，直线CP交x轴于点D，
则△AOB≌△ACP，∴∠BAO=∠PAC，∠C=∠AOB=90°，AC= AO=3，
∵∠BAP=45°，即∠BAO+∠PAO=45°，∴∠PAC +∠PAO=45°，即∠CAO=45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，∴点P的运动轨迹在直线CP上，
∴当OP⊥CP时，OP最短，当OP⊥CP时，△OPD为等腰直角三角形，
∵△ACD为等腰直角三角形，AC=3，∴AD=AC=6，
∴OD=6-3，∴OP=3-3．即OP最小值为3-3．故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，坐标与图形性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解决本题的关键是得到△ACD和△OPD为等腰直角三角形．
4． (2023·广东·乐昌市二模）如图，△ABC中，，，，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且，若点M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为_________．
【答案】
【分析】根据三角形斜边中线的性质求得，，由当C、M、N在同一直线上时，MN取最小值，即可求得MN的最小值．
【详解】解：如图，连接CM、CN，
中，，，，∴．
∵，点M，N分别是DE，AB的中点，∴，．
当C，M，N三点在同一条直线上时，MN取最小值，
∴MN的最小值为 故答案为：
【点睛】本题考查了三角形三边关系，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理的应用等，明确C、M、N在同一直线上时，MN取最小值是解题的关键．
5． (2023·江苏宿迁·三模）如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为__________________．
【答案】
【分析】以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，由Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，可得∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°，于是∠ACD＝∠E1CE，因此△ACD∽△E1CE，所以∠CAD＝∠CE1E＝30°，所以E在直线E1E上运动，当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
【详解】解：如图，以AC为斜边在AC右侧作等腰直角三角形AE1C，边E1C与AB 交于点G，连接E1E延长与AB交于点F，作BE2⊥E1F于点E2，连接CF，
∵Rt△DCE与Rt△AE1C为等腰直角三角形，
∴∠DCE＝∠CDE＝∠ACE1＝∠CAE1＝45°∴∠ACD＝∠E1CE
∵，∴△ACD∽△E1CE，∴∠CAD＝∠CE1E＝30°，
∵D为AB上的动点，∴E在直线E1E上运动，
当BE2⊥E1F时，BE最短，即为BE2的长．
在△AGC与△E1GF中，∠AGC＝∠E1GF，∠CAG＝∠GE1F，
∴∠GFE1＝∠ACG＝45°∴∠BFE2＝45°，
∵∠CAD＝∠CE1E＝30°，∴点A，点C，点F，点E1四点共圆，
∴∠AE1C＝∠AFC＝90°，且∠ABC＝60°，BC＝2，∴BF＝1，
∵BF＝BE2，∴BE2＝，故答案为：．
【点睛】本题旋转的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握含30°角和45°角的直角三角形的性质是解题的关键．
6． (2023·广东·珠海市三模）如图正方形的边长为3，E是上一点且，F是线段上的动点．连接，将线段绕点C逆时针旋转 90°得到，连接，则的最小值是_____．
【答案】
【分析】如图，连接BG．由△CBG≌△CDF，推出∠CBG＝∠CDF，因为∠CDF是定值，推出点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短．
【详解】解：如图，作射线BG．
∵四边形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，
∵∠FCG＝∠DCB＝90°，∴∠BCG+∠BCF=90°，∠DCF+∠BCF=90°，∴∠BCG＝∠DCF，
在△CBG和△CDF中，∴△CBG≌△CDF，∴∠CBG＝∠CDF，
∵∠CDF是定值，∴点G在射线BG上运动，且tan∠CBG＝tan∠CDF＝＝，
根据垂线段最短可知，当EG⊥BG时，EG的长最短，
此时tan∠EBG＝＝，设EG＝m，则BG＝3m，
在Rt△BEG中，∵BE2＝BG2+EG2，∴4＝m2+9m2，
∴m＝（负根已经舍弃），∴EG的最小值为，故答案为．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短是解答本题的关键．
7． (2023·陕西师大附中三模）如图，正方形中，，点E为边上一动点，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】上截取，过点作交的延长线于点，证明，是等腰直角三角形，进而根据垂线段最短即可求解．
【详解】如图，上截取，过点作交的延长线于点，
正方形中，，将点A绕点E顺时针旋转得到点F，
是等腰直角三角形,
在射线上运动，则是等腰直角三角形，
与点重合时，取得最小值，等于
即的最小值为故答案为：
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质，垂线段最短，求得的轨迹是解题的关键．
8． (2023·浙江绍兴·二模）如图，在△ABC中，AB＝5，BC=3，AC＝4，点P从A点出发沿AB运动到B点，以CP为斜边作如图的等腰直角三角形PQC，∠PQC＝90°，则Rt△PQC的外心运动的路径长为 _____，BQ的最小值为 _____．
【答案】 ；
【分析】根据直角三角形的外心就是斜边的中点，可得外心的运动路径就是以AC、BC的中点为端点的线段；利用特殊位置，斜边为AC、BC的情形，确定点Q的运用路径是线段，利用垂线段最短，作出垂线段，利用三角形相似计算即可．
【详解】 AB＝5，BC=3，AC＝4，
，，，
Rt△PQC的外心就是斜边的中点，设AC、BC的中点分别是M、N，
外心的运动轨迹就是线段MN，即三角形ABC的中位线，，
当点P与点A重合时，即点，此时以CA为斜边作如图的等腰直角三角形AQ1C，当点P与点B重合时，即点，此时以CB为斜边作如图的等腰直角三角形BQ2C，为点Q的运动轨迹，
BQ的最小值为点B到的垂线段的长度，过点B作，垂足为E，
三角形AQ1C，三角形BQ2C均为等腰直角三角形，AC=4，BC=3，
，
，，
，，，
，即，解得，故答案为：；．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外心，三角形相似的判定和性质，垂线段最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，明确垂线段最短是解题的关键．
9． (2023·江苏盐城·三模）如图，A、 B两点的坐标分别为（-3，0）、（-1，0），点C为y轴上一动点，以AC为边向下作Rt，使得，，连接线段，则线段的最小值为____．
【答案】##
【分析】连接，作于，当点运动到点时，则点运动到，求得，为动点的运动轨迹，当运动到时，最小，据为角所对的直角边，为斜边即可求得答案．
【详解】解：由题意得，连接，作于，如图所示：
、
当点运动到点时，则点运动到，，，
由题意可得：直线为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值，
，故答案为．
【点睛】本题考查了计算线段最值的问题，根据题意，找准为动点的运动轨迹，当运动到时，有最小值是解题的关键．
10． (2023·江苏连云港·二模）如图，在中，，，D是斜边AC的中点，E，F分别是AB，BC上的动点，且，连接EF，G为EF的中点，则点E，F在运动过程中，DG的最小值为______米．
【答案】2
【分析】根据等腰直角三角形的斜边中线性质得出∠A=∠C=45°，∠ABD=∠CBD=45°，AC=8， AD=BD，BD⊥AC，进而证得△ADE≌△BDF (SAS) ，得到DE=DF， ∠ADE=∠BDF，∠EDF=90°，从而证得点G在BD的垂直平分线上，证得点E，F运动过程中，点G经过的路线是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理求得结果．
【详解】解：在中，，，∴∠A=∠C=45°，
如图，连接BD、BG，
∵，D是斜边AC的中点，∴∠ABD=∠CBD=45°，AC=8， AD = BD，BD⊥AC，
在△ADE和△BDF中，，∴△ADE≌△BDF (SAS) ，∴DE = DF， ∠ADE=∠BDF，
∴，
∵G为EF的中点，∴，∴点G在BD的垂直平分线上，
∴在点E、F运动过程中，点G经过的路线是的中位线，如图，
∴DG的最小值为DG=BG=BD=2．故答案为：2．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判断和性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．
11． (2023·河南·二模）如图，正方形中，，，点坐标为，连接，点为边上一个动点，连接，过点作于点，连接，当取最小值时，点的纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】取CD的中点为O1，连接EO1，所以点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，证明当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，，再证明，利用相似性质及已知条件求解即可．
【详解】解：∵，∴，
取CD的中点为O1，连接EO1，则，∴点E的运动轨迹在以点O1为圆心，EO1为半径的圆上，
∵点为边上一个动点，∴E从O运动到C（逆时针），
∴当O1、E、A三点共线时，AE最小，作，，
∵，，点坐标为且OABC为正方形，∴，
∵O1为CD中点，∴，，，∴，
∵，∴，∵，，
∴，∴，即，解得：．故选：B
【点睛】本题考查动点问题，勾股定理，相似三角形的判定及性质，解题的关键是找出当O1、E、A三点共线时，AE最小．
12． (2023·山东临沂·二模）如图，正方形ABCD的边长为，直线EF经过正方形的中心O，并能绕着O转动，分别交AB、CD边于E、F点，过点B作直线EF的垂线BG，垂足为点G，连接AG，则AG长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设正方形的中心为O，可证EF经过O点．连接OB，取OB中点M，连接MA，MG，则MA，MG为定长，利用两点之间线段最短解决问题即可．
【详解】解：设正方形的中心为O，
连接OB，取OB中点M，连接 MA，MG，则MA，MG为定长，过点M作MH⊥AB于H．
∵正方形ABCD的边长为，AC是正方形的对角线，∴BD=，
∵直线EF经过正方形的中心O，∴OB=OD=2，
∵M是OB中点，∴OM=BM=1，∵EF⊥BG，∴，
∵Rt△BHM是等腰直角三角形，∴MH=BH=，AH=，
由勾股定理可得MA=，
∵AG≥AM-MG=，当A，M，G三点共线时，AG最小=，故选：D．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是求出AM，MG的值．
13． (2023·安徽·三模）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】D
【分析】在中，，易得，故点P在的外接圆的弧BC上，当时，AP有最小值，则DE的最小值是．
【详解】解：如图所示，∵PE⊥AC，∴是直角三角形，
∵D为AP的中点，∴DE=AP，∴当AP最小时，DE最小．
∵是等边三角形，∴∠1+∠PBC=60º，
∵∠1=∠2，∴∠2+∠PBC=60º，∴∠BPC=180º-(∠2+PBC)=120º，
∴点P在的外接圆的上，
找出的外心点O并作出其外接圆，点P的运动轨迹就是，
∴当时，AP有最小值，延长AP与BC交于点F，
此时∠PFC=90º，∠PBC=∠PCB=30º，FC=BC==3，
∴PF=FC·tan∠PFC=3×=，AF===3，
∴AP的最小值=AF-PF=3-=2，∴DE的最小值=AP=×2=．故选：D
【点睛】此题考查了等边三角形的性质、三角形外接圆的性质、解直角三角形、勾股定理等知识；解题的关键是正确作出辅助线灵活运用知识解题．
14． (2023·江苏·徐州市三模）如图，中，，，为边上的一动点，以、为边作，则线段的最小值为______．
【答案】
【分析】根据平行四边形的性质可知点在平行的线段上运动，当时，最小，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，则点在平行的线段上运动，当时，最小，
，则，在中，，，
，即最小值为．故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，确定点的轨迹是解题的关键．
15． (2023·广东·深圳市二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，E为边BC上一动点，F为AE中点，G为DE上一点，BF＝FG，则CG的最小值为______．
【答案】
【分析】如图1，连接AG，先证明AF=FG=EF，则∠AGE=∠AGD=90°；再根据圆周角定理可可得点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，当O、G、C三点共线时，CG的值最小；连接OG，由圆的性质可得OD=OG=2,再用勾股定理求得OC的长，即可求得CG的长．
【详解】解：如图1，连接AG，
∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，DC=AB=3，
∵F是AE的中点∴BF=AE=AF=EF，∵BF=FG，∴AF=FG=EF，∴∠AGE=∠AGD=90°，
∴点G在以AD为直径的圆上运动，取AD的中点O，
如图2：当O，G，C三点共线时，CG的值最小，连接OG，∴OD=OG=2，
∴OC= ，∴CG的最小值为，故答案为：．
【点睛】本题主要考查旋转的性质、矩形的性质、圆周角定理、线段的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造动点G的轨迹成为解答本题的关键．
16． (2023·广东·测试·编辑教研五一模）如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
【答案】##
【分析】先根据抛物线解析式求出点A，B，坐标，从而得出，，，再根据勾股定理求出的长度，然后根据翻折的性质得出在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当，，在同一直线上时，最小；过点作，垂足为，由中位线定理得出，的长，然后由勾股定理求出，从而得出结论．
【详解】解：令，则，解得，，
，，，，令，则，
，，，为中点，，
由沿折叠所得，，在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，
过点作，垂足为，，，，，
又，，故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，翻折变换、勾股定理以及求线段最小值等知识，关键是根据抛物线的性质求出，，的坐标．
17． (2023·河南洛阳·二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接．将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案．
【详解】解：连接BF，则EF≥BF－BE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图
由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，
∵点F为边的中点，∴CF=2，∴，∴；故选：B．
【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，正确找出线段最小值的临界点，从而进行解题．
18． (2023·湖北鄂州·二模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，点F是AC上一点，且AF∶FC＝2∶1，点E是边BC上一动点．将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB的距离的最小值是（ ）
A．1.2B．1C．D．3.2
【答案】A
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小，证明△AFM∽△ABC，根据相似比的性质得到，求出FM，即可解决问题．
【详解】解：如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．(点P在以F为圆心CF为半径的圆上，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小)
∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC ，
∵AB=10，BC=8，∠C=90°，∴AC=6，
∵AF：FC=2：1，∴CF=2，AF=4，，解得：FM＝3.2，
∵将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，
∴PF＝CF＝2，∴PM＝FM-PF=1.2，
∴点P到边AB距离的最小值是1.2．故选：A．
【点睛】本题考查翻折变换、最短问题、相似三角形的判定和性质、勾股定理．垂线段最短等知识，解题的关键是正确找到点P位置．
19． (2023·广东·湖景中学一模）如图，在正方形ABCD中，已知边长，点E是BC边上一动点（点E不与B、C重合），连接AE，作点B关于直线AE的对称点F，则线段CF的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】B
【分析】根据对称性得到动点M的轨迹是在以A圆心，5为半径的圆上，根据点圆模型，在正方形中利用勾股定理求出线段AC长即可．
【详解】连接AC，AF，由轴对称知，AF=AB=5，
∵正方形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=90°∴,
∵AF+CF≥AC，∴当点F运动到AC上时，CF=AC-AF，CF取得最小值，
最小值为，故选B
【点睛】本题考查动点最值问题，解题过程涉及到对称性质、圆的性质、正方形性质、勾股定理等知识点，解决问题的关键是准确根据题意得出动点轨迹．
20． (2023·全国·九年级课时练习）如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为______．
【答案】38
【分析】首先连接AC，过B作BH⊥AC于H，当G在BH上时，三角形ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，再连接BG，知BG=2，得到G点轨迹圆，该轨迹与BH交点即为所求最小值时的G点，利用面积法求出BH、GH的长，代入三角形面积公式求解即可．
【详解】解：连接，过作于，
当G在BH上时，△ACG面积取最小值，此时四边形AGCD面积取最小值，
四边形AGCD面积=三角形ACG面积+三角形ACD面积，
即四边形AGCD面积=三角形ACG面积+24．
连接BG，由G是EF中点，EF=4知，BG=2，
故G在以为圆心，为半径的圆弧上，圆弧交于，此时四边形AGCD面积取最小值，如图所示，
由勾股定理得：AC=10，
∵AC·BH=AB·BC，∴BH=4.8，∴，
即四边形面积的最小值=．故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹．
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