重庆市忠县中学校2023-2024学年高二上学期1月月考数学试卷(含答案)

这是一份重庆市忠县中学校2023-2024学年高二上学期1月月考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表，现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测，若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( )
A.7B.6C.5D.4
2．按从小到大顺序排列的一组数据为: 26,30,35,36,38,42,m,47,50,52, 若这组数据的第65百分位数比第40百分位数多8则( )
A.43B.44C.45D.46
3．已知等差数列, 其前n项和为,,则( )
A.24B.36C.48D.64
4．已知A,B,C为随机事件, A与B互斥, B与C互为对立, 且,, 则( )
A.0.2B.0.5C.0.6D.0.9
5．已知抛物线, 过点且垂直于x轴的直线l交抛物线C于A,B两点, O为坐标原点, 若的面积为9 ,则( )
A.B.2C.D.3
6．数列的前n项和为, 若, 且是等比数列, 则( )
A.0B.3C.4D.6
7．疫情期间，甲、乙、丙三人均来自高风险地区，需要进行核酸检测，假设每个人的检测结果是否为阳性相互独立, 若甲和乙都不是阳性的概率为, 甲和丙都不是阳性的概率为, 乙和丙都不是阳性的概率为, 则甲、乙、丙三人中最多有 2 人是阳性的概率为( )
A.B.C.D.
8．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆的焦点为, 过F作直线l交椭圆于A,B两点, 若弦是圆的一条直径,则椭圆的面积为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．为了比较甲、乙两地某月14时的气温情况，随机抽取了该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位：℃)列表如下：
以下结论正确的是( )
①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；
②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；
③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；
④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．
A.①B.②C.③D.④
10．在春节来临之际，某商家为了吸引顾客举办了抽奖送礼物的活动，商家准备了两个方案.方案一：A盒中有 6 个大小和质地相同的球，其中2个红球和4个黄球，顾客从A盒中不放回地随机抽取两次，每次抽取一个球，顾客抽到的红球个数等于可获得礼物的数量；方案二：顾客投掷一枚质地均匀的骰子两次，两次投掷中向上点数为3的倍数出现的次数等于可获得礼物的数量．每位顾客可以随机选择一种方案参加活动，则下列判断正确的是( )
A.方案一中顾客获得一个礼物的概率是
B.方案二中顾客获得一个礼物的概率是
C.方案一中顾客获得礼物的机会小于方案二中顾客获得礼物的机会
D.方案二中“第一次向上点数是1”和“两次向上点数之和为 7”相互独立
11．对于数列, 若,, 则下列说法正确的是( )
A.B.数列是等差数列
C.数列是等差数列D.
12．已知椭圆的右焦点为, 过点F作不与坐标轴垂直的直线l与椭圆C交于P,Q两点, 点M,N在x轴上, 其中 (O为坐标原点),, 点A为直线,的交点, 当点P为椭圆C的上顶点时, 直线l与直线垂直, 则下列说法正确的是( )
A.椭圆C的长轴长为
B.若点, 则的最大值为
C.点A的横坐标为3
D.当的面积取得最大值时, 直线l的斜率为
三、填空题
13．在用随机数（整数）模拟“有 5 个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数, 并且代表男生, 用代表女生．因为是选出 4 个，所以每 4 个随机数作为一组．通过模拟试验产生了 20 组随机数（如下表所示）. 由此估计“选出2个男生 2 个女生”的概率为____________．
14．已知数列为等比数列,,公比. 若是数列前n项积, 则取得最大值时, ___________.
15．已知,分别是双曲线的左、右焦点, 过的直线l与双曲线的右支交于第一象限内的一点P, 若为的重心, 则该双曲线的离心率为____________.
16．已知数列,对任意正整数k,,成等差数列, 公差为,则___________.
四、解答题
17．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的测试成绩，整理数据并按分数段,,,,,进行分组. 已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，则得到体育成绩的折线图如下：
(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良好”，已知该校高一年级有1000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良好”的人数；
(2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩为a,b,c,且,,,当三人的体育成绩方差最小时,写出a,b,c的所有可能
18．已知是各项均为正数的等比数列,,且,,成等差数列.
(1)求的通项公式;
(2)设, 求数列的前n项和.
19．已知动圆M过定点, 且与直线相切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点, 直线和的斜率分别为,, 且, 证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
20．如图, 在四棱锥 中,, , ,点E,F分别为,的中点.
(1)证明:平面;
(2)若, 且, 面面, 求二面角的余弦值.
21．某公司2022年投资4千万元用于新产品的研发与生产，计划从2023年起，在今后的若干年内，每年继续投资1千万元用于新产品的维护与生产，2022年新产品带来的收入为0.5千万元，并预测在相当长的年份里新产品带来的收入均在上年度收入的基础上增长25% .记2022年为第 1 年，为第 1 年至此后第年的累计利润(注:含第n年, 累计利润=累计收入-累计投入, 单位:千万元), 且当为正值时,认为新产品赢利. (参考数据,,,)
(1)试求的表达式;
(2)根据预测,该新产品将从哪一年开始并持续赢利? 请说明理由.
22．已知栯圆过点, 且离心率为.
(1)求椭圆C方程;
(2)点A,B分别为椭圆C的上下顶点, 过点且斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点M,N,探究直线,的交点是否在一条定直线上, 若存在,求出该直线的方程; 若不存在, 请说明理由.
参考答案
1．答案：B
解析：由条件可知抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和,
故选：B.
2．答案：C
解析：由, 得第40百分位数是第4个数据和第5个数据的平均值,为,
又由, 得第65百分位数是第7个数据, 为m,
因为这组数据的第65百分位数比第40百分位数多8,
可得.
故选：C.
3．答案：B
解析：因为数列为等差数列, 且,
由等差数列的性质, 可得,所以,
又由，
故选：B.
4．答案：B
解析：因为事件B与事件C互为对立, 所以,
因为事件A与事件B互斥,
则.
故选：B.
5．答案：A
解析：将代入,得,
由对称性不妨设A在x轴上方, 所以点，,
所以，,
因为,解得.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为, 故,
因为为等比数列, 故，即,
故, 此时即，
即为等比数列.
故选：D.
7．答案：A
解析：记甲、乙、丙三人核酸检测结果是阳性分别为事件A,B,C,
则
所以, 所以,,,
所以，，,
所以男、乙、丙三人核酸检测结果都是阳性的概率为,
所以最多有2人是阳性的概率为.
故选：A.
8．答案：C
解析：弦是圆的一条直径,
中点坐标为,又直线l过点,
,设，,
得,
即,
又, , ,
, 又,
，,
，,
椭圆的面积.
故选：C.
9．答案：AD
解析：法一:因为,,
所以, 又,,
所以，故可判断结论①④正确.
法二：甲地该月14时的气温数据分布在26和31之间，且数据波动较大，而乙地该月14时的气温数据分布在28和32之间，且数据波动较小，可以判断结论①④正确，
故选：AD.
10．答案：ABD
解析：A:方案一中顾客获得一个礼物的概率是, 故A正确;
B:方案二中顾客获得一个礼物的概率是, 故B正确;
C:记方案一中顾客获得礼物的概率为,
记方案二中顾客获得礼物的概率为，, 故C错误;
D:记方案二中 “第一次向上点数是1”为事件E, 两次向上点数之和为7为事件F,
, , ,,
所以方案二中“第一次向上点数是 1”和“两次向上点数之和为 7”相互独立,故D正确.
故选：ABD.
11．答案：AC
解析：由，, 得，, 故A正确;
又,,两式相减得,
令，, 可得, 所以是等差数列, C正确;
通过，只能得到偶数项的值,对于奇数项, 无法确定,所以无法确定是不是等差数列，故B错误;
同理, 令，, 则,
所以是以为首项, 公差为4的等差数列, 所以,故D错误.
故选：AC.
12．答案：AC
解析：对于A,当点P为椭圆C的上顶点时, 点P的坐标为,
,直线l即直线的斜率,
直线l与直线垂直,,解得,
长轴长, 故选项A正确;
对于B，记椭圆C的左焦点为, 则, ,
如图, ,
当且仅当P,B,三点共线时, 取等号, 故选项B错误;
对于C,易知直线l斜率不为0,
设直线,由, 消去x,
整理得,
设,, 则,,由已知,,,
直线的方程为, 直线的方程为,
由得,
其中,
, 故选项C正确;
对于D,,
,,
,
令, 则,
,
当且仅当, 即时取等号,
当直线l的方程为, 即直线l的斜率为时,的面积取得最大值,故选项D错误.
13．答案：
解析：在20组数中, 6830,7840,7834,5346,0952,5734,4725,5924,6051,9138满足要求,
共10个,由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为.
故答案为:.
14．答案：7
解析：因为数列为等比数列,,公比,
所以,所以,
当时,最大,
即
解得:,所以当时,最大.
15．答案：
解析：设，，,
则由重心坐标公式可得解得，
点P的坐标为,点P在曲线C上, ,，
, , , ,
, ,
解得或(舍),
.
16．答案：5001
解析：因为,对任意正整数k,,,成等差数列,公差为,
所以
当时,
,
当,时,
,
所以当时,.
17．答案：(1)750人
(2)77.25
(3)，，,或，，
解析：(1)由图可知，抽取的40人中，“体育良好”的有30人，所以估计该校高一年级“体育良好”的人数为人;
(2),
估计该校高一年级学生达标测 试的平均分为77.25;
(3)当数据a,b,c的方差最小时,，，,或，，.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设的公比为q, 由的各项均为正数, 可得,
因为，，成等差数列, 所以,
又因为, 可得,
化简得, 解得或（舍去),
故的通项公式为;
(2)由(1)知,
设的前n项和为,
则.
19．答案：(1)
(2)方程为过定点
解析：(1)设M为动圆圆心,记为F, 过点M作直线的垂线, 垂足为N,
由题意知:即动点M到定点F与定直线的距离相等,
由抛物线的定义知, 点M的轨迹为抛物线, 其中为焦点,为准线,
所以轨迹方程为;
(2)如图（略）, 设，,由题意得，,
由题意知直线AB的斜率存在, 从而设AB方程为,
显然，,将与联立消去x, 得,
由韦达定理知,
由, 即,,
将①式代入上式整理化简可得:, ,
所以方程为过定点.
20．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明: 连接, 交于H, 连接,
点E为的中点, ,
, , ,
, , 即点H为的中点,
又F为的中点,,
面,面,面;
(2)取的中点O, 连，,
,,
面面, 面面,
面,
,
,,
,
以OA,OB,OP所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设, 则，，，，,
,,
面,
面的一个法向量为,
设面的法向量为,
则, 即, 令, 则，,
,，
由图可知,二面角为钝角, 故二面角的余弦值为.
21．答案：(1)
(2)该新产品将从第9年开始并持续赢利, 所以该新产品将从203 年开始并持续赢利
解析：(1)由题意知, 第1年至此后第年的累计投入为(千万元),
设第n年的收入为, 前n年的累计收入为,
由题意得,,
所以数列是以为首项、以为公比的一个等比数列, 则有(千万元),
(千万元),
所以, 即(千万元),
所以的表达式为;
(2)因为,
所以当时,,即单调递减,
当时, , 即单调递增,
又, ,,
所以该新产品将从第9年开始并持续赢利, 所以该新产品将从203 年开始并持续赢利.
22．答案：(1)
(2)直线,的交点在定直线上
解析：(1)因为椭圆的离心率为, 即,
所以,所以,
又因为椭圆过点,
所以, 解得:,,
所以椭圆C方程为;
(2)因为,,
设,,直线的方程为:,
联立方程, 得,
, 得,
则, ,
直线的方程为:, 直线的方程为:,
联立两直线方程消元:,
法1:由解得:,,
代入化简, , 解得:,
即直线,的交点在定直线上.
法2:由韦达定理得代入
化简, 得,
即直线,的交点在定直线上.
法 3: 由,,
得代入化简, 得,
即直线,的交点在定直线上.
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种树
40
10
30
20
甲
26
28
31
29
31
乙
28
30
29
31
32
6830
3215
7056
6431
7840
4523
7834
2604
53464
0952
6837
9816
5734
4725
6578
5924
9768
6051
9138
6754