2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验中学九年级（上）入学数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验中学九年级（上）入学数学试卷(含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. (−3a2)3=−9a6B. a2+4a2=5a4
C. (2x−y)2=4x2−y2D. (−a)2⋅a3=a5
3.不等式x−1>2的解集在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
4.方程x2=x的解为( )
A. x=−1或x=0B. x=0C. x=1D. x=1或x=0
5.若一个正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形的边数是( )
A. 10B. 9C. 8D. 6
6.若分式x2−9x−3的值为零，则x的取值为( )
A. x=−3B. x≠−3C. x=3D. x≠3
7.矩形，菱形，正方形都具有的性质是( )
A. 每一条对角线平分一组对角B. 对角线相等
C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
8.七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块，正好制成一副七巧板(如图②).已知AB=40cm，则图中阴影部分的面积为( )
A. 25cm2B. 1003cm2C. 50cm2D. 75cm2
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.因式分解：x3−x=______．
10.函数y= x+3x中自变量x的取值范围是______
11.如图，一次函数y=kx+b与正比例函数y=−2x交于B(m,2)，则关于x的不等式kx+b≥−2x的解集为______．
12.如图，在△ABC中，∠BAC>90°，分别以点A，B为圆心，以大于12AB长为半径画弧，两弧交于点D，E.作直线DE，交BC于点M.分别以点A，C为圆心，以大于12AC长为半径画弧，两弧交于点F，G.作直线FG，交BC于点N.连接AM，AN.若∠BAC=105°，则∠MAN=______．
13.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是______．
14.若a=2b+1，则a2−4ab+4b2+2023的值为______．
15.对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2−ab，例如，5※3=52−5×3=10.若(x+1)※(x−2)=6，则x的值为______．
16.若关于x的一元一次不等式组的解集x−14(4a−2)≤123x−1217.如图，线段AB的长为10，点D在AB上(不与端点重合)，以AD为边向上作等边△ADC，过D作与CD垂直的射线DP，点G是DP上一动点(不与点D重合)，以DC、DG为边作矩形CDGH，对角线CG与DH交于点O，连接OB，则线段BO的最小值为______．
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A(−1,0)，B(1,0)，C(1,2).点P到△ABC的距离定义如下：点Q为△ABC三边上的动点，当PQ最小时，我们称此时PQ的长度为点P到△ABC的距离，记为d(P,△ABC).已知矩形DEFG的四个顶点依次是D(−2,3)，E(−2,−2)，F(2,−2)，G(2,3)，若点P在矩形DEFG的四条边上，则满足d(P,△ABC)= 2的点P有______个.
三、解答题（本题共8小题，共78分）
19.(1)解方程：(2x+3)2=(3x−2)2；
(2)解方程：x−2x+2=x+2x−2+16x2−4；
(3)解不等式组：2(x+2)−x≤54x+13>x−1，并把不等式组的解集表示在数轴上；
(4)先化简，再求值：a+1a2−2a+1÷(2+3−aa−1)，其中a=2．
20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立如图所示的直角坐标系xOy，△ABC在第二象限内，且顶点A、B、C均在格点上．
(1)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
(2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
(3)若P是y轴上一点，使得PB1+PB2最小，则点P的坐标是______；A到BC的距离是______．
21.如图，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，F为斜边AB的中点，D为边AC上一点(不与A，C重合)，连接DF，过B作BE⊥BC交DF的延长线于E，连接AE，BD．
(1)求证：四边形ADBE为平行四边形；
(2)若AD=11，AB=20，BD=13，求平行四边形ADBE的面积．
22.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．
23.综合与实践：
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠为主题开展数学活动.在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE，CF，分别将△BCE和△CDF沿CE，CF翻折，D，B的对应点分别为G，H，且C，H，G三点共线．
观察发现：(1)如图1，若F为AD边的中点，AB=BC=10，点G与点H重合，则∠ECF= ______°，AE= ______；
问题探究：(2)如图2，若∠DCF=22.5°，AB=2 2+2，BC=2+ 2，求AE的长；
拓展延伸：(3)AB=15，AD=9，若F为AD的三等分点，请求出AE的长．
24.为了迎接“十⋅一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价−进价)不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a(5025.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线y=kx+b与y轴交于点C(0,−2)．
(1)求直线y=kx+b的函数表达式；
(2)如图1，点P为直线AC上一动点，若△PAB的面积为18，求点P的坐标；
(3)如图2，将△AOB沿着x轴向右平移得到△A′O′B′，在坐标平面内是否存在点M，使得以A′、B′、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26.如图1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°，得到AE，连接CE，DE，点M是DE的中点．
(1)若AB=1，求四边形ADCE的面积；
(2)在(1)的条件下，求当点D从点B运动至点C的过程中，点M运动的路径长；
(3)如图2，连接CM并延长交射线BA于点F，设BDDC=x，AFFB=y，求y与x之间的函数关系式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
B.不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A.(−3a2)3=−27a6，故此选项不合题意；
B.a2+4a2=5a2，故此选项不合题意；
C.(2x−y)2=4x2−4xy+y2，故此选项不合题意；
D.(−a)2⋅a3=a5，故此选项符合题意；
故选：D．
直接利用积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式分别判断得出答案．
此题主要考查了积的乘方运算法则、合并同类项、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
3.【答案】A
【解析】解：x−1>2，
解得x>3，
在数轴上表示为：
故选：A．
先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可
此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程．
【解答】
解：x2=x，
∴x2−x=0，
∴x(x−1)=0，
∴x=0或x−1=0，
∴x1=0，x2=1．
故选D．
5.【答案】C
【解析】解：∵多边形外角和=360°，
∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8．
故选：C．
根据多边形的外角和定理作答．
本题主要考查了多边形的外角和定理：任何一个多边形的外角和都为360°．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得：x2−9=0，x−3≠0，
解得：x=−3，
故选：A．
根据分式值为零的条件可得x2−9=0，x−3≠0，解可得答案．
此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
7.【答案】C
【解析】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．
故选C．
矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质．
本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解．
8.【答案】C
【解析】解：如图：设OF=EF=FG=x，
∴OE=OH=2x，
在Rt△EOH中，EH=2 2x，
由题意EH=20cm，
∴20=2 2x，
∴x=5 2，
∴阴影部分的面积=(5 2)2=50(cm2)
故选：C．
如图：设OF=EF=FG=x，可得EH=2 2x=20，解方程即可解决问题．
本题考查七巧板的知识，正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】x(x+1)(x−1)
【解析】解：原式=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)，
故答案为：x(x+1)(x−1)
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
10.【答案】x≥−3且x≠0
【解析】解：根据题意得：x+3≥0x≠0，
解得x≥−3且x≠0．
故答案为x≥−3且x≠0．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解．
本题考查了函数自变量的取值范围．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0，二次根式有意义，被开方数是非负数．
11.【答案】x≥−1
【解析】解：将点B(m,2)代入y=−2x，
得−2m=2，解得m=−1，
则B的坐标是(−1,2)，
由图象可知，于x的不等式kx+b≥−2x的解集为x≥−1．
故答案为：x≥−1．
先将点B(m,2)代入y=−2x，求出m的值，再由图象可以看出当x≥m时，y=−2x的图象不在一次函数y=kx+b的上方，即可得出答案．
本题考查一元一次不等式与函数图象之间的关系，掌握一次函数图象的性质，利用数形结合思想解题是关键．
12.【答案】30°
【解析】解：由作法得DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，
∴MA=MB，NA=NC，
∴∠MAB=∠B，∠NAC=∠C，
∴∠MAN=∠BAC−∠MAB−∠NAC=∠BAC−(∠B+∠C)，
∵∠B+∠C=180°−∠BAC，
∴∠MAN=∠BAC−(180°−∠BAC)=2∠BAC−180°=2×105°−180°=30°．
故答案为：30°．
利用基本作图得到DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，则MA=MB，NA=NC，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠MAN．
本题主要考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，利用基本作图判断DE、GF分别垂直平分AB和AC是解决问题的关键．
13.【答案】16 3
【解析】解：在矩形ABCD中，
∵AD/​/BC，
∴∠DEF=∠EFB=60°，
∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，
∴∠EFB=∠EFB′=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，
在△EFB′中，
∵∠DEF=∠EFB′=60°，
∴△EFB′是等边三角形，∠EB′F=60°，
Rt△A′EB′中，
∵∠A′B′E=90°−60°=30°，
∴B′E=2A′E，而A′E=2，
∴B′E=4，
∴A′B′=2 3，即AB=2 3，
∵AE=2，DE=6，
∴AD=AE+DE=2+6=8，
∴矩形ABCD的面积=AB⋅AD=2 3×8=16 3．
故答案为：16 3．
由把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，∠EFB=60°，易证得△EFB′是等边三角形，继而可得△A′B′E中，B′E=2A′E，则可求得B′E的长，然后由勾股定理求得A′B′的长，继而求得答案．
此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
14.【答案】解：(1)(2x+3)2=(3x−2)2，
(2x+3)2−(3x−2)2=0，
(2x+3+3x−2)(2x+3−3x+2)=0，
(5x+1)(−x+5)=0，
∴5x+1=0，−x+5=0，
∴x1=−15，x2=5；
(2)x−2x+2=x+2x−2+16x2−4；
去分母得：(x−2)2=(x+2)2+16，
去括号得：x2−4x+4=x2+4x+4+16，
移项、合并得：−8x=16，
解得：x=−2，
检验：把x=−2代入得：(x+2)(x−2)=0，
∴原分式方程无解；
(3)2(x+2)−x≤5①4x+13>x−1②，
由①得：x≤1，
由②得：x>−4，
∴原不等式组的解集是−4解集表示在数轴上，如图所示：

(4)a+1a2−2a+1÷(2+3−aa−1)
=a+1(a−1)2÷(2a−2a−1+3−aa−1)
=a+1(a−1)2÷a+1a−1
=a+1(a−1)2⋅a−1a+1
=1a−1，
当a=2时，原式=12−1=1．
【解析】(1)先将方程变形为(2x+3)2−(3x−2)2=0，再利用因式分解法解方程即可；
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
(3)分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
(4)按分式的混合运算顺序先化简分式，再代入求值即可．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
也考查了分式的化简求值，解一元一次不等式组，解分式方程等知识，掌握运算法则是解题的关键．
15.【答案】(0,−1) 3 55
【解析】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)如图所示，点P即为所求，P(0,−1)，
∵S△ABC=2×2−12×1×2×2−12×1×1=32，BC= 12+22= 5，
设A到BC的距离是ℎ，
则12×BC×ℎ=32，
∴ℎ=3 55，
故答案为：(0,−1)，3 55．
(1)根据旋转变换的性质找出对应点即可求解；
(2)根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
(3)作点B2关于y轴的对称点B′，连接B′B1交y轴于点P，则点P即为所求；
先利用割补法求出三角形ABC的面积，再根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了作图−旋转变换，熟记旋转变换的性质是解题的关键．
16.【答案】(1)证明：∵BE⊥BC，
∴∠EBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠ACB=180°，
∴BE/​/AC，
∴∠EBF=∠DAF，
∵F为斜边AB的中点，
∴AF=BF，
在△AFD与△BFE中，
∠EBF=∠DAFBF=AF∠BFE=∠AFD，
∴△AFD≌△BFE(ASA)，
∴AD=BE，
∴四边形ADBE为平行四边形；
(2)解：∵∠ACB=90°，AD=11，AB=20，BD=13，
∴AB2−(AD+CD)2=BC2，
BD2−CD2=BC2，
∴AB2−(AD+CD)2=BD2−CD2，
∴202−(11+CD)2=132−CD2，
∴CD=5，
∴BC=12，
∴四边形ADBE的面积=AD⋅BC=11×12=132．
【解析】(1)由垂直的定义得到∠EBC=90°，根据平行线的判定定理得到BE/​/AC，由平行线的性质得到∠EBF=∠DAF，根据全等三角形的性质得到AD=BE，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)根据勾股定理求出CD和BC，再根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
本题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得四边形ADBE为平行四边形是解题的关键．
17.【答案】(1)证明：∵Δ=(2k+1)2−4(k2+k)
=4k2+4k+1−4k2−4k
=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)x=2k+1±12×1，
解得x1=k+1，x2=k，
即AB、AC的长为k+1，k，
当k+1=5时，即k=4，三角形三边长分别为5、5、4；
当k=5时，三角形三边长分别为5、5、6；
综上所述，k的值为4或5．
【解析】(1)计算根的判别式的值得到Δ>0，则根据根的判别式的意义得到结论；
(2)利用求根公式解方程得到AB、AC的长为k+1，k，讨论：当k+1=5时，三角形三边长分别为5、5、4；当k=5时，三角形三边长分别为5、5、6．
本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两腰相等．也考查了根的判别式和三角形三边的关系．
18.【答案】45 203
【解析】解：(1)∵AB=BC=10，四边形ABCD是矩形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=10，∠BCD=∠A=90°，
∵F为AD的中点，
∴DF=AF=5，
∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D，B的对应点分别为点G，H，
∴BE=EG，DF=FG=5，
设BE=x，则AE=10−x，
∴EF=EG+FG=x+5，
∵EF2=AE2+AF2，
∴(5+x)2=(10−x)2+52，
∴x=103，
∴BE=103，
∴AE=10−103=203；
∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，
∴∠BCE=∠GCE，∠DCF=∠GCF，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECF=12∠BCD=12×90°=45°．
故答案为：45；203；
(2)如图2，延长CG交AB于点M，
∵∠3=∠4，∠1=∠2=22.5°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCH=90°−45°=45°，
∵∠EHM=∠B=90°，
∴△CBM和△EHM均为等腰直角三角形，
∴BM=BC=4，EM= 2EH= 2BE，
∴BE+EM=4，
即BE+ 2BE=4，
解得BE=4 2−4，
∴AE=AB−BE=2 2+2−(4 2−4)=6−2 2；
(3)分两种情况：①当AF=2DF时，
如图3，过点E作EP/​/GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，
∴GH=EP，EH=GP，
由折叠的性质可知，CD=CG=15，BC=CH=9，
∴HG=CG−CH=15−9=4，
∵AF=2DF，
∴AF=6，DF=3，
∴AF=EP，
在Rt△EFP和Rt△FEA中，
AF=EPEF=FE，
∴Rt△EFP≌Rt△FEA(HL)，
∴AE=FP，
设BE=EH=a，FP=a+3，AE=FP=15−a，
∴a+3=15−a，
解得a=6，
∴BE=6，
∴AE=15−6=9．
②当DF=2AF时，
如图4，过点E作EP/​/GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，
∴GH=EP，EH=GP，
由①知：EP=6，
∵DF=2AF，
∴AF=3，DF=6．
设BE=EH=a，FP=a+6，AE=15−a，
∵EF2=AF2+AE2=EP2+FP2，
∴32+(15−a)2=62+(a+6)2，
解得a=277，
∴AE=15−a=15−277=787．
综上可知，AE的长为9或787．
(1)证明四边形ABCD是正方形，由正方形的性质得出AD=AB=10，∠BCD=90°，由勾股定理及折叠的性质可得出答案；
(2)延长CG，交AB于点M，证明△CBM和△EHM均为等腰直角三角形，得出BM=BC=4，EM= 2BE，则可求出BE的长，从而可得出答案；
(3)分两种情况：①当AF=2DF时，如图3，过点E作EP/​/GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，GH=EP，EH=GP，证明Rt△EFP≌Rt△FEA(HL)，由全等三角形的性质得出AE=FP，设BE=EH=a，FP=a+2，AE=FP=10−a，列方程可得出答案；②当DF=2AF时，如图4，过点E作EP/​/GH，交FG的延长线于点P，连接EF，则四边形GHEP为矩形，GH=EP，EH=GP，设BE=EH=a，FP=a+4，AE=10−a，由勾股定理列方程可得出答案．
本题是四边形的综合题，主要考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质和判定，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
19.【答案】2024．
【解析】解：∵a=2b+1，
∴a−2b=1，
∴a2−4ab+4b2+2023
=(a−2b)2+2023
=12+2023
=2024．
故答案为：2024．
利用完全平方公式变形为(a−2b)2+2023，将a−2b=1代入计算即可．
本题考查了因式分解的完全平方公式，能熟记公式是解此题的关键．
20.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查的是一元一次方程的解法及新定义问题，根据题意正确得到方程是解题的关键．根据题意列出方程，解方程即可．
【解答】
解：由题意得，(x+1)2−(x+1)(x−2)=6，
整理得，3x+3=6，
解得，x=1，
故答案为：1．
21.【答案】1
【解析】解：x−14(4a−2)≤12①3x−12∵不等式①的解集为x≤a，
不等式②的解集为x<5，
不等式组的解集为x≤a，
∴a<5．
且关于y的分式方程2y−ay−1−y−41−y=1得：
y=a+32．
由题意：a+32≥0．
∴a≥−3．
∴−3≤a<5．
∵关于y的分式方程2y−ay−1−y−41−y=1有非负整数解，
∴a=−3，−1，1，3．
但a=−1时，y=a+32=1是原方程的增根，舍去．
∴a=−3或1或3．
∴符合条件的所有整数a的和为−3+1+3=1．
故答案为：1．
利用关于x的一元一次不等式组的解集为x≤a，通过解不等式组确定a的一个取值范围；再利用关于y的分式方程2y−ay−1−y−41−y=1有非负整数解，确定a的一个取值范围，同时满足两个条件的a整数解即为答案．
本题主要考查了分式方程的解，一元一次不等式的解，解一元一次不等式组合一元一次不等式组的解，正确确定不等式组的解集是解题的关键，解分式方程要注意有产生增根的可能．
22.【答案】5
【解析】解：如图，连接AO，
因为等边△ADC，矩形CDGH，
所以CA=DA，OC=OD，∠CAD=60°，
所以CD=DAAO=AOOC=OD，
所以△AOC≌△AOD(SSS)，
所以∠OAC=∠OAD，
所以AO平分∠CAD，
因为∠CAD是定角，
所以∠CAD的角平分线是唯一确定的射线，
所以点O在定直线上，
所以∠OAB=30°，
过点B作BE⊥AO于点E，
因为AB=10，
所以BE=12AB=5，
故答案为：5．
连接AO，证明AO平分∠CAD，从而确定点O在定直线上，结合等边△ADC，确定∠OAB=30°，是定角，根据垂线段最短计算即可．
本题考查了等边三角形的性质，矩形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，直角三角形的性质，熟练掌握垂线段最短，直角三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】5
【解析】解：由矩形DEFG的顶点坐标，Rt△ABC的顶点坐标，勾股定理得到：
P和G重合时，P的坐标是(2,−1)，(−2,−1)，(−2,1)，(0,3)时，d(P,△ABC)= 2．
∴满足d(P,△ABC)= 2的点P有5个．
故答案为：5．
由点P到△ABC的距离定义，分情况讨论，即可解决问题．
本题考查点P到△ABC的距离定义，矩形的性质，坐标与图形的性质，关键是理解点P到△ABC的距离定义；分情况讨论．
24.【答案】解：(1)依题意得，3000m=2400m−20，
整理得，3000(m−20)=2400m，
解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；
(2)设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋(200−x)双，
根据题意得，(240−100)x+(160−80)(200−x)≥21700 ①(240−100)x+(160−80)(200−x)≤22300 ②，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105−95+1=11，
∴共有11种方案；
(3)设总利润为W，则W=(240−100−a)x+80(200−x)=(60−a)x+16000(95≤x≤105)，
①当500，W随x的增大而增大，
所以，当x=105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a=60时，60−a=0，W=16000，(2)中所有方案获利都一样；
③当60所以，当x=95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【解析】(1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
(2)设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋(200−x)双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
(3)设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，(3)要根据一次项系数的情况分情况讨论．
25.【答案】解：(1)∵直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A，B两点，
∴点A(−3,0)，点B(0,6)，
∵点C(0,−2)，
∴b=−20=−3k+b，
∴k=−23b=−2，
∴y=−23x−2；
(2)设点P(a,−23x−2)，
当点P在点A左侧时，∵点B(0,6)，点C(0,−2)，
∴BC=8，
∵S△PAB=12×8×(−a)−12×8×3=18，
∴a=−152，
∴P(−152,3)；
当点P在点A右侧时，S△PAB=12×8×a+12×8×3=18，
∴a=32，
∴P(32,−3)，
综上所述：点P坐标为(−152,3)或(32,−3)；
(3)如图，连接BB′，A′B，

∵点A(−3,0)，点B(0,6)，
∴AO=3，BO=6，
∴AB= AO2+BO2= 9+36=3 5，
∵将△AOB沿着x轴向右平移得到△A′O′B′，
∴AB=A′B′=3 5，BB′//AA′，BB′=AA′，
当BB′，A′B′为边时，
∵A′B′BM是菱形，
∴BB′=A′B′=3 5=A′M，BB′//A′M，
即点A与点M重合，
∴M(−3,0)；
当A′B′与A′B为边时，
∵四边形A′BMB′是菱形，
∴A′B=A′B′=AB，
∴AO=A′O=3，
∴点A′(3,0)，
∵A′M与BB′互相垂直平分，
∴点M(3,12)；
当BB′与A′B为边时，
∵四边形A′BB′M是菱形，
∴BM垂直平分A′B′，
∴BM⊥AB，
又∵BO⊥AM，
∴△ABO∽△BMO，
∴BOAO=OMBO，
∴OM=6×63=12，
∴点M(12,0)，
综上所述：点M的坐标为(−3,0)或(3,12)或(12,0)．
【解析】(1)利用待定系数法可求解析式；
(2)由面积的和差关系可求解；
(3)分三种情况去讨论，由菱形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了待定系数法，菱形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
26.【答案】解：(1)由旋转的性质可知，∠DAE=90°，AD=AE，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠ACE，
在△ABD和△ACE中，
AD=AD∠BAD=∠CAEAB=AC，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴△ABD和△ACE面积相等，
∴四边形ADCE的面积和△ABC的面积相等，
∵AB=1，
∴四边形ADCE的面积为：12×1×1=0.5；
(2)过A作AF⊥BC于F，连接AM，FM，CM，如图：

∵△ABC为等腰直角三角形，
∴AF=FC，
由(1)知，△ABD≌△ACE，
∴∠ACE=∠ABD=45°，
∴∠DCE=∠ACE+∠BCA=90°，
又∵∠DAD=90°，M是DE中点，
∴AM=12DE，CM=12DE，
∴AM=CM，
在△AFM和△CFM中，
AM=CMAF=FCFM=FM，
∴△AFM≌△CFM(SSS)，
∴∠AFM=∠CFM，
∴M在∠AFC的平分线上，
∴∠CFM=45°，
∵∠B=45°，
∴FM/​/AB，
∵F是BC的中点，
∴M的轨迹为当C、D重合时，△BCE的中位线，
∴M运动的路径长为1；
(3)过D作DN⊥BC交AB于N，连接CN交DE于O，如图：

∵∠B=45°，
∴△BDN为等腰直角三角形，
∴BD=DN，
由(1)知，△ABD≌△ACE，
∴CE=BD，
∴CE=DN，
由(2)知，CE⊥BC，
∴DN//CE，
∴∠DNC=∠NCE，∠DNE=∠DEC，
在△DON和△EOC中，
∠DNC=∠NCEDN=CE∠NDE=∠DEC，
∴△DON≌△EOC(ASA)，
∴OD=OE，
又∵DM=ME，
∴O与M重合，
∴N和F重合，
∴BF= 2BD，BC= 2AB，
令BD=a，AB=b，
∴x=BDCD=a 2b−a，y=AFBF=b− 2a 2a=b 2a−1，
∴1x= 2b−aa= 2ba−1，
∴ba= 2(y+1)，ba= 22(1x+1)，
∴ 2(y+1)= 22(1x+1)，
∴y=12x−12．
【解析】(1)根据旋转的性质以及等腰三角形的性质，证明△ABD和△ACE全等，那么它们的面积也相等，所以四边形ADCE的面积等于△ABC的面积，从而得解；
(2)过A作AF⊥BC于F，连接AM，FM，根据等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质证明M在∠AFC的角平分线上，从而得到M的轨迹，根据三角形中位线定理求解即可．
(3)过D作DN⊥BC交AB于N，连接CN交DE于O，根据平行线的性质以及三角形全等得出O与M重合，F与N重合，记得得到BD和BF的关系，然后根据AB和BC的关系，求出y与x之间的函数关系式即可．
本题主要考查了三角形综合题，合理运用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及函数关系式的求法是本题解题的关键．运动鞋
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