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初中数学青岛版七年级下册8.4 对顶角课时训练
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这是一份初中数学青岛版七年级下册8.4 对顶角课时训练，共10页。试卷主要包含了4 对顶角，∠1和∠2是对顶角的图形为，以下说法正确的是，下列说法正确的有等内容，欢迎下载使用。
基础过关全练
知识点1 对顶角的概念
1.(2023山东济南平阴期中)∠1和∠2是对顶角的图形为(M7208002)( )
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE,OF为射线,则对顶角有(M7208002)( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.以下说法正确的是(M7208002)( )
A.有公共顶点,并且相等的两个角是对顶角
B.两条直线相交形成的任意两个角都是对顶角
C.两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D.两角的两边分别在同一条直线上的两个角是对顶角
4.五条直线两两相交于同一点时,对顶角有m对,交于不同五点时,对顶角有n对,则m与n的关系是(M7208002)( )
A.m=n B.m>n C.m知识点2 对顶角的性质
5.下列说法正确的有(M7208002)( )
①对顶角相等;②互补的两个角是邻补角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角一定不相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2023甘肃兰州中考)如图,直线AB与CD相交于点O,则∠BOD=
(M7208002)( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
7.【新独家原创】如图,直线AB,CD交于点O,OE把∠BOD分为两部分,∠BOE∶∠DOE=3∶5,∠COE=120°,则∠AOC的度数为(M7208002)
( )
A.96° B.90° C.108° D.120°
8.如图,AB,CD,EF相交于点O,∠AOC=65°,∠DOF=50°.(M7208002)
(1)求∠BOE的度数.
(2)计算∠AOF的度数,你能发现射线OA有什么特殊性吗?
9.【教材变式·P18T3】(2023海南澄迈月考)如图,直线AB,CD,EF相交于点O.(M7208002)
(1)写出∠BOE的邻补角.
(2)写出∠DOA,∠EOC的对顶角.
(3)如果∠AOC=50°,求∠BOD,∠COB的度数.
能力提升全练
10.(2023河南中考,4,★☆☆)如图,直线AB,CD相交于点O,若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为( )
A.30° B.50°
C.60° D.80°
11.【中华优秀传统文化】(2023北京师大附中期中,12,★☆☆)小豆同学周末去香山踏青,看到了一座色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔,如图,为了测量古塔底部的角∠AOB的度数,小豆设计了如下测量方案:作AO,BO的延长线OC,OD,量出∠COD的度数,从而得到∠AOB的度数.这个测量方案的依据是 .(M7208002)
12.【易错题】(2023江苏苏州工业园景城学校月考,18,★★☆)如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE=23∠EOC,将射线OE绕点O逆时针旋转α(0°<α<360°)到OE',若∠AOE'=120°,则α的度数是 .(M7208002)
13.(2022山东滨州滨城莲华学园月考,20,★☆☆)如图,两条直线a,b相交.(M7208002)
(1)如果∠1=50°,求∠2的度数.
(2)如果∠2=3∠1,求∠3,∠4的度数.
素养探究全练
14.【抽象能力】如图,直线CD,EF相交于点O,射线OA在∠COF的内部,∠DOF=13∠AOD.(M7208002)
(1)如图1,若∠AOC=120°,求∠EOC的度数.
(2)如图2,若∠AOC=α(60°<α<180°),将射线OA绕点O逆时针旋转60°到OB,
①求∠EOB的度数(用含α的式子表示).
②观察①中的结果,直接写出∠AOC,∠EOB之间的数量关系.
(3)如图3,0°<∠AOC<120°,将射线OA绕点O顺时针旋转60°到OB,求∠AOC,∠EOB之间的数量关系.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 根据对顶角的定义对各图形进行分析判断.
2.B 有2对对顶角,分别是∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC.故选B.
3.C 图①中的∠1与∠2满足A中条件,但不是对顶角;图②中的∠1与∠2满足B中条件,但不是对顶角;图③中的∠1与∠2满足C中条件,是对顶角;图④中的∠1与∠2满足D中条件,但不是对顶角.故选C.
4.A 因为五条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关,所以m=n,故选A.
5.B 互为对顶角的两个角一定相等,因此,若两个角不相等,则它们一定不是对顶角,所以①③正确.对顶角强调位置关系,不是对顶角的两个角有可能相等,所以④错误.互为邻补角的两个角不仅和为180°,而且有一条公共边,另一边互为反向延长线,所以不能只从数量关系上来判断,所以②错误.故正确的有2个.故选B.
6.B ∵直线AB与CD相交于点O,∴∠BOD=∠AOC,
∵∠AOC=50°,∴∠BOD=50°.故选B.
7.A ∵∠BOE∶∠DOE=3∶5,∴可设∠BOE=3x°,∠DOE=5x°,
∵∠COE=120°,∴∠DOE=180°-120°=60°,∴5x°=60°,∴x=12,
∴∠BOE=3x°=36°.
∴∠BOD=∠DOE+∠BOE=60°+36°=96°,
∴∠AOC=∠BOD=96°.
8.解析 (1)因为∠AOC=65°,
所以∠BOD=∠AOC=65°.
又因为∠BOE+∠BOD+∠DOF=180°,
所以∠BOE=180°-65°-50°=65°.
(2)由(1)知∠BOE=65°,所以∠AOF=∠BOE=65°.
又∠AOC=65°,所以∠AOF=∠AOC,
所以射线OA是∠COF的平分线.
9.解析 (1)∠BOE的邻补角是∠AOE,∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB,∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∵∠AOC=50°,
∴∠BOD=50°,∠COB=180°-50°=130°.
能力提升全练
10.B ∵∠AOD=∠1=80°,
∴∠AOE=∠AOD-∠2=80°-30°=50°.故选B.
11.对顶角相等
12.90°或210°
解析 OE在运动过程中有两个位置可以使∠AOE'=120°,分别作出对应的图形,根据∠BOD的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出∠AOE与∠COE的值,进而可求出α的度数.此题在解答过程中容易漏解.
①当OE运动到如图1所示的位置时,
∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,
∵∠AOE=23∠EOC,
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°,
又∠AOE'=120°,
∴α=∠AOE'-∠AOE=120°-30°=90°.
②当OE运动到如图2所示的位置时,
∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,
∵∠AOE=23∠EOC,
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°,
又∠AOE'=120°,
∴α=360°-(∠AOE'+∠AOE)=360°-150°=210°.
故答案为90°或210°.
13.解析 (1)∵∠1与∠2互为邻补角,
∴∠2=180°-∠1,
∵∠1=50°,∴∠2=180°-50°=130°.
(2)∵∠1与∠2互为邻补角,∴∠2+∠1=180°,
∵∠2=3∠1,∴3∠1+∠1=180°,解得∠1=45°,
∴∠3=∠1=45°,∠4=∠2=3×45°=135°.
素养探究全练
14.解析 (1)∵∠AOC=120°,
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-120°=60°,
∵∠DOF=13∠AOD,∴∠DOF=20°,
∴∠EOC=∠DOF=20°.
(2)①∵∠AOC=α,∴∠AOD=180°-α,
∵∠DOF=13∠AOD,∴∠DOF=60°-13α,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13α,
由题意得∠AOB=60°,∴∠BOC=α-60°,
∴∠EOB=∠EOC+∠BOC=60°-13α+α−60°=23α.
②观察①中结果可得∠EOB=23∠AOC.
详解:∵∠AOD=180°-∠AOC,∠DOF=13∠AOD,
∴∠DOF=60°-13∠AOC,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13∠AOC,
∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=∠AOC-60°,
∴∠EOB=∠EOC+∠BOC=60°-13∠AOC+∠AOC-60°=23∠AOC.
(3)①当0°<∠AOC≤90°时,
如图1,
∵∠AOD=180°-∠AOC,∠DOF=13∠AOD,
∴∠DOF=60°-13∠AOC,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13∠AOC,
∵∠BOC=∠AOC+∠AOB=∠AOC+60°,
∴∠EOB=∠EOC+∠BOC=60°-13∠AOC+∠AOC+60°=23∠AOC+120°.
②当90°<∠AOC<120°时,
如图2,
∵∠AOD=180°-∠AOC,∠DOF=13∠AOD,
∴∠DOF=60°-13∠AOC,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13∠AOC,
∵∠BOC=∠AOC+∠AOB=∠AOC+60°,
∴∠EOC+∠BOC=60°-13∠AOC+∠AOC+60°=23∠AOC+120°,
∴∠EOB=360°-(∠EOC+∠BOC)=360°-23∠AOC-120°=240°-23∠AOC.
基础过关全练
知识点1 对顶角的概念
1.(2023山东济南平阴期中)∠1和∠2是对顶角的图形为(M7208002)( )
2.如图,直线AB,CD相交于点O,OE,OF为射线,则对顶角有(M7208002)( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
3.以下说法正确的是(M7208002)( )
A.有公共顶点,并且相等的两个角是对顶角
B.两条直线相交形成的任意两个角都是对顶角
C.两角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角
D.两角的两边分别在同一条直线上的两个角是对顶角
4.五条直线两两相交于同一点时,对顶角有m对,交于不同五点时,对顶角有n对,则m与n的关系是(M7208002)( )
A.m=n B.m>n C.m
5.下列说法正确的有(M7208002)( )
①对顶角相等;②互补的两个角是邻补角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角一定不相等.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(2023甘肃兰州中考)如图,直线AB与CD相交于点O,则∠BOD=
(M7208002)( )
A.40° B.50° C.55° D.60°
7.【新独家原创】如图,直线AB,CD交于点O,OE把∠BOD分为两部分,∠BOE∶∠DOE=3∶5,∠COE=120°,则∠AOC的度数为(M7208002)
( )
A.96° B.90° C.108° D.120°
8.如图,AB,CD,EF相交于点O,∠AOC=65°,∠DOF=50°.(M7208002)
(1)求∠BOE的度数.
(2)计算∠AOF的度数,你能发现射线OA有什么特殊性吗?
9.【教材变式·P18T3】(2023海南澄迈月考)如图,直线AB,CD,EF相交于点O.(M7208002)
(1)写出∠BOE的邻补角.
(2)写出∠DOA,∠EOC的对顶角.
(3)如果∠AOC=50°,求∠BOD,∠COB的度数.
能力提升全练
10.(2023河南中考,4,★☆☆)如图,直线AB,CD相交于点O,若∠1=80°,∠2=30°,则∠AOE的度数为( )
A.30° B.50°
C.60° D.80°
11.【中华优秀传统文化】(2023北京师大附中期中,12,★☆☆)小豆同学周末去香山踏青,看到了一座色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔,如图,为了测量古塔底部的角∠AOB的度数,小豆设计了如下测量方案:作AO,BO的延长线OC,OD,量出∠COD的度数,从而得到∠AOB的度数.这个测量方案的依据是 .(M7208002)
12.【易错题】(2023江苏苏州工业园景城学校月考,18,★★☆)如图,直线AB、CD相交于点O.已知∠BOD=75°,OE把∠AOC分成两个角,且∠AOE=23∠EOC,将射线OE绕点O逆时针旋转α(0°<α<360°)到OE',若∠AOE'=120°,则α的度数是 .(M7208002)
13.(2022山东滨州滨城莲华学园月考,20,★☆☆)如图,两条直线a,b相交.(M7208002)
(1)如果∠1=50°,求∠2的度数.
(2)如果∠2=3∠1,求∠3,∠4的度数.
素养探究全练
14.【抽象能力】如图,直线CD,EF相交于点O,射线OA在∠COF的内部,∠DOF=13∠AOD.(M7208002)
(1)如图1,若∠AOC=120°,求∠EOC的度数.
(2)如图2,若∠AOC=α(60°<α<180°),将射线OA绕点O逆时针旋转60°到OB,
①求∠EOB的度数(用含α的式子表示).
②观察①中的结果,直接写出∠AOC,∠EOB之间的数量关系.
(3)如图3,0°<∠AOC<120°,将射线OA绕点O顺时针旋转60°到OB,求∠AOC,∠EOB之间的数量关系.
答案全解全析
基础过关全练
1.B 根据对顶角的定义对各图形进行分析判断.
2.B 有2对对顶角,分别是∠AOC与∠BOD,∠AOD与∠BOC.故选B.
3.C 图①中的∠1与∠2满足A中条件,但不是对顶角;图②中的∠1与∠2满足B中条件,但不是对顶角;图③中的∠1与∠2满足C中条件,是对顶角;图④中的∠1与∠2满足D中条件,但不是对顶角.故选C.
4.A 因为五条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关,所以m=n,故选A.
5.B 互为对顶角的两个角一定相等,因此,若两个角不相等,则它们一定不是对顶角,所以①③正确.对顶角强调位置关系,不是对顶角的两个角有可能相等,所以④错误.互为邻补角的两个角不仅和为180°,而且有一条公共边,另一边互为反向延长线,所以不能只从数量关系上来判断,所以②错误.故正确的有2个.故选B.
6.B ∵直线AB与CD相交于点O,∴∠BOD=∠AOC,
∵∠AOC=50°,∴∠BOD=50°.故选B.
7.A ∵∠BOE∶∠DOE=3∶5,∴可设∠BOE=3x°,∠DOE=5x°,
∵∠COE=120°,∴∠DOE=180°-120°=60°,∴5x°=60°,∴x=12,
∴∠BOE=3x°=36°.
∴∠BOD=∠DOE+∠BOE=60°+36°=96°,
∴∠AOC=∠BOD=96°.
8.解析 (1)因为∠AOC=65°,
所以∠BOD=∠AOC=65°.
又因为∠BOE+∠BOD+∠DOF=180°,
所以∠BOE=180°-65°-50°=65°.
(2)由(1)知∠BOE=65°,所以∠AOF=∠BOE=65°.
又∠AOC=65°,所以∠AOF=∠AOC,
所以射线OA是∠COF的平分线.
9.解析 (1)∠BOE的邻补角是∠AOE,∠BOF.
(2)∠DOA的对顶角是∠COB,∠EOC的对顶角是∠DOF.
(3)∵∠AOC=50°,
∴∠BOD=50°,∠COB=180°-50°=130°.
能力提升全练
10.B ∵∠AOD=∠1=80°,
∴∠AOE=∠AOD-∠2=80°-30°=50°.故选B.
11.对顶角相等
12.90°或210°
解析 OE在运动过程中有两个位置可以使∠AOE'=120°,分别作出对应的图形,根据∠BOD的度数以及∠AOE与∠COE间的比例求出∠AOE与∠COE的值,进而可求出α的度数.此题在解答过程中容易漏解.
①当OE运动到如图1所示的位置时,
∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,
∵∠AOE=23∠EOC,
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°,
又∠AOE'=120°,
∴α=∠AOE'-∠AOE=120°-30°=90°.
②当OE运动到如图2所示的位置时,
∵∠BOD=75°,∴∠AOC=∠BOD=75°,
∵∠AOE=23∠EOC,
∴∠AOE=25∠AOC=25×75°=30°,
又∠AOE'=120°,
∴α=360°-(∠AOE'+∠AOE)=360°-150°=210°.
故答案为90°或210°.
13.解析 (1)∵∠1与∠2互为邻补角,
∴∠2=180°-∠1,
∵∠1=50°,∴∠2=180°-50°=130°.
(2)∵∠1与∠2互为邻补角,∴∠2+∠1=180°,
∵∠2=3∠1,∴3∠1+∠1=180°,解得∠1=45°,
∴∠3=∠1=45°,∠4=∠2=3×45°=135°.
素养探究全练
14.解析 (1)∵∠AOC=120°,
∴∠AOD=180°-∠AOC=180°-120°=60°,
∵∠DOF=13∠AOD,∴∠DOF=20°,
∴∠EOC=∠DOF=20°.
(2)①∵∠AOC=α,∴∠AOD=180°-α,
∵∠DOF=13∠AOD,∴∠DOF=60°-13α,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13α,
由题意得∠AOB=60°,∴∠BOC=α-60°,
∴∠EOB=∠EOC+∠BOC=60°-13α+α−60°=23α.
②观察①中结果可得∠EOB=23∠AOC.
详解:∵∠AOD=180°-∠AOC,∠DOF=13∠AOD,
∴∠DOF=60°-13∠AOC,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13∠AOC,
∵∠BOC=∠AOC-∠AOB=∠AOC-60°,
∴∠EOB=∠EOC+∠BOC=60°-13∠AOC+∠AOC-60°=23∠AOC.
(3)①当0°<∠AOC≤90°时,
如图1,
∵∠AOD=180°-∠AOC,∠DOF=13∠AOD,
∴∠DOF=60°-13∠AOC,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13∠AOC,
∵∠BOC=∠AOC+∠AOB=∠AOC+60°,
∴∠EOB=∠EOC+∠BOC=60°-13∠AOC+∠AOC+60°=23∠AOC+120°.
②当90°<∠AOC<120°时,
如图2,
∵∠AOD=180°-∠AOC,∠DOF=13∠AOD,
∴∠DOF=60°-13∠AOC,
∴∠EOC=∠DOF=60°-13∠AOC,
∵∠BOC=∠AOC+∠AOB=∠AOC+60°,
∴∠EOC+∠BOC=60°-13∠AOC+∠AOC+60°=23∠AOC+120°,
∴∠EOB=360°-(∠EOC+∠BOC)=360°-23∠AOC-120°=240°-23∠AOC.
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