2024年辽宁省沈阳市部分学校 中考模拟(一模)数学模拟试题（原卷版+解析版）

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第一部分 选择题（共 30分）
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A. 运出30吨粮食B. 亏损30吨粮食C. 卖掉30吨粮食D. 吃掉30吨粮食
2. 在我国古代建筑中经常使用榫卯构件，如图是某种榫卯构件的示意图，其中，卯的俯视图是（ ）

A. B. C. D.
3. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一元二次方程的根的情况为（ ）
A. 无实数根B. 有两个不等的实数根
C. 有两个相等的实数根D. 不能判定
6. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 《九章算术》是中国传统数学重要著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何．”大致意思是：“今有人合伙购物，每人出8 钱，会多出 3 钱；每人出 7 钱，又差 4 钱．问：人数、物价各多少?”设人数为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在函数的图像上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数的图像于点B，连接OA，OB，则的面积是（ ）
A. 3B. 5C. 6D. 10
10. 如图，在四边形中，，．按以下步骤作图：①以点 B为圆心， 的长为半径作弧，交于点G；②分别以点 G，C 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，作射线．若点 D 在射线 上，则线段的长度为（ ）
A. B. C. 8D.
第二部分 非选择题（共 90分）
二、填空题（本题共 5 小题，每小题3 分，共15 分）
11. 因式分解：_______．
12. 如图，已知⊙是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是_________．
13. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，把绕点B逆时针旋转后得到，则点坐标是______．
14. 如图，在直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A，B两点，C为的中点，点D在第二象限，且四边形为矩形，P是上一个动点，过点P作于H，Q是点B关于点A的对称点，则的最小值为________．
15. 如图，正方形的边长为 5，将正方形绕点 A 旋转得到正方形，连接，，当为直角三角形时，的长是_____________．

三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. （1）计算：；
（2）化简： ．
17. 某市为了了解市民获取新闻的主要途径，开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下不完整的统计图表．
请根据图表信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查的人数是 ；统计表中，______，并补全条形统计图．
（2）扇形统计图中“D”所对应的扇形的圆心角的度数是 ．
（3）若该市约有 100万人，请你估计其中将电脑上网和手机上网作为获取新闻的主要途径的总人数．
18. 2023年哈尔滨冰雪大世界一开园，就备受全国各地游客的关注．某商场以每件50元的价格购进某款冰雪大世界纪念品，以每件80元的价格出售，每日可售出200件．后来该商场决定以降价促销的方式回馈顾客，发现该纪念品每降价1元，日销售量就增加20件．设售价为每件 （）元．
（1）当该纪念品的售价定为多少元时，日销售利润为7500元且能让顾客得到更多的实惠?
（2）该商场如何定价才能使销售该款纪念品日销售利润最大? 最大利润为多少元?
19. 图①是一辆登高云梯消防车的实物图，图②是其工作示意图，起重臂是可伸缩的()，且起重臂可绕点在一定范围内转动，张角为)，转动点距离地面的高度为．
（1）当起重臂长度为，张角为时，求云梯消防车最高点距离地面的高度；
（2）某日，一居民家突发险情，该居民家窗台距离地面的高度为，请问该消防车能否实施有效救援？请说明理由．(参考数据：)
20. 大连旅顺“线梨”，又叫旅顺洋梨，只因吃过以后梨核就像一条线故称线梨，是我国东北“五大名梨”之一．线梨的成熟时间大致在每年的8月至 9月中旬，成熟时梨表皮略泛金黄，吃起来柔软多汁，并具有特殊的香味，非常受人们的喜欢．某农户今年线梨丰收，有两种销售方案（每种方案的销售量不低于 200 kg）：
方案一：每千克8元，但农户要额外支付1500元的运费．
方案二：每千克 6.5 元．
（1）请你分别写出方案一和方案二的销售收入（元），（元）与销售量． （）（）之间的函数关系式．
（2）若该农户预计今年线梨的产量为15 000 kg，请你通过计算帮助该农户选择所获利润最大的方案．
21. 如图，在中，，的平分线交于点D，的平分线交于点E．以上的点O为圆心，为半径作，恰好过点E．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
22. 如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
23. 在“融学课堂”的实践中，李老师经常让学生以“问题”为中心进行自主合作探究学习．
【课堂提问】李老师在课堂上提出这样的问题：如图1，在中，，，那么和有怎样的数量关系?
【互动生成】经小组合作交流后，各小组派代表发言．
（1）小华代表第3 小组发言：．请你补全下面小华证明过程．
证明：如图1，把沿着翻折，得到，
，
，
即点 B，C，D 共线．
………
（2）受到第3小组“翻折”的启发，小明代表第2小组发言：如图 2，在中，如果把条件“”改为“”保持“”不变，且，求 的长．
【能力迁移】我们发现，利用翻折可以探索图形性质，请利用翻折解决下面的问题．
（3）如图 3，点 D 是内一点，，，，求、、三者之间的数量关系．
【课后拓展】
（4）如图4，在四边形中，，，，且，请求出的周长．
组别
获取新闻的主要途径
人数
A
电脑上网
280
B
手机上网
m
C
电视
140
D
报纸
n
E
其他
80