资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩11页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
初中数学苏科版八年级下册第12章 二次根式12.1 二次根式精品课后作业题
展开
这是一份初中数学苏科版八年级下册第12章 二次根式12.1 二次根式精品课后作业题，文件包含第12章《二次根式》教师版docx、第12章《二次根式》学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.53
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•台江区期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝3，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2分）（2023秋•洛阳期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、2与2不能合并，故A不符合题意；
B、÷＝＝3，故B符合题意；
C、5×2＝30，故C不符合题意；
D、＝＝，故D不符合题意；
故选：B．
3．（2分）（2023秋•华容县期末）下列计算正确的有（ ）
A．B．C．D．
解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、2﹣＝，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、×＝2，故D符合题意；
故选：D．
4．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故选：A．
5．（2分）（2023春•江津区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
6．（2分）（2023•蚌山区模拟）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
7．（2分）（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
8．（2分）（2023春•柯桥区期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k
解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴﹣＜k＜+，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
9．（2分）（2023春•大足区期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式A＝与B＝，则下列说法：
①根分式A＝中x的取值范围为：x＞2且x≠1；
②存在实数x，使得B2﹣A2＝1；
③存在无理数x，使得A2+B2是一个整数；
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：根据题意可知x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2．
所以①不正确；
由B2﹣A2＝1，得＝1，
解得x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴存在实数x，使得B2﹣A2＝1．
所以②正确；
根据题意，得A2+B2＝＝＝＝1﹣．
∵A2+B2是一个整数，
∴（x﹣1）2＝1，
解得x＝2或x＝0．
∵x为无理数，
所以③不正确．
所以正确的有1个．
故选：B．
10．（2分）（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
：∴整数m为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023秋•九台区期末）已知|a﹣3|+＝a，则a＝ 13 ．
解：由题意得：
a﹣4≥0，
∴a≥4，
∴|a﹣3|＝a﹣3，
|a﹣3|+＝a，
a﹣3+＝a，
＝3，
a﹣4＝32，
a＝13，
故答案为：13．
12．（2分）（2023春•蚌山区月考）计算＝ ﹣ ．
解：
＝2﹣3
＝﹣，
故答案为：﹣．
13．（2分）（2022秋•绥宁县期末）已知a，b，c是△ABC的三条边长，则化简的结果为 c ．
解：
＝|a+b|﹣|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣（a+b﹣c）
＝a+b﹣a﹣b+c
＝c．
14．（2分）（2023春•微山县期中）已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是 1 ．
解：∵＝2，为最简二次根式，且能够与合并，
∴a+1＝2，
解得：a＝1，
故答案为：1．
15．（2分）（2022春•甘南县校级期中）已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 2008 ．
解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
16．（2分）（2021春•陵城区期中）已知y＝+8x，则的算术平方根为 2 ．
解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
17．（2分）（2021•新市区校级一模）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为 3 ．
解：∵m＝1+，n＝1﹣，
∴（m+n）2＝＝22＝4，
mn＝（1+）×（1﹣）＝1﹣2＝﹣1，
∴m2+n2﹣3mn
＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣5mn
＝4﹣5×（﹣1）
＝9，
∴＝＝3．
故答案为：3．
18．（2分）（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 ＝3﹣2 ．
解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：
第n个式子为：，
∴第8个等式的是：＝，
即：＝3﹣2．
故答案为：＝3﹣2．
19．（2分）（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝ ﹣1 ．
解：第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
a1+a2+a3+…+an
＝﹣1+﹣+…+﹣
＝﹣1
故答案为：﹣1．
20．（2分）（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 ﹣1 ；
（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+ 的解是 ．
解：（1）＝＝﹣1
故答案为：﹣1；
（2）3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝（+），
6x﹣1＝﹣1+，
6x＝3，
x＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•苏州期末）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝3﹣3+2﹣
＝2﹣；
（2）
＝×+×﹣3
＝4+3﹣3
＝4．
22．（6分）（2023秋•宣化区期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得或．
解得x≥3或x≤0．
∴当x≥3或x≤0，有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需≥0，
由乘法法则得或，
解得x≥1或x＜﹣2，
当x≥1或x＜﹣2时，有意义．
23．（8分）（2023春•唐县期末）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：
（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；根据公式计算结果为 2 ；
（2）原式中的计算结果为 1 ；
（3）原式的最终结果为 1 ．
解：（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，根据公式计算结果为2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；2；
（2）原式中的计算结果为1，
故答案为：1；
（3）
＝3﹣1+1﹣2
＝1，
∴原式的最终结果为1，
故答案为：1．
24．（8分）（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝ ﹣ ；②＝ + ．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝ ．（用含n的式子表示，n为正整数）
解：（1）①＝＝﹣；
②＝＝+；
故答案为：①；②+；
（2）
＝+++...+
＝﹣+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣；
（3）
＝+++...+
＝+++...+
＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）
＝，
故答案为：．
25．（8分）（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵＝＝5﹣x﹣2+x＝3，
∵，
∴，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求x的值．
解：（1）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9+x﹣3﹣x＝6，
∵，
∴＝2，
∴的值为2；
（2）由（1）得：﹣＝2，+＝3，
∴2＝5，
∴＝2.5，
∴9+x＝6.25，
∴x＝﹣2.75，
∴x的值为﹣2.75．
（8分）（2023春•武安市期末）像……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
；再如：
．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：＝ ，＝ ；
（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
解：（1）＝＝＝＝．
＝＝＝＝﹣3．
（2）∵＝m2+5n2＝a+6．
∴．
∵m，n，a均为正整数．
∴或．
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
27．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 21 + 4 ＝（ 1 + 2 ）2；
（3）化简
解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
（3）
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝++﹣
＝+
28．（8分）（2022春•合肥期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（S1是Rt△OA1A2的面积）；
，（S2是Rt△OA2A3的面积）；
，（S3是Rt△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：＝ n ，Sn＝ ；
（2）求的值；
（3）在线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有 44 条．
解：（1）由已知条件可知OAn2＝n，Sn＝；
故答案为：n；；
（2）原式＝++++，
＝++
＝2×[++++]
＝2×（++）
＝2×（﹣1）
＝18．
（3）线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022的长分别是、、、、...、．
长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、、a，
∵442＝1936，452＝2025，
∴a＝44，
∴线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有 44条．
故答案为：44
考试时间：100分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.53
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合
题目要求的，请将正确选项前的字母代号填写在括号内）
1．（2分）（2023秋•台江区期末）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、是最简二次根式，故A符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝3，故C不符合题意；
D、＝2，故D不符合题意；
故选：A．
2．（2分）（2023秋•洛阳期末）下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、2与2不能合并，故A不符合题意；
B、÷＝＝3，故B符合题意；
C、5×2＝30，故C不符合题意；
D、＝＝，故D不符合题意；
故选：B．
3．（2分）（2023秋•华容县期末）下列计算正确的有（ ）
A．B．C．D．
解：A、与不能合并，故A不符合题意；
B、2﹣＝，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、×＝2，故D符合题意；
故选：D．
4．（2分）（2022秋•鼓楼区校级期末）已知1＜p＜2，化简+（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故选：A．
5．（2分）（2023春•江津区期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
解：A、＝＝，故A不符合题意；
B、＝2，故B不符合题意；
C、＝，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意；
故选：D．
6．（2分）（2023•蚌山区模拟）如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，f（）表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（ ）
A．nB．nC．nD．n+
解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1，…，f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
7．（2分）（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（ ）
A．5﹣2aB．1﹣2aC．2a﹣5D．2a﹣1
解：∵2＜a＜3，
∴
＝a﹣2﹣（3﹣a）
＝a﹣2﹣3+a
＝2a﹣5．
故选：C．
8．（2分）（2023春•柯桥区期中）如果一个三角形的三边长分别为、k、，则化简﹣|2k﹣5|的结果是（ ）
A．﹣k﹣1B．k+1C．3k﹣11D．11﹣3k
解：∵一个三角形的三边长分别为、k、，
∴﹣＜k＜+，
∴3＜k＜4，
﹣|2k﹣5|，
＝﹣|2k﹣5|，
＝6﹣k﹣（2k﹣5），
＝﹣3k+11，
＝11﹣3k，
故选：D．
9．（2分）（2023春•大足区期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式A＝与B＝，则下列说法：
①根分式A＝中x的取值范围为：x＞2且x≠1；
②存在实数x，使得B2﹣A2＝1；
③存在无理数x，使得A2+B2是一个整数；
其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：根据题意可知x﹣2≥0且x﹣1≠0，
解得x≥2．
所以①不正确；
由B2﹣A2＝1，得＝1，
解得x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴存在实数x，使得B2﹣A2＝1．
所以②正确；
根据题意，得A2+B2＝＝＝＝1﹣．
∵A2+B2是一个整数，
∴（x﹣1）2＝1，
解得x＝2或x＝0．
∵x为无理数，
所以③不正确．
所以正确的有1个．
故选：B．
10．（2分）（2021秋•邵东市期末）若二次根式有意义，且关于x的分式方程+2＝有正数解，则符合条件的整数m的和是（ ）
A．﹣7B．﹣6C．﹣5D．﹣4
解：去分母得，﹣m+2（x﹣1）＝3，
解得，x＝，
∵关于x的分式方程+2＝有正数解，
∴＞0，
∴m＞﹣5，
又∵x＝1是增根，当x＝1时，＝1，即m＝﹣3
∴m≠﹣3，
∵有意义，
∴2﹣m≥0，
∴m≤2，
因此﹣5＜m≤2且m≠﹣3，
∵m为整数，
：∴整数m为﹣4，﹣2，﹣1，0，1，2，其和为﹣4，
故选：D．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分．不需写出解答过程，请将正确答案填写在横线上）
11．（2分）（2023秋•九台区期末）已知|a﹣3|+＝a，则a＝ 13 ．
解：由题意得：
a﹣4≥0，
∴a≥4，
∴|a﹣3|＝a﹣3，
|a﹣3|+＝a，
a﹣3+＝a，
＝3，
a﹣4＝32，
a＝13，
故答案为：13．
12．（2分）（2023春•蚌山区月考）计算＝ ﹣ ．
解：
＝2﹣3
＝﹣，
故答案为：﹣．
13．（2分）（2022秋•绥宁县期末）已知a，b，c是△ABC的三条边长，则化简的结果为 c ．
解：
＝|a+b|﹣|c﹣a﹣b|
＝a+b﹣（a+b﹣c）
＝a+b﹣a﹣b+c
＝c．
14．（2分）（2023春•微山县期中）已知为最简二次根式，且能够与合并，则a的值是 1 ．
解：∵＝2，为最简二次根式，且能够与合并，
∴a+1＝2，
解得：a＝1，
故答案为：1．
15．（2分）（2022春•甘南县校级期中）已知|a﹣2007|+＝a，则a﹣20072的值是 2008 ．
解：∵|a﹣2007|+＝a，∴a≥2008．
∴a﹣2007+＝a，
＝2007，
两边同平方，得a﹣2008＝20072，
∴a﹣20072＝2008．
16．（2分）（2021春•陵城区期中）已知y＝+8x，则的算术平方根为 2 ．
解：由题意得，2x﹣1≥0且1﹣2x≥0，
解得x≥且x≤，
∴x＝，
∴y＝+8x＝0+0+8×＝4，
∴＝＝4，
∴的算术平方根是2．
故答案为：2．
17．（2分）（2021•新市区校级一模）已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式的值为 3 ．
解：∵m＝1+，n＝1﹣，
∴（m+n）2＝＝22＝4，
mn＝（1+）×（1﹣）＝1﹣2＝﹣1，
∴m2+n2﹣3mn
＝（m+n）2﹣2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣5mn
＝4﹣5×（﹣1）
＝9，
∴＝＝3．
故答案为：3．
18．（2分）（2021春•西乡塘区校级月考）观察：①＝﹣1，②＝﹣，③＝2﹣．……按此规律，第8个等式的是 ＝3﹣2 ．
解：通过观察等式的中被开方数与等式的序号的关系找到规律为：
第n个式子为：，
∴第8个等式的是：＝，
即：＝3﹣2．
故答案为：＝3﹣2．
19．（2分）（2023秋•覃塘区期末）观察下列等式：
第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
按上述规律，计算a1+a2+a3+…+an＝ ﹣1 ．
解：第1个等式：a1＝＝﹣1，
第2个等式：a2＝＝，
第3个等式：a3＝＝2﹣，
第4个等式：a4＝＝﹣2，
…
a1+a2+a3+…+an
＝﹣1+﹣+…+﹣
＝﹣1
故答案为：﹣1．
20．（2分）（2022•普定县模拟）阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化．分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号．例如：，
（1）将分母有理化可得 ﹣1 ；
（2）关于x的方程3x﹣＝+++…+ 的解是 ．
解：（1）＝＝﹣1
故答案为：﹣1；
（2）3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝+++…+，
3x﹣＝（+），
6x﹣1＝﹣1+，
6x＝3，
x＝，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（6分）（2023秋•苏州期末）计算：
（1）；
（2）．
解：（1）
＝3﹣3+2﹣
＝2﹣；
（2）
＝×+×﹣3
＝4+3﹣3
＝4．
22．（6分）（2023秋•宣化区期末）先阅读，后回答问题：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需x（x﹣3）≥0，由乘法法则得或．
解得x≥3或x≤0．
∴当x≥3或x≤0，有意义．
体会解题思想后，请你解答：x为何值时，有意义？
解：要使该二次根式有意义，需≥0，
由乘法法则得或，
解得x≥1或x＜﹣2，
当x≥1或x＜﹣2时，有意义．
23．（8分）（2023春•唐县期末）小明在计算时，先对题目进行了分析，请你根据他的思路填空：
（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为 （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 ；根据公式计算结果为 2 ；
（2）原式中的计算结果为 1 ；
（3）原式的最终结果为 1 ．
解：（1）原式中的结构特征满足某个乘法公式，该公式为（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，根据公式计算结果为2，
故答案为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；2；
（2）原式中的计算结果为1，
故答案为：1；
（3）
＝3﹣1+1﹣2
＝1，
∴原式的最终结果为1，
故答案为：1．
24．（8分）（2023秋•岳阳楼区期末）阅读下面解题过程．
例：化简．
解：．
请回答下列问题．
（1）归纳：请直接写出下列各式的结果：①＝ ﹣ ；②＝ + ．
（2）应用：化简．
（3）拓展：＝ ．（用含n的式子表示，n为正整数）
解：（1）①＝＝﹣；
②＝＝+；
故答案为：①；②+；
（2）
＝+++...+
＝﹣+﹣+﹣+...+﹣
＝﹣；
（3）
＝+++...+
＝+++...+
＝（﹣1+﹣+﹣+...+﹣）
＝，
故答案为：．
25．（8分）（2023春•张店区期末）阅读材料，解答下列问题．
材料：已知，求的值．
小明同学是这样解答的：
∵＝＝5﹣x﹣2+x＝3，
∵，
∴，
这种方法称为“构造对偶式”．
问题：已知．
（1）求的值；
（2）求x的值．
解：（1）∵（﹣）（+）＝（）2﹣（）2＝9+x﹣3﹣x＝6，
∵，
∴＝2，
∴的值为2；
（2）由（1）得：﹣＝2，+＝3，
∴2＝5，
∴＝2.5，
∴9+x＝6.25，
∴x＝﹣2.75，
∴x的值为﹣2.75．
（8分）（2023春•武安市期末）像……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：
；再如：
．请用上述方法探索并解决下列问题：
（1）化简：＝ ，＝ ；
（2）若a+6＝（m+n）2，且a，m，n为正整数，求a的值．
解：（1）＝＝＝＝．
＝＝＝＝﹣3．
（2）∵＝m2+5n2＝a+6．
∴．
∵m，n，a均为正整数．
∴或．
∴a＝1+45＝46或a＝9+5＝14．
a＝46或14．
27．（8分）（2022秋•丰泽区校级期末）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2．
设a+b（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样可以把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ．
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 21 + 4 ＝（ 1 + 2 ）2；
（3）化简
解：（1）∵，＝m2+2mn+3n2
∴a＝m2+3n2，b＝2mn
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）设a+b＝
则＝m2+2mn+5n2
∴a＝m2+5n2，b＝2mn
若令m＝1，n＝2，则a＝21，b＝4
故答案为：21，4，1，2．
（3）
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝﹣
＝++﹣
＝+
28．（8分）（2022春•合肥期末）细心观察下图，认真分析各式，然后解答下列问题：
，（S1是Rt△OA1A2的面积）；
，（S2是Rt△OA2A3的面积）；
，（S3是Rt△OA3A4的面积）；
…
（1）请用含有n（n为正整数）的式子填空：＝ n ，Sn＝ ；
（2）求的值；
（3）在线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有 44 条．
解：（1）由已知条件可知OAn2＝n，Sn＝；
故答案为：n；；
（2）原式＝++++，
＝++
＝2×[++++]
＝2×（++）
＝2×（﹣1）
＝18．
（3）线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022的长分别是、、、、...、．
长度为正整数的数字分别是1、2、3、4、5、、a，
∵442＝1936，452＝2025，
∴a＝44，
∴线段OA1、OA2、OA3、…、OA2022中，长度为正整数的线段共有 44条．
故答案为：44
相关试卷
初中数学苏科版八年级下册11.1 反比例函数优秀测试题： 这是一份初中数学苏科版八年级下册<a href="/sx/tb_c17228_t7/?tag_id=28" target="_blank">11.1 反比例函数优秀测试题</a>，文件包含第11章《反比例函数》教师版docx、第11章《反比例函数》学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
初中数学10.1 分式精品习题： 这是一份初中数学<a href="/sx/tb_c17224_t7/?tag_id=28" target="_blank">10.1 分式精品习题</a>，文件包含第10章《分式》教师版docx、第10章《分式》学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共19页， 欢迎下载使用。
苏科版八年级下册12.1 二次根式精品同步达标检测题： 这是一份苏科版八年级下册<a href="/sx/tb_c95570_t7/?tag_id=28" target="_blank">12.1 二次根式精品同步达标检测题</a>，文件包含第12章二次根式学生版docx、第12章二次根式教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共47页， 欢迎下载使用。
