浙教版七年级数学下册基础知识专项讲练 专题3.13 多项式乘以多项式（知识讲解）

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1. 会进行多项式与多项式的乘法计算．
2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活运用运算律简化运算.
【要点梳理】
多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
特别说明：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：.
【典型例题】
类型一、多项式乘以多项式➽➼直接运算✭✭（x+p）（x+q）运算（解方程）
1．
【答案】．
【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再利用去括号法则去括号后，合并同类项即可得到结果．
解：原式
．
故答案为．
【点拨】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.
举一反三：
【变式1】计算：（x2+3）（2x2﹣5）
【答案】2x4+x2﹣15
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则计算即可.
解：（x2+3）（2x2﹣5）=2x4﹣5x2+6x2﹣15 =2x4+x2﹣15
【点拨】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
【变式2】计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】利用多项式乘以多项式法则计算即可得到；
解：（1）
；
（2）
；
（3）
．
【点拨】此题考查整式的乘法法则，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．
2．若，求的值．
【答案】．
【分析】根据多项式乘以多项式的法则先计算（x+a）（x+b），然后求出a+b=3，ab=-4，再求即可．
解：∵
∴ ，．
∴ ．
故答案为．
【点拨】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键.
举一反三：
【变式1】已知，，均为整数，且，求的所有可能值．
【答案】，．
【分析】根据多项式乘以多项式的计算法则求出即可得到，，由此进行求解即可．
解：∵，
∴，，
∵a，b，均为整数，
∴或或或或或或或，
∴，或或，，或或
m取的值有±5或±7．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
【变式2】解方程：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）．
【答案】x＝－1
【分析】先根据多项式乘多项式法则去括号，再移项，合并同类项，化系数为1．
解：（x＋3）（x－7）＋8＝（x＋5）（x－1）
x2－7x＋3x－21＋8＝x2－x＋5x－5
x2－7x＋3x－x2＋x－5x＝－5＋21－8
－8x＝8
x＝－1．
【点拨】本题考查的是多项式乘多项式，解答本题的关键是熟练掌握多项式乘多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
类型二、多项式乘以多项式➽➼化简求值✭✭求参数✭✭不含（无关）问题
3．先化简，再求值：
，其中，．
，其中．
【答案】(1) ，(2) ，
【分析】（1）先算多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，再合并同类项，最后代值计算即可；
（2）先算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后代值计算即可．
解：（1）原式，
；
当时，上式；
（2）原式，
；
当时，上式．
【点拨】本题考查整式的化简求值．熟练的掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，合并同类项的法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】先化简，再求值：，其中．
【答案】；
【分析】根据多项式的乘法进行化简，然后将字母的值代入进行计算即可求解．
解：原式
；
当时，
原式
．
【点拨】本题考查了多项式的乘法的化简求值，正确的去括号是解题的关键．
【变式2】先化简再求值：
，其中；
，其中．
【答案】(1) ；21(2) ；0
【分析】（1）先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行化简，再将代入数据进行计算即可．
（1）解：
当时，原式．
（2）解：
当时，原式．
【点拨】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．
4．若的展开式中不含和项，求：
的值．
求的值．
【答案】(1) (2)
【分析】（1）原式利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，由结果不含和项，列方程求出与的值即可，
（2）把与的值代入求值．
解：（1）
∵原式展开式中不含项和项，
∴
解得．
（2）
当时，
原式
【点拨】本题考查了多项式乘以多项式，多项式的项的定义，能得出关于的方程是解此题的关键．
举一反三：
【变式1】（1）试说明代数式的值与s，t的取值有无关系．
（2）已知多项式ax﹣b与的乘积展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，试求的值．
【答案】（1）见分析；（2）1
【分析】（1）根据多项式乘多项式法则和单项式乘多项式法则对原式进行计算，再合并同类项，可得结果为，即可解答；
（2）根据多项式乘多项式法则对原式进行计算，然后合并同类项，再根据题意可得x的一次项系数为0，常数项为﹣4，列式求解得到a和b的值，即可求得的值 .
解：（1）（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）
．
故代数式（s﹣2t）（s+2t+1）+4t（t+）的值与s的取值有关系，与t的取值无关系；
（2）∵，
又∵展开式中不含x的一次项，且常数项为﹣4，
∴，
解得：，
∴．
【点拨】本题考查整式的混合运算和无关型问题，与哪一项无关即是该项的系数为0，熟练掌握多项式乘多项式的法则是解题的关键．
【变式2】小红准备完成题目：计算，她发现第一个因式的一次项系数被墨水遮挡住了．
她把被遮住的一次项系数猜成3，请你完成计算：；
老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的，”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？
【答案】(1) (2) 2
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的计算法则求解即可；
（2）设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，根据多项式乘以多项式的计算法则计算出结果，再根据结果不含一次项即一次项系数为0进行求解即可．
（1）解：
；
（2）解：设第一次因式的一次项系数为a，则原题目变为，
，
∵的计算结果不含一次项，
∴，
∴，
∴被遮住的一次项系数是2．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．
类型三、多项式乘以多项式➽➼图形问题✭✭规律问题
5．聪聪和同学们用2张型卡片、2张型卡片和1张型卡片拼成了如图所示的长方形．其中型卡片是边长为的正方形；型卡片是长方形；型卡片是边长为的正方形．
请用含a、b的代数式分别表示出型卡片的长和宽；
如果，，请求出他们用5张卡片拼出的这个长方形的面积．
【答案】(1)型卡片的长为：，宽为：
(2)所拼成的长方形的面积为364
【分析】（1）结合图形进行分析得出型卡片的长和宽即可；
（2）根据图形以及第（1）问求出的型卡片的长和宽即可表示拼出的长方形的面积．
解：（1）由题意得：型卡片的长：，宽为：；
（2）所拼成的长方形的面积为：
，
当，时，
原式=．
【点拨】本题主要考查了多项式乘多项式，解答的关键是得出型卡片的长和宽．
举一反三：
【变式1】图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．
请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：方法一：_____________；方法二：_____________．
若图2中大正方形边长为5，小长方形面积为4，请跟据第（1）题的计算求小正方形的边长及小长方形的长与宽．
【答案】(1) ，(2) 小正方形的边长为3；小长方形的长为4，宽为1
【分析】（1）阴影部分可用“正方形面积=边长×边长”表示，也可用大正方形面积减去四个长方形面积表示；
（2）根据题意可得：，根据（1）中得到的两个代数式相等，可求出的值，构建二元一次方程组，即可解答．
（1）解：根据题意得：
阴影部分的边长为：，
∴阴影部分面积可表示为：，
大正方形的边长为：，
∴阴影部分面积可表示为：，
故答案为：，．
（2）∵大正方形边长为5，小长方形面积为4，
∴，
∵，
∴，则，
联立得：，解得：，
∴小正方形的边长为3，小长方形的长为4，宽为1．
【点拨】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是根据图形，找出阴影部分面积的两种表示方式．
【变式2】如图所示，直角是“阳光小区”内一块空地，已知米，米，若E为边的中点， ，现打算在阴影部分种植一片草坪，则这片草坪的面积是多少平方米？
【答案】
【分析】利用的面积减去的面积即可得到阴影部分的面积．
解：由题意得：，
，
则草坪的面积
．
答：这片草坪的面积是平方米．
【点拨】此题考查整式乘法的实际应用，整式的混合运算，正确理解题意列式计算是解题的关键．
6．请同学观察、计算、思考完成下列问题：
计算：
（1）______；
（2）______；
（3）______；
猜想并验证：
（4）______；
思考：
（5）求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）根据多项式乘多项式计算即可；
（2）根据多项式乘多项式计算即可；
（3）根据多项式乘多项式计算即可；
（4）根据多项式乘多项式计算即可；
（5）将所求式子变形，再计算即可．
解：（1），
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）
，
故答案为：；
（4）
，
故答案为：；
（5）
．
【点拨】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子结果的特点．
举一反三：
【变式1】观察下列各式：
根据以上规律，则___________．
你能否由此归纳出一般规律___________．
根据以上规律求的值．
【答案】(1) (2) (3)
【分析】（1）根据给出式子的规律书写即可；
（2）根据给出式子的规律即可得出结果；
（3）根据（2）中的规律计算即可；
解：（1）∵，
，
，
∴；
故答案是：．
（2）根据题意得：；
故答案是：；
（3）∵，
∴．
【点拨】本题主要考查了多项式乘法的规律题，准确计算是解题的关键．
【变式2】探究应用：
计算______________； ______________．
上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式：______________（请用含a，b的字母表示）．
下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______．
A． B．
C． D．
(4)直接用公式计算：______．
【答案】(1) ；(2) (3) C
【分析】（1）按多项式的乘法法则进行展开后，合并同类项即可得；
（2）根据（1）中的计算进行总结即可；
（3）根据（2）中总结的公式特点进行判断即可；
（4）利用（2）中的公式进行计算即可．
（1）解：
；
；
故答案为：；；
（2）解： 根据（1）得：，
∴发现一个新的乘法公式：；
故答案为：；
（3）解：A、，不符合（2）中公式，故本选项不符合题意；
B、，不符合（2）中公式，故本选项不符合题意；
C． ，符合（2）中公式，故本选项符合题意；
D．，不符合（2）中公式，故本选项不符合题意；
故选：C；
（4）解：

．
【点拨】本题考查了多项式乘多项式及探索规律题，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
类型四、多项式乘以多项式混合运算➽➼图形问题✭✭规律问题
7．计算：
（1） （2）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据单项式乘多项式的运算法则进行计算即可；
（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可．
解：（1）
；
（2）
．
【点拨】本题考查了单项式乘多项式以及多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】计算：
； (2) ．
【答案】(1) ；(2) ．
【分析】（1）根据单项式乘多项式法则进行计算；
（2）根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【变式2】计算：（1）； （2）．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）连续两次应用平方差公式计算即可；
（2）先用平方差，再用完全平分公式展开计算即可；
解：（1）原式．
（2），
，
，
，
．
【点拨】本题主要考查了整式乘法的公式运用，准确计算是解题的关键．
8．先化简，再求值：，其中，.
【答案】，．
【分析】原式中括号中利用完全平方公式，平方差公式，以及多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把与的值代入计算即可求出值．
解：
，
当，时，
原式．
【点拨】此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
举一反三：
【变式1】先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】根据整式的运算法则化简，再代入x，y即可求解．
解：
将，代入得：
原式=
【点拨】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式的运算法则和去括号法则．
【变式2】计算：
（1）化简：
（2）已知，化简并求的值．
【答案】（1）；（2）；
【分析】（1）去括号后再合并同类项可以得到解答；
（2）根据非负数的性质和已知条件求得x、y的值，然后对给定整式先去括号、再合并同类项进行化简，最后把第一步求得的x、y的值代入化简后的算式即可得到解答．
解：（1）原式
；
（2）∵，
∴,
,
原式
，
将代入得：
原式
【点拨】本题考查整式的计算、化简与求值，熟练掌握整式的运算法则和非负数和为0的性质是解题关键．