专题2.3 根的判别式-2023-2024学年八年级数学下册各单元的重点题型+章末检测（浙教版）

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\l "_Tc30997" 【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc30997 \h 1
\l "_Tc4230" 【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】 PAGEREF _Tc4230 \h 2
\l "_Tc15250" 【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】 PAGEREF _Tc15250 \h 2
\l "_Tc2754" 【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】 PAGEREF _Tc2754 \h 3
\l "_Tc32484" 【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】 PAGEREF _Tc32484 \h 3
\l "_Tc17755" 【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】 PAGEREF _Tc17755 \h 3
\l "_Tc29072" 【题型7 根的判别式与三角形的综合】 PAGEREF _Tc29072 \h 4
\l "_Tc30097" 【题型8 根的判别式与四边形的综合】 PAGEREF _Tc30097 \h 5
\l "_Tc31073" 【题型9 关于根的判别式的多结论问题】 PAGEREF _Tc31073 \h 5
\l "_Tc359" 【题型10 关于根的判别式的新定义问题】 PAGEREF _Tc359 \h 6
【知识点 一元二次方程根的判别式】
一元二次方程根的判别式：∆=b2−4ac．
①当∆=b2−4ac>0时，原方程有两个不等的实数根；
②当∆=b2−4ac=0时，原方程有两个相等的实数根；
③当∆=b2−4ac<0时，原方程没有实数根.
【题型1 判断不含字母的一元二次方程的根的情况】
【例1】（2023春·山东青岛·八年级统考期末）下列方程中，有两个相等实数根的是（ ）
A． x2−2x+1=0 B． x2+1=0 C． x2−2x−3=0 D． x2−2x=0
【变式1-1】（2023春·八年级课时练习）一元二次方程 x2−22x+2=0 的实数根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法判断1
【变式1-2】（2023春·江西·八年级统考阶段练习）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+1=0B．x2+2x+1=0C．x2=4D．x2+x−2=0
【变式1-3】（2023春·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考期中）在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x2+2x+3=0B．4x+1+1=0
C．xx−1=1x−1D．x3+8=0
【题型2 判断含字母的一元二次方程的根的情况】
【例2】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）已知关于x的方程ax2−(1−a)x−1=0，下列说法正确的是（ ）
A．当a=0时，方程无实数解B．当a≠0时，方程有两个相等的实数解
C．当a=−1时，方程有两个不相等的实数解D．当a=−1时，方程有两个相等的实数解
【变式2-1】（2023·河北邯郸·统考一模）已知a、c互为相反数，则关于x的方程ax2+5x+c=0a≠0根的情况（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．有一根为5
【变式2-2】（2023·全国·八年级专题练习）已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0的根的情况．
【变式2-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）关于x的一元二次方程x2−5x+c=0，当c=t0时，方程有两个相等的实数根：若将c的值在t0的基础上增大，则此时方程根的情况是（ ）
A．没有实数根B．两个相等的实数根
C．两个不相等的实数根D．一个实数根
【题型3 由方程根的情况确定字母的值或取值范围】
【例3】（2023春·浙江舟山·八年级校联考期中）在实数范围内，存在2个不同的x的值，使代数式x2−3x+c与代数式x+2值相等，则c的取值范围是 ．
【变式3-1】（2023春·北京西城·八年级北京市第三十五中学校考期中）已知关于x的方程mx2−3x+1=0无实数解，则m取到的最小正整数值是 ．
【变式3-2】（2023春·广西梧州·八年级校考期中）关于x的方程x2+2m−2x+m2−3m+3=0．
(1)有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若方程有实数根，而且m为非负整数，求方程的根．
【变式3-3】（2023春·北京平谷·八年级统考期末）关于x的一元二次方程ax2−2ax+b+1=0（ab≠0）有两个相等的实数根k，则下列选项成立的是（ ）
A．若﹣1＜a＜0，则ka>kbB．若ka>kb，则0＜a＜1
C．若0＜a＜1，则ka【题型4 应用根的判别式证明方程根的情况】
【例4】（2023春·广东珠海·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程x2−2mx+m2−1=0．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的一根大于2，一根小于1，求m的取值范围．
【变式4-1】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程2x2+2mx+m−1=0，求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个不相等实数根．
【变式4-2】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2−3x+2=m(x−1)．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程两个根的差是2，求实数m的值．
【变式4-3】（2023春·八年级课时练习）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【题型5 应用根的判别式求代数式的取值范围】
【例5】（2023春·浙江温州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+3m=0有实数根，设此方程的一个实数根为t，令y=t2−2t+4m+1，则y的取值范围为 ．
【变式5-1】（2023春·安徽合肥·八年级统考期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根x0，则下列关于2ax0+b的值判断正确的是（ ）
A．2ax0+b>0B．2ax0+b=0C．2ax0+b<0D．2ax0+b≤0
【变式5-2】（2023春·浙江宁波·八年级统考期末）已知实数m,n满足m2−mn+n2=3，设P=m2+mn−n2，则P的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式5-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，设此方程的一个实数根为b，令y=4b2−8b+3m+2，则（ ）
A．y>1B．y≥1C．y≤1D．y<1
【题型6 根的判别式与不等式、分式、函数等知识的综合】
【例6】（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期中）若关于x的一元一次不等式组3x+82≤x+63x+a>4x−5的解集为x≤4，关于x的一元二次方程(a−1)x2+3x+1=0有实数根，则所有满足条件的整数a的值之和是 ．
【变式6-1】（2023春·安徽安庆·八年级安庆市第四中学校考期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式6-2】（2023春·八年级课时练习）要使关于x的一元二次方程ax2+2x−1=0有两个实数根，且使关于x的分式方程xx−4+a+24−x=2的解为非负数的所有整数a的个数为（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
【变式6-3】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知a，b为正整数，且满足a+ba2+ab+b2=449，则a+b的值为（ ）
A．4B．10C．12D．16
【题型7 根的判别式与三角形的综合】
【例7】（2023春·广东惠州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程a+cx2−2bx+a−c=0，其中分别a、b、c是△ABC的边长．
(1)若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状；
(2)若△ABC是等边三角形，试求该一元二次方程的根．
【变式7-1】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）已知关于x的一元二次方程x2−2k+1x+k2+k=0．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，
①若k=3时，请判断△ABC的形状并说明理由；
②若△ABC是等腰三角形，求k的值．
【变式7-2】（2023春·浙江金华·八年级校考期中）已知关于x的方程x2−m+1x+2m−1=0．
(1)当方程一个根为x=3时，求m的值．
(2)求证：无论m取何值，这个方程总有实数根．
(3)若等腰△ABC的一腰长a=6，另两边b、c恰好是这个方程的两个根．则△ABC的面积为______．
【变式7-3】（2023春·福建厦门·八年级厦门市松柏中学校考期末）已知关于x的一元二次方程x2−m+5x+5m=0．
(1)求证：此一元二次方程一定有两个实数根；
(2)设该一元二次方程的两根为a，b，且6，a，b分别是一个直角三角形的三边长，求m的值．
【题型8 根的判别式与四边形的综合】
【例8】（2023春·四川成都·八年级校考阶段练习）已知：矩形ABCD的两边AB，BC的长是关于方程x2−mx+m2−14=0的两个实数根．
(1)当m为何值时，矩形ABCD是正方形？求出这时正方形的边长；
(2)若AB的长为2，那么矩形ABCD的周长是多少？
【变式8-1】（2023春·湖南益阳·八年级统考期末）已知▱ABCD两邻边是关于x的方程x2-mx+m-1=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD为菱形？求出这时菱形的边长．
（2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？
【变式8-2】（2023春·浙江杭州·八年级杭州市采荷中学校考期中）已知关于x的一元二次方程x2+m−5x−5m=0．
(1)判别方程根的情况，并说明理由．
(2)设该一元二次方程的两根为a， b，且a， b是矩形两条对角线的长，求矩形对角线的长．
【变式8-3】（2023春·广东佛山·八年级校考期中）关于x的一元二次方程14x2−mx+2m−1=0的两个根是平行四边形ABCD的两邻边长．
(1)当m=2，且四边形ABCD为矩形时，求矩形的对角线长度．
(2)若四边形ABCD为菱形，求菱形的周长．
【题型9 关于根的判别式的多结论问题】
【例9】（2023春·河北保定·八年级保定市第十七中学校考期末）已知关于x的方程kx2−2k−3x+k−2=0，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②k=0时，方程只有一个实数根；③k≤94且k≠0时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【变式9-1】（2023春·浙江绍兴·八年级统考期末）已知aa>1是关于x的方程x2−bx+b−a=0的实数根．下列说法：①此方程有两个不相等的实数根；②当a=t＋1时，一定有b=t−1；③b是此方程的根；④此方程有两个相等的实数根．上述说法中，正确的有（ ）
A．①②B．②③C．①③D．③④
【变式9-2】（2023春·浙江杭州·八年级校考期中）对于代数式ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）①若b2−4ac=0，则ax2+bx+c=0有两个相等的实数根；②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c；③若ax2+bx+c+2=0与方程x+2x−3=0的解相同，则4a−2b+c=−2，以上说法正确的是 ．
【变式9-3】（2023春·浙江·八年级期末）已知方程甲：ax2+2bx+a=0，方程乙：bx2+2ax+b=0都是一元二次方程，
①若x=1是方程甲的解，则x=1也是方程乙的解；
②若方程甲有两个相等的实数解，则方程乙也有两个相等的实数解；
③若方程甲有两个不相等的实数解，则方程乙也有两个不相等的实数解；
④若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或−1．
以上说法中正确的序号是（ ）
A．①②B．③④C．①②③④D．①②④
【题型10 关于根的判别式的新定义问题】
【例10】（2023春·江苏宿迁·八年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”； a∗b=a2−aba≤bb2−aba>b，关于x的方程2x∗x−1=t+3恰好有三个不相等的实数根，则t的取值范围是 ．
【变式10-1】（2023春·四川雅安·八年级统考期末）对于实数a，b定义运算“☆”如下：a☆b=ab2−ab，例如3☆2=3×22−3×2=6，则方程2☆x=−12的根的情况为（ ）
A．没有实数根B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
【变式10-2】（2023春·安徽马鞍山·八年级校考阶段练习）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a+b+c=0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c=0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．a=b−cB．a=bC．b=cD．a=c
【变式10-3】（2023春·河北沧州·八年级统考期中）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有m，p※q，n=mn+pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：2，3※4，5=2×5+3×4=22．若关于x的方程x2+1，x※5−2k，k=0：有两个实数根，则k的取值范围是 ．