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广东省广州市天河区大观学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 矩形的对角线长为5，边的长是方程的一个根，则该矩形的面积为（ ）
A. 6B. 12C. 6或12D. 8或12
4. 将二次函数的图象向上平移个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 根的情况无法确定
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. AE＝ECB. AB＝CDC. ∠B＝∠DD. ∠AEF＝∠B
7. 抛物线y＝x2﹣2与y轴交点的坐标是( )
A. (0，2)B. (0，﹣2)C. (2，0)D. (﹣2，0)
8. 某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1480万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年在2018年的基础上增加投入资金2000万元．若设从2018年到2020年该地投入异地安置资金的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围 ____________．
12. 已知为一元二次方程两个实数根，那么________．
13. 已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2019的值为_____．
14. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
15. 如图，C为线段AB中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ___．
16. 已知二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有__________（填写正确的序号）
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
18. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
19. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（1，2），D（3，3）．
（1）作出△ABC绕点D旋转180°得到；
（2）作出点绕点顺时针旋转90°得到点E；
（3）在轴上存在点P，使得最大，直接写出点P的坐标
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
21. 某服装店在销售中发现，进货价每件60元，销售价每件100元的服装平均每天可售出20件，为了迎接“双十一”，服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，请解答下列问题：
（1）降价前服装店每天销售该服装可获利多少元？
（2）如果服装店每天销售这种服装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？
22. 已知抛物线L：y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，交y轴于（0，4a）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）直线y=kx﹣2k+4（k≠0）与抛物线L相交A，B两点（A在B左侧），抛物线L的顶点记为点C；
①若点A的横坐标为1，△ABC的面积为10，求a的值；
②过点A作AE⊥x轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长．
23. 阅读下面的材料：
老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x方程的两根为，且，求正数m的值．
小玉解法如下：
解：∵，，又∵，∴，解得，．
问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？
24. 如图1，点E是正方形外的一点，以为边构造正方，点M是边上的动点，点N是的边上的动点．
（1）证明：；
（2）如图（1）：当和分别是和的中线时，试猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由．
类比猜想：
小亮解决完上述问题后，进行了积极的思考，他认为：在（2）问中，当分别是和的高（如图2），其他条件不变时，问题（2）的结论依然成立．请你说明小亮的观点是否正确，并说明理由．
感悟发现：
小惠认为：在问题（2）中，当时，问题（2）的结论依然成立．请你思考：
1）小惠的说法是否正确？答： ．（填写“正确”或“不正确”，不需要证明）
2）思考上面的探究过程，当和还满足什么条件（其他条件不变）时，使得（2）中的结论依然成立？请直接写出满足的条件（写出一个即可，不要求证明）．
25. 已知拋物线．
（1）若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
（2）若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列四个图形中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 矩形的对角线长为5，边的长是方程的一个根，则该矩形的面积为（ ）
A. 6B. 12C. 6或12D. 8或12
4. 将二次函数的图象向上平移个单位，得到的图象对应的函数表达式是（ ）
A. B.
C. D.
5. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 根的情况无法确定
6. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是（ ）
A. AE＝ECB. AB＝CDC. ∠B＝∠DD. ∠AEF＝∠B
7. 抛物线y＝x2﹣2与y轴交点的坐标是( )
A. (0，2)B. (0，﹣2)C. (2，0)D. (﹣2，0)
8. 某地2018年为做好“精准扶贫”，投入资金1480万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2020年在2018年的基础上增加投入资金2000万元．若设从2018年到2020年该地投入异地安置资金的年平均增长率为，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11. 在函数中，自变量x的取值范围 ____________．
12. 已知为一元二次方程两个实数根，那么________．
13. 已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的一个交点为（m，0），则代数式2m2﹣2m+2019的值为_____．
14. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为______．
15. 如图，C为线段AB中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若AB＝2，AE＝4，则CD的长为 ___．
16. 已知二次函数图象如图所示，下列结论：①；②；③；④点都在抛物线上，则有．其中正确的结论有__________（填写正确的序号）
三．解答题（共9小题，满分72分）
17. 解方程：
（1）3x2﹣7x﹣10＝0；
（2）（x+1）（x+3）＝15．
18. 如图，将绕点A逆时针旋转一个角度，得到，点B的对应点D恰好落在边上．且点A、B、E在同一条直线上．
（1）求证：平分；
（2）若，求旋转角的度数．
19. 如图，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（1，2），D（3，3）．
（1）作出△ABC绕点D旋转180°得到；
（2）作出点绕点顺时针旋转90°得到点E；
（3）在轴上存在点P，使得最大，直接写出点P的坐标
20. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围．
21. 某服装店在销售中发现，进货价每件60元，销售价每件100元的服装平均每天可售出20件，为了迎接“双十一”，服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，请解答下列问题：
（1）降价前服装店每天销售该服装可获利多少元？
（2）如果服装店每天销售这种服装盈利1200元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？
22. 已知抛物线L：y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x=2，交y轴于（0，4a）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）直线y=kx﹣2k+4（k≠0）与抛物线L相交A，B两点（A在B左侧），抛物线L的顶点记为点C；
①若点A的横坐标为1，△ABC的面积为10，求a的值；
②过点A作AE⊥x轴，垂足为E，延长AE交直线BC于F，求线段EF的长．
23. 阅读下面的材料：
老师出了一道家庭作业题，题目是：已知关于x方程的两根为，且，求正数m的值．
小玉解法如下：
解：∵，，又∵，∴，解得，．
问题：小玉的解法对吗？如果不对，她错在哪里？应如何改正？
24. 如图1，点E是正方形外的一点，以为边构造正方，点M是边上的动点，点N是的边上的动点．
（1）证明：；
（2）如图（1）：当和分别是和的中线时，试猜想和的数量关系和位置关系，并说明理由．
类比猜想：
小亮解决完上述问题后，进行了积极的思考，他认为：在（2）问中，当分别是和的高（如图2），其他条件不变时，问题（2）的结论依然成立．请你说明小亮的观点是否正确，并说明理由．
感悟发现：
小惠认为：在问题（2）中，当时，问题（2）的结论依然成立．请你思考：
1）小惠的说法是否正确？答： ．（填写“正确”或“不正确”，不需要证明）
2）思考上面的探究过程，当和还满足什么条件（其他条件不变）时，使得（2）中的结论依然成立？请直接写出满足的条件（写出一个即可，不要求证明）．
25. 已知拋物线．
（1）若此拋物线与轴只有一个公共点且过点．
①求此抛物线的解析式；
②直线与该抛物线交于点和点．若，求的取值范围．
（2）若，将此抛物线向上平移个单位得到新抛物线，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
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