湖南省永州市冷水滩区德雅学校2023-2024学年八年级下学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 在式子，，，，，中，分式有（ ）
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
2. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A B. C. D.
3. 下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的为（ ）
A B.
C. ，，D.
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 下列说法正确的是（ ）．
A. 平方根是B. 的算术平方根是
C. 负数没有立方根D. 是2的算术平方根
6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 下列命题是假命题的是（ ）
A. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B. 等边三角形有3条对称轴
C. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等
D. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
8. 如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（ ）
A. 8B. 13C. 16D. 17
9. 若关于x的分式方程无解，则a的值为( )
A 0B. 1C. 1或5D. 5
10. 如图，在中，，平分交于点D，平分交于点E，，交于点F．则下列说法正确的有（ ）
①；②；③若，则；④．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
二、填空题（每小题3分、共18分）
11. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____．
12. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
13. 已知的两边，长分别为3和5，边上的中线的取值范围为________．
14 已知，则＝______．
15. 如图，为的中线，延长至D，使，连接，已知，，则与的周长差是_________．
16. 图1是第七届国际数学教育大会（JCME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的面积为_____．
三、解答题（本大题共9个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
19. 解分式方程：．
20. 解不等式组．
21. 如图①，油纸伞是中国传统工艺品之一，起源于中国的一种纸制或布制伞．油纸伞的制作工艺十分巧妙，如图②，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞柄始终平分同一平面内两条伞骨所成的，伞骨，的B，C点固定不动，且到点A的距离．
（1）当D点在伞柄上滑动时，处于同一平面的两条伞骨和相等吗？请说明理由．
（2）如图③，当油纸伞撑开时，伞的边缘M，N与点D在同一直线上，若，，求的度数．
22. 已知：在中，平分，平分．
（1）如图1，若，求的度数．
（2）如图2，连接，作，求的面积．
23. 永州市在进行“六城同创”的过程中，决定购买A，B两种树对某路段进行绿化改造，若购买A种树3棵，B种树4棵，需要3200元；购买A种树5棵，B种树2棵，需要3000元．
（1）求购买A，B两种树每棵各需多少元？
（2）考虑到绿化效果，购进A种树不能少于48棵，且用于购买这两种树的资金不低于45000元．若购进这两种树共100棵．问有哪几种购买方案？
24. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
（1）若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
（2）已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
（3）已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25. 在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有，且满足．
【积累经验】
（1）如图1，当时，猜想线段DE，BD，CE之间的数量关系是______；
【类比迁移】
（2）如将2，当时，问题（1）中结论是否仍然成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，在中，是钝角，，，，直线m与CB的延长线交于点F，若，的面积是12，请直接写出与的面积之和．