最高考文数考点一遍过（讲义） 考点21 等差数列及其前n项和

这是一份最高考文数考点一遍过（讲义） 考点21 等差数列及其前n项和，共28页。学案主要包含了等差数列，等差数列的前n项和，等差数列的性质等内容，欢迎下载使用。

课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。
2、精练习题
复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性
每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题
“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
专题21 等差数列及其前n项和
（1）理解等差数列的概念.
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
（3）能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.
（4）了解等差数列与一次函数的关系.
一、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．
3．等差数列的通项公式及其变形
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．
公式的变形：，．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式，可得．
令，，则，其中，为常数．
（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．
（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
二、等差数列的前n项和
1．等差数列的前n项和
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则
当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；
当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
2．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．
三、等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即

（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．
2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．
考向一 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的方法：
定义法：或是等差数列；
定义变形法：验证是否满足；
等差中项法：为等差数列；
通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
典例1 已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若数列是等差数列，设其公差为，则，
所以数列是等差数列.
若数列是等差数列，设其公差为，则，不能推出数列是等差数列.
所以“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的充分不必要条件，故选A．
【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”，“数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果.
1．已知数列的前项和为.
（1）若为等差数列，求证：；
（2）若，求证：为等差数列.
考向二 等差数列中基本量的求解
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
典例2 已知 QUOTE 为等差数列，为其前项和，若，，则_______.
【答案】6
【解析】∵是等差数列，∴，，∴，解得，
∴，故填6．
典例3 在等差数列中，a1＝1，S5＝－15.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前k项和Sk＝－48，求k的值．
【解析】（1）设等差数列的公差为d，则.
由a1＝1，S5＝－15，可得5＋10d＝－15，解得d＝－2，
故.
（2）由（1）可知an＝3－2n，所以.
令，即k2－2k－48＝0，解得k＝8或k＝－6.
又，故k＝8.
2．在等差数列中，已知，公差，若，则
A．19B．18
C．17D．16
考向三 求解等差数列的通项及前n项和
1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.
在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.
2．递推关系式构造等差数列的常见类型：
（1）转化为常数，则是等差数列；
（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；
（3）转化为常数，则是等差数列；
（4）转化为常数，则是等差数列；
（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．
3．等差数列前n项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.
典例4 已知数列中，，当时，，求数列的通项公式．
【解析】当时，，即，
两边同时取倒数，得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，
故．
典例5 已知为等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，
依题意得，解得，
则.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
，
故数列的前n项和.
3．已知等差数列的前n项和满足，．
（1）求的通项公式；
（2）求．
考向四 数列的前n项和的求解
1．求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
2．当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程．
3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
典例6 已知数列的前项和为.
（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设，求数列的前项和.
【解析】（1）由可得，
两式相减可得
于是由可知数列为等差数列.
（2）记数列的前项和为，

.
故数列的前项和为.
典例7 设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【解析】（1）设，且数列的前项和为，则有.
当时，；
当时，.
从而，即，解得.
（2）设数列的前项和为，当时，，所以有
当时，；
当时，
.
综上，.
4．已知为等差数列的前项和，，.
（1）求；
（2）设，求.
考向五 等差数列的性质的应用
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．
典例8 已知等差数列的公差，，则__________．
【答案】180
【解析】由，
则，
又，则.
则，
故.
典例9 一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和．
【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，，故．
方法2：易知数列成等差数列，设其公差为，则前3项的和为，即，
又，所以，
所以，
所以．
方法3：设，则，解得，
故，所以．
方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，即，，三点共线，于是，将，代入解得．
方法5：因为，
又，所以，
所以．
方法6：利用性质：，可得．
方法7：利用性质：当，时，．
由于，，可得．
5．等差数列、的前项和分别为和，若，则
A．B．
C．D．
考向六 等差数列的前n项和的最值问题
1．二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．
注意：自变量n为正整数这一隐含条件.
2．通项公式法：求使()成立时最大的n值即可．
一般地，等差数列中，若，且，则
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
3．不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．
典例10 已知数列是一个等差数列，且，.
（1）求的通项；
（2）求的前n项和的最大值．
【解析】（1）由题意知，
所以.
（2）因为，所以，
根据二次函数的图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4.
典例11 已知数列,,前n项和Sn=(an+2)2.
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）设bn=an−30，求数列{bn}的前n项和的最小值.
【解析】（1）由已知得8Sn=(an+2)2,则8Sn−1=(an−1+2)2(n≥2),
两式相减,得8an=(an+2)2−(an−1+2)2,即(an+an−1)(an−an−1−4)=0.
因为,所以an+an−1>0,所以an−an−1=4(n≥2),
故数列{an}是以4为公差的等差数列.
（2）令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.
由（1）知an=2+(n−1)×4=4n−2,所以bn=an−30=2n−31.
由bn=2n−31<0,得n<,
即数列{bn}的前15项为负值,n≥16时bn>0.
设数列{bn}的前n项和为Tn,
则T15最小,其值为.
6．已知等差数列的前项和有最大值，且，则满足的最大正整数的值为
A．6B．7
C．10D．12
1．已知等差数列中，，，则的值为
A．51B．34
C．64D．512
2．已知数列满足，，，则的值为
A．12B．15
C．39D．42
3．等差数列的前项和为,若,则
A．18 B．27
C．36 D．45
4．已知数列满足，且，则
A．3 B．−3
C． D．
5．若是数列的前项和，若，则是
A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列
C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列，也非等差数列
6．已知正项数列{an}中，a1=1，a2=2，（n≥2），则a6=
A． B．4
C．16 D．45
7．我国南北朝时期的数学著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三金，持出，中间三人未到者，亦等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是
A．斤B．斤
C．斤D．斤
8．函数为定义域上的奇函数，且在上是单调函数，函数；数列为等差数列，公差不为0，若，则
A． B．
C． D．
9．设各项均不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，且S10＝0，则使不等式成立的正整数n的最小值是
A．9B．10
C．11D．12
10．已知等差数列的前项和为，且，则__________．
11．设等差数列的公差是，其前项和是，若，则的最小值是__________．
12．在等差数列中，已知,.
（1）求数列的通项公式；
（2）求.
13．已知等差数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）当为何值时，数列的前项和取得最大值？
14．已知数列中，是它的前项和，且．
（1）求证：数列为等差数列.
（2）求的前项和.
15．已知正项数列满足：，其中为数列的前项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，记数列的前项积，试求的最小值.
1．（2017浙江）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2019年高考全国III卷文数）记为等差数列的前项和，若，则___________.
3．（2019年高考江苏卷）已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是__________．
4．（2019年高考全国I卷文数）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S9=-a5．
（1）若a3=4，求{an}的通项公式；
（2）若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
5．（2016新课标全国II文科）等差数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前10项和，其中表示不超过的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．
变式拓展
1．【解析】（1）已知数列为等差数列，设其公差为，有，
则，
于是，①
又，②
由①②相加得，即.
（2）由，得当时，，
所以，③
，④
④－③并整理，得，即，
所以数列是等差数列．
【名师点睛】本题主要考查了倒序相加法，以及等差数列的证明，属于中档题.等差数列的证明常常运用以下两种方法：（1）定义法，通过证明（为常数，）即可；（2）等差中项法：通过证明其满足即可.
2．【答案】C
【解析】根据题意，数列{an}是等差数列，且a1＝3，公差d＝2，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝3+2n﹣2＝2n+1，
又因为am＝2m+1＝a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝35（m∈N*），
所以m＝17，
故选C．
【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，准确计算是关键，属于基础题．依题意an＝2n+1，且a1+a2+a3+a4+a5＝5a3＝35，令am＝35解方程即可．
3．【解析】（1）由等差数列的前n项和公式可得，
解得，，
则的通项公式为.
（2）为等差数列，
以1为首项，以为公差的等差数列，
.
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求解，以及等差数列的求和公式，考查学生的计算能力．
4．【解析】（1）由，及，
联立解得，，
所以．
（2）由（1）知，
可得当时，，当时，，
所以当时，，
当时，，
所以．
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式的基本量的运算，以及等差数列中绝对值的和的求解，其中解答中熟记等差数列的通项，以及合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．
5．【答案】D
【解析】由题意得：，，
又，即，
.
本题正确选项为D.
【名师点睛】本题考查等差数列性质的应用，关键是能够利用中项的性质将问题转化为中间项之间的比较.
6．【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
因为等差数列的前项和有最大值，所以，
又，所以，，且，
所以，
，
所以满足的最大正整数的值为10.
【名师点睛】本题主要考查使等差数列前项和最大的整数，熟记等差数列求和公式以及等差数列的性质即可，属于常考题型.求解时，先设等差数列的公差为，根据前项和有最大值，得到，再由，得到，，且，根据等差数列的求和公式以及性质，即可得出结果.
专题冲关
1．【答案】A
【解析】因为为等差数列，所以，，所以选择A.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列比较重要的一个性质；在等差数列中，若，则，属于基础题.
2．【答案】B
【解析】由题意得，所以为等差数列，且公差为，
所以，则，故选择B.
【名师点睛】本题主要考查了判断是否为等差数列以及等差数列通项的求法，属于基础题.求解本题时，根据等差数列的定义可得数列为等差数列，求出通项公式即可.
3．【答案】B
【解析】根据等差数列的性质，得，
而，所以，所以，故选B．
4．【答案】B
【解析】由数列满足，可得，所以数列是等差数列，公差为，所以，所以，故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的运算性质，等差数列的性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可.
5．【答案】B
【解析】当时，;
当时，，
又时，，满足通项公式，
所以此数列为等差数列.
故选B.
【名师点睛】本题考查根据数列前n项和求数列通项，注意检验时的公式对是否适用.
6．【答案】B
【解析】因为，所以所以数列为等差数列，因为，因为，因此，故选B．
【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出，再根据正项数列条件得an，即得a6.证明或判断为等差数列的方法：
(1)用定义证明：为常数）；
(2)用等差中项证明：；
(3)通项法：为的一次函数；
(4)前项和法：.
7．【答案】C
【解析】设首项为，公差为，则根据题意可得，解得．
则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是斤.
本题选择C选项.
【名师点睛】本题主要考查等差数列及其应用，属于基础题.求解时，由题意将原问题转化为等差数列的问题，列方程组可得，结合题意可确定两个人所得金相差数额绝对值的最小值.
8．【答案】A
【解析】由题意得：，所以，又因为函数单调且为奇函数，所以，即，即，再结合等差数列的性质可得：，故答案为A．
【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出是解题的关键，属于中档题.
9．【答案】C
【解析】在等差数列{an}中，由S10＝0，得，
则．
又∵，可知数列{an}为递增数列，则．
又，
∴当n＝10时，0，
当n＝11时，，
∴使不等式成立的正整数n的最小值是11．
故选C．
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的前项和公式、等差数列的下标和性质，还考查了转化能力及数列的单调性应用，属于中档题.
10．【答案】
【解析】∵等差数列中，∴，∴．
设等差数列的公差为，则．
【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前n项和公式求解，即若，则，这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．
11．【答案】
【解析】由，可知，则(当且仅当n=4时取等号)．故填．
12．【解析】（1）因为是等差数列，,
所以解得.
则,.
（2）构成首项为,公差为的等差数列.
则.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，属于基础题.
（1）将已知条件转为关于首项和公差的方程组，解方程组求出，进而可求通项公式；
（2）由已知可得构成首项为,公差为的等差数列，利用等差数列前n项和公式计算即可.
13．【解析】（1）由题意，等差数列中，，，
则，解得，
所以数列的通项公式为.
（2）法一：由（1）知，，
则，
∴当时，取得最大值．
法二：由（1）知，，
∴是递减数列．
令，则，解得.
∵，
∴时，，时，.
∴当时，取得最大值．
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式求解，以及等差数列的前n项和的最值问题，其中解答中熟记等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和的最值问题的求解方法，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14．【解析】（1）当时，，
所以，则，
两式对应相减得，
所以，
又n=2时，，
所以，
所以，
所以数列为等差数列.
（2）当为偶数时，
；
当为奇数时，
.
综上：.
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质的证明，考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
（1）先化简已知得，，再求出，再证明数列为等差数列；
（2）对n分奇数和偶数两种情况讨论得解.
15．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，有，又，∴，
又，∴.
当时，有且，
又，
两式相减，化简得：，
又，∴，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
∴，
故数列的通项公式为.
（2）由（1）知，，
设，则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以数列的前项和为，当时，有最小值.
又，
所以，
故当时，的最小值是.
【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列是首项为，公差为2的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.
直通高考
1．【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．
2．【答案】100
【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得
得
【名师点睛】本题专题为等差数列的求和，为基础题目，利用基本量思想解题即可，充分记牢等差数列的求和公式是解题的关键.
3．【答案】16
【解析】由题意可得：，
解得：，则.
【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建的方程组.
4．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设的公差为d．
由得．
由a3=4得．
于是．
因此的通项公式为．
（2）由（1）得，故.
由知，故等价于，解得1≤n≤10．
所以n的取值范围是．
【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.
5．【答案】（1）；（2）24.
【解析】（1）设数列的公差为d，由题意有，，解得，
所以的通项公式为．
（2）由（1）知，
当1，2，3时，；
当4，5时，；
当6，7，8时，；
当9，10时，，
所以数列的前10项和为．