2020年湖北省孝感市中考数学试卷

这是一份2020年湖北省孝感市中考数学试卷，共29页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断!，细心填一填，试试自己的身手!，用心做一做，显显自己的能力!等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）（2020•孝感）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ）
A．﹣2℃B．+2℃C．+3℃D．﹣3℃
2．（3分）（2020•孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
3．（3分）（2020•孝感）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（3ab）2＝9ab2
C．2a•3b＝6abD．2ab2÷b＝2b
4．（3分）（2020•孝感）如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）（2020•孝感）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）
A．4，6B．6，6C．4，5D．6，5
6．（3分）（2020•孝感）已知x＝﹣1，y＝+1，那么代数式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
7．（3分）（2020•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A．I＝B．I＝C．I＝D．I＝
8．（3分）（2020•孝感）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2
9．（3分）（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（3分）（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．B．C．4D．
二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2020•孝感）原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒．数据100万用科学记数法表示为 ．
12．（3分）（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ．
13．（3分）（2020•孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为 m．（结果保留根号）
14．（3分）（2020•孝感）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长≤5分钟；B类：5分钟＜总时长≤10分钟；C类：10分钟＜总时长≤15分钟；D类：总时长＞15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有 人．
15．（3分）（2020•孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为 ．
16．（3分）（2020•孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为 ．
三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分．解答写在答题卡上）
17．（6分）（2020•孝感）计算：+|﹣1|﹣2sin60°+（）0．
18．（8分）（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．
19．（7分）（2020•孝感）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8．
（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
20．（8分）（2020•孝感）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cs∠BCE的值为 ；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 ．
21．（10分）（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
22．（10分）（2020•孝感）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？
23．（10分）（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．
（1）如图1，若α＝60°，
①直接写出的值为 ；
②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ；
（2）如图2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的长．
24．（13分）（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
2020年湖北省孝感市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选，相信自己的判断!（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求，不涂，错涂或多涂的，一律得0分）
1．（3分）（2020•孝感）如果温度上升3℃，记作+3℃，那么温度下降2℃记作（ ）
A．﹣2℃B．+2℃C．+3℃D．﹣3℃
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升3℃，记作+3℃，
温度下降2℃记作﹣2℃．
故选：A．
【点评】本题考查了正数与负数的知识，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．
2．（3分）（2020•孝感）如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，垂足为点O．若∠BOE＝40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
【分析】直接利用垂直的定义结合对顶角的性质得出答案．
【解答】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°，
∵∠BOE＝40°，
∴∠BOD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠AOC＝∠BOD＝50°．
故选：B．
【点评】此题主要考查了垂线以及对顶角，正确得出∠BOD的度数是解题关键．
3．（3分）（2020•孝感）下列计算正确的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（3ab）2＝9ab2
C．2a•3b＝6abD．2ab2÷b＝2b
【分析】根据单项式乘以多项式、积的乘方幂的乘方以及整式加减的计算法则进行计算即可．
【解答】解：2a和3b表示同类项，不能计算，因此选项A不符合题意；
（3ab）2＝9a2b2，因此选项B不符合题意；
2a•3b＝6ab，因此选项C符合题意；
2ab2÷b＝2ab，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查单项式乘以多项式、积的乘方幂的乘方以及整式加减的计算法则，掌握计算法则是正确计算的前提．
4．（3分）（2020•孝感）如图是由5个相同的正方体组成的几何体，则它的左视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】从左侧看几何体所得到的图形就是该几何体的左视图，从左侧看到的是两列两层，其中左侧的一列是两层，因此选项C符合题意．
【解答】解：从左侧看到的是两列两层，其中左侧的一列是两层，因此选项C的图形符合题意，
故选：C．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，明确三种视图的形状和大小是正确判断的前提．
5．（3分）（2020•孝感）某公司有10名员工，每人年收入数据如下表：
则他们年收入数据的众数与中位数分别为（ ）
A．4，6B．6，6C．4，5D．6，5
【分析】根据中位数、众数的计算方法，分别求出结果即可．
【解答】解：10名员工的年收入出现次数最多的是6万元，共出现4次，因此众数是6，
将这10名员工的年收入从小到大排列，处在中间位置的数是6万元，因此中位数是6，
故选：B．
【点评】本题考查中位数、众数的计算方法，掌握中位数、众数的计算方法是正确计算的前提．
6．（3分）（2020•孝感）已知x＝﹣1，y＝+1，那么代数式的值是（ ）
A．2B．C．4D．2
【分析】先将分式化简，再代入值求解即可．
【解答】解：原式＝
＝x+y
当x＝﹣1，y＝+1，
原式＝﹣1++1
＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是掌握分式的化简．
7．（3分）（2020•孝感）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式为（ ）
A．I＝B．I＝C．I＝D．I＝
【分析】直接利用待定系数法求出反比例函数解析式即可．
【解答】解：设I＝，把（8，6）代入得：
K＝8×6＝48，
故这个反比例函数的解析式为：I＝．
故选：C．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
8．（3分）（2020•孝感）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（ ）
A．y＝﹣x2﹣2B．y＝﹣x2+2C．y＝x2﹣2D．y＝x2+2
【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．
【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴抛物线C1的顶点为（1，2），
∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，
∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），
∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，
∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），
∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．
9．（3分）（2020•孝感）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AB＝4，BC＝6，∠BAD＝30°．动点P沿路径A→B→C→D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动．过点P作PH⊥AD，垂足为H．设点P运动的时间为x（单位：s），△APH的面积为y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】分别求出点P在AB上运动、点P在BC上运动、点P在CD上运动时的函数表达式，进而求解．
【解答】解：①当点P在AB上运动时，
y＝AH×PH＝×APsinA×APcsA＝×x2×＝x2，图象为二次函数；
②当点P在BC上运动时，如下图，
由①知，BH′＝ABsinA＝4×＝2，同理AH′＝2，
则y＝×AH×PH＝（2+x﹣4）×2＝2﹣4+x，为一次函数；
③当点P在CD上运动时，
同理可得：y＝×（2+6）×（4+6+2﹣x）＝（3）（12﹣x），为一次函数；
故选：D．
【点评】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．
10．（3分）（2020•孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】连接EG，根据AG垂直平分EF，即可得出EG＝FG，设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝EG＝8﹣x，再根据Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即可得到CE的长．
【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5﹣x＝BF，FG＝8﹣x，
∴EG＝8﹣x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+22＝（8﹣x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方形的性质以及旋转的性质，解题时注意：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
二、细心填一填，试试自己的身手!（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在答题卡相应位置上）
11．（3分）（2020•孝感）原子钟是北斗导航卫星的“心脏”，北斗卫星上的原子钟的精度可以达到100万年以上误差不超过1秒．数据100万用科学记数法表示为 1×106 ．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．
【解答】解：100万＝1000000＝1×106，
故答案：1×106．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
12．（3分）（2020•孝感）有一列数，按一定的规律排列成，﹣1，3，﹣9，27，﹣81，…．若其中某三个相邻数的和是﹣567，则这三个数中第一个数是 ﹣81 ．
【分析】设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，根据三个数之和为﹣567，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设这三个数中的第一个数为x，则另外两个数分别为﹣3x，9x，
依题意，得：x﹣3x+9x＝﹣567，
解得：x＝﹣81．
故答案为：﹣81．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及数字的变化规律，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
13．（3分）（2020•孝感）某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长为 （﹣1.6） m．（结果保留根号）
【分析】如图，在Rt△DEA中，利用45°的余弦可计算出DA＝5m；在Rt△BCF中利用30度的余弦可计算出CB＝m，则BF＝BC＝m，然后利用AB+AE＝EF+BF计算AB的长．
【解答】解：如图，
在Rt△DEA中，∵cs∠EDA＝，
∴DA＝＝5（m）；
在Rt△BCF中，∵cs∠BCF＝，
∴CB＝＝（m），
∴BF＝BC＝（m），
∵AB+AE＝EF+BF，
∴AB＝3.4+﹣5＝﹣1.6（m）．
答：AB的长为（﹣1.6）m．
故答案为：（﹣1.6），
【点评】本题考查了解直角三角形的应用：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
14．（3分）（2020•孝感）在线上教学期间，某校落实市教育局要求，督促学生每天做眼保健操．为了解落实情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四类（A类：总时长≤5分钟；B类：5分钟＜总时长≤10分钟；C类：10分钟＜总时长≤15分钟；D类：总时长＞15分钟），将调查所得数据整理并绘制成如图两幅不完整的统计图．
该校共有1200名学生，请根据以上统计分析，估计该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有 336 人．
【分析】根据A类学生的人数和所占的百分比，可以求得本次抽取的学生，然后即可计算出B类学生，从而可以计算出该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有多少人．
【解答】解：本次抽取的学生有：10÷10%＝100（人），
B类学生有：100﹣10﹣41﹣100×21%＝28（人），
1200×＝336（人），
即该校每天做眼保健操总时长超过5分钟且不超过10分钟的学生约有336人，
故答案为：336．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
15．（3分）（2020•孝感）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则的值为 ．
【分析】可设直角三角形另一条直角边为x，根据S1＝S2，可得2x2＝m2，则x＝m，再根据勾股定理得到关于m，n的方程，可求的值．
【解答】解：设直角三角形另一条直角边为x，依题意有
2x2＝m2，
解得x＝m，
由勾股定理得（m）2+（n+m）2＝m2，
m2﹣2mn﹣2n2＝0，
解得m1＝（﹣1﹣）n（舍去），m2＝（﹣1+）n，
则的值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，根据正方形的面积公式和三角形形的面积公式得出它们之间的关系是解题的关键．
16．（3分）（2020•孝感）如图，已知菱形ABCD的对角线相交于坐标原点O，四个顶点分别在双曲线y＝和y＝（k＜0）上，＝，平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，连接OE，OF，则△OEF的面积为 ．
【分析】作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，易证得△AOM∽△ODN，根据系数三角形的性质即可求得k的值，然后根据反比例函数系数k的几何意义即可求得△OEF的面积．
【解答】解：作AM⊥x轴于M，DN⊥x轴于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOM+∠DON＝∠ODN+DON＝90°，
∴∠AOM＝∠ODN，
∵∠AMO＝∠OND＝90°，
∴△AOM∽△ODN，
∴＝（）2，
∵A点在双曲线y＝，＝，
∴S△AOM＝×4＝2，＝，
∴＝（）2，
∴S△ODN＝，
∵D点在双曲线y＝（k＜0）上，
∴|k|＝，
∴k＝﹣9，
∵平行于x轴的直线与两双曲线分别交于点E，F，
∴S△OEF＝+＝，
故答案为．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，菱形的性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．
三、用心做一做，显显自己的能力!（本大题共8小题，满分72分．解答写在答题卡上）
17．（6分）（2020•孝感）计算：+|﹣1|﹣2sin60°+（）0．
【分析】分别根据立方根的定义，绝对值的定义，特殊角的三角函数值以及任何非零数的零次幂定义1计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2+﹣1﹣+1
＝﹣2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，熟记相应定义以及特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18．（8分）（2020•孝感）如图，在▱ABCD中，点E在AB的延长线上，点F在CD的延长线上，满足BE＝DF．连接EF，分别与BC，AD交于点G，H．
求证：EG＝FH．
【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠ABC＝∠CDA，
∴∠EBG＝∠FDH，∠E＝∠F，
在△BEG与△DFH中，，
∴△BEG≌△DFH（ASA），
∴EG＝FH．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
19．（7分）（2020•孝感）有4张看上去无差别的卡片，上面分别写有数﹣1，2，5，8．
（1）随机抽取一张卡片，则抽取到的数是偶数的概率为 ；
（2）随机抽取一张卡片后，放回并混在一起，再随机抽取一张，请用画树状图或列表法，求抽取出的两数之差的绝对值大于3的概率．
【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“两数之差绝对值大于3”的结果数，进而求出概率．
【解答】解：（1）4张卡片，共4种结果，其中是“偶数”的有2种，因此抽到偶数的概率为＝，
故答案为：；
（2）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
共有16种可能出现的结果，其中“两数差的绝对值大于3”的有6种，
∴P（差的绝对值大于3）＝＝．
【点评】考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
20．（8分）（2020•孝感）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，5），B（﹣3，1）和C（4，0），请按下列要求画图并填空．
（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为 （2，﹣4） ；
（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cs∠BCE的值为 ；
（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为 （0，4） ．
【分析】（1）根据点A平移到点C，即可得到平移的方向和距离，进而画出平移后所得的线段CD；
（2）根据线段AB绕点A逆时针旋转90°，即可画出旋转后所得的线段AE；
（3）先作出点A关于y轴的对称点A'，连接A'B交y轴于点F，依据两点之间，线段最短，即可得到此时△ABF的周长最小，根据待定系数法即可得出直线A'B的解析式，令x＝0，进而得到点F的坐标．
【解答】解：（1）如图所示，线段CD即为所求，点D的坐标为（2，﹣4）；
（2）如图所示，线段AE即为所求，cs∠BCE＝＝＝；
（3）如图所示，点F即为所求，点F的坐标为（0，4）．
故答案为：（2，﹣4）；；（0，4）．
【点评】本题主要考查了利用平移变换和旋转变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
21．（10分）（2020•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2＝0．
（1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1﹣x2＝3，求k的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）＝2（k+1）2+7＞0，据此可得答案；
（2）先根据根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，由x1﹣x2＝3知（x1﹣x2）2＝9，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，从而列出关于k的方程，解之可得答案．
【解答】解：（1）∵△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2）
＝4k2+4k+1﹣2k2+8
＝2k2+4k+9
＝2（k+1）2+7＞0，
∵无论k为何实数，2（k+1）2≥0，
∴2（k+1）2+7＞0，
∴无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2﹣2，
∵x1﹣x2＝3，
∴（x1﹣x2）2＝9，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴（2k+1）2﹣4×（k2﹣2）＝9，
化简得k2+2k＝0，
解得k＝0或k＝﹣2．
【点评】本题主要考查根与系数的关系、根的判别式，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
22．（10分）（2020•孝感）某电商积极响应市政府号召，在线销售甲、乙、丙三种农产品，已知1kg乙产品的售价比1kg甲产品的售价多5元，1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍，用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍．
（1）求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元？
（2）电商推出如下销售方案：甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg，其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍，且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍．请你帮忙计算，按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元？
【分析】（1）设1kg甲产品的售价为x元，则1kg乙产品的售价为（x+5）元，1kg丙产品的售价为3x元，根据“用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍”列方程解答即可；
（2）设40kg的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有xkg，则乙种产品有2mkg，甲乙种产品有（40﹣3m）kg，根据题意列不等式求出m的取值范围；设按此方案购买40kg农产品所需费用为y元，根据题意求出y与m之间的函数关系式，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）设1kg甲产品的售价为x元，则1kg乙产品的售价为（x+5）元，1kg丙产品的售价为3x元，根据题意，得：
，
解得：x＝5，
经检验，x＝5既符合方程，也符合题意，
∴x+5＝10，3x＝15．
答：甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是5元、10元、15元；
（2）设40kg的甲、乙、丙三种农产品搭配中丙种产品有xkg，则乙种产品有2mkg，甲乙种产品有（40﹣3m）kg，
∴40﹣3m+m≤2m×3，
∴m≥15，
设按此方案购买40kg农产品所需费用为y元，根据题意，得：
y＝5（40﹣3m）+20m+15m＝20m+200，
∵20＞0，
∴y随m的增大而增大，
∴m＝5时，y取最小值，且y最小＝300，
答：按此方案购买40kg农产品最少要花费300元．
【点评】本题考查了一次函数的应用、分式方程的应用、一元一次不等式的应用．本题属于中档题，难度不大，解决该体系题目时，找准数量关系是解题的突破点．
23．（10分）（2020•孝感）已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，与AC交于点E，连接CD并延长与⊙O过点A的切线交于点F，记∠BAC＝α．
（1）如图1，若α＝60°，
①直接写出的值为 ；
②当⊙O的半径为2时，直接写出图中阴影部分的面积为 ﹣π ；
（2）如图2，若α＜60°，且＝，DE＝4，求BE的长．
【分析】（1）①由切线的性质得：∠OAF＝90°，证明△ABC是等边三角形，
得∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，根据三角形的内角和定理证明∠BAD＝90°，可知BD是⊙O的直径，由圆周角，弧，弦的关系得AD＝CD，说明△ADF是含30度的直角三角形，得AD＝CD＝2DF，可解答；
②根据阴影部分的面积＝S梯形AODF﹣S扇形OAD＝代入可得结论；
（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH＝90°，先证明△ADF≌△ADE（ASA），得DF＝DE＝4，由已知得DC＝6，证明△CDE∽△BDC，列比例式可得BD＝9，从而解答即可．
【解答】解：（1）如图1，连接OA，AD，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠OAF＝90°，
∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∵∠ADB＝∠ACB＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∵OA＝OB＝OD，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，∠OAD＝∠ADO＝60°，
∵∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADF＝180°﹣60°﹣60°＝60°＝∠OAD，
∴OA∥DF，
∴∠F＝180°﹣∠OAF＝90°，
∵∠DAF＝30°，
∴AD＝2DF，
∵∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∴CD＝2DF，
∴＝，
故答案为：；
②∵⊙O的半径为2，
∴AD＝OA＝2，DF＝1，
∵∠AOD＝60°，
∴阴影部分的面积为：S梯形AODF﹣S扇形OAD＝﹣＝＝π；
故答案为：π；
（2）如图2，连接AD，连接AO并延长交⊙O于点H，连接DH，则∠ADH＝90°，
∴∠DAH+∠DHA＝90°，
∵AF与⊙O相切，
∴∠DAH+∠DAF＝∠FAO＝90°，
∴∠DAF＝∠DHA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵，
∴∠CAD＝∠DHA＝∠DAF，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∵∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ABC，
∵∠ADB＝∠ACB＝∠ABC，
∴∠ADF＝∠ADB，
在△ADF和△ADE中
∵，
∴△ADF≌△ADE（ASA），
∴DF＝DE＝4，
∵，
∴DC＝6，
∵∠DCE＝∠ABD＝∠DBC，∠CDE＝∠CDE，
∴△CDE∽△BDC，
∴，即，
∴BD＝9，
∴BE＝DB﹣DE＝9﹣5＝5．
【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
24．（13分）（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
A （﹣3，0） ，B （﹣1，0） ，C （0，18） ，D （﹣2，﹣6） ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
【分析】（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，即可求解；
（2）由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，进而求出点E（﹣2，0），利用tan∠AED＝＝＝，即可求解；
（3）①证明△FJH∽△ECO，故，则FH＝，即可求解；
②f＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0），即可求解．
【解答】解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，
令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，
故点A、B、C、D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；
（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），
函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，
令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，
tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，
故点C、E的坐标分别为（0，﹣）、（，0），
则CE＝＝；
（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，
由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，
故点A、C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），
由点A、N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；
设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；
则PF＝﹣t2﹣3t+，
由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，
则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，
∵FH⊥DE，JF∥y轴，
故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，
∴△FJH∽△ECO，故，
则FH＝，
f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；
②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；
∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+；
当﹣3≤m＜0时，fmax＝．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似等，综合性较强，难度较大．
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日期：2020/8/1 14:34:06；用户：数学03；邮箱：lb03@xyh.cm；学号：21821725年收入/万元
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