人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列教学设计

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问题1：说一说你在上一环节了解到的等差数列的知识.
答案：等差数列的定义：从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数的数列叫做等差数列.
通项公式：().
等差中项：若a、A、b可以构成等差数列，则A就是a、b的等差中项，即2A=a+b，A=a+b2.等差数列中任意三项的关系也可以表示为2an+1= an+an+2.
等差数列与函数的关系：等差数列是自变量取整数的一次函数.
等差数列是特殊的一次函数，它一定具一次函数的性质.在研究函数的过程中，我们会研究函数解析式、函数图像、函数性质.函数性质的研究有函数的单调性、最值、奇偶性、对称性等等.类比函数的研究思路与方法，我们推导得到等差数列的通项公式后，会继续研究等差数列的性质.
问题2：怎样判断一个数列是否为等差数列呢？你能总结出几种方法？
答案：(1)根据定义判断，从第2项起，每一项与它前一项的差是否为同一个常数.
(2)根据通项公式或判断，即是否可以写成关于的一次函数形式.
(3)根据等差中项的表达式判断，2an+1= an+an+2.
知识应用
例1 某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年，其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列.由已知条件，得.由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以于是.
根据题意，得即解不等式组，得
所以，d的取值范围为.
追问：构造数列解决问题，这个过程与构造函数解决问题有何关系？
答案：构造数列解决问题，与构造函数解决问题类似，只是自变量的取值是正整数．
本题将实际问题转化为数列问题，利用不等式求解.转化的关键是发现实际问题中出现的等差关系(即这台设备使用n年后的价值)，构造等差数列(首项为，公差为的等差数列)来刻画实际问题中的数量关系.这样就可以利用等差数列的通项公式，将“超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废”的实际问题的数量关系表示为.建立数学模型解决问题的思想方法会贯穿学生学习方程、不等式、函数、数列始终，本题的解决使学生经历建立等差数列模型刻画实际问题的全过程．
例2 已知等差数列的首项，公差，在数列中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的通项公式．
(2)是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由．
解：(1)设数列的公差为．由题意可知，，
于是．因为，所以．
所以．所以数列的通项公式是．
(2)数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则.令，解得.所以，是数列中的第8项.
追问1：如果将第(1)小题的条件“插入3个数”改为“插入个数”，其他条件不变，那么的公差是多少？
答案：.
例2利用一个已知的数列，构造了一个新的等差数列，利用原有数列的性质来研究新数列的性质.追问1是第(1)小题的一种推广.
当时，就是在原数列的每相邻两项间都插入1个数，插入的数字是原数列每相邻两项的等差中项.时，就是在原数列的每相邻两项间都插入2个数，时，就是本例.由于插入个数构成的新数列仍是等差数列，设数列的公差为．由题意可知，，由．因为，所以．可以继续推广为，在首项，公差的等差数列中每相邻两项之间都插入()个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，则新数列 的首项仍为，公差.
追问2：第(2)小题，你还有其他解决方法吗？
答案：根据数列的通项公式是，求出，因为数列的通项公式是，因此是不是数列中的项的问题可以转化为令，是否有正整数解的问题.解得，有正整数解.因此是数列中的第8项.
追问3：如果将无穷等差数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个数列是等差数列吗？取出所有的奇数项呢？序号为7的倍数的项呢？
答案：如果将无穷等差数列中的前m项去掉，其余各项仍然组成一个等差数列，首项为，公差为d；
若从等差数列中取出所有的奇数项，就形成一个首项为，公差为2d的等差数列；取出所有偶数项，就形成一个首项为，公差为2d的等差数列；、若取出序号为7的倍数的项，则会形成一个以为首项，7d为公差的等差数列；
可见，从等差数列中等间隔的取出一些项，构成的新数列仍然是等差数列，新数列公差为md.
追问4：已知{an}，{bn}是项数相同的等差数列，能不能构造出与{an}，{bn}中的项有关的新等差数列？这些新的等差数列是什么？公差是什么?
答案：已知{an}，{bn}是项数相同的等差数列，则{pan+qbn}(p，q为常数)也是等差数列.
例3已知数列是等差数列，p，q，s，t，且p+q=s+t.求证.
解：设数列的公差为d,则
所以，因为p+q=s+t，所以.
追问1：你能归纳和表达出例题中等差数列的性质吗？
答案：当等差数列中两项的项数和相等时，这两项的和也相等.
本例所展示的是等差数列的一个重要性质，同时也体现了出如何运用数列的通项推导数列性质的过程.将等差数列的问题转化为基本量—首项与公差，是解决等差数列问题的基本方法.
追问2：等差中项的性质可以用上述性质解释吗？
答案：当p+q=2s时，.
追问3：图4.2-2是上述性质的一种情形，你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
答案：等差数列是一次函数，其图象是均匀分布在某一条直线上的点，所以，图中的和可以分别看作直角梯形的两条底边的长，和可以看作这两个梯形的中位线长的二倍.由于p+q=s+t，所以这两个梯形有相同的中位线，因此.
练习：在-1与7之间插入三个数x，y，z，使这五个数成等差数列，求x+y+z的值.
答案：9.