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    4.2环节三 等差数列的前n项和教案
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    高中4.2 等差数列教学设计

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    这是一份高中4.2 等差数列教学设计,共5页。

    问题1:据说在200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:…?,你能回答这个问题吗?
    答案:5050.
    当同学们忙于把这100个数字逐个相加时,10岁的高斯却早就有了答案.
    追问1:你知道高斯使用什么方法迅速得到答案的吗?
    答案:….
    追问2:“…..”解决的是数列的什么问题?
    答案:等差数列1,2,3,…,n,…前100项的和的问题.
    追问3:高斯在求和过程中用到了等差数列的什么性质?
    答案:数列是等差数列,p,q,s,t,且p+q=s+t,则.
    对于数列,设,那么高斯的计算方法可以表示为.
    追问4:你能用高斯的方法求…吗?
    答案:
    ….
    这时数列的项数n为奇数,与项数n为偶数的情况不同的是,项数为奇数的数列求和时需要确定配对后的余项,即中间项51.
    追问5:高斯的求和方法可以给我们什么启示?
    答案:
    (预设答案1)所有等差数列都可以通过“首尾配对”的方法求和.
    (预设答案2)通过等差数列的性质当角标和相等时,两项和相等,可以问题中n个不同数字组成的等差数列求和问题,转化为(n为偶数)或(n为奇数)个相同数字的和的问题.
    (预设答案3) …=,高斯求和的方法可以看作是把同一个等差数列“倒序相加”.
    (预设答案4)从图形上解释,倒序相加可以看作是将一个从1到n的三角点阵的求和问题,“拼图”解决(如图所示).

    ① ② = 3 \* GB3 ③
    将图①旋转90度得到图②,图一中所有点数之和即为所求,将图①旋转90度得到图②拼接如图 = 3 \* GB3 ③,得到的矩形点阵所表示的点数之和为,每行点数为,共有行,因此,.
    课堂探究
    问题2:如何计算首项为1,公差为1的等差数列前n项和?
    答案:将高斯的方法推广到一般,可以得到:
    当n是偶数时,有,于是有
    .
    当n是奇数时,有
    .
    所以对任意正整数n,都有.
    追问1:在求前n个正整数的和时,要对n分为奇数、偶数进行讨论,比较麻烦,能否设法避免分类讨论?
    答案: ①
    . ②
    将①②两式相加,可得
    ,所以.
    追问2:上述方法可以推广到求等差数列的前n项和吗?
    答案:设等差数列的前n项和为,则,由前面的例子,不难用倒序相加法推出


    将①②两式相加,可得
    , 所以.
    追问3:如果已知等差数列首项,公差可以求得前n项和吗?
    答案:.
    将等差数列的通项公式代入公式,可得
    .
    结论:等差数列的前n项和公式.
    知识应用
    例1 已知数列是等差数列.
    (1)若求;
    (2) 若求;
    (3) 若求n.
    解:(1) 因为根据公式,可得
    .
    (2) 因为所以.根据公式,可得
    .
    (3) 把代入,可得
    .
    整理得.解得或(舍去).所以
    例2 已知一个等差数列前10项的和是310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗?
    解:把它们代入公式,得
    解方程组,得所以,由所给的条件可以确定数列的首项和公差.
    例3 某校新建一个报告厅,要求容纳800个座位,报告厅共有20排座位,从第2排其后一排都比前以排多2个座位.问第1排应安排多少个座位.
    解:设报告厅的座位从第1排到第20排,各排的座位数依次排成一列,构成数列,其前n项和为,根据题意,数列是一个公差为2的等差数列,且由,可得.因此,第一排应安排21个座位.
    例4 已知一个等差数列前n项和为,若,公差,则是否存在最大值?若存在,求的最大值及取得最大值时的值;若不存在,请说明理由.
    解:(解法1)由得所以是递减数列.又由可知:当时,;当时,;当时,.所以.也就是说,当或时,最大.因为,所以的最大值为30.
    (解法2) 因为,所以当取最接近的整数即5或6时,的最大值为30.
    追问1: 等差数列前n项和在什么情况下有最值?
    答案:对于无穷等差数列,当d>0时,数列为递增数列, 逐项增大,Sn有最小值;当a1<0时, Sn的最小值为所有非正项的和的值;当a1≥0时, Sn的最小值为S1.
    当d<0时,数列为递减数列,逐项减小,Sn有最大值.当a1>0时, Sn的最小值为所有非负项的和的值;当a1≤0时, Sn的最大值为S1.
    追问2:等差数列通项公式与函数的关系是什么?
    答案:等差数列通项公式,
    an与n之间的函数关系可以表示为f(x)=kx+b(x∈N*, k,b为常数)
    追问3:等差数列前n项和公式与函数的关系是什么?
    答案:等差数列的前n项和公式
    当d=0,a1=0时,Sn=0(n∈N*),
    Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=0(x∈N*);
    当d=0,a1≠0时,Sn=na1(n∈N*),
    Sn与n之间的函数关系可以表示为f(x)=kx,(x∈N*,k为常数);
    当d≠0时,Sn与n之间的函数关系可以
    表示为f(x)=ax2+bx,(x∈N*,a,b均为常数,且a≠0).
    追问4:由于等差数列(d≠0)的前n项和Sn也是关于n的二次函数,那么你能否从函数的角度来分析一下Sn的最值问题.
    答案:当d≠0时,Sn=d2n2+a1−d2n.
    当d>0时,Sn关于n的函数图象为开口向上的抛物线上横坐标为正整数的点,所以当n取离对称轴最近的整数时,Sn最小;
    当d<0时,Sn关于n的函数图象为开口向下的抛物线上横坐标为正整数的点,所以当n取离对称轴最近的整数时,Sn最大.
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