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2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区荣智学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）（五四学制）(含解析）
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这是一份2023-2024学年黑龙江省哈尔滨市道里区荣智学校九年级（上）段考数学试卷（10月份）（五四学制）(含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算中，计算结果正确的是( )
A. (a2)3⋅a4=a9
B. (a+1)5⋅(1+a)⋅(a+1)2=(a+1)7
C. (a−b)3⋅(b−a)2=(a−b)5
D. −2b(a3b−3a2+2b)=−2a3b2−6a2b+4b2
3.如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB=8，CD=2，则线段CE的长为( )
A. 2 15
B. 8
C. 2 10
D. 2 13
4.反比例函数y=a−1x中，当x<0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为( )
A. a<1B. a>1C. a<−1D. a>−1
5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC=70°，则∠ABD的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 25°
D. 35°
6.如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC=50米，∠ACB=46°，则小河宽AB为多少米( )
A. 50sin46°
B. 50cs46°
C. 50tan46°
D. 50tan44°
7.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为9cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为12cm、9cm，则实像CD的高度为 cm．( )
A. 6cmB. 6.25cmC. 6.75cmD. 7cm
8.下列语句中，正确的有( )
(1)相等的圆心角所对的弧相等；
(2)平分弦的直径垂直于弦；
(3)长度相等的两条弧是等弧；
(4)圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°至△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，下列结论中不一定正确的是( )
A. ∠BAD=40°
B. ∠B=70°
C. ∠DAC=40°
D. ∠ADE=70°
10.已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE//BC，DH//AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是( )
A. ADDB=AEDH
B. CFDE=DHCG
C. FDFG=ECCG
D. CHBC=AEAC
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数y=xx−2中自变量x的取值范围是______．
12.点M(−3,2)关于原点对称的点的坐标是______．
13.分解因式：ax2−6ax+9a= ______．
14.解不等式组−2x>6x−3<0的解集是______．
15.计算： 27− 12=______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=3x的图象上，则菱形的面积为______．
17.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是 ．
18.一个扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为______．
19.在△ABC中，csB= 32，BC=4，AC=4，则AB= ______．
20.如图，△ABC中，∠BCA=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，AB=5，则CD= ______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求代数式4a+3−6a2−9÷2a−3的值，其中a=tan60°−6sin30°．
22.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−5,1)，B(−2,2)，C(−1,4)，请按下列要求画图：
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．
23.(本小题8分)
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
(2)如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
(3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
24.(本小题8分)
如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(3,4)，B两点．
(1)求k，m的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式mx≥kx的解集；
(3)若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积．
25.(本小题10分)
“六一”儿童节将至，益智玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具80个，乙种玩具40个，需要800元，若购进甲种玩具50个，乙种玩具30个，需要550元．
(1)求益智玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？
(2)若益智玩具店准备1000元全部用来购进甲，乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具可获利润4元，销售每个乙种玩具可获利润5元，且销售这两种玩具的总利润不低于600元，那么这个玩具店需要最多购进乙种玩具多少个？
26.(本小题10分)
AB为圆O的直径，弦CD交AB于点E，弧AC=弧AD．
(1)如图1，求证：AB⊥CD；
(2)如图2，点F在弧DBC上，连接DF，N为DF中点，连接ON，OE=ON，求证：CD=FD；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接AF，过D作DM⊥AF于M，FM−AC=5，BE：AE=9：4，求AD的长度．
27.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=43x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线BC与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的解析式；
(2)P为线段AB上一点，Q为线段BC上一点，BQ=AP，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S(S≠0)，求S与t之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，点R在第二象限内，且四边形OPRQ为平行四边形，连接BR，tan∠BRQ=12，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.原图既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：(a2)3⋅a4=a10，A选项错误；
(a+1)5⋅(1+a)⋅(a+1)2=(a+1)8，B选项错误；
(a−b)3⋅(b−a)2=(a−b)5，C选项正确；
−2b(a3b−3a2+2b)=−2a3b2+6a2b−4b2，D选项错误．
故选：C．
利用幂的乘方与同底数幂的乘法运算，单项式乘多项式的运算法则运算即可．
本题考查了整式的混合运算，做题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算，单项式乘多项式的运算法则．
3.【答案】D
【解析】解：连接BE，如图，
∵OD⊥弦AB，AB=8，
∴AC=12AB=4，
设⊙O的半径OA=r，
∴OC=OD−CD=r−2，
在Rt△OAC中，
r2=(r−2)2+42，
解得：r=5，
∴AE=2r=10；
∵OD=5，CD=2，
∴OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= CB2+EB2= 42+62=2 13．
故选：D．
先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE=2r，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=a−1x中，当x<0时，y随自变量x的增大而增大，
∴a−1<0，
解得a<1，
故选：A．
根据反比例函数的性质得到a−1<0，解不等式即可得到答案．
此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠D=12∠COB=45°，
∵∠CEB=∠D+∠ABD，
∴∠ABD=70°−45°=25°，
故选：C．
利用圆周角定理求出∠D，再利用三角形的外角的性质求出∠ABD即可．
本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥PB，
∴∠ABC=90°，
∵BC=50米，∠BCA=46°，
∴tan46°=ABBC，
∴小河宽AB=BCtan∠BCA=50⋅tan46°(米)．
故选：C．
在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB//CD，
∴∠A=∠ACD，∠D=∠ABD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ABCD=BECE，
∴9CD=129，
∴CD=6.75，
∴实像CD的高度为6.75cm，
故选：C．
根据题意得：AB//CD，从而可得∠A=∠ACD，∠D=∠ABD，然后证明△OAB∽△OCD，从而利用相似三角形对应高的比等于相似比进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；
(2)平分弦的直径垂直于弦(非直径)，故本小题错误；
(3)在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；
(4)每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．
故选：A．
分别根据垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一分析即可．
本题考查的是圆的认识，熟知垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由旋转得：∠BAD=∠EAC=40°，∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB=12(180°−∠BAD)=70°，
∴∠ADE=∠B=70°，
故A、B、D都不符合题意；
∵∠DAC不一定等于40°，
∴选项C符合题意；
故选：C．
根据旋转的性质可得：∠BAD=∠EAC=40°，∠B=∠ADE，AB=AD，然后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B=∠ADB=70°，从而可得∠ADE=∠B=70°，最后根据∠DAC不一定等于40°，逐一判断即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，DH//AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH=CE，DE=CH，
∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，
∵DH//CG，
∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，
∵DE//BC，
∴DEBC=AEAC，
∴CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，
故选：B．
首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式分母不为0是解题的关键．
12.【答案】(3,−2)
【解析】解：平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，
∴点M(−3,2)关于原点中心对称的点的坐标是(3,−2)．
故答案为：(3,−2)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
13.【答案】a(x−3)2
【解析】解：ax2−6ax+9a
=a(x2−6x+9)--(提取公因式)
=a(x−3)2.--(完全平方公式)
故答案为：a(x−3)2．
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】x<−3
【解析】解：解不等式−2x>6，得x<−3，
解不等式x−3<0，得x<3，
∴不等式组的解集为x<−3．
故答案为：x<−3．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
15.【答案】 3
【解析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
解：原式=3 3−2 3= 3．
故答案为： 3．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
16.【答案】6
【解析】解：如图，连接AC交OB于D．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB．
∵点A在反比例函数y=3x的图象上，
∴△AOD的面积=12×3=32，
∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=6．
故答案为：6．
连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB.根据反比例函数y=kx中k的几何意义，得出△AOD的面积=32，从而求出菱形OABC的面积=△AOD的面积的4倍．
本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．
17.【答案】13
【解析】【分析】
本题主要考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意，可得白球的数目与球的总数目，进而由概率的计算方法可得摸出的球是白球的概率．
【解答】
解：根据题意，布袋中装有6个球，其中2个白球，
则摸出的球是白球的概率是26=13．
故答案为：13．
18.【答案】83π
【解析】解：根据弧长的公式l=nπr180，
得到：l=120π×4180=83π，
故答案是：83π.
根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
19.【答案】4
【解析】解：如图，作CD⊥AB于D，
∵csB= 32，BC=4，AC=4，
∴∠B=60°，AD=BD，
∴∠BCD=30°，
∴BD=12BC=2，
∴AB=2+2=4，
故答案为：4．
根据余弦定义求得∠B，进而求得∠BCD=30°，再根据含30CD长，再根据含30度直角三角形的性质求得BD，由等腰三角形的性质即可求得答案．
此题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握余弦的概念：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
20.【答案】125
【解析】解：∵∠BCA=90°，CD⊥AB，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=4×35=125，
故答案为：125．
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：4a+3−6a2−9÷2a−3
=4a+3−6(a+3)(a−3)⋅a−32
=4a+3−3a+3
=1a+3，
当a=tan60°−6sin30°= 3−6×12= 3−3时，
原式=1 3−3+3= 33．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由特殊角的三角函数值计算出a的值，把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(5,−1)．
【解析】(1)将三个顶点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，再顺次连接即可得；
(2)将△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接可得．
本题主要考查作图−旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
23.【答案】72 128
【解析】解：(1)抽取的学生人数为：18÷15%=120(人)，
∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360°×24120=72°，
∴“良好”等级的人数为120×40%=48(人)，
故答案为：72，
把条形统计图补充完整如下：
(2)320×40%=128(人)，
∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有128人；
故答案为：128；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率=212=16．
(1)由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
(2)由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
24.【答案】解：(1)∵正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(3,4)，
∴4=3k，4=m3，
∴k=43，m=12；
(2)∵k=43，m=12，
∴一次函数为y=43x，反比例函数解析式为y=12x，
解方程y=43xy=12x得，x1=3y1=4，x2=−3y2=−4，
∴B(−3,−4)，
∴不等式mx≥kx的解集为0(3)由(2)知点B(−2,−3)，
∴AO=BO= 32+42=5，
又∵∠ACB=90°，
∴CO=AO=BO=5，
∴点C(0,5)，
∴△ABC的面积=12×5×(3+3)=15．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)解方程组得到B(−3,−4)，根据函数的图象即可得到结论；
(3)联立方程组可求点B坐标，由直角三角形的性质可求OB=OA=OC=5，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积公式，求得B、C点的坐标是本题的关键．
25.【答案】解：(1)设甲种玩具每个x元，乙种玩具每个y元，
根据题意，得：80x+40y=80050x+30y=550，
解得：x=5y=10，
答：甲种玩具每个5元，乙种玩具每个10元．
(2)设购进乙种玩具a个，则甲种玩具1000−10a5=200−2a(个)，
根据题意，得：4(200−2a)+5a≥600，
解得：a≤6623，
∵a是正整数，
∴a的最大值为66，
答：这个玩具店需要最多购进乙种玩具66个．
【解析】(1)设甲种玩具每个x元，乙种玩具每个y元，根据：①甲种玩具80个费用+乙种玩具40个的费用=800元，②甲种玩具50个费用+乙种玩具30个费用=550元，列方程组求解即可；
(2)设购进乙种玩具a个，则购进甲种玩具1000−10a5=200−2a(个)，根据销售这两种玩具的总利润不低于600元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵弧AC=弧AD，AB为圆O的直径，
∴AB⊥DC；
(2)证明：连接OD，
∵N为DF中点，
∴ON⊥DF，DN=12DF，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD，∠OED=∠OND=90°，
∵OE=ON，OD=OD，
∴Rt△ODN≌Rt△ODE(HL)，
∴DE=DN，
∴DC=DF；
(3)解：∵BE：AE=9：4，
∴AE=8x，BE=18x，
∴AB=26x，AO=BO=13x，
∴OE=AO−AE=5x，
如图，连接CO，AD，
∴CE= CO2−OE2= 169x2−25x2=12x，
∴AC= AE2+CE2= 64x2+144x2=4 13x，CD=2CE=24x，
∴DF=CD=24x，
∵AD=AD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴cs∠ACD=cs∠AFD，
∴CEAC=MFDF，
∴12x4 13x=MF24x，
∴MF=72 1313x，
∵FM−AC=5，
∴72 1313x−4 13x=5，
∴x= 134，
∴AC=4 13x=13，
∵弧AC=弧AD，
∴AC=AD=13．
【解析】(1)由垂径定理可直接求解；
(2)由垂径定理可得ON⊥DF，DN=12DF，CE=DE=12CD，∠OED=∠OND=90°，由“HL”可证Rt△ODN≌Rt△ODE，可得DE=DN，即可求解；
(3)由勾股定理可求AC，DF的长，由锐角三角函数可求MF的长，即可求x的值，由垂径定理可求AD的长．
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
27.【答案】解：(1)由直线y=43x+4得：A(−3,0)，B(0,4)．
∵点C与点A关于轴对称，
∴C(3.0)．
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=4，
∴k=−43，b=4，
∴直线BC的解析式为y=−43x+4；
(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PN⊥BC于点N，过点P作PG⊥y轴于点G，
∵OA=OC=3，OB=4，
∴AC=6，AB=BC=5．
∴sin∠ACD=ADAC=OBBC，
∴AD6=43，
∴AD=245，
设P(m,43t+4)，
∴PG=−t，cs∠BPG=cs∠BAO，
∴PGPB=ADAB=35，
∴PB=−53t，
∵sin∠ABC=PNPB=ADAB=2455=2425，
∴PN=2425PB=−85t，
∵AP=BQ，
∴BQ=5+53t，
∴S=12BQ×PN=12(5+53t)×(−85t)=−43t2−4t．
(3)过点P作PE//BC交AC于点E，
∴∠PEA=∠C，
∵AB=BC=5，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠PEA，
∴AP=EP，
∵▱OPRQ，
∴PE//BQ，RQ=PO，
∵RQ//PO，
∴∠BQP=∠EPQ，∠ROP=∠OPQ，
∴∠BQP−∠RQP=∠EPQ−∠OPQ，
∴∠BQR=∠EPO，
在△BQR和△EPO中，
BQ=EP∠BQR=∠EPORQ=PO，
∴△BQR≌△EPO(SAS)，
∴∠BRQ=EOP，
∵tan∠BRQ=12，
∴43t+4−t=12，
∴t=−2411，
∴P(−2411,1211).
【解析】(1)由直线y=43x+4得：A(−3,0)，B(0,4).由对称得C(3.0).设直线BC解析式为y=kx+b，代入坐标计算即可．
(2)如图，过点作AD⊥BC于点D，过点P作PN⊥BC于点N，过点P作PG⊥y轴于点G，由三角函数sin∠ACD=ADAC=OBBC，得AD=245，设P(m,43t+4)，求出PB=−53t，再根据三角函数得PN=2425PB=−85t，故S=12BQ×PN=12(5+53t)×(−85t)=−43t2−4t．
(3)过点P作PE//BC交AC于点E，由平行线性质得∠PEA=∠C，从而证明△BQR≌△EPO，再利用tan∠BRQ=12，即可求解．
本题考查了一次函数的知识，掌握求一次函数解析式、锐角三角函数、平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
1.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列运算中，计算结果正确的是( )
A. (a2)3⋅a4=a9
B. (a+1)5⋅(1+a)⋅(a+1)2=(a+1)7
C. (a−b)3⋅(b−a)2=(a−b)5
D. −2b(a3b−3a2+2b)=−2a3b2−6a2b+4b2
3.如图，AB是⊙O的弦，半径OD⊥AB于点C，AE为直径，AB=8，CD=2，则线段CE的长为( )
A. 2 15
B. 8
C. 2 10
D. 2 13
4.反比例函数y=a−1x中，当x<0时，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为( )
A. a<1B. a>1C. a<−1D. a>−1
5.如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且CO⊥AB于点O，弦CD与AB相交于点E，若∠BEC=70°，则∠ABD的度数为( )
A. 20°
B. 30°
C. 25°
D. 35°
6.如图，若要测量小河两岸相对的两点A，B的距离，可以在小河边取AB的垂线BP上的一点C，测得BC=50米，∠ACB=46°，则小河宽AB为多少米( )
A. 50sin46°
B. 50cs46°
C. 50tan46°
D. 50tan44°
7.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理.小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体AB在幕布上形成倒立的实像CD(点A、B的对应点分别是C、D).若物体AB的高为9cm，小孔O到物体和实像的水平距离BE、CE分别为12cm、9cm，则实像CD的高度为 cm．( )
A. 6cmB. 6.25cmC. 6.75cmD. 7cm
8.下列语句中，正确的有( )
(1)相等的圆心角所对的弧相等；
(2)平分弦的直径垂直于弦；
(3)长度相等的两条弧是等弧；
(4)圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
9.如图，将△ABC绕点A逆时针旋转40°至△ADE，点B、C的对应点分别为点D、E，下列结论中不一定正确的是( )
A. ∠BAD=40°
B. ∠B=70°
C. ∠DAC=40°
D. ∠ADE=70°
10.已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE//BC，DH//AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是( )
A. ADDB=AEDH
B. CFDE=DHCG
C. FDFG=ECCG
D. CHBC=AEAC
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.函数y=xx−2中自变量x的取值范围是______．
12.点M(−3,2)关于原点对称的点的坐标是______．
13.分解因式：ax2−6ax+9a= ______．
14.解不等式组−2x>6x−3<0的解集是______．
15.计算： 27− 12=______．
16.如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线OB在x轴上，顶点A在反比例函数y=3x的图象上，则菱形的面积为______．
17.不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球、2个白球和3个黄球，若从袋中任意摸取1个球，是白球的概率是 ．
18.一个扇形的圆心角为120°，半径为4，则该扇形的弧长为______．
19.在△ABC中，csB= 32，BC=4，AC=4，则AB= ______．
20.如图，△ABC中，∠BCA=90°，AC=4，BC=3，CD⊥AB于点D，AB=5，则CD= ______．
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题7分)
先化简，再求代数式4a+3−6a2−9÷2a−3的值，其中a=tan60°−6sin30°．
22.(本小题7分)
如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−5,1)，B(−2,2)，C(−1,4)，请按下列要求画图：
(1)将△ABC先向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
(2)画出与△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标．
23.(本小题8分)
初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动的同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整．
(2)如果学校初三年级共有340名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人．
(3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
24.(本小题8分)
如图，正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(3,4)，B两点．
(1)求k，m的值；
(2)根据函数图象，直接写出不等式mx≥kx的解集；
(3)若点C在y轴的正半轴上，且AC⊥BC，垂足为点C，求△ABC的面积．
25.(本小题10分)
“六一”儿童节将至，益智玩具店准备购进甲、乙两种玩具，若购进甲种玩具80个，乙种玩具40个，需要800元，若购进甲种玩具50个，乙种玩具30个，需要550元．
(1)求益智玩具店购进甲、乙两种玩具每个需要多少元？
(2)若益智玩具店准备1000元全部用来购进甲，乙两种玩具，计划销售每个甲种玩具可获利润4元，销售每个乙种玩具可获利润5元，且销售这两种玩具的总利润不低于600元，那么这个玩具店需要最多购进乙种玩具多少个？
26.(本小题10分)
AB为圆O的直径，弦CD交AB于点E，弧AC=弧AD．
(1)如图1，求证：AB⊥CD；
(2)如图2，点F在弧DBC上，连接DF，N为DF中点，连接ON，OE=ON，求证：CD=FD；
(3)如图3，在(2)的条件下，连接AF，过D作DM⊥AF于M，FM−AC=5，BE：AE=9：4，求AD的长度．
27.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=43x+4与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，直线BC与x轴相交于点C，且点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线BC的解析式；
(2)P为线段AB上一点，Q为线段BC上一点，BQ=AP，设点P的横坐标为t，△PBQ的面积为S(S≠0)，求S与t之间的函数关系式；
(3)在(2)的条件下，点R在第二象限内，且四边形OPRQ为平行四边形，连接BR，tan∠BRQ=12，求点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.原图既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C.原图是不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.原图既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】C
【解析】解：(a2)3⋅a4=a10，A选项错误；
(a+1)5⋅(1+a)⋅(a+1)2=(a+1)8，B选项错误；
(a−b)3⋅(b−a)2=(a−b)5，C选项正确；
−2b(a3b−3a2+2b)=−2a3b2+6a2b−4b2，D选项错误．
故选：C．
利用幂的乘方与同底数幂的乘法运算，单项式乘多项式的运算法则运算即可．
本题考查了整式的混合运算，做题的关键是掌握幂的乘方与同底数幂的乘法运算，单项式乘多项式的运算法则．
3.【答案】D
【解析】解：连接BE，如图，
∵OD⊥弦AB，AB=8，
∴AC=12AB=4，
设⊙O的半径OA=r，
∴OC=OD−CD=r−2，
在Rt△OAC中，
r2=(r−2)2+42，
解得：r=5，
∴AE=2r=10；
∵OD=5，CD=2，
∴OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= CB2+EB2= 42+62=2 13．
故选：D．
先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，在Rt△OAC中利用勾股定理求出r的值，易得AE=2r，连接BE，由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数y=a−1x中，当x<0时，y随自变量x的增大而增大，
∴a−1<0，
解得a<1，
故选：A．
根据反比例函数的性质得到a−1<0，解不等式即可得到答案．
此题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠D=12∠COB=45°，
∵∠CEB=∠D+∠ABD，
∴∠ABD=70°−45°=25°，
故选：C．
利用圆周角定理求出∠D，再利用三角形的外角的性质求出∠ABD即可．
本题考查圆周角定理，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB⊥PB，
∴∠ABC=90°，
∵BC=50米，∠BCA=46°，
∴tan46°=ABBC，
∴小河宽AB=BCtan∠BCA=50⋅tan46°(米)．
故选：C．
在直角三角形APC中根据∠PCA的正切函数可求小河宽PA的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题).②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
7.【答案】C
【解析】解：由题意得：AB//CD，
∴∠A=∠ACD，∠D=∠ABD，
∴△OAB∽△OCD，
∴ABCD=BECE，
∴9CD=129，
∴CD=6.75，
∴实像CD的高度为6.75cm，
故选：C．
根据题意得：AB//CD，从而可得∠A=∠ACD，∠D=∠ABD，然后证明△OAB∽△OCD，从而利用相似三角形对应高的比等于相似比进行计算，即可解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握8字模型相似三角形是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：(1)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本小题错误；
(2)平分弦的直径垂直于弦(非直径)，故本小题错误；
(3)在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，故本小题错误；
(4)每一条直径所在的直线是圆的对称轴．对称轴是直线，而直径是线段，故本小题错误．
故选：A．
分别根据垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系对各小题进行逐一分析即可．
本题考查的是圆的认识，熟知垂径定理、圆的性质及圆心角、弧、弦的关系是解答此题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：由旋转得：∠BAD=∠EAC=40°，∠B=∠ADE，AB=AD，
∴∠B=∠ADB=12(180°−∠BAD)=70°，
∴∠ADE=∠B=70°，
故A、B、D都不符合题意；
∵∠DAC不一定等于40°，
∴选项C符合题意；
故选：C．
根据旋转的性质可得：∠BAD=∠EAC=40°，∠B=∠ADE，AB=AD，然后利用等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理可得∠B=∠ADB=70°，从而可得∠ADE=∠B=70°，最后根据∠DAC不一定等于40°，逐一判断即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：∵DE//BC，DH//AC，
∴四边形DECH是平行四边形，
∴DH=CE，DE=CH，
∵DE//BC，
∴ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，
∵DH//CG，
∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，
∵DE//BC，
∴DEBC=AEAC，
∴CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，
故选：B．
首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
11.【答案】x≠2
【解析】解：由题意得：x−2≠0，
解得：x≠2，
故答案为：x≠2．
根据分式分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握分式分母不为0是解题的关键．
12.【答案】(3,−2)
【解析】解：平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，
∴点M(−3,2)关于原点中心对称的点的坐标是(3,−2)．
故答案为：(3,−2)．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
本题考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
13.【答案】a(x−3)2
【解析】解：ax2−6ax+9a
=a(x2−6x+9)--(提取公因式)
=a(x−3)2.--(完全平方公式)
故答案为：a(x−3)2．
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
14.【答案】x<−3
【解析】解：解不等式−2x>6，得x<−3，
解不等式x−3<0，得x<3，
∴不等式组的解集为x<−3．
故答案为：x<−3．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可确定出不等式组的解集．
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
15.【答案】 3
【解析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．
解：原式=3 3−2 3= 3．
故答案为： 3．
本题考查了二次根式的加减运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．
16.【答案】6
【解析】解：如图，连接AC交OB于D．
∵四边形OABC是菱形，
∴AC⊥OB．
∵点A在反比例函数y=3x的图象上，
∴△AOD的面积=12×3=32，
∴菱形OABC的面积=4×△AOD的面积=6．
故答案为：6．
连接AC交OB于D，由菱形的性质可知AC⊥OB.根据反比例函数y=kx中k的几何意义，得出△AOD的面积=32，从而求出菱形OABC的面积=△AOD的面积的4倍．
本题主要考查菱形的性质及反比例函数的比例系数k的几何意义．反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=12|k|．
17.【答案】13
【解析】【分析】
本题主要考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
根据题意，可得白球的数目与球的总数目，进而由概率的计算方法可得摸出的球是白球的概率．
【解答】
解：根据题意，布袋中装有6个球，其中2个白球，
则摸出的球是白球的概率是26=13．
故答案为：13．
18.【答案】83π
【解析】解：根据弧长的公式l=nπr180，
得到：l=120π×4180=83π，
故答案是：83π.
根据弧长的公式l=nπr180进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．
19.【答案】4
【解析】解：如图，作CD⊥AB于D，
∵csB= 32，BC=4，AC=4，
∴∠B=60°，AD=BD，
∴∠BCD=30°，
∴BD=12BC=2，
∴AB=2+2=4，
故答案为：4．
根据余弦定义求得∠B，进而求得∠BCD=30°，再根据含30CD长，再根据含30度直角三角形的性质求得BD，由等腰三角形的性质即可求得答案．
此题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握余弦的概念：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作csA．
20.【答案】125
【解析】解：∵∠BCA=90°，CD⊥AB，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴CD=AC⋅BCAB=4×35=125，
故答案为：125．
根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
本题考查了解直角三角形，三角形的面积的计算，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
21.【答案】解：4a+3−6a2−9÷2a−3
=4a+3−6(a+3)(a−3)⋅a−32
=4a+3−3a+3
=1a+3，
当a=tan60°−6sin30°= 3−6×12= 3−3时，
原式=1 3−3+3= 33．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由特殊角的三角函数值计算出a的值，把a的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求．
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标为(5,−1)．
【解析】(1)将三个顶点分别向右平移4个单位长度、再向下平移1个单位长度，得到对应点，再顺次连接即可得；
(2)将△ABC的三个顶点关于原点O成中心对称的对称点，再顺次连接可得．
本题主要考查作图−旋转变换和平移变换，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的定义及其性质，并据此得出变换后的对应点．
23.【答案】72 128
【解析】解：(1)抽取的学生人数为：18÷15%=120(人)，
∴扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为：360°×24120=72°，
∴“良好”等级的人数为120×40%=48(人)，
故答案为：72，
把条形统计图补充完整如下：
(2)320×40%=128(人)，
∴参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有128人；
故答案为：128；
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，
∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率=212=16．
(1)由“较差”等级的人数除以所占的百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
(2)由学校初三年级共有学生人数乘以样本中“良好”等级的人数所占的百分比即可；
(3)画树状图，共有12种等可能的结果，其中选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种，然后利用概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．也考查了条形统计图和扇形统计图．
24.【答案】解：(1)∵正比例函数y=kx的图象与反比例函数y=mx的图象交于A(3,4)，
∴4=3k，4=m3，
∴k=43，m=12；
(2)∵k=43，m=12，
∴一次函数为y=43x，反比例函数解析式为y=12x，
解方程y=43xy=12x得，x1=3y1=4，x2=−3y2=−4，
∴B(−3,−4)，
∴不等式mx≥kx的解集为0
∴AO=BO= 32+42=5，
又∵∠ACB=90°，
∴CO=AO=BO=5，
∴点C(0,5)，
∴△ABC的面积=12×5×(3+3)=15．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得；
(2)解方程组得到B(−3,−4)，根据函数的图象即可得到结论；
(3)联立方程组可求点B坐标，由直角三角形的性质可求OB=OA=OC=5，由三角形的面积公式可求解．
本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，直角三角形斜边中线的性质，三角形的面积公式，求得B、C点的坐标是本题的关键．
25.【答案】解：(1)设甲种玩具每个x元，乙种玩具每个y元，
根据题意，得：80x+40y=80050x+30y=550，
解得：x=5y=10，
答：甲种玩具每个5元，乙种玩具每个10元．
(2)设购进乙种玩具a个，则甲种玩具1000−10a5=200−2a(个)，
根据题意，得：4(200−2a)+5a≥600，
解得：a≤6623，
∵a是正整数，
∴a的最大值为66，
答：这个玩具店需要最多购进乙种玩具66个．
【解析】(1)设甲种玩具每个x元，乙种玩具每个y元，根据：①甲种玩具80个费用+乙种玩具40个的费用=800元，②甲种玩具50个费用+乙种玩具30个费用=550元，列方程组求解即可；
(2)设购进乙种玩具a个，则购进甲种玩具1000−10a5=200−2a(个)，根据销售这两种玩具的总利润不低于600元建立不等式求出其解即可．
本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，列一元一次不等式解实际问题的运用，解答本题时找到建立方程的等量关系和建立不等式的不等关系是解答本题的关键．
26.【答案】(1)证明：∵弧AC=弧AD，AB为圆O的直径，
∴AB⊥DC；
(2)证明：连接OD，
∵N为DF中点，
∴ON⊥DF，DN=12DF，
∵AB⊥CD，
∴CE=DE=12CD，∠OED=∠OND=90°，
∵OE=ON，OD=OD，
∴Rt△ODN≌Rt△ODE(HL)，
∴DE=DN，
∴DC=DF；
(3)解：∵BE：AE=9：4，
∴AE=8x，BE=18x，
∴AB=26x，AO=BO=13x，
∴OE=AO−AE=5x，
如图，连接CO，AD，
∴CE= CO2−OE2= 169x2−25x2=12x，
∴AC= AE2+CE2= 64x2+144x2=4 13x，CD=2CE=24x，
∴DF=CD=24x，
∵AD=AD，
∴∠ACD=∠AFD，
∴cs∠ACD=cs∠AFD，
∴CEAC=MFDF，
∴12x4 13x=MF24x，
∴MF=72 1313x，
∵FM−AC=5，
∴72 1313x−4 13x=5，
∴x= 134，
∴AC=4 13x=13，
∵弧AC=弧AD，
∴AC=AD=13．
【解析】(1)由垂径定理可直接求解；
(2)由垂径定理可得ON⊥DF，DN=12DF，CE=DE=12CD，∠OED=∠OND=90°，由“HL”可证Rt△ODN≌Rt△ODE，可得DE=DN，即可求解；
(3)由勾股定理可求AC，DF的长，由锐角三角函数可求MF的长，即可求x的值，由垂径定理可求AD的长．
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键．
27.【答案】解：(1)由直线y=43x+4得：A(−3,0)，B(0,4)．
∵点C与点A关于轴对称，
∴C(3.0)．
设直线BC解析式为y=kx+b，
∴3k+b=0b=4，
∴k=−43，b=4，
∴直线BC的解析式为y=−43x+4；
(2)如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点P作PN⊥BC于点N，过点P作PG⊥y轴于点G，
∵OA=OC=3，OB=4，
∴AC=6，AB=BC=5．
∴sin∠ACD=ADAC=OBBC，
∴AD6=43，
∴AD=245，
设P(m,43t+4)，
∴PG=−t，cs∠BPG=cs∠BAO，
∴PGPB=ADAB=35，
∴PB=−53t，
∵sin∠ABC=PNPB=ADAB=2455=2425，
∴PN=2425PB=−85t，
∵AP=BQ，
∴BQ=5+53t，
∴S=12BQ×PN=12(5+53t)×(−85t)=−43t2−4t．
(3)过点P作PE//BC交AC于点E，
∴∠PEA=∠C，
∵AB=BC=5，
∴∠A=∠C，
∴∠A=∠PEA，
∴AP=EP，
∵▱OPRQ，
∴PE//BQ，RQ=PO，
∵RQ//PO，
∴∠BQP=∠EPQ，∠ROP=∠OPQ，
∴∠BQP−∠RQP=∠EPQ−∠OPQ，
∴∠BQR=∠EPO，
在△BQR和△EPO中，
BQ=EP∠BQR=∠EPORQ=PO，
∴△BQR≌△EPO(SAS)，
∴∠BRQ=EOP，
∵tan∠BRQ=12，
∴43t+4−t=12，
∴t=−2411，
∴P(−2411,1211).
【解析】(1)由直线y=43x+4得：A(−3,0)，B(0,4).由对称得C(3.0).设直线BC解析式为y=kx+b，代入坐标计算即可．
(2)如图，过点作AD⊥BC于点D，过点P作PN⊥BC于点N，过点P作PG⊥y轴于点G，由三角函数sin∠ACD=ADAC=OBBC，得AD=245，设P(m,43t+4)，求出PB=−53t，再根据三角函数得PN=2425PB=−85t，故S=12BQ×PN=12(5+53t)×(−85t)=−43t2−4t．
(3)过点P作PE//BC交AC于点E，由平行线性质得∠PEA=∠C，从而证明△BQR≌△EPO，再利用tan∠BRQ=12，即可求解．
本题考查了一次函数的知识，掌握求一次函数解析式、锐角三角函数、平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．
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