专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（讲+练）-备战高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

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【核心素养】
1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势，凸显数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
2.与函数的图象、曲线方程、导数的几何意义相结合，凸显数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养．
知识点一
函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
知识点二
函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
常考题型剖析
题型一：函数极值的辨析
【典例分析】
例1-1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
例1-2.（2022·全国·统考高考真题）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点B．有三个零点
C．点是曲线的对称中心D．直线是曲线的切线
【规律方法】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x0处有极值时，一定有f ′(x0)＝0，f(x0)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x0两侧的符号后才可下结论；若f ′(x0)＝0，则f(x)未必在x＝x0处取得极值，只有确认x13.易错提醒
（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；
（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
【变式训练】
变式1-1.（2023·河北·校联考三模）已知下列各选项是函数的导函数的图象，则是函数的极小值点的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1-2.（2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d，若函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A．，B．，
C．，D．，
题型二：已知函数求极值点的个数
例2-1.（2023·全国·高三专题练习）已知是定义域为的偶函数，当时，．那么函数的极值点的个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
例2-2.（2023·北京·统考高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
【易错提醒】
极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
【变式训练】
变式2-1.（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．有两个极值点
B．有三个零点
C．若，则
D．直线是曲线的切线
变式2-2.（2023·河南·襄城高中校联考模拟预测）已知正数，满足，则函数（）的极小值点的个数为______．
题型三：已知函数求极值（点）
【典例分析】
例3-1．（2023春·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）若的一个极值点是，则的极大值为（ ）．
A．B．C．D．
例3-2．（2023·全国·高三对口高考）设函数，则的极大值点和极小值点分别为（ ）
A．，4B．4，C．，2D．2，
【方法技巧】
(1)求函数f(x)极值的步骤：①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0,求出函数定义域内的所有根；④检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值．
(2)若函数y＝f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y＝f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值．
【变式训练】
变式3-1.（2023·全国·高三对口高考）函数的极值点是（ ）
A．B．C．或或0D．
变式3-2. （2021秋·广东深圳·高三红岭中学校考期末）函数的极值点是（ ）
A． B． C．或D．
题型四：已知极值(点)，求参数的值或取值范围
【典例分析】
例4-1.（2022·全国·统考高考真题）已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________．
例4-2．（2023·全国·统考高考真题）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
【总结提升】
由函数极值（个数）求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．
【特别提醒】已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
【变式训练】
变式4-1.（2021·全国·统考高考真题）设，若为函数的极大值点，则（ ）
A．B．C．D．
变式4-2.（2018·北京高考真题（文））设函数f(x)=[ax2−(3a+1)x+3a+2]ex.
（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0，求a；
（Ⅱ）若f(x)在x=1处取得极小值，求a的取值范围.
题型五：利用导数求函数的最值
【典例分析】
例5-1.（2022·全国·统考高考真题）函数在区间的最小值、最大值分别为（ ）
A．B．C．D．
例5-2.（2019·全国高考真题（文））已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.
【总结提升】
求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，f(x)，f′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，比较大小，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
【易错提醒】
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
【变式训练】
变式5-1．（2021·全国·统考高考真题）函数的最小值为______.
变式5-2.（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）已知，若点为曲线：与曲线：的交点，且两条曲线在点处的切线重合，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
题型六：根据函数的最值求参数的值（范围）
【典例分析】
例6-1．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）已知是奇函数，当时，，当时，的最小值为1，则a的值等于（ ）
A．B．C．D．1
例6-2.（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知函数．
(1)若a＝0，求函数的最值；
(2)若a＝1，函数在上的最大值在区间内，求整数m的值．
【易错提醒】
1．由于参数的取值范围不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分类讨论．
2．已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
【变式训练】
变式6-1.（2023·北京·北京市第十中学校考三模）设函数.
①若存在最大值，则实数的一个取值为___________.
②若无最大值，则实数的取值范围是___________.
变式6-2.（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考模拟预测）设函数.
(1)求的极值；
(2)已知，有最小值，求的取值范围.
一、单选题
1．（2022·全国·统考高考真题）当时，函数取得最大值，则（ ）
A．B．C．D．1
2．（2023·全国·高三专题练习）设和是函数的两个极值点．若，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
二、多选题
3．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数，下列说法错误的是（ ）
A．若，则函数图象在处的切线方程为
B．若，则函数是奇函数
C．若，则函数存在最小值
D．若函数存在极值，则实数的取值范围是
4.（2023·全国·高三专题练习）若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．
A．B．C．D．
三、填空题
5．（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知正三棱柱内接于球O，若该三棱柱的体积是，则球O表面积的最小值为______________．
6．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，的最小值分别为，则的大小关系为______.
7．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知正数满足，若函数有且仅有一个极值点，则实数m的最大值为______．
8．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数，若恰有两个极值点，则实数的取值范围是_________.
9．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数，若函数在处取得极小值，则的取值范围为______.
10.（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）函数在___处取得极小值，且极小值为___.
四、解答题
11．（2023·全国·高三专题练习）设函数，已知曲线在点处的切线斜率为．
(1)求a，b的值；
(2)设函数，求的最小值．
12．（2023·全国·模拟预测）已知函数，．
(1)讨论函数的最值；
(2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围．