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初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组测试题
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这是一份初中数学人教版七年级下册8.1 二元一次方程组测试题，共25页。试卷主要包含了11二元一次方程组的应用等内容，欢迎下载使用。
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题(共0分)
1．(2023春·全国·七年级假期作业） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
2．(2023·江苏·七年级假期作业）今年(2023年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
3．(2023秋·重庆·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
4．(2023秋·重庆·七年级重庆市第二十九中学校校考阶段练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
5．(2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
6．(2023秋·重庆·七年级校考阶段练习）小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
7．(2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
8．(2023春·七年级单元测试）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数. 小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好比原来的两位数大9.”那么，你能回答以下问题吗？
他们取出的两张卡片上的数字分别是多少？
第一次，他们拼成的两位数是多少？
第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
9．(2023春·福建泉州·七年级校联考期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
10．(2023春·河南南阳·七年级校考期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多15，求这个两位数．
11．(2023春·浙江丽水·七年级青田县第二中学校考阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
(1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，列出二元一次方程组为__________．
(3)求原来的两位数．
12．(2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
13．(2023秋·七年级课时练习）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？
14．(2023春·全国·七年级专题练习）列方程组解应用题：
《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买一只羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
15．(2023春·山东烟台·七年级统考期末）2019年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．
16．(2023·贵州遵义·七年级统考期末）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，你能知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗？
（1）设未知数，用代数式表示聪聪和他妈妈的年龄；
（2）列方程解答．
17．(2023春·全国·七年级专题练习）一个两位数，个位和十位上的数字之和为9，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，新的两位数比原来的两位数大9，求原来的两位数．
18．(2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
19．(2023秋·全国·七年级专题练习）若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是______，“明德数”是______
（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．
20．(2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．
21．(2023春·七年级单元测试）一个三位数是一个两位数的5倍，如果把这三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，而后面的五位数比前面的五位数大18648，问：原两位数、三位数各是多少？
22．(2023春·全国·七年级专题练习）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数．
23．(2023秋·七年级课时练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
24．(2023春·河北邯郸·七年级统考期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
25．(2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
26．(2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a＋2）2﹣b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果2b﹣a﹣（a＋b﹣4）3＝5，其中a、b为有理数，求3a＋2b的平方根．
27．(2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”.例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”.
（1）直接写出：最小的“和平数”是_________________，最大的“和平数”是_______________；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”.
28．(2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123) =6．
（1）计算：F(315)，F(746)；
（2）若s、t都是“相异数”，其中s=100x+42，t=160+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F(s)+F(t)=17时，求x、y的值.
29．(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18，则这个两位数是多少？
30．(2023春·山东淄博·七年级统考期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
时刻
9：00
9：48
11：00
里程碑
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和为6
也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题8.11二元一次方程组的应用（4）年龄与数字问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题(共0分)
1．(2023春·全国·七年级假期作业） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：
x+y=163x+2+y+2=34+2
解得：x=6y=10 ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
2．(2023·江苏·七年级假期作业）今年(2023年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
x−4+y−13=95y−x=40．
解得：x=36y=76
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）2022−36+15=2001（年）
2022−76+15=1961（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
3．(2023秋·重庆·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得x+y=16x+2+3(y+2)=34+2
解得x=10y=6
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
4．(2023秋·重庆·七年级重庆市第二十九中学校校考阶段练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得：x+y=63(x+2)+(y+2)=34+2 ，
解得： x=6y=10．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．(2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁
【分析】设老师的年龄是 x岁，学生的年龄是y岁，根据老师和学生年龄差不变来列方程组解答．
【详解】设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：
x−y＝y−1x+x−y＝40，
解得x＝27y＝14．
答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目的关键，老师和学生年龄差不变．
6．(2023秋·重庆·七年级校考阶段练习）小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
【答案】小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【分析】设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，
根据题意得，120−x−y=x+y+12y−x=120−x−y−y，
解得x=14y=40，
∴120–x–y=66．
答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．(2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
【答案】原两位数是53．
【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入10y＋x即可得出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，
根据题意得：x+y=810y+x−10x+y=18
解得：x=3y=5
∴10y+x＝53．
答：原两位数是53．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．(2023春·七年级单元测试）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数. 小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好比原来的两位数大9.”那么，你能回答以下问题吗？
他们取出的两张卡片上的数字分别是多少？
第一次，他们拼成的两位数是多少？
第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【答案】4 、 5， 45， 54.
【分析】解：设他们取出的两个数字分别为x、y，则第一次拼成的两位数为10x+y，第二次拼成的两位数为10y+x，根据等量关系：①十位数字与个位数字之和恰好是9；②对调后的两位数恰好也比原来的两位数大9，列方程组求解，即可得到答案.
【详解】设小明和小华取出的两个数字分别为x，y，根据题意，得
x+y=910y+x−9=10x+y ，
解得x=4y=5，
所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5，
第一次他们拼成的两位数为45，
第二次他们拼成的两位数是54.
故答案为4 、 5， 45， 54.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键.
9．(2023春·福建泉州·七年级校联考期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【答案】m=15，n=9
【分析】−12右边的数为−12+m，−12+m的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】根据题意以及表格数据，
有：−12+m+m=18−12+m+3n=30，
解得m=15n=9，
答：m的值为15，n的值为9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．
10．(2023春·河南南阳·七年级校考期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多15，求这个两位数．
【答案】63
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意列二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意得x−y=310y+x=1310x+y+15，
解得：x=6y=3，
∴这个两位数为63．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
11．(2023春·浙江丽水·七年级青田县第二中学校考阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
(1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，列出二元一次方程组为__________．
(3)求原来的两位数．
【答案】(1)10x+y，10y+x
(2){x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18
(3)35
【分析】（1）两位数的值=十位数字×10+个位数字；
（2）根据题意的等量关系即可得出方程组；
（3）解出（2）的方程组即可得出原来的两位数．
(1)
解：原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x；
故答案为： 10x+y，10y+x；
(2)
由题意可列出二元一次方程组为：
{x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18．
故答案为：{x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18
(3)
由（2）可得：{x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18
整理为：{x+y=89y−9x=18
解得： {x=3y=5
故原两位数是35．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字×10+个位数字．
12．(2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
【答案】42
【分析】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y；根据题意列二元一次方程组，求解进而得到两位数的值．
【详解】解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y；
由题意可得x+y=610x+y+18=x+56
消元解得x=4y=2
∴这个两位数为42．
【点睛】本题考察了二元一次方程组．解题的关键与难点是正确的列方程组．
13．(2023秋·七年级课时练习）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？
【答案】8个，见解析
【分析】设原两位数为10a+b，根据题意找到等量关系，列方程求解即可．
【详解】解：设原两位数为10a+b，
根据题意，得10a+b+9=10b+a，解得b=a+1，
∴a可取1~8，这个两位数共有8个，分别为：12、23、34、45、56、67、78、89
观察数字可以得到它们都是个位数字比十位数字大1的两位数．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系，列出方程，再求解．
14．(2023春·全国·七年级专题练习）列方程组解应用题：
《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买一只羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
【答案】合伙人是21人，羊价是150元．
【分析】设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设合伙人数是x人、羊价是y元，依题意得：
5x+45=y7x+3=y，
解得：x=21y=150
答：合伙人数是21人，羊价是150元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．(2023春·山东烟台·七年级统考期末）2019年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．
【答案】2，9.
【分析】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y，根据二阶幻圆的要求，列出方程组，即可求解.
【详解】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y．
根据题意得：3+6+7+y=4+6+7+8x+3+y+11=4+6+7+8，解得：x=2y=9，
故答案是:2，9
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键.
16．(2023·贵州遵义·七年级统考期末）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，你能知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗？
（1）设未知数，用代数式表示聪聪和他妈妈的年龄；
（2）列方程解答．
【答案】（1）聪聪的年龄为（10x+y）岁，妈妈的年龄为（10y+x）岁；（2）聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【分析】（1）设聪聪的年龄为（10x+y）岁，由聪聪的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，可得出妈妈的年龄；
（2）根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设聪聪的年龄为（10x+y）岁，则妈妈的年龄为（10y+x）岁．
（2）根据题意得：10y+10+x−1=2(10x+10+y+1)x+1+y+1=7 ，
解得：x=1y=4．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据聪聪及妈妈年龄间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
17．(2023春·全国·七年级专题练习）一个两位数，个位和十位上的数字之和为9，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，新的两位数比原来的两位数大9，求原来的两位数．
【答案】45
【分析】设十位数字是x，个位数字是ｙ，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解.
【详解】解：设十位数字是x，个位数字是ｙ，
根据题意，得x+y=910y+x=10x+y+9，
解得x=4y=5．
答：原来的数是45．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.
18．(2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
【答案】这个三位数为101，两位数为75．
【分析】设两位数是a，三位数是b，找到两个关系式，列出方程组即可解答．
【详解】解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得，
b=2a−497(100b+a)+3876=1000a+b，
解得：a=75b=101，
答：这个三位数为101，两位数为75．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍．
19．(2023秋·全国·七年级专题练习）若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是______，“明德数”是______
（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．
【答案】（1）368,44；（2）84,75,66,57,48,39.
【分析】（1）分别根据“至善数”的定义，“明德数”的定义可得答案；
（2）分两种情况讨论：设两位正整数M的十位十字为x, 个位数字为y, 当0≤y≤3时，不合题意舍去，当4≤y≤9时，求解x+y=12, 再把y分类可得答案．
【详解】解：（1）根据“至善数”的定义可得：
38的“至善数”是368，
根据“明德数”的定义可得：
38 “明德数”是44,
故答案为：368,44.
（2）设两位正整数M的十位十字为x, 个位数字为y,
当0≤y≤3时，正整数M的“明德数”的各位数字之和为：x+y+6,
M的“至善数”各位数字之和为：x+y+6,
所以此时不合题意，舍去，
当4≤y≤9时，
正整数M的“明德数”的各位数字之和为：x+1+(6+y−10)=x+y−3,
M的“至善数”各位数字之和为：x+y+6,
∴x+y−3=12(x+y+6),
∴2x+2y−6=x+y+6,
∴x+y=12,
∵ 4≤y≤9且y为正整数，
∴y=4或y=5或y=6或y=7或y=8或y=9.
所以当y=4时，x=8,
∴ 正整数M为84，
同理可得：正整数M还可以为：75,66,57,48,39.
综上：正整数M为84,75,66,57,48,39.
【点睛】本题考查的是新定义情境下的二元一次方程的正整数解问题，弄懂新定义，列出方程，合理的分类讨论是解题的关键．
20．(2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是46．
【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．等量关系：①十位上的数字与个位上的数字之和为10；②把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28．
【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．则
x+y＝102(10y+x)−28＝10x+y，
解得 x＝6y＝4．
则原来的两位数是：10y+x =10×4+6=46．
答：原来的两位数是46．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题涉及一个常识问题：两位数=10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．
21．(2023春·七年级单元测试）一个三位数是一个两位数的5倍，如果把这三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，而后面的五位数比前面的五位数大18648，问：原两位数、三位数各是多少？
【答案】原两位数是37；三位数是185.
【分析】设两位数是x，三位数是y．根据一个三位数是一个两位数的5倍，得方程y=5x；根据把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数，即100y+x，根据把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，即1000x+y，再根据后面的五位数比前面的五位数大18648，列方程1000x+y-（100y+x）=18648．联立解方程组即可．
【详解】解：设两位数是x，三位数是y．
根据题意，得y＝5x1000x+y−100y+x＝18648，
解，得x＝37y＝185．
答：两位数、三位数各是37、185．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍．
22．(2023春·全国·七年级专题练习）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数．
【答案】这个两位数是56，一位数是9
【分析】设两位数为x，一位数为y，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程组即可求解．
【详解】解：设两位数为x，一位数为y，根据题意，
得：x+10y=146x=6y+2，
解得：x=56y=9，
答：这个两位数是56，一位数是9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，正确列出方程组是解答的关键．
23．(2023秋·七年级课时练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
【答案】原来两个加数是120和75
【分析】根据题意，设这两个加数为x和y，少写一个零就是相当于除以10，多写一个零就是相当于乘以10，列方程组求解．
【详解】解：设这两个加数为x和y，
其中一个加数后面多写一个零，和是1275，列式：10x+y=1275，
同一个加数后面少写一个零，和是87，列式：x10+y=87，
解方程组10x+y=1275x10+y=87，解得x=120y=75．
答：这两个加数是120和75．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找等量关系去列方程组求解．
24．(2023春·河北邯郸·七年级统考期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
【答案】这个两位数是36．
【分析】题意中涉及两个未知数：十位上的数字和个位上的数字；两组条件：十比个位正小三，个位六倍与寿符．可设两个未知数，列二元一次方程组解题．
【详解】设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y,
根据题意，得x+3=y6y=10x+y
解得x=3y=6
答：这个两位数是36.
故答案是：这个两位数是36．
【点睛】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系．
25．(2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
【答案】m＝3，n＝5，x=11．
【分析】根据表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大ｍ得出12+2m＝18，解方程求出m的值；再由各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，得出（12+m）+3n＝30，解方程求出n的值；进而求得x的值．
【详解】∵各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，
∴12+2m＝18，
解得m＝3．
又∵各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，
∴（12+m）+3n＝30，
将m＝3代入上述方程得 15+3n＝30，
解得n＝5．
此时x＝12﹣2m+n＝12﹣2×3+5＝11．
【点睛】本题考查的是根据题意列二元一次方程组解决数学问题，根据横行和竖列的数值的变化规则，确定相等关系，列出相应的方程是解题的关键．
26．(2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a＋2）2﹣b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果2b﹣a﹣（a＋b﹣4）3＝5，其中a、b为有理数，求3a＋2b的平方根．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝3；（2）±3．
【分析】（1）根据题意，可知，a＋2=0，﹣b＋3=0，即可求解，
（2）根据题意，可知，2b−a=5a+b−4=0，求出a,b的值，即可求解.
【详解】解：（1）∵（a＋2）2﹣b＋3＝0，其中a、b为有理数，
∴a＋2=0，﹣b＋3=0，解得：a＝﹣2，b＝3；
（2）∵2b﹣a﹣（a+b﹣4）3 ＝5，其中a、b为有理数，
∴2b−a=5a+b−4=0，
解得：a=1b=3，
∴3a+2b＝9，
∴3a+2b的平方根为±3．
【点睛】本题主要考查阅读理解能力以及对有理数与无理数的和，积的理解，根据题意，列出方程，是解题的关键.
27．(2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”.例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”.
（1）直接写出：最小的“和平数”是_________________，最大的“和平数”是_______________；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”.
【答案】（1）1001，9999；（2）2754和4848.
【分析】（1）根据“和平数”的定义，即可得到结论；
（2）设这个“和平数”为1000a+100b+10c+d，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8；d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】解：（1）根据题意，最小的“和平数”为1001，最大的“和平数”为9999；
故答案为1001，9999；
（2）设这个“和平数”为：1000a+100b+10c+d，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，k为整数，
∴2c+a=12k，
即a=2，4，6，8，12（舍去），16（舍去），
当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知：c+1=6k，且a+b=c+d，
∴c=5，b=7；
当a=4，d=8时，2（c+2）=12k，
可知：c+2=6k，且a+b=c+d，
∴c=4，b=8；
综上所述：这个数为：2754和4848.
【点睛】本题考查了新定义的应用，正确的理解新概念“和平数”是解题的关键．
28．(2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123) =6．
（1）计算：F(315)，F(746)；
（2）若s、t都是“相异数”，其中s=100x+42，t=160+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F(s)+F(t)=17时，求x、y的值.
【答案】（1）9 17 （2）x=1y=3
【分析】（1）根据相异数的概念首先写出对调的三个数，再求和，计算F(315)，F(746)即可;
（2）首先根据题意计算F（s）和F（t），求解x和y的值即可.
【详解】（1）根据题意可得315的三个数的和为：315+531+153=999
所以999÷111=9
故F(315)=9
746的三个三位数的和为：746+674+467=1887
所以1887÷111=17
故F(746)=17
（2）∵ s、t都是相异数，s=100x+42, t=160+y
∴ F(s)=（100x+42+420+x+204+10x）÷111=x+6
F(t)=(160+y+601+10y+100y+16) ÷111=y+7
∵ F(s)+F(t)=17
∴ x+6+7+y=17
∴x+y=4
∵ 1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数
∴x=1y=3 或x=2y=2 或x=3y=1
∵ s和t都是相异数
∴x≠4、x≠2，y≠1、y≠6
∴x=1y=3
【点睛】本题主要考查新概念的理解，根据新概念列方程，采用分类讨论的思想求解.
29．(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18，则这个两位数是多少？
【答案】这个两位数为68．
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，由题意得等量关系：①个位数+十位数之和是14；②新两位数比原来的两位数大18，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设十位数字为x，个位数字为y，依题意得
x+y=1410y+x−(10x+y)=18，
解得：x=6y=8，
答：这个两位数为68．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
30．(2023春·山东淄博·七年级统考期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
【答案】(1)10x+y
(2)10y+x；100x+y
(3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15
【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数；
（2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y；
（3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可．
【详解】（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y，
∴两位数可表示为10x+y；
故答案为；10x+y．
（2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
∴十位数字为y，个位数字为x，
∴两位数可表示为10y+x；
∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0，
∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，
∴11：00时的三位数可表示为：100x+y；
故答案为；10y+x；100x+y．
（3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下：
x+y=6100x+y−(10x+y)120=10y+x−(10x+y)48，
解得：x=1y=5．
∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．
时刻
9：00
9：48
11：00
里程碑
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和为6
也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题(共0分)
1．(2023春·全国·七年级假期作业） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
2．(2023·江苏·七年级假期作业）今年(2023年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
3．(2023秋·重庆·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
4．(2023秋·重庆·七年级重庆市第二十九中学校校考阶段练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
5．(2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
6．(2023秋·重庆·七年级校考阶段练习）小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
7．(2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
8．(2023春·七年级单元测试）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数. 小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好比原来的两位数大9.”那么，你能回答以下问题吗？
他们取出的两张卡片上的数字分别是多少？
第一次，他们拼成的两位数是多少？
第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
9．(2023春·福建泉州·七年级校联考期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
10．(2023春·河南南阳·七年级校考期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多15，求这个两位数．
11．(2023春·浙江丽水·七年级青田县第二中学校考阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
(1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，列出二元一次方程组为__________．
(3)求原来的两位数．
12．(2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
13．(2023秋·七年级课时练习）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？
14．(2023春·全国·七年级专题练习）列方程组解应用题：
《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买一只羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
15．(2023春·山东烟台·七年级统考期末）2019年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．
16．(2023·贵州遵义·七年级统考期末）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，你能知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗？
（1）设未知数，用代数式表示聪聪和他妈妈的年龄；
（2）列方程解答．
17．(2023春·全国·七年级专题练习）一个两位数，个位和十位上的数字之和为9，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，新的两位数比原来的两位数大9，求原来的两位数．
18．(2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
19．(2023秋·全国·七年级专题练习）若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是______，“明德数”是______
（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．
20．(2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．
21．(2023春·七年级单元测试）一个三位数是一个两位数的5倍，如果把这三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，而后面的五位数比前面的五位数大18648，问：原两位数、三位数各是多少？
22．(2023春·全国·七年级专题练习）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数．
23．(2023秋·七年级课时练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
24．(2023春·河北邯郸·七年级统考期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
25．(2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
26．(2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a＋2）2﹣b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果2b﹣a﹣（a＋b﹣4）3＝5，其中a、b为有理数，求3a＋2b的平方根．
27．(2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”.例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”.
（1）直接写出：最小的“和平数”是_________________，最大的“和平数”是_______________；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”.
28．(2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123) =6．
（1）计算：F(315)，F(746)；
（2）若s、t都是“相异数”，其中s=100x+42，t=160+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F(s)+F(t)=17时，求x、y的值.
29．(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18，则这个两位数是多少？
30．(2023春·山东淄博·七年级统考期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
时刻
9：00
9：48
11：00
里程碑
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和为6
也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
【拔尖特训】2023-2024学年七年级数学下册尖子生培优必刷题【人教版】
专题8.11二元一次方程组的应用（4）年龄与数字问题大题专练（重难点培优30题）
班级：___________________ 姓名：_________________ 得分：_______________
注意事项：
本试卷试题解答30道，共分成三个层组：基础过关题（第1-10题）、能力提升题（第11-20题）、培优压轴题（第21-30题），每个题组各10题，可以灵活选用．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、解答题(共0分)
1．(2023春·全国·七年级假期作业） 4月9日上午8时，2017 徐州国际马拉松赛鸣枪开跑，一名岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄.
【答案】今年妹妹6岁，哥哥10岁．
【分析】设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，根据两个孩子的对话，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设今年妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁，
根据题意得：
x+y=163x+2+y+2=34+2
解得：x=6y=10 ．
答：今年妹妹6岁，哥哥10岁．
2．(2023·江苏·七年级假期作业）今年(2023年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁．
(1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答）
(2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中华业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？
【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁
(2)爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子
【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可．
（2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案．
【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁．
x−4+y−13=95y−x=40．
解得：x=36y=76
答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁；
（2）2022−36+15=2001（年）
2022−76+15=1961（年）
小明的爸爸是2001年华业，爷爷是1961年毕业的云附学子．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键．
3．(2023秋·重庆·七年级重庆市松树桥中学校校考阶段练习）7月4日，2020长白山地下森林徒步活动鸣枪开始，一名34岁的男子带着他的两个孩子一同参加了比赛．下面是两个孩子与记者的部分对话：
妹妹：我和哥哥的年龄和是16岁．
哥哥：两年后，妹妹年龄的3倍与我的年龄相加恰好等于爸爸的年龄．
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？
【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【分析】设现在哥哥x岁，妹妹y岁，根据两孩子的对话，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁，
根据题意得x+y=16x+2+3(y+2)=34+2
解得x=10y=6
答：现在哥哥10岁，妹妹6岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是利用题目信息，将实际问题转化为数学方程解决．
4．(2023秋·重庆·七年级重庆市第二十九中学校校考阶段练习）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同进行晨跑，下面是两个孩子与记者的对话：
根据对话内容，请你用方程的知识帮记者求出哥哥和妹妹的年龄．
【答案】妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【分析】设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据“今年妹妹和哥哥的年龄和是16岁，两年后，妹妹年龄的3倍和哥哥的年龄相加等于爸爸的年龄”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，
依题意，得：x+y=63(x+2)+(y+2)=34+2 ，
解得： x=6y=10．
答：妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．(2023春·浙江绍兴·七年级统考期末）师生对话，师：我像你这么大的时候，你才1岁，你到我这样大的时候，我已经40岁了，问老师和学生现在各几岁？
【答案】老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁
【分析】设老师的年龄是 x岁，学生的年龄是y岁，根据老师和学生年龄差不变来列方程组解答．
【详解】设老师的年龄是x岁，学生的年龄是y岁，由题意得：根据题意列方程组得：
x−y＝y−1x+x−y＝40，
解得x＝27y＝14．
答：老师和学生现在的年龄分别为27岁和14岁．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，抓住题目的关键，老师和学生年龄差不变．
6．(2023秋·重庆·七年级校考阶段练习）小亮与爸爸、爷爷三人年龄之和为120岁，爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差．他们三人的年龄分别是多少？
【答案】小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【分析】设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120-x-y）岁，根据“爷爷的年龄比小亮与爸爸年龄之和多12岁，爸爸与小亮年龄之差正好等于爷爷与爸爸年龄之差”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设小亮的年龄为x岁，爸爸的年龄为y岁，则爷爷的年龄为（120–x–y）岁，
根据题意得，120−x−y=x+y+12y−x=120−x−y−y，
解得x=14y=40，
∴120–x–y=66．
答：小亮的年龄为14岁，爸爸的年龄为40岁，爷爷的年龄为66岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．(2023春·吉林长春·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18，则原两位数是多少？
【答案】原两位数是53．
【分析】设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和为8，个位数字与十位数字互换位置后，所得的两位数比原两位数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入10y＋x即可得出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为x，十位数字为y，
根据题意得：x+y=810y+x−10x+y=18
解得：x=3y=5
∴10y+x＝53．
答：原两位数是53．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．(2023春·七年级单元测试）小明和小华在一起玩数字游戏，他们每人取了一张数字卡片，拼成了一个两位数. 小明说：“哇！这个两位数的十位数字与个位数字之和恰好是9.”他们又把这两张卡片对调，得到了一个新的两位数，小华说：“这个两位数恰好比原来的两位数大9.”那么，你能回答以下问题吗？
他们取出的两张卡片上的数字分别是多少？
第一次，他们拼成的两位数是多少？
第二次，他们拼成的两位数又是多少呢？请你好好动动脑筋哟！
【答案】4 、 5， 45， 54.
【分析】解：设他们取出的两个数字分别为x、y，则第一次拼成的两位数为10x+y，第二次拼成的两位数为10y+x，根据等量关系：①十位数字与个位数字之和恰好是9；②对调后的两位数恰好也比原来的两位数大9，列方程组求解，即可得到答案.
【详解】设小明和小华取出的两个数字分别为x，y，根据题意，得
x+y=910y+x−9=10x+y ，
解得x=4y=5，
所以他们取出的两张卡片上的数字分别是4、5，
第一次他们拼成的两位数为45，
第二次他们拼成的两位数是54.
故答案为4 、 5， 45， 54.
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系是解题的关键.
9．(2023春·福建泉州·七年级校联考期中）已知下表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求 m，n 的值．
【答案】m=15，n=9
【分析】−12右边的数为−12+m，−12+m的相邻右边是18，正下方的第三个数是30，根据题意列出方程组即可求解．
【详解】根据题意以及表格数据，
有：−12+m+m=18−12+m+3n=30，
解得m=15n=9，
答：m的值为15，n的值为9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，明确题意，列出二元一次方程组是解答本题的关键．
10．(2023春·河南南阳·七年级校考期中）一个两位数，十位数字比个位数字大3，若将十位数字和个位数交换位置，所得的新两位数比原两位数的13多15，求这个两位数．
【答案】63
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意列二元一次方程组，解方程组即可求解．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，由题意得x−y=310y+x=1310x+y+15，
解得：x=6y=3，
∴这个两位数为63．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
11．(2023春·浙江丽水·七年级青田县第二中学校考阶段练习）有一个两位数，设它的十位数字为x，个位数字为y，已知十位数字与个位数字之和为8，把十位数字和个位数字互换位置后得到一个新的两位数，新的两位数比原来的两位数大18．
(1)原来的两位数为________，新的两位数为_______．（用含有x、y的代数式表示）
(2)根据题意，列出二元一次方程组为__________．
(3)求原来的两位数．
【答案】(1)10x+y，10y+x
(2){x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18
(3)35
【分析】（1）两位数的值=十位数字×10+个位数字；
（2）根据题意的等量关系即可得出方程组；
（3）解出（2）的方程组即可得出原来的两位数．
(1)
解：原来的两位数为10x+y，新的两位数为10y+x；
故答案为： 10x+y，10y+x；
(2)
由题意可列出二元一次方程组为：
{x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18．
故答案为：{x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18
(3)
由（2）可得：{x+y=8(10y+x)−(10x+y)=18
整理为：{x+y=89y−9x=18
解得： {x=3y=5
故原两位数是35．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是会表示两位数的值：两位数的值=十位数字×10+个位数字．
12．(2023秋·全国·七年级专题练习）一个两位数十位上的数字与个位上的数字之和是6，把这个两位数加上18后，比十位数字大56，请问这个两位数是多少？
【答案】42
【分析】设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y；根据题意列二元一次方程组，求解进而得到两位数的值．
【详解】解：设这个两位数的十位上的数字为x，个位上的数字为y；
由题意可得x+y=610x+y+18=x+56
消元解得x=4y=2
∴这个两位数为42．
【点睛】本题考察了二元一次方程组．解题的关键与难点是正确的列方程组．
13．(2023秋·七年级课时练习）一个两位数，若交换其个位数与十位数的位置，则所得新两位数比原两位数大9，这样的两位数共有多少个？它们有什么特点？
【答案】8个，见解析
【分析】设原两位数为10a+b，根据题意找到等量关系，列方程求解即可．
【详解】解：设原两位数为10a+b，
根据题意，得10a+b+9=10b+a，解得b=a+1，
∴a可取1~8，这个两位数共有8个，分别为：12、23、34、45、56、67、78、89
观察数字可以得到它们都是个位数字比十位数字大1的两位数．
【点睛】此题考查了二元一次方程的应用，解题的关键是弄清题意，找到等量关系，列出方程，再求解．
14．(2023春·全国·七年级专题练习）列方程组解应用题：
《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买一只羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
【答案】合伙人是21人，羊价是150元．
【分析】设合伙买羊的有x人，羊价为y钱，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设合伙人数是x人、羊价是y元，依题意得：
5x+45=y7x+3=y，
解得：x=21y=150
答：合伙人数是21人，羊价是150元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
15．(2023春·山东烟台·七年级统考期末）2019年的《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为________和________．
【答案】2，9.
【分析】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y，根据二阶幻圆的要求，列出方程组，即可求解.
【详解】设两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为x和y．
根据题意得：3+6+7+y=4+6+7+8x+3+y+11=4+6+7+8，解得：x=2y=9，
故答案是:2，9
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键.
16．(2023·贵州遵义·七年级统考期末）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7，你能知道聪聪和他妈妈现在的年龄吗？
（1）设未知数，用代数式表示聪聪和他妈妈的年龄；
（2）列方程解答．
【答案】（1）聪聪的年龄为（10x+y）岁，妈妈的年龄为（10y+x）岁；（2）聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【分析】（1）设聪聪的年龄为（10x+y）岁，由聪聪的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，可得出妈妈的年龄；
（2）根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于x，y的二元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）设聪聪的年龄为（10x+y）岁，则妈妈的年龄为（10y+x）岁．
（2）根据题意得：10y+10+x−1=2(10x+10+y+1)x+1+y+1=7 ，
解得：x=1y=4．
答：聪聪今年14岁，妈妈今年41岁．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据聪聪及妈妈年龄间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组．
17．(2023春·全国·七年级专题练习）一个两位数，个位和十位上的数字之和为9，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，新的两位数比原来的两位数大9，求原来的两位数．
【答案】45
【分析】设十位数字是x，个位数字是ｙ，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解.
【详解】解：设十位数字是x，个位数字是ｙ，
根据题意，得x+y=910y+x=10x+y+9，
解得x=4y=5．
答：原来的数是45．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系.
18．(2023春·重庆北碚·七年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）一个三位数比一个两位数的2倍少49，若把这个三位数放在两位数的左边得到一个五位数，又把这个三位数放在两位数右边得到一个新的五位数，且新五位数比前面的五位数的7倍大3876，求这个三位数和两位数．
【答案】这个三位数为101，两位数为75．
【分析】设两位数是a，三位数是b，找到两个关系式，列出方程组即可解答．
【详解】解：设这个两位数为a，三位数为b，由题意得，
b=2a−497(100b+a)+3876=1000a+b，
解得：a=75b=101，
答：这个三位数为101，两位数为75．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍．
19．(2023秋·全国·七年级专题练习）若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．
（1）38的“至善数”是______，“明德数”是______
（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．
【答案】（1）368,44；（2）84,75,66,57,48,39.
【分析】（1）分别根据“至善数”的定义，“明德数”的定义可得答案；
（2）分两种情况讨论：设两位正整数M的十位十字为x, 个位数字为y, 当0≤y≤3时，不合题意舍去，当4≤y≤9时，求解x+y=12, 再把y分类可得答案．
【详解】解：（1）根据“至善数”的定义可得：
38的“至善数”是368，
根据“明德数”的定义可得：
38 “明德数”是44,
故答案为：368,44.
（2）设两位正整数M的十位十字为x, 个位数字为y,
当0≤y≤3时，正整数M的“明德数”的各位数字之和为：x+y+6,
M的“至善数”各位数字之和为：x+y+6,
所以此时不合题意，舍去，
当4≤y≤9时，
正整数M的“明德数”的各位数字之和为：x+1+(6+y−10)=x+y−3,
M的“至善数”各位数字之和为：x+y+6,
∴x+y−3=12(x+y+6),
∴2x+2y−6=x+y+6,
∴x+y=12,
∵ 4≤y≤9且y为正整数，
∴y=4或y=5或y=6或y=7或y=8或y=9.
所以当y=4时，x=8,
∴ 正整数M为84，
同理可得：正整数M还可以为：75,66,57,48,39.
综上：正整数M为84,75,66,57,48,39.
【点睛】本题考查的是新定义情境下的二元一次方程的正整数解问题，弄懂新定义，列出方程，合理的分类讨论是解题的关键．
20．(2023秋·江苏徐州·七年级校考阶段练习）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为10．若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28，求原来的两位数．
【答案】原来的两位数是46．
【分析】设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．等量关系：①十位上的数字与个位上的数字之和为10；②把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小28．
【详解】解：设原来的两位数个位数字为x，十位数字为y．则
x+y＝102(10y+x)−28＝10x+y，
解得 x＝6y＝4．
则原来的两位数是：10y+x =10×4+6=46．
答：原来的两位数是46．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用．解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程组．
本题涉及一个常识问题：两位数=10×十位数字+个位数字，并且在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是设它各个数位上的数字为未知数．
21．(2023春·七年级单元测试）一个三位数是一个两位数的5倍，如果把这三位数放在两位数的左边，得到一个五位数；如果把这三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，而后面的五位数比前面的五位数大18648，问：原两位数、三位数各是多少？
【答案】原两位数是37；三位数是185.
【分析】设两位数是x，三位数是y．根据一个三位数是一个两位数的5倍，得方程y=5x；根据把这个三位数放在两位数的左边，得到一个五位数，即100y+x，根据把这个三位数放在两位数的右边，得到另一个五位数，即1000x+y，再根据后面的五位数比前面的五位数大18648，列方程1000x+y-（100y+x）=18648．联立解方程组即可．
【详解】解：设两位数是x，三位数是y．
根据题意，得y＝5x1000x+y−100y+x＝18648，
解，得x＝37y＝185．
答：两位数、三位数各是37、185．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题关键是掌握数的表示方法，把三位数放在两位数的左边，相当于把三位数扩大了100倍，把三位数放在两位数的右边，相当于把两位数扩大了1000倍．
22．(2023春·全国·七年级专题练习）有一个两位数和一个一位数，如果在这个一位数后面多写一个0，则它与这个两位数的和是146，如果用这个两位数除以这个一位数，则商6余2，求这个两位数和一位数．
【答案】这个两位数是56，一位数是9
【分析】设两位数为x，一位数为y，根据题意列出二元一次方程组，然后解方程组即可求解．
【详解】解：设两位数为x，一位数为y，根据题意，
得：x+10y=146x=6y+2，
解得：x=56y=9，
答：这个两位数是56，一位数是9．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，正确列出方程组是解答的关键．
23．(2023秋·七年级课时练习）小杰、小明两人做加法运算，小杰将其中一个加数后面多写了一个零，得和是1275，小明将同一个加数少写了一个零，得和是87，求原来两个加数．
【答案】原来两个加数是120和75
【分析】根据题意，设这两个加数为x和y，少写一个零就是相当于除以10，多写一个零就是相当于乘以10，列方程组求解．
【详解】解：设这两个加数为x和y，
其中一个加数后面多写一个零，和是1275，列式：10x+y=1275，
同一个加数后面少写一个零，和是87，列式：x10+y=87，
解方程组10x+y=1275x10+y=87，解得x=120y=75．
答：这两个加数是120和75．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找等量关系去列方程组求解．
24．(2023春·河北邯郸·七年级统考期末）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程和方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题．
周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位上的数字比个位数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数．
【答案】这个两位数是36．
【分析】题意中涉及两个未知数：十位上的数字和个位上的数字；两组条件：十比个位正小三，个位六倍与寿符．可设两个未知数，列二元一次方程组解题．
【详解】设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y,
根据题意，得x+3=y6y=10x+y
解得x=3y=6
答：这个两位数是36.
故答案是：这个两位数是36．
【点睛】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系．
25．(2023秋·福建龙岩·七年级统考期末）已知表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m；各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n．求m，n以及表中x的值．
【答案】m＝3，n＝5，x=11．
【分析】根据表内的各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大ｍ得出12+2m＝18，解方程求出m的值；再由各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，得出（12+m）+3n＝30，解方程求出n的值；进而求得x的值．
【详解】∵各横行中，从第二个数起的数都比它左边相邻的数大m，
∴12+2m＝18，
解得m＝3．
又∵各竖列中，从第二个数起的数都比它上边相邻的数大n，
∴（12+m）+3n＝30，
将m＝3代入上述方程得 15+3n＝30，
解得n＝5．
此时x＝12﹣2m+n＝12﹣2×3+5＝11．
【点睛】本题考查的是根据题意列二元一次方程组解决数学问题，根据横行和竖列的数值的变化规则，确定相等关系，列出相应的方程是解题的关键．
26．(2023春·江苏南通·七年级校考阶段练习）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零．由此可得：如果ax＋b＝0，其中a、b为有理数，x为无理数，那么a＝0且b＝0．
运用上述知识，解决下列问题：
（1）如果（a＋2）2﹣b＋3＝0，其中a、b为有理数，那么a＝ ，b＝ ；
（2）如果2b﹣a﹣（a＋b﹣4）3＝5，其中a、b为有理数，求3a＋2b的平方根．
【答案】（1）a＝﹣2，b＝3；（2）±3．
【分析】（1）根据题意，可知，a＋2=0，﹣b＋3=0，即可求解，
（2）根据题意，可知，2b−a=5a+b−4=0，求出a,b的值，即可求解.
【详解】解：（1）∵（a＋2）2﹣b＋3＝0，其中a、b为有理数，
∴a＋2=0，﹣b＋3=0，解得：a＝﹣2，b＝3；
（2）∵2b﹣a﹣（a+b﹣4）3 ＝5，其中a、b为有理数，
∴2b−a=5a+b−4=0，
解得：a=1b=3，
∴3a+2b＝9，
∴3a+2b的平方根为±3．
【点睛】本题主要考查阅读理解能力以及对有理数与无理数的和，积的理解，根据题意，列出方程，是解题的关键.
27．(2023秋·重庆沙坪坝·七年级重庆南开中学校考期中）一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x，十位上和个位上的数字之和为y，如果x=y，那么称这个四位数为“和平数”.例如：1423，x=1+4，y=2+3，因为x=y，所以1423是“和平数”.
（1）直接写出：最小的“和平数”是_________________，最大的“和平数”是_______________；
（2）求个位上的数字是千位上的数字的两倍且百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数的所有“和平数”.
【答案】（1）1001，9999；（2）2754和4848.
【分析】（1）根据“和平数”的定义，即可得到结论；
（2）设这个“和平数”为1000a+100b+10c+d，于是得到d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，求得2c+a=12k，即a=2、4，6，8；d=4、8、12（舍去）、16（舍去）；①、当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，得到c=5则b=7，②、当a=4，d=8时，得到c=4则b=8，于是得到结论；
【详解】解：（1）根据题意，最小的“和平数”为1001，最大的“和平数”为9999；
故答案为1001，9999；
（2）设这个“和平数”为：1000a+100b+10c+d，
则d=2a，a+b=c+d，b+c=12k，k为整数，
∴2c+a=12k，
即a=2，4，6，8，12（舍去），16（舍去），
当a=2，d=4时，2（c+1）=12k，
可知：c+1=6k，且a+b=c+d，
∴c=5，b=7；
当a=4，d=8时，2（c+2）=12k，
可知：c+2=6k，且a+b=c+d，
∴c=4，b=8；
综上所述：这个数为：2754和4848.
【点睛】本题考查了新定义的应用，正确的理解新概念“和平数”是解题的关键．
28．(2023春·四川资阳·七年级校考阶段练习）对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数” ．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)．例如n=123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213+321+132=666，666÷111=6，所以F(123) =6．
（1）计算：F(315)，F(746)；
（2）若s、t都是“相异数”，其中s=100x+42，t=160+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数），当F(s)+F(t)=17时，求x、y的值.
【答案】（1）9 17 （2）x=1y=3
【分析】（1）根据相异数的概念首先写出对调的三个数，再求和，计算F(315)，F(746)即可;
（2）首先根据题意计算F（s）和F（t），求解x和y的值即可.
【详解】（1）根据题意可得315的三个数的和为：315+531+153=999
所以999÷111=9
故F(315)=9
746的三个三位数的和为：746+674+467=1887
所以1887÷111=17
故F(746)=17
（2）∵ s、t都是相异数，s=100x+42, t=160+y
∴ F(s)=（100x+42+420+x+204+10x）÷111=x+6
F(t)=(160+y+601+10y+100y+16) ÷111=y+7
∵ F(s)+F(t)=17
∴ x+6+7+y=17
∴x+y=4
∵ 1≤x≤9，1≤y≤9，x、y都是正整数
∴x=1y=3 或x=2y=2 或x=3y=1
∵ s和t都是相异数
∴x≠4、x≠2，y≠1、y≠6
∴x=1y=3
【点睛】本题主要考查新概念的理解，根据新概念列方程，采用分类讨论的思想求解.
29．(2023春·福建泉州·七年级福建省泉州市泉港区第一中学阶段练习）有一个两位数，其数字和为14，若调换个位数字与十位数字，就比原数大18，则这个两位数是多少？
【答案】这个两位数为68．
【分析】设十位数字为x，个位数字为y，由题意得等量关系：①个位数+十位数之和是14；②新两位数比原来的两位数大18，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】设十位数字为x，个位数字为y，依题意得
x+y=1410y+x−(10x+y)=18，
解得：x=6y=8，
答：这个两位数为68．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
30．(2023春·山东淄博·七年级统考期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，那么：
(1)小明9：00时看到的两位数为______；
(2)小明9：48时看到的两位数为______，11：00时看到的三位数为______；
(3)请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
【答案】(1)10x+y
(2)10y+x；100x+y
(3)小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15
【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字即是此两位数；
（2）同样用数位的概念进行表达即可，9：48时十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了，则十位数字为y，个位数字为x，11：00时看到的三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y；
（3）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程，解出方程即可．
【详解】（1）∵两位数的十位数字为x，个位数字为y，
∴两位数可表示为10x+y；
故答案为；10x+y．
（2）∵9：48时看到的两位数十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
∴十位数字为y，个位数字为x，
∴两位数可表示为10y+x；
∵11：00看到的数字是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0，
∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y，
∴11：00时的三位数可表示为：100x+y；
故答案为；10y+x；100x+y．
（3）根据题意可知行驶速度不变，从9:00到9:48用时48分钟，到11:00用时120分钟，列方程如下：
x+y=6100x+y−(10x+y)120=10y+x−(10x+y)48，
解得：x=1y=5．
∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
【点睛】本题考查了数位的概念和二元一次方程组的应用，理解数位的概念和表达方法，找到题中的等量关系列出方程是解题的关键．
时刻
9：00
9：48
11：00
里程碑
上的数
是一个两位数，它的两个数字之和为6
也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
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