3. 北京八一学校高三（下）开学考数学（教师版） (1)

这是一份3. 北京八一学校高三（下）开学考数学（教师版） (1)，共13页。试卷主要包含了02，已知集合，则，已知复数满足，则复数的虚部为，某中学举行了科学防疫知识竞赛等内容，欢迎下载使用。

2024.02
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数的虚部为（ ）
A.1 B. C.2 D.
3.已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ）
A. B. C. D.
4.已知数列的前项和，则（ ）
A.3 B.6 C.7 D.8
5.已知实数，则下列不等式中成立的是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知分别为轴，轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则该圆面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.已知是双曲线与椭圆的左､右公共焦点，是在第一象限内的公共点，若，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
8.设，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C.. D.
9.正方体的棱长为1，动点在线段上，动点在平面上，且平面.线段长度的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
10.某中学举行了科学防疫知识竞赛.经过选拔，甲､乙､丙三位选手进入了的最后角逐.他们还将进行四场知识竞赛.规定：每场知识竞赛前三名的得分依次为（，且）；选手总分为各场得分之和.四场比赛后，已知甲最后得分为16分，乙和丙最后得分都为8分，且乙只有一场比赛获得了第一名，则下列说法正确的是（ ）
A.每场比赛的第一名得分为4
B.甲至少有一场比赛获得第二名
C.乙在四场比赛中没有获得过第二名
D.丙至少有一场比赛获得第三名
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.若的二项式展开式中的系数为10，则__________.
12.关于的不等式的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个的__________.
13.如图，单位向量的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为__________.
14.已知函数定义域为，设若，且对任意，则实数的取值范围为__________.
15.画法几何的创始人法国数学家加斯帕尔•蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上两个动点.直线的方程为.给出下列四个结论：
①的蒙日圆的方程为
②在直线上存在点，椭圆上存在，使得；
③记点到直线的距离为，则的最小值为；
④若矩形的四条边均与相切，则矩形面积的最大值为.
其中所有正确结论的序号为__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.（本小题满分13分）在中，.再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）和面积的值.
条件①：；条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
17.（本小题满分14分）如图，在四面体中，平面，点为棱的中点，.
（1）证明：；
（2）求平面和平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分13分）为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：
（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核为优秀的概率；
（2）从图中考核成绩满足的学生中任取3人，设表示这3人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；
（3）根据以往培训数据，规定当时培训有效.请你根据图中数据，判断此次冰雪培训活动是否有效，并说明理由.
19.（本小题满分15分）已知椭圆的上､下顶点为，左､右焦点为，四边形是面积为2的正方形.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆的切线与椭圆相交于两点，判断以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
20.（本小题满分15分）已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求证：对任意的成立.
21.（本小题满分15分）已知无穷集合，且，记
，定义：满足时，则称集合互为“完美加法补集”.
（1）已知集合.判断2019和2020是否属于集合，并说明理由；
（2）设集合
.
（i）求证：集合互为“完美加法补集”；
（ii）记和分别表示集合中不大于的元素个数，写出满足的元素的集合.（只需写出结果，不需要证明）
参考答案
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中选出符合题目要求的一项.
1.D 2.A 3.A 4.B 5.B 6.A 7.D 8.B 9.C 10.C
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 12. 13. 14. 15.①②④
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16.解：因为，
所以，
即.
又，
所以，
所以，或，
得或.
若选择条件①：
（1）因为，
所以不是最大角，得，
所以.
（2）由正弦定理，可得.
所以.
因为，
所以，
所以，
所以，
所以.
若选择条件②：
（1）因为，
所以，且，
所以是最大角，得，
所以.
（2）由正弦定理（或直接利用），及，
可得，
因为，
所以，
又，
所以.
17.解：（1）因为平面平面，所以，
因为，所以，
所以.
又因为平面，
所以平面，
因为平面，
所以.
（2）因为平面平面，所以.
又因为，
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，
，
，
设是平面的法向量，
则，令，得，
设平面的法向量为，
则，令，则，
设平面和平面夹角为，则
，
所以平面和平面夹角的余弦值为.
（3）设点满足，，
则，
.
若直线与平面所成角的正弦值为，
则，
化简得，所以无解.
所以在线段上不存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为.
18.解：（1）设该名学生考核成绩优秀为事件，由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀所以所求概率约为
（2）的所有可能取值为
因为成绩的学生共有8人，其中满足的学生有5人所以
随机变量的分布列为
（3）根据表格中的数据，满足的成绩有16个
所以所以可以认为此次冰雪培训活动有效.
19.解：（1）已知得，则，则所求方程为：.
（2）（i）当直线的斜率不存在时，
因为直线与圆相切，故其中的一条切线方程为.
代入椭圆方程可得，可得，
则以为直径的圆的方程为.
（ii）当直线的斜率为0时，
因为直线与圆相切，所以其中的一条切线方程为.
代入椭圆方程可得，可得，
则以为直径的圆的方程为.
显然以上两圆都经过点.
（iii）当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为.
代入椭圆方程消去，得，
设，则.
所以.
所以①，
因为直线和圆相切，
所以圆心到直线的距离，整理，得②，
将②代入①，得，显然以为直径的圆经过原点，
综上可知，以为直径的圆过定点.
20.解：（1）因为
所以
当时，
所以，而
曲线在处的切线方程为
化简得到
（2）法一：
因为，令
得
当时，在区间的变化情况如下表：
所以在
上的最小值为中较小的值，
而，所以只需要证明
因为，所以
设，其中
所以
令，得，
当时，在区间的变化情况如下表：
所以在上的最小值为，而注意到，所以，问题得证
法二：
因为“对任意的”等价于“对任意的”
即“”，故只需证“”
设
所以
设
令，得
当时，在区间的变化情况如下表：
所以上的最小值为，而
所以时，，所以在上单调递增
所以
而，所以，问题得证
法三：
“对任意的”等价于“在上的最小值大于”
因为，令
得
当时，在在上的变化情况如下表：
所以在上的最小值为中较小的值，
而，所以只需要证明
因为，所以
注意到和，所以
设，其中
所以
当时，，所以单调递增，所以
而
所以，问题得证
法四：
因为，所以当时，
设，其中
所以
所以的变化情况如下表：
所以在时取得最小值，而
所以时，
所以
21.答案：
解：（1）由得是奇数，
当时，，
所以，
.
（2）（i）首先证明：对于任意自然数可表示为唯一一数组
，
其中，
使得
，
由于
这种形式的自然数至多有个，且最大数不超过.
由，每个都有两种可能，
所以这种形式的自然数共有个结果.
下证
其中，则
假设存在中，取最大数为，则
所以不可能.
综上，任意正整数可唯一表示为
显然
满足，所以集合互为“完美加法补集”.
（ii）.
0
1
2
3
+
0
-
0
+
极大值
极小值
-
0
+
极小值
1
-
0
+
极小值
+
0
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+
极大值
极小值
2
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极小值