陕西省咸阳市永寿县御家宫中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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老师真诚地提醒你：
1．本试卷共8页，满分120分；
2．答卷前请将密封线内的项目填写清楚；
3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观．
第一部分（选择题 共24分）
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请将正确答案的序号填在题前的答题栏中）
1. 下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数，逐一进行判断．
【详解】解：A．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．，含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是整式方程，是一元二次方程，故本选项符合题意；
D．，是分式，故不是一元二次方程．故本选项不符合题意；
故选：C．
2. 下列各组中的四条线段是成比例线段的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的知识点是比例线段的概念，如果两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，我们就说这四条线段叫做成比例线段．
【详解】解：A．，四条线段成比例，故该选项正确，符合题意；
B．，四条线段不成比例，故该选项不正确，不符合题意；
C．，四条线段不成比例，故该选项不正确，不符合题意；
D．，四条线段不成比例，故该选项不正确，不符合题意；
故选：A．
3. 如图，四边形是平行四边形，下列说法不正确的是（ ）
A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是正方形
C. 当时，四边形是菱形
D. 当时，四边形是矩形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了特殊四边形的判定定理，平行四边形的性质，根据矩形、菱形、正方形的判定定理逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，则，
A．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
B．当时，四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意；
C．当时，四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意；
D．当时，四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意；
故选：B．
4. 将一元二次方程配方后，原方程变形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是解题的关键；
利用解一元二次方程的配方法进行计算即可解答；
【详解】
；
故选：A．
5. 如图1所示，平整的地面上有一个不规则的图案（图中阴影部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了几何概率和用频率估计概率．
根据图②可得，小球落在不规则图案内的概率约为，设不规则图案的面积为，根据几何概率可得：不规则图案的面积长方形的面积小球落在不规则图案内的概率，列出方程即可求解．
【详解】根据题意可得：小球落在不规则图案内的概率约为，长方形的面积为，
设不规则图案的面积为，
则，
解得：，
不规则图案的面积大约为．
故选：C．
6. 如图，边长为的正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，边与交于点O，则四边形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，连接，利用正方形的性质得，，再根据旋转的性质得点在上，，，则可判断为等腰直角三角形，则，然后利用四边形的面积进行计算即可．
【详解】解：如图，连接，
四边形为边长为的正方形，
，，
正方形绕点A逆时针旋转后得到正方形，
点在上，，，
为等腰直角三角形，
，
四边形的面积
，
故选：C．
7. 如图，，已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据证明，从而证明=，直角三角形ABC中，利用勾股定理计算即可．
【详解】∵，
∴，∠ACB=∠ECD，
∴∴，∠ACE=∠BCD，
∴，
∴=，
∵，，
∴，
∴即，
∴=，
∴=，
故选C．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，比例的性质，熟练掌握相似三角形的判定，灵活运用勾股定理是解题的关键．
8. 如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为F，连接，分析下列四个结论，①，②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】①根据矩形的性质可证明，，即可证明结论正确；
②根据可证明，利用相似三角形的性质即可证明结论正确；
③过点D作，分别交，于点M，N，可证明四边形平行四边形，则，进一步可证明垂直平分，可得结论正确；
④设，，证明，并利用相似三角形的性质列方程并求解，即得，根据勾股定理求的长，计算的值，即可判断结论是否正确．
【详解】四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
①正确；
，
，
，
是边的中点，
，
，
②正确；
如图，过点D作，分别交，于点M，N，
则四边形平行四边形，
，
，
，
，
，
垂直平分，
，
③正确；
设，，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
④错误；
故选B．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理的推论，勾股定理，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．
第二部分（非选择题 共96分）
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 在一个不透明的布袋中装有红球、黄球、白球共个，这些球除颜色外都相同．小明从中随机摸出一个球记下颜色并放回，通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在，则布袋中红球的个数大约是___________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了利用频率估计随机事件的概率根据摸到红球的频率，再利用红球个数总数摸到红球的频率，进而得出答案．
【详解】解：根据题意得：．
答：布袋中红球的个数大约是．
故答案为：．
10. 如图， ，直线，与，，分别相交于点，，和点，，．若，则___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．
【详解】∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
11. 如图，在中，是上一点，分别是的中点，若，则的长是___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；
连结，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得．
【详解】解：如图，连结，

∵，是中点，
∴，
又∵在中，是的中点，，
∴，
故答案为：．
12. 如图，在中，，，，是边上一个动点，当___________时，与相似．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确分类讨论是解题的关键；
分类讨论或，即可解答；
【详解】，，，
当与时，
，
，
解得：；
当与时，
，
，
解得：；
综上所述：当或时，与相似．
故答案为：或
13. 如图，，矩形的顶点A，B分别在边上，当点B在边上运动时，点A随之在上运动，矩形的形状保持不变，其中，运动过程中，点D到点O的最大距离是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，取的中点M，连接、、，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O、D、M三点共线时，点D到点O的距离最大，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再根据勾股定理列式求出的长，两者相加即可得解．
【详解】解：如图，取的中点M，连接、、，
，
当O、D、M三点共线时，点D到点O的距离最大，
矩形的形状保持不变，其中，，
，
，
点D到点O的最大距离是，
故答案为：．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14. 用因式分解法解一元二次方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，根据题意十字相乘法因式分解，解一元二次方程，即可求解．
【详解】解：，
∴，
∴或，
解得：．
15. 如图，在中，，在上求作点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，作垂线；根据相似三角形的性质作作即可．
【详解】解：如图，点即为所求．
作图理由：∵，，
∴，
又∵，
∴．
16. 下面是小宇和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据．
（1）将表格补充完整；
（2）根据上表统计的数据，估计“正面朝上”的概率．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查求频率；利用频率估计概率的知识；
（1）根据频率为，将表格补充完整；
（2）随着实验次数的增加，正面向上的频率逐渐稳定到某个常数附近，据此求解即可．
【小问1详解】
解：填表如下：
【小问2详解】
随着实验次数的增加，正面朝上的频率逐渐稳定到附近，
估计“正面朝上”的概率为．
17. 如图，四边形四边形，，．
（1）___________；
（2）求边的长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了相似多边形的性质；
（1）根据相似多边形的性质得出对应角相等，根据四边形内角和定理求得；
（2）由四边形四边形，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，将，代入，计算即可求出边的长．
【小问1详解】
解：∵四边形四边形，
∴
∴
故答案为：
【小问2详解】
解：∵四边形四边形
∴
∵，
∴
解得：
18. 如图，在中，，O是斜边上的中点，，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了中位线的性质，矩形的判定，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握中位线的性质，先判定，根据，得出四边形为平行四边形，根据，得出结论即可．
【详解】证明：∵O是斜边上的中点，，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
19. 已知关于x的一元二次方程：．
（1）当a为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是1，求a的值及方程的另一个根．
【答案】（1）
（2），另一个根为
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根与系数的关系，根的判别式；
（1）利用根的判别式进行求解即可；
（2）根据一元二次方程解的定义得到，再根据根与系数的关系求解即可．
【小问1详解】
解：∵，即
依题意，
∵方程总有两个不相等的实数根
∴
解得：；
【小问2详解】
解：设方程的两个根分别为，其中，
∵
∴，
∴，
20. 2021年6月17日，搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功，顺利将聂海胜、刘伯明、汤洪波3名航天员送入太空，语文课上老师要求同学从三名宇航员及长征二号F运载火箭的总设计师容易中随机抽取2人进行介绍．现将四人的照片（如图）背面向上放置（背面完全相同），宁宁先从中随机抽取一张照片，记录下照片上的姓名序号，再从剩余的照片中再随机抽取一张照片，记录下照片上的姓名序号．请你用列表或画树状图的方法求出宁宁抽到“容易”和“聂海胜”两人的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图求概率，根据题意得出，抽取一张不放回，列表表格，然后根据表格得信息直接用概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意得出，抽取一张不放回，列表如下：
根据列表，可值共有12种情况，
抽到“容易”和“聂海胜”两人概率即抽到A和D的情况有2种，
∴抽到“容易”和“聂海胜”两人的概率为：．
21. 如图，点C、D在线段AB上，是等边三角形，若，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，于是推出∠ACP=∠PDB=120°，等量代换得到∠BPD=∠A，根据相似三角形的判定得到△ACP∽△PDB，由相似三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到PC=PD=CD，等量代换得到，即可得到结论．
【详解】证明：∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
∵∠APB=120°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∵∠A+∠APC=60°，
∴∠BPD=∠A，
∴△ACP∽△PDB，
∴，
∵△PCD是等边三角形，
∴PC=PD=CD，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，证明出△ACP∽△PDB是解题的关键．
22. “核桃”是四大坚果之一，核桃仁含有丰富的营养紫，蛋白质，碳水化合物，并含有人体所必需的钙、磷、铁等多种微量元素和矿物质，核桃树在陕西多地均有种植．某核桃基地对市场调查发现，当核桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降低元，每天可多售出千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地核桃的平均成本价为元/千克，若使销售核桃每天的利润为元，则售价应降低多少元？
【答案】售价应降低元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程应用；设售价应降低元，则每天可售出千克，每千克的利润为元，根据每天获利元，可得方程，解方程即可．
【详解】解：设售价应降低元，则每天可售出千克，
根据题意，得，
整理得，，
解得，，
要减少库存，
不合题意，舍去，
；
答：售价应降低元．
23. 如图，在菱形中，，是边上一点，，是边上一点，且，连接并延长交的延长线于点G，求点F到的距离．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，勾股定理求得，进而证明，得出，过点作于点，则，证明得出，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵中，，，
∴，
∴，
在中，，
∵四边形是菱形，则，
∴，，
∴，
在中，
∴，
∴，
过点作于点，则，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 大雁塔建于唐长安城晋昌坊（今陕西省西安市南）的大慈恩寺内，又名“慈恩寺塔”，是唐长安城保留至今的标志之一．某校社会实践小组为了测量大雁塔的高度，在地面上的C处垂直于地面竖立了高度为4米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，大雁塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，G，E，C与塔底处的点A在同一直线上），测得米，米．请你根据以上数据，计算大雁塔的高度．
【答案】64米
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题；
首先证，，得，，根据，推出，列方程求出，由得，由此即可解答；
【详解】，，，
，
，，
，，
，
，即，
，，，
，
米，
，
，
米，
答：大雁塔的高度为64米．
25. 如图，矩形的对角线相交于点，点，在上，且．
（1）求证：；
（2）若，求矩形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理；
（1）由矩形的性质得出，，，，证出，由证明，即可得出，进而即可得证；
（2）证出是等边三角形，得出，，在中，由勾股定理求出，即可得出矩形的面积．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，，，，
，
，
在和中，
，
（），
，
；
【小问2详解】
解：，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
在中，，
矩形的面积．
26. 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG，BE
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间的数量关系是____；位置关系是___；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
（3） [应用]：在（2）情况下，连结GE（点E在AB上方），若GE//AB，且AB＝，AE＝1，求线段DG的长
【答案】（1）BE＝DG，BE⊥DG；（2）DG＝2 BE，BE⊥DG，理由见详解；（3）4
【解析】
【分析】（1）先判断出△ABE≌△DAG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△DAG，得出∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【详解】解：（1）①∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
在△ABE和△ADG中，
AB＝AD，∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
②如图，延长BE交AD于Q，交DG于H，
由①知，△ABE≌△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB＋∠ABE＝90°，
∴∠AQB＋∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
故答案为：BE＝DG，BE⊥DG；
（2）如图，延长BE交AD于I，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴，
∴△ABE∽△ADG，
∴∠ABE＝∠ADG，，
即： DG＝2 BE，
∵∠AIB＋∠ABE＝90°，
∴∠AIB＋∠ADG＝90°，
∵∠AIB＝∠DIH，
∴∠DIH＋∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG；
（3）如图3，（为了说明点B，E，F在同一条线上，特意画的图形）
EG与AD的交点记作M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得，EG＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上如图4，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴，
∴，
∴DG＝4．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，判断出△ABE≌△ADG或△ABE∽△ADG是解本题的关键．

抛掷次数
正面朝上的频数
正面朝上的频率
抛掷次数
正面朝上的频数
正面朝上的频率
A
B
C
D
A
B
C
D