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人教版九年级数学上册同步精品讲义 第18课 旋转章末复习（原卷版+解析）
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这是一份人教版九年级数学上册同步精品讲义 第18课 旋转章末复习（原卷版+解析），共40页。试卷主要包含了旋转的概念，旋转的性质，旋转的作图，如图，在中，，等内容，欢迎下载使用。
知识精讲
知识点01 旋转
1．旋转的概念
把一个图形绕着某一点O 的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
【注意】
旋转的三个要素： 、 和 .
2．旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的 (OA= OA′)；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；
(3)旋转前、后的图形 ；
【注意】
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3．旋转的作图:
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【注意】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
知识点02 特殊的旋转—中心对称
1．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
【注意】
(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2．中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【注意】
(1)中心对称图形指的是个图形；
(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
知识点03 平移、轴对称、旋转之间的对比
能力拓展
考法01 旋转
【典例1】如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，将30°的直角板绕点B按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【典例2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．已知，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，在△AOB中，AO＝1．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1B．C．D．
考法02 中心对称
【典例3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点B．
C．D．
【即学即练】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】下面扑克牌中，是中心对称图形的是 ( )
A．B．C．D．
考法03 关于原点对称的点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，点P（7，6）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．P′（7，6）B．P′（-7，6）C．P′（7，-6）D．P′（-7，-6）
【即学即练】平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2)B．(2，-3)C．(2，3)D．(﹣3，2)
【典例6】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
【即学即练】已知点与点关于原点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．－3；1B．－1；3C．1；－3D．3；－1
分层提分
题组A 基础过关练
1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最左边图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为（ ）
A．3B．-3C．5D．-5
4．如图所示，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，下列对变换过程叙述正确的是（ ）
A．把三角形ABC向左平移8格，再逆时针旋转90°
B．把三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移8格
C．把三角形ABC向左平移8格，再顺时针旋转90°
D．把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向左平移8格
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（ ）
A．65°B．15°C．115°D．75°
6．如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．B．2.5C．D．
7．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是______．
8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
9．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
题组B 能力提升练
1．下列3×3网格中，阴影部分是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
4．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M关于原点对称的的坐标是（ ）
A．（2，－5）B．（－2，5）C．（5，－2）D．（－5，2）
5．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A．1B．C．D．
6．已知如图，长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，若AG=m，CE=n，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面直角坐标系内有一点，联结，将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，则的坐标为______．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的．
(3)直接写出点的坐标．
10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3B．2C．D．2
4．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
6．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
7．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转___度，可与其自身重合．
8．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是______．
9．如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△；
(3)画出与△关于点O成中心对称的△．
10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明；
(2)当点G落在△ABC外，且，
①如图2，请说明；
②如图3，若，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角的度数
课程标准
（1） 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．
（2）通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．
（3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．
（4）探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等．
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
第18课 旋转章末复习
目标导航
知识精讲
知识点01 旋转
1．旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
【注意】
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2．旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′)；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等；
【注意】
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3．旋转的作图:
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【注意】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
知识点02 特殊的旋转—中心对称
1．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
【注意】
(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2．中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【注意】
(1)中心对称图形指的是一个图形；
(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
知识点03 平移、轴对称、旋转之间的对比
能力拓展
考法01 旋转
【典例1】如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质得：，，
，
，
，
故选：C．
【即学即练】如图，将30°的直角板绕点B按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】D
【详解】解：三角板中∠ABC=60°，旋转角是，
则=180°-60°=120°．
这个旋转角度等于120°．
故选：D．
【典例2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．已知，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至，
∴，
∴，
∴=4-1=3（cm），
故选：C．
【即学即练】如图，在△AOB中，AO＝1．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由旋转可知∠AOA′=90°，AO=A′O=1，
∴，
故选：B
考法02 中心对称
【典例3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：与△关于点成中心对称，
点与是一组对称点，，，
A，B，C都不合题意．
与不是对应角，
不成立．
故选：D．
【即学即练】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴，，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即，
∴C正确，
故选A．
【典例4】下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【即学即练】下面扑克牌中，是中心对称图形的是 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵A中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴A不是中心对称图形；
∵B中扑克牌符合中心对称图形的定义，
∴B是中心对称图形；
∵C中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴C不是中心对称图形；
∵D中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴D不是中心对称图形；
故选：B．
考法03 关于原点对称的点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，点P（7，6）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．P′（7，6）B．P′（-7，6）C．P′（7，-6）D．P′（-7，-6）
【答案】D
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，点（7，6）关于原点的对称的点的坐标是（-7，-6），
故选：D．
【即学即练】平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2)B．(2，-3)C．(2，3)D．(﹣3，2)
【答案】A
【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，
故选：A．
【典例6】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【详解】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于坐标原点对称，
∴m＝−3，
故选：D．
【即学即练】已知点与点关于原点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．－3；1B．－1；3C．1；－3D．3；－1
【答案】B
【详解】解：点与点关于原点对称，
解得：．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最左边图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为（ ）
A．3B．-3C．5D．-5
【答案】A
【详解】解：∵点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，
∴点A的坐标为：，
即m为3，
故选A．
4．如图所示，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，下列对变换过程叙述正确的是（ ）
A．把三角形ABC向左平移8格，再逆时针旋转90°
B．把三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移8格
C．把三角形ABC向左平移8格，再顺时针旋转90°
D．把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向左平移8格
【答案】D
【详解】解：根据图象，△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转与△DEF形状相同，再向左平移8格就可以与△DEF重合．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（ ）
A．65°B．15°C．115°D．75°
【答案】A
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠AFD =∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：A．
6．如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．B．2.5C．D．
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质可知，，=90°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴；
故选：C．
7．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是______．
【答案】70°##70度
【详解】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC=70°，
故答案为：70°．
8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
【答案】2
【详解】解： ∵将绕点A逆时针旋转60°得到，
∴．
∵，
∴．
故答案为：2．
9．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
【答案】∠ACA′＝60°，∠BB′C＝60°
【详解】解：∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置；
∴B′C＝BC；
∵∠B＝60°，
∴△BB′C是等边三角形；
∴∠BB′C＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°．
题组B 能力提升练
1．下列3×3网格中，阴影部分是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
旋转的角度为，
故选：B．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
【答案】C
【详解】解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD＝OB，ADBC，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DFBE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
4．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M关于原点对称的的坐标是（ ）
A．（2，－5）B．（－2，5）C．（5，－2）D．（－5，2）
【答案】B
【详解】解：∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，
∴M纵坐标可能为±5，横坐标可能为±2，
∵点M在第四象限，
∴M坐标为（2，−5）．
∴点M关于原点对称的的坐标是（−2，5）．
故选：B．
5．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，连接、
∵四边形是四边形逆时针旋转
∴，
∴是等边三角形
∴
在中，
∴
故选：B．
6．已知如图，长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，若AG=m，CE=n，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，
∴DE＝DA，DC＝DG，
而CE＝n，AG＝m，
∴CD﹣AD＝n，CD+AD＝m，
∴CD，AD，
∴长方形ABCD的面积＝CD•AD•．
故选：B．
7．已知平面直角坐标系内有一点，联结，将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，则的坐标为______．
【答案】或##或
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，则
①将线段绕着点顺时针旋转度时，
∵将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，
∴，，
又，
∴，
所以
∵，
∴，,
∴,，
∴，
同理可得，将线段绕着点逆时针旋转度时，的坐标为，
综上，的坐标为或．
故答案为：或．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
【答案】12
【详解】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝矩形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的．
(3)直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：根据题意得：．
10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由．
【答案】(1)45°，60°，证明见详解
(2)45°或67.5°，理由见解析
【详解】（1）根据题意有∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°，
∴∠DOC=90°，∠A=60°，
∴∠CDO=45°，
当时，如图2中，∠AOD＝∠CDO＝45°，
∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°．
∵∠DOE=α，
∴α＝45°．
当时，如图3中，∠A+∠AOC＝180°，
∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°，
∴∠AOD=180°-∠A-∠COD，
∴∠AOD＝30°，
∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°，
∵∠DOE=α，
∴α＝60°
故答案为：45°，60°．
（2）根据（1）可知∠CDO=45°，
当∠D＝∠DOE＝45°时，
∵∠DOE=α，
∴α＝45°，
当∠DOE＝∠DEO时，
则在△DOE中，∠DOE=(180°-∠ODC)=67.5°，
∴∠DOE=α＝45°，
即α＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°．
题组C 培优拔尖练
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴，，
∴，
∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，
∵，
∴=2，
∴（0，2），
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3B．2C．D．2
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD＝，BD＝，
由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，
∴DE＝，
故选：C．
4．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，，
，
，
与的面积之比为．
故选：D．
5．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【答案】D
【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【详解】由题意知，，，
为等边三角形，,②正确，
又 ,，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故选B．
7．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转___度，可与其自身重合．
【答案】120
【详解】解：如图所示：连接OA、OB、OC，
正三角形ABC，O为其中心，
， ，
，
，
，
同理可证：，
，
，
∴正三角形ABC绕其中心O至少旋转，可与其自身重合．
故答案为：120．
8．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是______．
【答案】(−,3)
【详解】解：如图，过点B和作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，
∴AB=OA=2，∠BAD=60°，
∴AD=1，BD=，
∴OD=OA+AD=3，
∴B(3,)，
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点，
∴C=BD=，OC=OD=3，
∴坐标为：(−，3)．
故答案为：(−，3)．
9．如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△；
(3)画出与△关于点O成中心对称的△．
【答案】(1)见解析，（-3，-1）
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）连接，三线的交点就是所求对称中心E，画图如下：
根据题意，得A（-3，2），，
故点E的坐标为（-3，）即（-3，-1）．
（2）根据旋转的性质，画图如下：
（3）根据题意，得，，，根据中心对称的性质，得到，，，描点后，画图如下：
10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明；
(2)当点G落在△ABC外，且，
①如图2，请说明；
②如图3，若，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角的度数
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②满足条件的旋转角为或或或
【详解】（1）证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知，，，
，，
；
（2）①证明：如图2中，
，
设，，
，
，
，，
，
，
；
②解：由题意，，
，
，
，
，
，
，
如图中，当时，旋转角．
如图中，当时，旋转角．
如图中，当时，旋转角．
如图中，当时，旋转角，
综上所述，满足条件的旋转角为或或或．
课程标准
（1） 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．
（2）通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．
（3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．
（4）探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等．
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
知识精讲
知识点01 旋转
1．旋转的概念
把一个图形绕着某一点O 的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
【注意】
旋转的三个要素： 、 和 .
2．旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的 (OA= OA′)；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 ；
(3)旋转前、后的图形 ；
【注意】
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3．旋转的作图:
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【注意】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
知识点02 特殊的旋转—中心对称
1．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果它能够与另一个图形 ，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
【注意】
(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2．中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形 ，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【注意】
(1)中心对称图形指的是个图形；
(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
知识点03 平移、轴对称、旋转之间的对比
能力拓展
考法01 旋转
【典例1】如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，将30°的直角板绕点B按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【典例2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．已知，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】如图，在△AOB中，AO＝1．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1B．C．D．
考法02 中心对称
【典例3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点B．
C．D．
【即学即练】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【典例4】下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练】下面扑克牌中，是中心对称图形的是 ( )
A．B．C．D．
考法03 关于原点对称的点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，点P（7，6）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．P′（7，6）B．P′（-7，6）C．P′（7，-6）D．P′（-7，-6）
【即学即练】平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2)B．(2，-3)C．(2，3)D．(﹣3，2)
【典例6】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
【即学即练】已知点与点关于原点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．－3；1B．－1；3C．1；－3D．3；－1
分层提分
题组A 基础过关练
1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最左边图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A．B．C．D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为（ ）
A．3B．-3C．5D．-5
4．如图所示，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，下列对变换过程叙述正确的是（ ）
A．把三角形ABC向左平移8格，再逆时针旋转90°
B．把三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移8格
C．把三角形ABC向左平移8格，再顺时针旋转90°
D．把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向左平移8格
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（ ）
A．65°B．15°C．115°D．75°
6．如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．B．2.5C．D．
7．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是______．
8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
9．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
题组B 能力提升练
1．下列3×3网格中，阴影部分是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
4．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M关于原点对称的的坐标是（ ）
A．（2，－5）B．（－2，5）C．（5，－2）D．（－5，2）
5．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A．1B．C．D．
6．已知如图，长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，若AG=m，CE=n，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．
7．已知平面直角坐标系内有一点，联结，将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，则的坐标为______．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的．
(3)直接写出点的坐标．
10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由．
题组C 培优拔尖练
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3B．2C．D．2
4．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
5．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
6．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
7．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转___度，可与其自身重合．
8．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是______．
9．如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△；
(3)画出与△关于点O成中心对称的△．
10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明；
(2)当点G落在△ABC外，且，
①如图2，请说明；
②如图3，若，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角的度数
课程标准
（1） 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．
（2）通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．
（3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．
（4）探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等．
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
第18课 旋转章末复习
目标导航
知识精讲
知识点01 旋转
1．旋转的概念
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.
【注意】
旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.
2．旋转的性质:
(1)对应点到旋转中心的距离相等(OA= OA′)；
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
(3)旋转前、后的图形全等；
【注意】
图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.
3．旋转的作图:
在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．
【注意】
作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度(旋转角)；
(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
(4)连接所得到的各对应点.
知识点02 特殊的旋转—中心对称
1．中心对称：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．
【注意】
(1)有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；
(2)位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .
2．中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【注意】
(1)中心对称图形指的是一个图形；
(2)线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.
知识点03 平移、轴对称、旋转之间的对比
能力拓展
考法01 旋转
【典例1】如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转后得到．若，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质得：，，
，
，
，
故选：C．
【即学即练】如图，将30°的直角板绕点B按顺时针转动一个角度到的位置，使得点、、在同一条直线上，那么这个角度等于（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
【答案】D
【详解】解：三角板中∠ABC=60°，旋转角是，
则=180°-60°=120°．
这个旋转角度等于120°．
故选：D．
【典例2】如图，将绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上．已知，，则的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵将△OAB绕点O按逆时针方向旋转至，
∴，
∴，
∴=4-1=3（cm），
故选：C．
【即学即练】如图，在△AOB中，AO＝1．将△AOB绕点O逆时针方向旋转90°，得到△A′OB′，连接AA′．则线段AA′的长为（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】解：由旋转可知∠AOA′=90°，AO=A′O=1，
∴，
故选：B
考法02 中心对称
【典例3】如图，与关于点成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点与点是对称点B．
C．D．
【答案】D
【详解】解：与△关于点成中心对称，
点与是一组对称点，，，
A，B，C都不合题意．
与不是对应角，
不成立．
故选：D．
【即学即练】如图，与关于O成中心对称，下列结论中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】解：∵对应点的连线被对称中心平分，
∴，，
即B、D正确，
∵成中心对称图形的两个图形是全等形，
∴对应线段相等，
即，
∴C正确，
故选A．
【典例4】下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A、是中心对称图形，是轴对称图形，故A选项不合题意；
B、是中心对称图形，是轴对称图形，故B选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意；
故选：C．
【即学即练】下面扑克牌中，是中心对称图形的是 ( )
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵A中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴A不是中心对称图形；
∵B中扑克牌符合中心对称图形的定义，
∴B是中心对称图形；
∵C中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴C不是中心对称图形；
∵D中扑克牌不符合中心对称图形的定义，
∴D不是中心对称图形；
故选：B．
考法03 关于原点对称的点的坐标
【典例5】在平面直角坐标系中，点P（7，6）关于原点的对称点P′的坐标为（ ）
A．P′（7，6）B．P′（-7，6）C．P′（7，-6）D．P′（-7，-6）
【答案】D
【详解】解：根据关于原点对称的点的坐标的特点，点（7，6）关于原点的对称的点的坐标是（-7，-6），
故选：D．
【即学即练】平面直角坐标系内，与点P(﹣3，2)关于原点对称的点的坐标是( )
A．(3，-2)B．(2，-3)C．(2，3)D．(﹣3，2)
【答案】A
【详解】解：与点P(-3，2)关于原点对称的点的坐标是(3，-2)，
故选：A．
【典例6】在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则m的值是（ ）
A．3B．2C．D．
【答案】D
【详解】解：∵点A（2，m）与点B（n，3）关于坐标原点对称，
∴m＝−3，
故选：D．
【即学即练】已知点与点关于原点对称，则a与b的值分别为（ ）
A．－3；1B．－1；3C．1；－3D．3；－1
【答案】B
【详解】解：点与点关于原点对称，
解得：．
故选：B．
分层提分
题组A 基础过关练
1．北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将最左边图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是：
．
故选：D．
2．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．在平面直角坐标系中，点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，则m的值为（ ）
A．3B．-3C．5D．-5
【答案】A
【详解】解：∵点A(5，m)与点B(-5，-3)关于原点对称，
∴点A的坐标为：，
即m为3，
故选A．
4．如图所示，在方格纸中，三角形ABC经过变换得到三角形DEF，下列对变换过程叙述正确的是（ ）
A．把三角形ABC向左平移8格，再逆时针旋转90°
B．把三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，再向左平移8格
C．把三角形ABC向左平移8格，再顺时针旋转90°
D．把三角形ABC绕点C顺时针旋转90°，再向左平移8格
【答案】D
【详解】解：根据图象，△ABC绕着点A顺时针方向90°旋转与△DEF形状相同，再向左平移8格就可以与△DEF重合．
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，边ED，AC相交于点F，若∠A=30°，则∠AFD的度数为（ ）
A．65°B．15°C．115°D．75°
【答案】A
【详解】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转35°得到△DEC，
∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，
∴∠AFD =∠ACD+∠D=35°+30°=65°，
故选：A．
6．如图，在中，，．将绕点O逆时针方向旋转90°，得到，连接．则线段的长为（ ）
A．B．2.5C．D．
【答案】C
【详解】解：由旋转的性质可知，，=90°，
∴ 是等腰直角三角形，
∴；
故选：C．
7．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，，则旋转角度是______．
【答案】70°##70度
【详解】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=30°，
∴∠AOC=70°，
∵将△AOB绕着点O顺时针旋转，得到△COD，
∴旋转角为∠AOC=70°，
故答案为：70°．
8．如图，将绕点逆时针旋转得到，点和点是对应点，若，则_______．
【答案】2
【详解】解： ∵将绕点A逆时针旋转60°得到，
∴．
∵，
∴．
故答案为：2．
9．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．
(1)把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；
(2)把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求．
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C为旋转中心，旋转一定角度后成△A′B′C，此时B′落在斜边AB上，试确定∠ACA′，∠BB′C的度数．
【答案】∠ACA′＝60°，∠BB′C＝60°
【详解】解：∵以点C为旋转中心，将△ABC旋转到△A'B'C的位置；
∴B′C＝BC；
∵∠B＝60°，
∴△BB′C是等边三角形；
∴∠BB′C＝60°，
∴∠BCB′＝60°，
∴∠ACA′＝60°．
题组B 能力提升练
1．下列3×3网格中，阴影部分是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
2．如图，将绕点按逆时针方向旋转得到若点刚好落在边上，且，若，则旋转的角度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：，
，
，
将绕点按逆时针方向旋转得到，
，
旋转的角度为，
故选：B．
3．如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD＞AB，点E从点B出发（不含点B）沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为（ ）
A．平行四边形→菱形→正方形→矩形
B．平行四边形→正方形→菱形→矩形
C．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形
D．平行四边形→正方形→平行四边形一矩形
【答案】C
【详解】解：连接BD．
∵点O为矩形ABCD的对称中心，
∴BD经过点O，OD＝OB，ADBC，
∴∠FDO＝∠EBO，
在△DFO和△BEO中，
，
∴△DFO≌△BEO（ASA），
∴DF＝BE，
∵DFBE，
∴四边形BEDF是平行四边形，
观察图形可知，四边形BEDF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．
故选：C．
4．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M关于原点对称的的坐标是（ ）
A．（2，－5）B．（－2，5）C．（5，－2）D．（－5，2）
【答案】B
【详解】解：∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，
∴M纵坐标可能为±5，横坐标可能为±2，
∵点M在第四象限，
∴M坐标为（2，−5）．
∴点M关于原点对称的的坐标是（−2，5）．
故选：B．
5．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转得到正方形，连接，则的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【详解】如图所示，连接、
∵四边形是四边形逆时针旋转
∴，
∴是等边三角形
∴
在中，
∴
故选：B．
6．已知如图，长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，若AG=m，CE=n，则长方形ABCD的面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵长方形ABCD绕点D顺时针旋转90°形成了长方形EFGD，
∴DE＝DA，DC＝DG，
而CE＝n，AG＝m，
∴CD﹣AD＝n，CD+AD＝m，
∴CD，AD，
∴长方形ABCD的面积＝CD•AD•．
故选：B．
7．已知平面直角坐标系内有一点，联结，将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，则的坐标为______．
【答案】或##或
【详解】解：如图，过点作轴于点，轴于点，则
①将线段绕着点顺时针旋转度时，
∵将线段绕着点旋转度，点落在点的位置，
∴，，
又，
∴，
所以
∵，
∴，,
∴,，
∴，
同理可得，将线段绕着点逆时针旋转度时，的坐标为，
综上，的坐标为或．
故答案为：或．
8．如图，直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，于点D．若OB＝4，OD＝3，则阴影部分的面积之和为___．
【答案】12
【详解】解：如图，
∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D，OB＝4，OD＝3，
∴AB＝3，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和＝矩形ABOE的面积＝3×4＝12．
故答案为：12．
9．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
(1)将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位，画出平移后得到的．
(2)将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的．
(3)直接写出点的坐标．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【详解】（1）解：如图所示，即为所求．
（2）解：如图所示，即为所求．
（3）解：根据题意得：．
10．把直角三角形OAB与直角三角形O'CD如图1放置，直角顶点O与O′重合在一起，点D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．现将△O'CD固定，△OAB绕点O顺时针旋转，旋转角α（0°≤α＜90°），OB与DC交于点E．
(1)如图2，在旋转过程中，若OA∥CD时，则α＝______；若AB∥OC时，则α＝______；请写出证明过程；
(2)如图2，在旋转过程中，当△ODE有两个角相等时，α＝______；请说明理由．
【答案】(1)45°，60°，证明见详解
(2)45°或67.5°，理由见解析
【详解】（1）根据题意有∠AOB=90°，
∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°，
∴∠DOC=90°，∠A=60°，
∴∠CDO=45°，
当时，如图2中，∠AOD＝∠CDO＝45°，
∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°．
∵∠DOE=α，
∴α＝45°．
当时，如图3中，∠A+∠AOC＝180°，
∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°，
∴∠AOD=180°-∠A-∠COD，
∴∠AOD＝30°，
∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°，
∵∠DOE=α，
∴α＝60°
故答案为：45°，60°．
（2）根据（1）可知∠CDO=45°，
当∠D＝∠DOE＝45°时，
∵∠DOE=α，
∴α＝45°，
当∠DOE＝∠DEO时，
则在△DOE中，∠DOE=(180°-∠ODC)=67.5°，
∴∠DOE=α＝45°，
即α＝67.5°，
故答案为：45°或67.5°．
题组C 培优拔尖练
1．下列剪纸作品中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，正方形的边长为，将正方形绕原点O顺时针旋转45°，则点B的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接OB，
∵正方形ABCD绕原点O顺时针旋转45°，
∴，，
∴，
∴△为等腰直角三角形，点在y轴上，
∵，
∴=2，
∴（0，2），
故选：D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D是AB边上一点，且AD∶BD＝1∶2，将△ACD绕点C顺时针旋转至△BCE，连接DE，则线段DE的长为（ ）
A．3B．2C．D．2
【答案】C
【详解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，
∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，
∵AD：BD＝1：2，
∴AD＝，BD＝，
由旋转的性质可知：△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，
∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，
∴DE＝，
故选：C．
4．如图，中，，将绕点逆时针方向旋转得到此时恰好点在上，交于点，则与的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，
是等边三角形，
，
，
，
设，则，，
，
，
与的面积之比为．
故选：D．
5．已知点经变换后到点B，下面的说法正确的是（ ）
A．点A与点B关于x轴对称，则点B的坐标为
B．点A绕原点按顺时针方向旋转90°后到点B，则点B的坐标为
C．点A与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为
D．点A先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点B，则点B的坐标为
【答案】D
【详解】解：A、点与点关于轴对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
B、点绕原点按顺时针方向旋转后到点，则横、纵坐标互换位置，且纵坐标变为相反数，所以点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
C、点与点关于原点中心对称，则点的坐标为，则此项错误，不符合题意；
D、点先向上平移3个单位，再向右平移4个单位到点，则点的坐标为，即为，则此项正确，符合题意；
故选：D．
6．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，．下列结论中正确的是（ ）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④．
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】B
【详解】由题意知，，，
为等边三角形，,②正确，
又 ,，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误．
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故选B．
7．如图，正三角形ABC绕其中心O至少旋转___度，可与其自身重合．
【答案】120
【详解】解：如图所示：连接OA、OB、OC，
正三角形ABC，O为其中心，
， ，
，
，
，
同理可证：，
，
，
∴正三角形ABC绕其中心O至少旋转，可与其自身重合．
故答案为：120．
8．如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是______．
【答案】(−,3)
【详解】解：如图，过点B和作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB=∠B=30°，
∴AB=OA=2，∠BAD=60°，
∴AD=1，BD=，
∴OD=OA+AD=3，
∴B(3,)，
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点，
∴C=BD=，OC=OD=3，
∴坐标为：(−，3)．
故答案为：(−，3)．
9．如图，在平面直角坐标系中，C（-2，0）△ABC和△关于点E成中心对称．
(1)画出对称中心E，并写出点E的坐标；
(2)画出△绕点O逆时针旋转90°后的△；
(3)画出与△关于点O成中心对称的△．
【答案】(1)见解析，（-3，-1）
(2)见解析
(3)见解析
【详解】（1）连接，三线的交点就是所求对称中心E，画图如下：
根据题意，得A（-3，2），，
故点E的坐标为（-3，）即（-3，-1）．
（2）根据旋转的性质，画图如下：
（3）根据题意，得，，，根据中心对称的性质，得到，，，描点后，画图如下：
10．如图，在△ABC中，点D、E是边BC上两点，点F是边AB上一点，将△ADC沿AD折叠得到△ADG，DG交AB于点H；将△EFB沿EF折叠得到△EFH．
(1)如图1，当点G与点H重合时，请说明；
(2)当点G落在△ABC外，且，
①如图2，请说明；
②如图3，若，将△EFH绕点H顺时针方向旋转一个角度，则在这个旋转过程中，当△EFH的其中一边与△AHG的某一边平行时，直接写出旋转角的度数
【答案】(1)见解析
(2)①见解析；②满足条件的旋转角为或或或
【详解】（1）证明：如图1中，
由翻折变换的性质可知，，，
，，
；
（2）①证明：如图2中，
，
设，，
，
，
，，
，
，
；
②解：由题意，，
，
，
，
，
，
，
如图中，当时，旋转角．
如图中，当时，旋转角．
如图中，当时，旋转角．
如图中，当时，旋转角，
综上所述，满足条件的旋转角为或或或．
课程标准
（1） 通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．
（2）通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形．
（3）能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用．
（4）探索图形之间的变化关系(轴对称、平移、旋转及其组合)，灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．
平移
轴对称
旋转
相同点
都是全等变换(合同变换)，即变换前后的图形全等．
不
同
点
定义
把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换．
把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换．
把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换．
图形
要素
平移方向
平移距离
对称轴
旋转中心、旋转方向、旋转角度
性质
连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角．
对应线段平行(或共线)且相等．
任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分．
*对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角， 即：对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等．
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