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人教版七年级数学下册常考点微专题提分精练 第一次月考押题培优卷（1）（考试范围：第五-七章）（原卷版+解析）
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第一次月考押题培优卷（1） （考试范围：第五-七章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（） A．±4 B．4 C．±2 D．2 2．下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A． B． C． D． 3．在下列命题中，假命题是（ ） A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 4．一个正方形的面积为32，则它的边长应在（ ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 5．如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，，下面判定两条直线平行正确的是（ ） A．当时，AB//CD B．当时，BC//DE C．当时，CD//EF D．当时，BF//DE 6．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 7．如图，直线与相交于点，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 8．如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ). A．55° B．65° C．75° D．85° 9．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，设点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，则x，y满足的条件为（ ） A．x＝3，﹣4≤y≤﹣1 B．x＝2，﹣4≤y≤﹣1 C．﹣4≤x≤﹣1，y＝3 D．﹣4≤x≤﹣1，y＝2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算:-+-|-6|=____. 12．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________． 13．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 14．如图，已知，与的平分线相交于点，若，则的度数是__________． 15．如图，一条公路修到湖边时，经过三次拐弯后，道路恰好与第一次拐弯之前的道路保持平行，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，则第三次拐弯的角∠C的度数等于___． 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算： （2）求的值： 18．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E． (1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； (2)求证：BE∥CD． 20．已知A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1），将线段AB向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段A′B′． （1）在给定的平面直角坐标系中描出A、B、A′、B′四个点，写出点A′、B′的坐标，并指出A、B、A′、B′四个点所在的象限； （2）连接AA′与BB′，试判断线段AA′与BB′有怎样的位置关系和数量关系？ 21．数学课上，陈老师说：“同学们，如果的两边与的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下与的数量关系吗？” （1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据，的条件，得出了的结论，请你帮他写出说理过程． （2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________． 22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系 23．读一读： 数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和－2的距离可用或表示． 研一研： 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足． (1)直接写出以下点的坐标：（______，0），（0，______）． (2)若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标． 24．已知直线l1l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点． (1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由； (3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论． 第一次月考押题培优卷（1） （考试范围：第五-七章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【答案】D 【详解】∵立方体的体积为64， ∴它的棱长=， ∴它的棱长的平方根为：. 故选D. 2．下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案． 解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确； C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误． 故选B． 点评：本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想． 3．在下列命题中，假命题是（ ） A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】根据邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用逐个分析选项即可找出假命题． 【详解】解：A. 如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补，根据邻补角的性质可知：互为邻补角的两个角相加等于，故该命题正确，不符合题意； B. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等，根据平行线的性质可知：如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故该命题错误，符合题意； C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可知：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题正确，不符合题意； D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该命题正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用． 4．一个正方形的面积为32，则它的边长应在（ ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积求解正方形的边长，再估算正方形的边长的范围即可． 【详解】解： 一个正方形的面积为32， 正方形的边长为 即 故选：C． 【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“算术平方根的应用”是解本题的关键． 5．如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，，下面判定两条直线平行正确的是（ ） A．当时，AB//CD B．当时，BC//DE C．当时，CD//EF D．当时，BF//DE 【答案】D 【分析】选项A中，∠C和∠D是直线AC、DE被DC所截形成的内错角，内错角相等，判定两直线平行； 选项B中，不符合三线八角，构不成平行； 选项C中，∠E和∠D是直线DC、EF被DE所截形成的同旁内角，因为同旁内角不互补，所以两直线不平行； 选项D中，∠BOC的对顶角和∠D是直线BF、DE被DC所截形成的同旁内角，同旁内角互补，判定两直线平行． 【详解】解：A、错误，因为∠C＝∠D，所以AC∥DE； B、错误，不符合三线八角构不成平行； C、错误，因为∠C+∠D≠180°，所以CD不平行于EF； D、正确，因为∠DOF＝∠BOC＝140°，所以∠DOF+∠D＝180°，所以BF∥DE． 故选：D． 【点睛】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 6．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 【答案】B 【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答案． 【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截， ∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义． 7．如图，直线与相交于点，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵∠AOE=140°，∠AOE和∠2是邻补角， ∴∠2=180°-140°=40°， ∵∠1=∠2， ∴∠BOD=2∠2=80°， 又∵∠BOD和∠AOC是对顶角 ∴∠AOC=∠BOD=80°． 故选：C． 8．如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ). A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】B 【分析】两条直线相交，邻角互补，求出邻角的度数，再根据三角形内角和定理求解即可. 【详解】 ∵∠1=100°，∠2=145°， ∴∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-145°=35°， ∵∠3=180°-∠4-∠5， ∴∠3=180°-80°-35°=65°． 故选B． 【点睛】本题考查相交直线和三角形内角和定理.根据已知角求补角是解题的关键. 9．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°； ④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线， ∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误； ②过点E作直线， ∵， ∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C， ∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确； ③过点E作直线， ∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P作直线， ∵，∴， ∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC， ∵∠FPA=∠FPC+∠CPA， ∴∠1＝∠C＋∠CPA， ∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，设点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，则x，y满足的条件为（ ） A．x＝3，﹣4≤y≤﹣1 B．x＝2，﹣4≤y≤﹣1 C．﹣4≤x≤﹣1，y＝3 D．﹣4≤x≤﹣1，y＝2 【答案】B 【分析】先根据向下平移，横坐标不变，纵坐标相减；向右平移，横坐标相加，纵坐标不变求出A′与B′的坐标，再根据点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，即可得到x，y满足的条件． 【详解】解：∵点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2）， ∴将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′， 得A′（2，﹣1），B′（2，﹣4）， ∵点P（x，y）为线段A′B′上任意一点， ∴x＝2，﹣4≤y≤﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算:-+-|-6|=____. 【答案】-1 【详解】分析：根据二次根式的性质，立方根的意义，绝对值的性质化简，再求和差即可. 详解：-+-|-6| =++4-6 =-1 故答案为-1. 点睛：此题主要考查了实数的混合运算，熟记并灵活运用二次根式的性质，立方根的意义，绝对值的性质化简是关键. 12．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________． 【答案】 【分析】根据新定义，将，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简． 13．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】48 【分析】先利用平移和平行线截线段成比例定理求出线段的长度，再利用面积公式求出两个三角形的面积，再求差即可． 【详解】由平行可知， , 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 故填48． 【点睛】本题考查平移和平行线截线段成比例定理，关键是求出所需线段的长度． 14．如图，已知，与的平分线相交于点，若，则的度数是__________． 【答案】59° 【分析】先根据得出,再根据与的平分线相交于点得出,从而得出答案． 【详解】∵ ∴ 又∵与的平分线相交于点 ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，掌握相关的角度转化是解题关键． 15．如图，一条公路修到湖边时，经过三次拐弯后，道路恰好与第一次拐弯之前的道路保持平行，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，则第三次拐弯的角∠C的度数等于___． 【答案】150° 【分析】延长FC与AB，交于点E，利用两直线平行内错角相等求出∠E的度数，利用外角性质求出∠BCE的度数，即可确定出∠BCF的度数． 【详解】解：延长FC与AB，交于点E，如图所示， ∵AD//CE， ∴∠A＝∠E＝120°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝30°， ∴∠BCF＝∠CBE＋∠E＝30°＋120°＝150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________． 【答案】(2023，2) 【分析】先找出点的横坐标的变化规律即可求出经过2019次运动后，动点的横坐标，然后找出点的纵坐标的变化规律即可求出结论． 【详解】解：由坐标可知：动点的横坐标变化为：1、2、3、4…… ∴经过2019次运动后，动点的横坐标为2019 动点的纵坐标变化为：1、0、2、0、1、0、2、0……每4个数字一循环 2019÷4=504……3 ∴经过2019次运动后，动点的纵坐标为2 ∴经过2019次运动后，动点的坐标为(2023，2) 故答案为：(2023，2)． 【点睛】此题考查的是探索坐标的规律题，找出横、纵坐标的变化规律是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算： （2）求的值： 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）根据实数的混合运算进行计算即可； （2）根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：（1）原式 =4； （2）移项，得， ， 直接开平方得． 【点睛】本题考查实数的混合运算及用平方根解方程，解题关键是熟练掌握实数的相关运算． 18．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）2；（2）±4 【分析】（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可； （2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根． 【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0， ∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2； （2）∵与互为相反数， ∴+=0， ∴|2c＋d|＝0且＝0， 解得：c＝2，d＝−4， ∴2c−3d＝16， ∴2c−3d的平方根为±4． 【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键． 19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E． (1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； (2)求证：BE∥CD． 【答案】(1)45° (2)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数； （2）根据AC∥DE，∠C=∠E，即可得出∠C=∠ABE，进而判定BE∥CD． （1） ∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝3∠C， ∴4∠C＝180°，即∠C＝45°； （2） ∵ACDE， ∴∠E＝∠ABE， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE， ∴BECD． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 20．已知A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1），将线段AB向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段A′B′． （1）在给定的平面直角坐标系中描出A、B、A′、B′四个点，写出点A′、B′的坐标，并指出A、B、A′、B′四个点所在的象限； （2）连接AA′与BB′，试判断线段AA′与BB′有怎样的位置关系和数量关系？ 【答案】（1）A′（3，1），B′（2，﹣2）,由图可知，点A在第二象限，点B在第三象限，点A′在第一象限，点B′在第四象限；（2）AA′∥BB′，AA′=BB′． 【详解】试题分析：（1）已知出A、B两点的坐标，再根据平移的性质确定点A′、B′的坐标，连接A′B′即可，并根据图象确定各点所在的象限即可； （2）连接AA′与BB′，观察这两条线段在坐标系中的位置，即可得出结论． 试题解析：解：（1）如图所示，A′（3，1），B′（2，﹣2）．由图可知，点A在第二象限，点B在第三象限，点A′在第一象限，点B′在第四象限； （2）由图可知，AA′∥BB′，AA′=BB′． 考点：平移的性质． 21．数学课上，陈老师说：“同学们，如果的两边与的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下与的数量关系吗？” （1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据，的条件，得出了的结论，请你帮他写出说理过程． （2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________． 【答案】（1）说理过程见解析；（2）不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；理由见解析． 【分析】（1）根据图形利用平行线的性质即可证明； （2）根据题目条件画出另一种情形：两个角互补，利用平行线的性质证明即可 【详解】（1）∵，， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． （2）不同意，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 理由如下：如图，交于点， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题考查了平行线的性质，理解平行线的性质是解题的关键． 22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 【答案】（1）作图见解析； （2）DE∥AC． 【分析】(1)根据角平分线的画法画出角平分线； (2)根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行． 【详解】解：(1)如图所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行． 23．读一读： 数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和－2的距离可用或表示． 研一研： 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足． (1)直接写出以下点的坐标：（______，0），（0，______）． (2)若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)6，4； (2)∠BPQ＋∠PQC＝236°； (3)H（0，）或（0，）． 【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性解答即可； （2）过点P作PM∥CQ，得出QC∥AB∥PM，根据三角形外角的性质求出∠DBP，再根据平行线的性质求出∠DBP＋∠BPM＋∠MPQ＋∠PQC＝360°，最后利用等量代换得出结果； （3）设H（0，x），根据结合三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程求出x即可． （1） 解：∵， ∴a−6＝0，b−4＝0， 解得：a＝6，b＝4， ∴A（6，0），B（0，4）， 故答案为：6，4； （2） ∠BPQ＋∠PQC＝236°， 理由：如图，过点P作PM∥CQ， ∵∠BAO＝34°， ∴∠DBP＝∠90°＋34°＝124°， ∵QC∥AB， ∴QC∥AB∥PM， ∴∠DBP＋∠BPM＝180°，∠MPQ＋∠PQC＝180°， ∴∠DBP＋∠BPM＋∠MPQ＋∠PQC＝360°， ∵∠BPQ＝∠BPM＋∠MPQ， ∴∠DBP＋∠BPQ＋∠PQC＝360°， ∴∠BPQ＋∠PQC＝360°−∠DBP＝360°−124°＝236°； （3） 如图：∵A（6，0），B（0，4）， ∴S△AOB＝， 设H（0，x）， ∵点D（3，2）是线段AB的中点， ∴S△AHD＝S△AHB＝， ∵， ∴， ∴ ∴或， 解得：x＝或x＝， ∴H（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，坐标与图形，解绝对值方程等知识，解题的关键是作出图形利用数形结合的思想解答问题． 24．已知直线l1l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点． (1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由； (3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论． 【答案】(1)∠3=∠1+∠2，理由见解析 (2)∠2=∠1+∠3，理由见解析 (3)∠1=∠2+∠3，理由见解析 【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可； （2）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可； （3）方法同（1）（2）类似，进行求解即可 （1）解：如图所示，过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2， （2）如图所示，过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB+∠APE=∠BPE，∴∠BPE=∠1+∠3，即∠2=∠1+∠3， （3）过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠BPE，∠2=∠APE，∵∠EPB=∠APE+∠BPA，∴∠BPE=∠2+∠3，即∠1=∠2+∠3． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
第一次月考押题培优卷（1） （考试范围：第五-七章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（） A．±4 B．4 C．±2 D．2 2．下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A． B． C． D． 3．在下列命题中，假命题是（ ） A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 4．一个正方形的面积为32，则它的边长应在（ ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 5．如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，，下面判定两条直线平行正确的是（ ） A．当时，AB//CD B．当时，BC//DE C．当时，CD//EF D．当时，BF//DE 6．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 7．如图，直线与相交于点，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 8．如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ). A．55° B．65° C．75° D．85° 9．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，设点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，则x，y满足的条件为（ ） A．x＝3，﹣4≤y≤﹣1 B．x＝2，﹣4≤y≤﹣1 C．﹣4≤x≤﹣1，y＝3 D．﹣4≤x≤﹣1，y＝2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算:-+-|-6|=____. 12．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________． 13．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 14．如图，已知，与的平分线相交于点，若，则的度数是__________． 15．如图，一条公路修到湖边时，经过三次拐弯后，道路恰好与第一次拐弯之前的道路保持平行，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，则第三次拐弯的角∠C的度数等于___． 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算： （2）求的值： 18．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E． (1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； (2)求证：BE∥CD． 20．已知A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1），将线段AB向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段A′B′． （1）在给定的平面直角坐标系中描出A、B、A′、B′四个点，写出点A′、B′的坐标，并指出A、B、A′、B′四个点所在的象限； （2）连接AA′与BB′，试判断线段AA′与BB′有怎样的位置关系和数量关系？ 21．数学课上，陈老师说：“同学们，如果的两边与的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下与的数量关系吗？” （1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据，的条件，得出了的结论，请你帮他写出说理过程． （2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________． 22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系 23．读一读： 数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和－2的距离可用或表示． 研一研： 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足． (1)直接写出以下点的坐标：（______，0），（0，______）． (2)若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标． 24．已知直线l1l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点． (1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由； (3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论． 第一次月考押题培优卷（1） （考试范围：第五-七章） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长的算术平方根为（） A．±4 B．4 C．±2 D．2 【答案】D 【详解】∵立方体的体积为64， ∴它的棱长=， ∴它的棱长的平方根为：. 故选D. 2．下列图形可以由一个图形经过平移变换得到的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：根据平移的性质，结合图形对选项进行一一分析，选出正确答案． 解：A、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； B、图形的大小没有发生变化，符合平移的性质，属于平移得到，故此选项正确； C、图形的方向发生变化，不符合平移的性质，不属于平移得到，故此选项错误； D、图形的大小发生变化，不属于平移得到，故此选项错误． 故选B． 点评：本题考查平移的基本性质，平移不改变图形的形状、大小和方向．注意结合图形解题的思想． 3．在下列命题中，假命题是（ ） A．如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补 B．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【答案】B 【分析】根据邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用逐个分析选项即可找出假命题． 【详解】解：A. 如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补，根据邻补角的性质可知：互为邻补角的两个角相加等于，故该命题正确，不符合题意； B. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等，根据平行线的性质可知：如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故该命题错误，符合题意； C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线的性质可知：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题正确，不符合题意； D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该命题正确，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用． 4．一个正方形的面积为32，则它的边长应在（ ） A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】C 【分析】先根据正方形的面积求解正方形的边长，再估算正方形的边长的范围即可． 【详解】解： 一个正方形的面积为32， 正方形的边长为 即 故选：C． 【点睛】本题考查的是算术平方根的应用，无理数的估算，掌握“算术平方根的应用”是解本题的关键． 5．如图所示，已知直线BF、CD相交于点O，，下面判定两条直线平行正确的是（ ） A．当时，AB//CD B．当时，BC//DE C．当时，CD//EF D．当时，BF//DE 【答案】D 【分析】选项A中，∠C和∠D是直线AC、DE被DC所截形成的内错角，内错角相等，判定两直线平行； 选项B中，不符合三线八角，构不成平行； 选项C中，∠E和∠D是直线DC、EF被DE所截形成的同旁内角，因为同旁内角不互补，所以两直线不平行； 选项D中，∠BOC的对顶角和∠D是直线BF、DE被DC所截形成的同旁内角，同旁内角互补，判定两直线平行． 【详解】解：A、错误，因为∠C＝∠D，所以AC∥DE； B、错误，不符合三线八角构不成平行； C、错误，因为∠C+∠D≠180°，所以CD不平行于EF； D、正确，因为∠DOF＝∠BOC＝140°，所以∠DOF+∠D＝180°，所以BF∥DE． 故选：D． 【点睛】在复杂的图形中具有相等关系的两角首先要判断它们是否是同位角或内错角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线． 6．如图，直线AD，BE被直线BF和AC所截，则∠1的同位角和∠5的内错角分别是（ ） A．∠4，∠2 B．∠2，∠6 C．∠5，∠4 D．∠2，∠4 【答案】B 【分析】同位角：两条直线a，b被第三条直线c所截（或说a，b相交c），在截线c的同旁，被截两直线a，b的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角．根据此定义即可得出答案． 【详解】解：∵直线AD，BE被直线BF和AC所截， ∴∠1与∠2是同位角，∠5与∠6是内错角， 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是同位角和内错角的概念，解题的关键是熟记内错角和同位角的定义． 7．如图，直线与相交于点，，若，则的度数为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵∠AOE=140°，∠AOE和∠2是邻补角， ∴∠2=180°-140°=40°， ∵∠1=∠2， ∴∠BOD=2∠2=80°， 又∵∠BOD和∠AOC是对顶角 ∴∠AOC=∠BOD=80°． 故选：C． 8．如图，∠1=100°，∠2=145°，那么∠3=( ). A．55° B．65° C．75° D．85° 【答案】B 【分析】两条直线相交，邻角互补，求出邻角的度数，再根据三角形内角和定理求解即可. 【详解】 ∵∠1=100°，∠2=145°， ∴∠4=180°-∠1=180°-100°=80°， ∠5=180°-∠2=180°-145°=35°， ∵∠3=180°-∠4-∠5， ∴∠3=180°-80°-35°=65°． 故选B． 【点睛】本题考查相交直线和三角形内角和定理.根据已知角求补角是解题的关键. 9．①如图1，ABCD，则∠A＋∠E＋∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A＋∠C；③如图3，ABCD，则∠A＋∠E－∠1＝180°；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C＋∠P．以上结论正确的个数是（ ） A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论； ③过点E作直线，由平行线的性质可得出∠A+∠E-∠1=180°； ④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断． 【详解】解：①过点E作直线， ∵，∴，∴∠A＋∠1＝180°，∠2＋∠C＝180°， ∴∠A＋∠C＋∠AEC＝360°，故①错误； ②过点E作直线， ∵， ∴，∴∠A＝∠1，∠2＝∠C， ∴∠AEC＝∠A＋∠C，即∠AEC＝∠A＋∠C，故②正确； ③过点E作直线， ∵，∴，∴∠A＋∠3＝180°，∠1＝∠2， ∴∠A＋∠AEC－∠2＝180°，即∠A＋∠AEC－∠1＝180°，故③正确； ④如图，过点P作直线， ∵，∴， ∴∠1=∠FPA，∠C=∠FPC， ∵∠FPA=∠FPC+∠CPA， ∴∠1＝∠C＋∠CPA， ∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠A＝∠C+∠CPA，故④正确． 综上所述，正确的小题有②③④． 故选：C． 【点睛】本题考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2），将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′，设点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，则x，y满足的条件为（ ） A．x＝3，﹣4≤y≤﹣1 B．x＝2，﹣4≤y≤﹣1 C．﹣4≤x≤﹣1，y＝3 D．﹣4≤x≤﹣1，y＝2 【答案】B 【分析】先根据向下平移，横坐标不变，纵坐标相减；向右平移，横坐标相加，纵坐标不变求出A′与B′的坐标，再根据点P（x，y）为线段A′B′上任意一点，即可得到x，y满足的条件． 【详解】解：∵点A（﹣1，1），B（﹣1，﹣2）， ∴将线段AB向下平移2个单位，再向右平移3个单位得到线段A′B′， 得A′（2，﹣1），B′（2，﹣4）， ∵点P（x，y）为线段A′B′上任意一点， ∴x＝2，﹣4≤y≤﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化﹣平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算:-+-|-6|=____. 【答案】-1 【详解】分析：根据二次根式的性质，立方根的意义，绝对值的性质化简，再求和差即可. 详解：-+-|-6| =++4-6 =-1 故答案为-1. 点睛：此题主要考查了实数的混合运算，熟记并灵活运用二次根式的性质，立方根的意义，绝对值的性质化简是关键. 12．对于任意两个不相等的实数，定义一种新运算“”如下：，如：．那么________． 【答案】 【分析】根据新定义，将，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的计算，解题的关键是将，正确代入再化简． 13．如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个沿点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为______． 【答案】48 【分析】先利用平移和平行线截线段成比例定理求出线段的长度，再利用面积公式求出两个三角形的面积，再求差即可． 【详解】由平行可知， , 则 ∵ ∴ ∴ ∴ 故填48． 【点睛】本题考查平移和平行线截线段成比例定理，关键是求出所需线段的长度． 14．如图，已知，与的平分线相交于点，若，则的度数是__________． 【答案】59° 【分析】先根据得出,再根据与的平分线相交于点得出,从而得出答案． 【详解】∵ ∴ 又∵与的平分线相交于点 ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查平行线的性质以及角平分线的定义，掌握相关的角度转化是解题关键． 15．如图，一条公路修到湖边时，经过三次拐弯后，道路恰好与第一次拐弯之前的道路保持平行，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，则第三次拐弯的角∠C的度数等于___． 【答案】150° 【分析】延长FC与AB，交于点E，利用两直线平行内错角相等求出∠E的度数，利用外角性质求出∠BCE的度数，即可确定出∠BCF的度数． 【详解】解：延长FC与AB，交于点E，如图所示， ∵AD//CE， ∴∠A＝∠E＝120°， ∵∠ABC＝150°， ∴∠CBE＝30°， ∴∠BCF＝∠CBE＋∠E＝30°＋120°＝150°． 故答案为：150°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出三角形是解答此题的关键． 16．如图，动点在平面直角坐标系中按图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)，．．．按这样的运动规律，经过2019次运动后，动点的坐标为___________． 【答案】(2023，2) 【分析】先找出点的横坐标的变化规律即可求出经过2019次运动后，动点的横坐标，然后找出点的纵坐标的变化规律即可求出结论． 【详解】解：由坐标可知：动点的横坐标变化为：1、2、3、4…… ∴经过2019次运动后，动点的横坐标为2019 动点的纵坐标变化为：1、0、2、0、1、0、2、0……每4个数字一循环 2019÷4=504……3 ∴经过2019次运动后，动点的纵坐标为2 ∴经过2019次运动后，动点的坐标为(2023，2) 故答案为：(2023，2)． 【点睛】此题考查的是探索坐标的规律题，找出横、纵坐标的变化规律是解决此题的关键． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（1）计算： （2）求的值： 【答案】（1）4；（2） 【分析】（1）根据实数的混合运算进行计算即可； （2）根据平方根的意义解方程即可． 【详解】解：（1）原式 =4； （2）移项，得， ， 直接开平方得． 【点睛】本题考查实数的混合运算及用平方根解方程，解题关键是熟练掌握实数的相关运算． 18．如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为． （1）求的值； （2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】（1）2；（2）±4 【分析】（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可； （2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根． 【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0， ∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2； （2）∵与互为相反数， ∴+=0， ∴|2c＋d|＝0且＝0， 解得：c＝2，d＝−4， ∴2c−3d＝16， ∴2c−3d的平方根为±4． 【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键． 19．已知：如图，∠A＝∠ADE，∠C＝∠E． (1)若∠EDC＝3∠C，求∠C的度数； (2)求证：BE∥CD． 【答案】(1)45° (2)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出∠C的度数； （2）根据AC∥DE，∠C=∠E，即可得出∠C=∠ABE，进而判定BE∥CD． （1） ∵∠A＝∠ADE， ∴AC∥DE， ∴∠EDC+∠C＝180°， 又∵∠EDC＝3∠C， ∴4∠C＝180°，即∠C＝45°； （2） ∵ACDE， ∴∠E＝∠ABE， 又∵∠C＝∠E， ∴∠C＝∠ABE， ∴BECD． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及判定的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 20．已知A（﹣1，2），B（﹣2，﹣1），将线段AB向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段A′B′． （1）在给定的平面直角坐标系中描出A、B、A′、B′四个点，写出点A′、B′的坐标，并指出A、B、A′、B′四个点所在的象限； （2）连接AA′与BB′，试判断线段AA′与BB′有怎样的位置关系和数量关系？ 【答案】（1）A′（3，1），B′（2，﹣2）,由图可知，点A在第二象限，点B在第三象限，点A′在第一象限，点B′在第四象限；（2）AA′∥BB′，AA′=BB′． 【详解】试题分析：（1）已知出A、B两点的坐标，再根据平移的性质确定点A′、B′的坐标，连接A′B′即可，并根据图象确定各点所在的象限即可； （2）连接AA′与BB′，观察这两条线段在坐标系中的位置，即可得出结论． 试题解析：解：（1）如图所示，A′（3，1），B′（2，﹣2）．由图可知，点A在第二象限，点B在第三象限，点A′在第一象限，点B′在第四象限； （2）由图可知，AA′∥BB′，AA′=BB′． 考点：平移的性质． 21．数学课上，陈老师说：“同学们，如果的两边与的两边分别平行，你能根据这个条件画出图形并探讨一下与的数量关系吗？” （1）甲同学很快画出了如图所示的图形，并根据，的条件，得出了的结论，请你帮他写出说理过程． （2）甲同学由此告诉陈老师：“我的结论是：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等．”你同意甲同学的结论吗？_______．（填“同意”或“不同意”）．如果不同意，请写出你的结论：_____________________________________． 【答案】（1）说理过程见解析；（2）不同意；两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补；理由见解析． 【分析】（1）根据图形利用平行线的性质即可证明； （2）根据题目条件画出另一种情形：两个角互补，利用平行线的性质证明即可 【详解】（1）∵，， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）． （2）不同意，两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补 理由如下：如图，交于点， ∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，同旁内角互补）． ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∴两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或者互补． 【点睛】本题考查了平行线的性质，理解平行线的性质是解题的关键． 22．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A． （1）作△BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； （2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）． 【答案】（1）作图见解析； （2）DE∥AC． 【分析】(1)根据角平分线的画法画出角平分线； (2)根据角平分线的性质和三角形外角的性质得出DE和AC平行． 【详解】解：(1)如图所示： （2）DE∥AC ∵DE平分∠BDC， ∴∠BDE=∠BDC， ∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDE， ∴DE∥AC． 【点睛】此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行． 23．读一读： 数形结合作为一种数学思想方法，其应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．例如：在我们学习数轴的时候，数轴上任意两点，表示的数为，表示的数为，则，两点的距离可用式子表示，例如：5和－2的距离可用或表示． 研一研： 如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于点、点，且、满足． (1)直接写出以下点的坐标：（______，0），（0，______）． (2)若点、点分别是轴正半轴（不与点重合）、轴负半轴上的动点，过作，连接．已知（近似值），请探索与之间的数量关系，并说明理由． (3)已知点是线段的中点，若点为轴上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)6，4； (2)∠BPQ＋∠PQC＝236°； (3)H（0，）或（0，）． 【分析】（1）利用平方和绝对值的非负性解答即可； （2）过点P作PM∥CQ，得出QC∥AB∥PM，根据三角形外角的性质求出∠DBP，再根据平行线的性质求出∠DBP＋∠BPM＋∠MPQ＋∠PQC＝360°，最后利用等量代换得出结果； （3）设H（0，x），根据结合三角形的面积公式列出关于x的方程，解方程求出x即可． （1） 解：∵， ∴a−6＝0，b−4＝0， 解得：a＝6，b＝4， ∴A（6，0），B（0，4）， 故答案为：6，4； （2） ∠BPQ＋∠PQC＝236°， 理由：如图，过点P作PM∥CQ， ∵∠BAO＝34°， ∴∠DBP＝∠90°＋34°＝124°， ∵QC∥AB， ∴QC∥AB∥PM， ∴∠DBP＋∠BPM＝180°，∠MPQ＋∠PQC＝180°， ∴∠DBP＋∠BPM＋∠MPQ＋∠PQC＝360°， ∵∠BPQ＝∠BPM＋∠MPQ， ∴∠DBP＋∠BPQ＋∠PQC＝360°， ∴∠BPQ＋∠PQC＝360°−∠DBP＝360°−124°＝236°； （3） 如图：∵A（6，0），B（0，4）， ∴S△AOB＝， 设H（0，x）， ∵点D（3，2）是线段AB的中点， ∴S△AHD＝S△AHB＝， ∵， ∴， ∴ ∴或， 解得：x＝或x＝， ∴H（0，）或（0，）． 【点睛】本题考查了非负数的性质，平行线的性质，坐标与图形，解绝对值方程等知识，解题的关键是作出图形利用数形结合的思想解答问题． 24．已知直线l1l2，直线l3交l1于点C，交l2于点D，P是直线CD上一点． (1)如图1，当点P在线段CD上时，请你探究∠1，∠2，∠3之间的关系，并说明理由； (2)如图2，当点P在线段DC的延长线上时，∠1，∠2，∠3之间的关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请找出它们之间的关系，并说明理由； (3)如图3，当点P在线段CD的延长线上时，请直接写出结论． 【答案】(1)∠3=∠1+∠2，理由见解析 (2)∠2=∠1+∠3，理由见解析 (3)∠1=∠2+∠3，理由见解析 【分析】（1）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可； （2）过点P作PE∥l1，根据平行线的性质得出∠1=∠APE，∠2=∠BPE，结合图形求解即可； （3）方法同（1）（2）类似，进行求解即可 （1）解：如图所示，过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠APB=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2， （2）如图所示，过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠APE，∠2=∠BPE，∵∠APB+∠APE=∠BPE，∴∠BPE=∠1+∠3，即∠2=∠1+∠3， （3）过点P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l1∥l2∴∠1=∠BPE，∠2=∠APE，∵∠EPB=∠APE+∠BPA，∴∠BPE=∠2+∠3，即∠1=∠2+∠3． 【点睛】题目主要考查平行线的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用平行线的性质是解题关键．
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