2023-2024学年广东省惠州市惠阳区华南师大附属惠阳学校九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年广东省惠州市惠阳区华南师大附属惠阳学校九年级（上）第一次月考数学试卷(含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. y=ax2+bx+cB. y=x2C. y=7x5D. y=−7x
2.抛物线y=(x−2)2−2的顶点坐标是( )
A. (−2,2)B. (2,−2)C. (2,2)D. (−2,−2)
3.一元二次方程x2−4x+3=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
4.用配方法解方程x2−4x−10=0，下列配方结果正确的是( )
A. (x+2)2=14B. (x+2)2=6C. (x−2)2=14D. (x−2)2=6
5.将抛物线y=−13(x−2)2向右平移1个单位，再向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为( )
A. y=−13(x−1)2+2B. y=−13(x−1)2−2
C. y=−13(x−3)2+2D. y=−13(x−3)2−2
6.第二十二届世界杯足球赛将于2022年11月20日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯的到来，某市行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，共安排了66场比赛，设比赛组织者邀请了x个队比赛，则下列方程正确的是( )
A. 12x(x+1)=66B. x(x−1)=66C. x(x+1)=66D. 12x(x−1)=66
7.已知一元二次方程x2+kx−3=0有一个根为−1，则k的值为( )
A. 2B. −2C. 4D. −4
8.对于二次函数y=−x2+3，则下列说法，不正确的是( )
A. 抛物线的开口向下B. 当x<0时，y随x的增大而减小
C. 图象是轴对称图形D. 当x=0时，y有最大值3
9.函数y=−(x+2)2−1的图象上有两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，若x1A. y1=y2B. y1>y2
C. y110.当ab>0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若方程(a−1)x2+x−9=0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是______．
12.分式2x−2有意义，则x应满足的条件是 ．
13.若x、y为实数，且满足|x−2|+ y+3=0，则(x+y)2022的值是______．
14.把一元二次方程(x−3)2=5化成一般形式是：______．
15.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(3,0)，对称轴为直线x=1，则下列结论：①abc<0；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③当x<1时，y随着x的增大而增大；④4a+2b+c<0.其中正确结论是______(填写序号)．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
解方程：
(1)x2+6x+5=0；
(2)(x−5)2=2(x−5)．
17.(本小题8分)
如图，B是AD的中点，BC/​/DE，BC=DE，求证：△ABC≌△BDE．
18.(本小题8分)
已知抛物线顶点是(1,2)且经过点(2,−8)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求该抛物线与x轴的交点坐标．
19.(本小题9分)
已知关于x的方程(x+m)2−4=0．
(1)求证：无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
(2)若该方程的两个根为p，q，满足pq=p+q，求m的值．
20.(本小题9分)
如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段MN，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25m)，现在已备足可以砌40m长的墙的材料．
(1)当AB长度是多少时，矩形花园的面积为150m2；
(2)能否围成矩形花园面积为220m2，为什么？
21.(本小题9分)
某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
22.(本小题12分)
已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．
(1)如果x=−1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
23.(本小题12分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(2,0)，B(−8,0)两点，与y轴交于点C(0,−8)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，求出点F的坐标；
(3)在(2)的条件下，是否存在这样的点Q(0,m)，使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数；
B、y=x2是二次函数；
C、y=7x5是一次函数；
D、y=−7x是反比例函数；
故选：B．
形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数，据此解答．
本题考查了二次函数的定义，熟知形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数是二次函数是解题关键．
2.【答案】B
【解析】解：
二次函数的顶点式方程为：y=a(x−h)2+k，其顶点坐标为(h,k)，
当抛物线为y=(x−2)2−2时，其顶点坐标为(2,−2)，
故选B．
根据二次函数的顶点式方程可地直接写出其顶点坐标．
本题主要考查二次函数的顶点坐标的求法，掌握二次函数的顶点式y=a(x−h)2+k是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵Δ=(−4)2−4×1×3=4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
4.【答案】C
【解析】解：x2−4x−10=0，
移项，得x2−4x=10，
配方，得x2−4x+4=10+4，
即(x−2)2=14．
故选：C．
先移项，再配方，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据向左平移横坐标间，向下平移纵坐标减求出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
【解答】解：∵抛物线y=−13(x−2)2的顶点坐标为(2,0)，
∴向右平移1个单位，再向下平移2个单位后的顶点坐标是(3,−2)
∴所得抛物线解析式是y=−13(x−3)2−2，
故选D．
6.【答案】D
【解析】解：根据题意得12x(x−1)=66．
故选：D．
利用比赛的总场数=参赛队伍数×(参赛队伍数−1)÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：把x=−1代入方程得1−k−3=0，
解得k=−2．
故选：B．
根据一元二次方程的解的定义，把x=−1代入方程得关于k的一次方程1−3−k=0，然后解一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8.【答案】B
【解析】解：∵二次函数y=−x2+3，
∴抛物线的开口向下，故选项A正确；
当x<0时，y随x的增大而增大，故选项B不正确；
图象时轴对称图形，故选项C正确；
当x=0时，y有最大值3，故选项D正确；
故选：B．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9.【答案】C
【解析】解：∵y=−(x+2)2−1，
∴对称轴是x=−2，开口向下，当x<−2时，y随x的增大而增大，
∵x1∴y1故选：C．
先确定抛物线的对称轴及开口方向，再根据二次函数的性质判断函数值的大小．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，找到对称轴，利用二次函数的性质进行判定是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意，ab>0，则a、b同号，
当a>0时，b>0，y=ax2开口向上，过原点，y=ax+b过一、二、三象限；
此时，没有选项符合，
当a<0时，b<0，y=ax2开口向下，过原点，y=ax+b过二、三、四象限；
此时，D选项符合，
故选：D．
根据题意，ab>0，则a、b同号，分a>0与a<0两种情况讨论，分析选项可得答案．
本题考查二次函数与一次函数的图象的性质，要求学生理解系数与图象的关系．
11.【答案】a≠1
【解析】解：∵方程(a−1)x2+x−9=0关于x的一元二次方程，
∴a−1≠0，
解得a≠1．
故答案为：a≠1．
根据一元二次方程的定义即可解答．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
12.【答案】x≠2
【解析】【分析】
本题考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握当分母不等于零时分式有意义．
根据分母不等于零时分式有意义进行解答即可．
【解答】
解：∵分母不等于0，分式有意义，
∴x−2≠0，
解得x≠2，
故答案为x≠2．
13.【答案】1
【解析】解：∵|x−2|+ y+3=0，
∴x−2=0，y+3=0，
解得：x=2，y=−3，
故(x+y)2022=(2−3)2022=1．
故答案为：1．
直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了非负数的性质，正确得出x，y的值是解题关键．
14.【答案】x2−6x+4=0
【解析】解：去括号，得
x2−6x+9=5，
移项，合并同类项，得
x2−6x+4=0，
故答案为：x2−6x+4=0．
根据一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)，可得答案．
本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0).在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
15.【答案】①②③
【解析】解：①图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，能得到：ab<0，c>0，则abc<0，故结论①正确；
②由抛物线轴对称性质知：抛物线与x轴的另一交点坐标为(−1,0)，则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3，故结论②正确；
③由函数图象知，当x<1时，y随着x的增大而增大，故结论③正确；
④由函数图象知：当x=2时，y>0，则4a+2b+c>0，故结论④不正确．
故正确结论的序号是：①②③．
故答案为：①②③．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
16.【答案】解：(1)(x+1)(x+5)=0，
x+1=0或x+5=0，
解得x1=−1，x2=−5．
(2)(x−5)2−2(x−5)=0．
(x−5)[(x−5)−2]=0．
(x−5)(x−7)=0
x−5=0或x−7=0．
x1=5，x2=7．
【解析】(1)根据因式分解法解一元二次方程；
(2)根据因式分解法解一元二次方程．
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
17.【答案】证明：∵BC/​/DE，
∴∠ABC=∠BDE，
∵B是AD的中点，
∴AB=BD，
在△ABC和△BDE中，
AB=BD∠ABC=∠BDEBC=DE，
∴△ABC≌△BDE(SAS)．
【解析】根据平行线的性质可得∠ABC=∠BDE，再根据SAS可证△ABC≌△BDE．
本题考查平行线的性质，利用SAS证三角形全等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．
18.【答案】解：(1)设y=a(x−1)2+2，将点(2,−8)代入可得a=−10，
∴抛物线的解析式为y=−10(x−1)2+2；
(2)令y=0，可得x1= 55+1，x2=− 55+1，
∴抛物线与x轴交点坐标是( 55+1,0)和(− 55+1,0)．
【解析】(1)由抛物线顶点是(1,2)可设抛物线的解析式为y=a(x−1)2+2，再将点(2,−8)代入抛物线解析式求出a的值即可；
(2)令y=0即可求出该抛物线与x轴的交点坐标．
此题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，根据顶点式设抛物线的解析式是解题的关键．
19.【答案】(1)方法一：
证明：整理原方程，得x2+2mx+m2−4=0，
∵b2−4ac=4m2−4(m2−4)=16>0，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
方法二：
证明：解方程(x+m)2=4，
解得：x1=2−m，x2=−2−m，
∵2−m≠−2−m，
∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根
(2)解：由根与系数的关系得p+q=−2m，pq=m2−4，
∵pq=p+q，
∴m2−4=−2m，
解得：m1= 5−1,m2=− 5−1．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式即可得证；根据直接开平方法求出一元二次方程的解，再进行证明；
(2)根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于m的方程，即可求解．
本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握根的判别式和根与系数的关系的公式，正确列出不等式和方程求解是关键．
20.【答案】解：(1)设AB=x m，则BC=(40−2x)m，
依题意得：x(40−2x)=150，
整理得：x2−20x+75=0，
解得：x1=5，x2=15．
当x=5时，40−2x=30>25，不合题意，舍去；
当x=15时，40−2x=10<25，符合题意．
答：当AB长度是15m时，矩形花园的面积为150m2．
(2)不能，理由如下：
设AB=y m，则BC=(40−2y)m，
依题意得：y(40−2y)=220，
整理得：y2−20y+110=0．
∵Δ=(−20)2−4×1×110=−40<0，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为220m2的矩形花园．
【解析】(1)设AB=xm，则BC=(40−2x)m，根据矩形花园的面积为150m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合围墙MN最长可利用25m，即可确定结论；
(2)设AB=ym，则BC=(40−2y)m，根据矩形花园的面积为220m2，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=−40<0，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为220m2的矩形花园．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
21.【答案】解：(1)设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50(1−a)2=32，
解得：a=1.8(舍)，a=0.2，
答：每次下降的百分率为20%；
(2)设每千克应涨价x元，由题意，得
(10+x)(500−20x)=6000，
整理，得x2−15x+50=0，
解得：x1=5，x2=10，
因为要尽快减少库存，所以x=5符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
【解析】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到隐含的相等关系，列出方程，解答即可．
(1)设每次降价的百分率为a，(1−a)2为两次降价的百分率，50降至32就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
(2)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据题意确定其值．
22.【答案】解：(1)△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以△ABC为等腰三角形；
(2)△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，所以△ABC为直角三角形；
(3)∵△ABC为等边三角形，
∴a=b=c≠0，
∴方程化为2ax2+2ax=0，即x2+x=0，解得x1=0，x2=−1．
【解析】(1)把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，整理得a=b，从而可判断三角形的形状；
(2)根据判别式的意义得Δ=(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，即b2+c2=a2，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；
(3)利用等边三角形的性质得a=b=c，方程化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
23.【答案】解：(1)将A(2,0)，B(−8,0)，C(0,−8)代入函数y=ax2+bx+c，
得，4a+2b+c=064a−8b+c=0c=−8,
解得，a=12b=3c=−8，
∴抛物线解析式为y=12x2+3x−8；
(2)如图1中，作FN/​/y轴交BC于N，
将B(−8,0)代入y=kx−8，
得，k=−1，
∴直线BC的解析式为y=−x−8，
设F(m,12m2+3m−8)，则N(m,−m−8)，
∴S△FBC=S△FNB+S△FNC
=12FN×8
=4FN
=4[(−m−8)−(12m2+3m−8)]
=−2m2−16m
=−2(m+4)2+32，
∴当m=−4时，△FBC的面积有最大值，
此时F(−4,−12)，
∴点F的坐标是F(−4,−12)；
(3)存在点Q(0,m)，使得△BFQ为等腰三角形，理由如下：
①如图2−1，当BQ=BF时，
由题意可列，82+m2=(8−4)2+122，
解得，m1=4 6，m2=−4 6，
∴Q1(0,4 6)，Q2(0,−4 6)；
②如图2−2，当QB=QF时，
由题意可列，82+m2=(m+12)2+42，
解题，m=−4，
∴Q3(0,−4)；
③如图2−3，当FB=FQ时，
由题意可列，(8−4)2+122=(m+12)2+42，
解得，m1=0，m2=−24，
∴Q4(0,0)，Q5(0,−24)；
设直线BF的解析式为y=kx+b，
将B(−8,0)，F(−4,−12)代入，
得−8k+b=0−4k+b=−12，
解得，k=−3，b=−24，
∴直线BF的解析式为y=−3x−24，
当x=0时，y=−24，
∴点B，F，Q重合，故Q5舍去，
∴点Q有坐标为(0,4 6)或(0,−4 6)或(0,−4)或(0,0)．
【解析】本题考查了待定系数法求解析式，三角形的最大面积，等腰三角形的存在性等，解题关键是要注意分讨论思想在解题过程中的运用．
(1)将A，B，C的坐标代入函数y=ax2+bx+c即可；
(2)如图1中，作FN/​/y轴交BC于N，求出直线BC的解析式，设F(m,12m2+3m−8)，则N(m,−m−8)，再用含m的代数式表示出△BCF的面积，用函数的思想即可推出结论；
(3)此问要分BQ=BF，QB=QF，FB=FQ三种情况进行讨论，分别用勾股定理可求出m的值，进一步写出点Q的坐标．