最新高考数学一轮复习【讲通练透】 第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性（十三大题型）（讲通）

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2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。
3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。
4、重视错题。错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 （目录）
1、函数的单调性
（1）单调函数的定义
一般地，设函数的定义域为，区间：
如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数．
如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数．
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①属于定义域内某个区间上；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②任意两个自变量，且；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③都有或；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的．
（2）单调性与单调区间
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质．
（3）复合函数的单调性
复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数.
2、函数的奇偶性
函数奇偶性的定义及图象特点
判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数．
注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)．
3、函数的对称性
(1)若函数为偶函数，则函数关于对称．
(2)若函数为奇函数，则函数关于点对称．
(3)若，则函数关于对称．
(4)若，则函数关于点对称．
4、函数的周期性
（1）周期函数：
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期.
（2）最小正周期：
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期.
【解题方法总结】
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.
(2)奇偶函数的图象特征.
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称.
(3)若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足.
(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.
(5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则.
(6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如.
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.
(8)常见奇偶性函数模型
奇函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数或函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数或函数
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函数或函数．
注意：关于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以写成函数或函数．
偶函数： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函数．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函数．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
【典例例题】
题型一：函数的单调性及其应用
例1．已知函数的定义域是，若对于任意两个不相等的实数，，总有成立，则函数一定是（ ）
A．奇函数B．偶函数C．增函数D．减函数
【答案】C
【解析】对于任意两个不相等的实数，，总有成立，
等价于对于任意两个不相等的实数，总有.
所以函数一定是增函数.
故选：C
例2．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有>0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减D．函数f(x)先减后增
【答案】A
【解析】由>0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
例3．下列函数中，满足“”的单调递增函数是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由于，所以指数函数满足，且当时单调递增，时单调递减，所以满足题意，故选D．
考点：幂函数、指数函数的单调性．
变式1．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． 和
C．和D． 和
【答案】B
【解析】
如图所示：
函数的单调递增区间是和．
故选：B.
变式2．（江苏省泰州市海陵区2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数．
(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；
(2)若，求实数的取值范围．
【解析】（1）在上递减，理由如下：
任取，且，则
，
因为，且，
所以，，
所以，即，
所以在上递减；
（2）由（1）可知在上递减，
所以由，得
，解得，
所以实数的取值范围为.
变式3．（2023·全国·高三专题练习）设，，证明：函数是x的增函数．
【解析】证明：当，在伯努利不等式定理3中取，，
则有，即，
则有，从，
即.
所以当时，是x的增函数．
变式4．（2023·上海静安·高三校考期中）已知函数，且.
(1)求的值，并指出函数的奇偶性；
(2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数.
【解析】（1）因为，又，所以，
所以，，
此时，所以为奇函数；
（2）任取，则
，
因为,所以,所以,
所以即，
所以函数在上是增函数.
【解题总结】
函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
题型二：复合函数单调性的判断
例4．函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由题意，得，解得或，
所以函数的定义域为，
令，则开口向上，对称轴为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
而在上单调递增，
所以函数的单调递减区间为.
故选：D.
例5．（陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高三下学期期末数学试题）函数的单调递减区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由，得，
令，则，
在上递增，在上递减，
因为在定义域内为增函数，
所以的单调递减区间为，
故选：A
例6．（陕西省榆林市2022-2023学年高三下学期阶段性测试）函数的单调递增区间为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，，解得，
又函数 在定义域内为单调增函数，
且函数在 内为单调增函数
根据复合函数的单调性可知：
的单调增区间为
选项C正确，选项ABD错误.
故选：C.
【解题总结】
讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：
1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数；
2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下：
复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．
题型三：利用函数单调性求函数最值
例7．（河南省2023届高三下学期仿真模拟考试数学试题）已知函数为定义在R上的单调函数，且，则在上的值域为______．
【答案】
【解析】因为为定义在R上的单调函数，
所以存在唯一的，使得，
则，，即，
因为函数为增函数，且，所以，
．
易知在上为增函数，且，，
则在上的值域为．
故答案为：.
例8．（上海市静安区2023届高三二模数学试题）已知函数为偶函数，则函数的值域为___________.
【答案】
【解析】函数（）是偶函数，
，
，易得，
设，
则，
当且仅当即时，等号成立，
所以，
所以函数的值域为．
故答案为：．
例9．（河南省部分学校大联考2022-2023学年高三下学期3月质量检测）已知函数且，若曲线在点处的切线与直线垂直，则在上的最大值为__________.
【答案】
【解析】由题意得，所以，
因为切线与直线垂直，而的斜率为，
所以切线斜率为2，即，解得，
所以，且，
显然是增函数，
当时，，
所以在上单调递增，故.
故答案为：
变式5．（新疆乌鲁木齐市第八中学2023届高三上学期第一次月考）若函数在区间上的最大值为，则实数_______.
【答案】3
【解析】∵函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为；
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数.
故答案为：3
【解题总结】
利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常用到下面的结论：
1、如果函数在区间上是增函数，在区间上是减函数，则函数在处有最大值．
2、如果函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，则函数在处有最小值．
3、若函数在上是严格单调函数，则函数在上一定有最大、最小值．
4、若函数在区间上是单调递增函数，则的最大值是，最小值是．
5、若函数在区间上是单调递减函数，则的最大值是，最小值是．
题型四：利用函数单调性求参数的范围
例10．已知函数，满足对任意的实数，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对任意的实数，都有,即成立，
可得函数图像上任意两点连线的斜率小于0，说明函数是减函数；
可得：，
解得，
故选：C
例11．（吉林省松原市2022-2023学年高三上学期第一次月考）若函数（且）在区间内单调递增，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】函数在区间 内有意义，
则，
设则 ，
( 1 ) 当 时， 是增函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使 在区间内内单调递增，
则需使，对任意恒成立 , 即对任意恒成立；
因为时，所以与矛盾，此时不成立.
( 2 ) 当时，是减函数，
要使函数在区间内单调递增，
需使在区间内内单调递减，
则需使 对任意恒成立，
即对任意恒成立，
因为，
所以，
又，所以.
综上，的取值范围是
故选：B
例12．（四川省广安市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意，，
在中，函数单调递增，
∴，解得：，
故选：C.
变式6．（江西省临川第一中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】函数在上是减函数，
当时，恒成立，
而函数在区间上不单调，因此，不符合题意，
当时，函数在上单调递增，于是得函数在区间上单调递减，
因此，并且，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
变式7．（天津市复兴中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围为（ ）．
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】函数的对称轴为，
因为函数在上具有单调性，
所以或，即或.
故选：C
【解题总结】
若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解．
1、若在上恒成立在上的最大值．
2、若在上恒成立在上的最小值．
题型五：基本初等函数的单调性
例13．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）已知函数是上的偶函数，对任意，，且都有成立．若，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是R上的偶函数，
所以函数的对称轴为，
又因为对任意，，且都有成立．
所以函数在上单调递增，
而，，，
所以，
所以，
因为函数的对称轴为，
所以，
而，
因为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
例14．（多选题）（甘肃省庆阳市宁县第一中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【解析】函数在区间上是单调函数，又，且，
故此函数在区间上是减函数．
由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数．
对于A，，故，故A错误；
对于B，，故，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确．
故选:BD.
例15．（2023届北京市朝阳区高三第一次模拟考试数学试题）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和单调性，对四个函数逐一判断可得答案.函数是奇函数，不符合；
函数是偶函数，但是在上单调递减，不符合；
函数不是偶函数，不符合；
函数既是偶函数又在区间上单调递增，符合.
故选：D
【解题总结】
1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决.
2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减).
3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系.
题型六：函数的奇偶性的判断与证明
例16．利用图象判断下列函数的奇偶性：
(1)
(2)
(3)；
(4)；
(5).
【解析】（1）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向下，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于原点对称，所以函数为奇函数；
（2）函数的定义域为，
对于函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图所示，
函数图象关于y轴对称，故为偶函数；
（3）先作出的图象，保留图象中x≥0的部分，
再作出的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，
即得的图象，如图实线部分．
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
（4）将函数的图象向左平移一个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，
即可得到函数的图象，如图，
由图知的图象既不关于y轴对称，也不关于x轴对称，
所以该函数为非奇非偶函数；
（5）函数，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
当，为二次函数，是一条抛物线，开口向上，对称轴为，
画出函数的图象，如图，
由图知的图象关于y轴对称，所以该函数为偶函数.
例17．（2023·北京·高三专题练习）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】对于A，函数的定义域为R，且满足，所以其为偶函数，
在上单调递减，在上单调递减，故A不符合题意；
对于B，设，函数的定义域为R，
且满足，所以函数为偶函数，
当时，为单调递增函数，故B符合题意；
对于C，函数的定义域为，不关于原点对称，
所以函数为非奇非偶函数，故C不符合题意；
对于D，设，函数的定义域为，关于原点对称，
且满足，所以函数为奇函数，
又函数在上单调递减，故D不符合题意.
故选：B.
例18．（多选题）（黑龙江省哈尔滨市第五中学校2022-2023学年高三下学期开学检测数学试题）设函数的定义域都为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】CD
【解析】因为函数的定义域都为R，
所以各选项中函数的定义域也为R，关于原点对称，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
对于A，因为，
所以函数是奇函数，故A错误；
对于B，因为，
所以函数是偶函数，故B错误；
对于C，因为，
所以函数是奇函数，故C正确；
对于D，因为，
所以函数是偶函数，故D正确.
故选：CD.
变式8．（北京市海淀区2023届高三二模数学试题）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】对于A, 的定义域为，定义域不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误，
对于B，的定义域为，定义域关于原点对称，又，所以为奇函数，但在单调递减，故B错误，
对于C，的定义域为,关于原点对称，又，故 为偶函数，故C错误，
对于D， 由正切函数的性质可知为奇函数，且在单调递增，故D正确，
故选：D
【解题总结】
函数单调性与奇偶性结合时，注意函数单调性和奇偶性的定义，以及奇偶函数图像的对称性.
题型七：已知函数的奇偶性求参数
例19．（四川省成都市蓉城联盟2022-2023学年高三下学期第二次联考）已知函数是偶函数，则______．
【答案】-1
【解析】定义域为R，
由得：，
因为，所以，故.
故答案为：-1
例20．（江西省部分学校2023届高三下学期一轮复习验收考试）若函数是偶函数，则__________．
【答案】1
【解析】∵为偶函数，定义域为，
∴对任意的实数都有，
即，
∴，
由题意得上式对任意的实数恒成立，
∴，解得,所以
故答案为：1
例21．（湖南省部分学校2023届高三下学期5月联数学试题）已知函数，若是偶函数，则______．
【答案】
【解析】因为是偶函数，
所以，
，
即，
解得.
故答案为：.
变式9．若函数为偶函数，则__________.
【答案】2
【解析】∵函数为偶函数
∴
即
又∵∴
故答案为：
【解题总结】
利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解.
题型八：已知函数的奇偶性求表达式、求值
例22．（2023年高三数学押题卷五）已知函数是奇函数，函数是偶函数．若，则（ ）
A．B．C．0D．
【答案】C
【解析】由函数是奇函数，函数是偶函数，，
故，即，
将该式和相减可得，
则，
故选：C
例23．（广东省湛江市2023届高三二模数学试题）已知奇函数则__________．
【答案】
【解析】当时，，，
则．
故答案为：.
例24．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为_________．
【答案】
【解析】由于函数是上的奇函数，则.
当时，，
设，则，则，
所以.
综上所述，.
故答案为：
变式10．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由函数是一个偶函数，是一个奇函数，
所以，，
因为①，
则②，
所以①+②得，
所以．
故选：A．
【解题总结】
抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式.
题型九：已知奇函数+M
例25．（宁夏银川一中、昆明一中2023届高三联合二模考试数学试题）已知函数，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
【答案】C
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：C.
例26．（河南省济洛平许2023届高三第四次质量检测数学试题）已知在R上单调递增，且为奇函数.若正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由于为奇函数，所以，
由得 ，
由于 所以，
当且仅当时取等号，故的最小值为，
故选：A
例27．（重庆市巴蜀中学2023届高三高考适应性月考数学试题）已知函数在区间的最大值是M，最小值是m，则的值等于( )
A．0B．10C．D．
【答案】C
【解析】令，则，
∴f(x)和g(x)在上单调性相同，
∴设g(x)在上有最大值，有最小值.
∵，
∴，
∴g(x)在上为奇函数，∴，
∴，∴，
.
故选：C.
变式11．（福建省福州格致中学2022-2023学年高三下学期期中考数学试题）已知函数，若，则（ ）
A．等于B．等于C．等于D．无法确定
【答案】C
【解析】设，显然定义域为，
又，
则，所以是上的奇函数；
又也是上的奇函数，所以也是上的奇函数，
因此，则.
故选：C.
【解题总结】
已知奇函数+M，，则
（1）
（2）
题型十：函数的对称性与周期性
例28．（多选题）（2023·山东烟台·统考二模）定义在上的函数满足，是偶函数，，则（ ）
A．是奇函数B．
C．的图象关于直线对称D．
【答案】ABD
【解析】对于选项，∵是偶函数，∴，
∴函数关于直线对称，∴，
∵，∴，∴是奇函数，则正确；
对于选项，∵，∴，∴,
∴的周期为，∴，则正确；
对于选项，若的图象关于直线对称，则，
但是，，即，这与假设条件矛盾，则选项错误；
对于选项，将代入，得，
将，代入，得，
同理可知，
又∵的周期为，∴正奇数项的周期为，
∴
，则正确.
故选：ABD.
例29．（多选题）（2023·湖南·高三校联考阶段练习）已知定义在上的函数和的导函数分别是和，若，，且是奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．B．的图像关于点对称
C．D．
【答案】ABD
【解析】因为是奇函数，所以．因为，所以，所以，则正确；
因为，所以，所以，
因为，所以，则的图像关于点对称，则B正确；
因为，所以，
所以（为常数），所以（为常数）．
因为，所以．
令，得，所以，则．
因为是奇函数，所以，所以，
所以，所以，所以，
即是周期为4的周期函数．
因为，所以，所以，
所以，即是周期为4的周期函数．
因为，所以，，所以，，，则
，，
故，，即C错误，D正确.
故选：ABD.
例30．（多选题）（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，的定义域均为，导函数分别为，，若，，且，则（ ）
A．4为函数的一个周期B．函数的图象关于点对称
C．D．
【答案】ABC
【解析】由得，
由求导得，
又得，所以，
所以，所以，
所以，
所以4为函数的一个周期，A正确；
，故，
因此，
故函数的图象关于点对称，B正确，
在中，令
由得 为常数，故，
由函数的图象关于点对称，
，
因此，
所以由于的周期为4，所以的周期也为4，
由于，所以， ，
所以，故C正确，
由于
,故D错误，
故选:ABC
变式12．（多选题）（2023·山东滨州·统考二模）函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且满足，函数的图象关于点对称，则（ ）
A．的图象关于点对称B．8是的一个周期
C．一定存在零点D．
【答案】ACD
【解析】对于A,由于的图象关于点对称，所以，故，所以的图象关于点对称，故A正确，
由得，令所以，故为偶函数，又的图象关于点对称，所以，又，从而，
所以的图象关于对称，
对于C,在中,令，所以，由于在区间上的图象是一条连续不断的曲线，由零点存在性定理可得在有零点，故C正确
对于D,由于的图象关于对称以及得，又，所以，所以是周期为8的周期函数，，故D正确，
对于B，，所以8不是的周期，
故选：ACD
【解题总结】
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且.
题型十一：类周期函数
例31．（2023·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）定义域为的函数满足，，若时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】若，则
∵，∴
即
∵时，恒成立，∴只需.
当时，最小值为（当时）；
当时，最小值为（当时），
∴
所以只需，解得：或
∴实数的取值范围是
故选：D
例32．（2023·江西南昌·高三校考期中）已知定义在上的函数满足，且当时，.设在上的最大值为（），且数列的前项的和为.若对于任意正整数不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由已知先求出，即，进一步可得，再将所求问题转化为对于任意正整数恒成立，设，只需找到数列的最大值即可.当时，则，，
所以，，显然当时，
，故，，若对于任意正整数不等式
恒成立，即对于任意正整数恒成立，即对于任
意正整数恒成立，设，，令，解得，
令，解得，考虑到，故有当时，单调递增，
当时，有单调递减，故数列的最大值为，
所以.
故选：C.
例33．（2023·全国·高三专题练习）定义域为的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数的取值范围是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】因为，所以，
因为时，，
所以,
因为函数满足，
所以，
所以，，
又因为，恒成立，
故，
解不等式可得或.
变式13．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数有4个零点，则实数的取值范围为
B．关于的方程有个不同的解
C．对于实数，不等式恒成立
D．当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
【答案】ABD
【解析】∵，则在的图象是将的图象沿轴方向伸长为原来的3倍、沿轴方向缩短为原来的一半
∴
则在上单调递增，在上单调递减
∴在上的最大值为，最小值为，即在上的值域为
对于A，令，即，则与有四个交点
作出时的图象，如图1：分别与连线的斜率为
结合图象可得：实数的取值范围为，A正确；
对于B，令，则
∴方程的根的个数即为与的交点个数
当时，的最大值为
∴与有且仅有一个交点，
当时，则有：
①当时，在上的最大值为，则与在内有两个交点
∴当，与有交点
②当，则在上的最大值为
∴与有且仅有一个交点
③当时，在上的最大值为，则与在内没有交点
∴当，与没有交点
∴当，与的交点个数为
当时，也成立
∴关于的方程有个不同的解，B正确
对于，因为图象过点，令，则，C错误
对于D，由题意可得：当时，函数的图象与轴围成的图形为三角形，其底边长为，高为
∴当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为
故选：ABD.
【解题总结】
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
类周期函数图象倍增函数图象
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
注意当时，构成一系列平行的分段函数，．
题型十二：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
例34．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在上的函数，满足：①；②为奇函数；③，；④任意的，，.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明函数在上的单调性.
【解析】（1）依题意，.
∴
∴，
又因为的定义域为，所以函数为偶函数.
（2）由④知，
，
∵，，，∴，
∴
即在上单调递增.
例35．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（ ）
A．B．为奇函数
C．在上是减函数D．方程仅有6个实数解
【答案】C
【解析】由题设，则关于对称，即，
，则关于对称，即，
所以，则，故，
所以，即，故，
所以的周期为8，
，A正确；
由周期性知：，故为奇函数，B正确；
由题意，在与上单调性相同，而上递增，
关于对称知：上递增，故上递增，
所以在上是增函数，C错误；
的根等价于与交点横坐标，
根据、对数函数性质得：，，
所以如下图示函数图象：函数共有6个交点，D正确.

故选：C
例36．（2023·湖北·统考模拟预测）已知函数是定义在上的偶函数，对任意，且，有，若，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】已知是定义在上的偶函数，则，
又对任意，且，都有，
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，又，所以，
根据函数的单调性可知：等价为或，
即或，解得或，
即不等式的解集为.
故选：.
变式14．（四川省遂宁市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）定义在上的函数，对任意，满足下列条件：① ②
（1）是否存在一次函数满足条件①②，若存在，求出的解析式；若不存在，说明理由.
（2）证明：为奇函数；
【解析】解析：假设存在一次函数，设
则，
，所以，.
，故满足条件的一次函数为：
（2）定义在上的函数对任意的，
都有成立，
令，则，得
令，则
所以，即，于是
∴为奇函数.
变式15．（安徽省蚌埠市2022-2023学年高三上学期期末数学试题）已知定义在上的函数，满足：
①；
②任意的，，.
（1）求的值；
（2）判断并证明函数的奇偶性.
【解析】（1）依题意，.
（2）由（1）知，
∴，即，
∴，
又因为的定义域为，
所以函数为偶函数.
变式16．（多选题）（2023·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考开学考试）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数B．的周期
C．D．在单调递减
【答案】ABC
【解析】由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【解题总结】
抽象函数的模特函数通常如下：
(1)若，则(正比例函数)
(2)若，则(指数函数)
(3)若，则(对数函数)
(4)若，则(幂函数)
(5)若，则(一次函数)
(6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形.
题型十三：函数性质的综合
例37．（广西2023届高三毕业班高考模拟测试数学试题）已知定义在上的函数在上单调递减，且为偶函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】∵函数为偶函数，∴，即，
∴函数的图象关于直线对称，
又∵函数定义域为，在区间上单调递减，
∴函数在区间上单调递增，
∴由得，，解得.
故选：D.
例38．（北京市西城区第五十六中学2023届高三数学一模试题）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】由得，即函数的定义域为．
因为，
所以为上的偶函数，
当时，，
因为函数在上单调递减,所以在上单调递减，
又都是在上单调递减，
根据单调性的性质，可知函数在上单调递减，
又因为函数为偶函数，所以函数在上单调递增，
又，所以，可得，
所以，且，解得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
例39．（2023·广东广州·统考二模）已知偶函数与其导函数的定义域均为，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为为偶函数，则，等式两边求导可得，①
因为函数为偶函数，则，②
联立①②可得，
令，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，即函数在上为增函数，
故当时，，所以，函数在上为增函数，
由可得，
所以，，整理可得，解得.
故选：B.
变式17．（2023·河南商丘·商丘市实验中学校联考模拟预测）已知是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】因为是定义在上的奇函数，，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，得，
当时，由，得，
当时，由，得，
所以原不等式的解集为.
故选：A.
变式18．（2023·安徽黄山·统考二模）已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由题意可知：的定义域为或，关于原点对称，
由得，故 为偶函数，
当时，，由于函数，均为单调递增函数，在单调递增，因此 为上的单调递增函数，所以不等式等价于 ，解得,
故选：C
变式19．（2023·四川成都·校考三模）已知函数,则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由函数，
所以，令，
可得
令且，
可得在上恒成立，所以，
所以在上单调递增，
又由，
所以函数为偶函数，则在上单调递减，
又由，即，即，
整理得，解得或，
即不等式的解集为.
故选：B.
变式20．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．∪D．∪
【答案】A
【解析】函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，
所以函数为奇函数，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以函数在上单调递增，
所以可化为，即，
所以，
即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
变式21．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）已知函数，若，则实数范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，令，则，
又由，当且仅当，即时，等号成立，
所以，则，则在上单调递减，
又由，故函数为奇函数，
由可化为，故，即，
又在上单调递减，则，解得，即.
故选：C．
变式22．（2023·全国·高三专题练习）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵当x≥0时，f（x）＝x2，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
当当x<0时，f（x）＝x2，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥2f（x）恒成立，
∵2f（x）＝f（x），
∴f（x+a）≥f（x）恒成立，
则x+a恒成立，
即a≥﹣x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴（）max（a+2），
即a（a+2），
解得a，
即实数a的取值范围是故答案为．
故选：
【解题总结】
（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.
（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.
1．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
3．（2021·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
考点要求
考题统计
考情分析
（1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．
（2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义．
（3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义．
2022年II卷第8题，5分
2022年I卷第12题，5分
2021年II卷第8题，5分
2021年甲卷第12题，5分
从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数
关于轴对称
奇函数
如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数
关于原点对称
增
增
增
增
减
减
减
增
减
减
减
增