2023-2024学年江西省南昌外国语学校九年级（上）质检数学试卷（10月份）（含解析）

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这是一份2023-2024学年江西省南昌外国语学校九年级（上）质检数学试卷（10月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.一元二次方程x2+x−6=0的常数项为( )
A. 6B. −6C. 1D. −1
2.用配方法解一元二次方程x2−4x−3=0，配方正确的是( )
A. (x−2)2=7B. (x−2)2=6C. (x−4)2=3D. (x−4)2=9
3.一元二次方程2x2+x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1.若y<0，则x的取值范围是( )
A. x<1
B. x<−1
C. −1D. x<−1或x>3
5.甲，乙，丙，丁四人进行射击测试，他们在相同条件下各射击10次，成绩(单位：环)统计如表：
如果从这四人中，选出一位成绩较好且状态稳定的选手参加比赛，那么应选( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
6.已知抛物线y=(x−2)2+1，下列结论错误的是( )
A. 抛物线开口向上B. 抛物线的对称轴为直线x=2
C. 抛物线的顶点坐标为(2,1)D. 当x<2时，y随x的增大而增大
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.若x1，x2是一元二次方程2x2−3x−6=0的两个根，则x1+x2的值是______．
8.抛物线y=x2−x−1经过点(m,3)，则代数式m2−m−1的值为______．
9.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=8，则菱形ABCD的周长是．
10.某校评选先进班集体，从“学习”、“卫生”、“纪律”、“活动参与”四个方面综合考核打分，各项满分均为100，所占比例如表：
某班这四项得分依次为85，90，80，75，则该班四项综合得分为______．
11.点A(0,y1)，B(−1,y2)，C(4,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是______.(用“<”连接)．
12.样本数据−1，4，7，a的中位数与平均数相同，则a的值是______．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
13.如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在A的延长线上，DG=2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米．
(1)求y与x之间的函数关系式(不需写自变量的取值范围)；
(2)若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为______米；
(3)当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积．
四、解答题：本题共10小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题6分)
解方程：
(1)2x2−6x=0；
(2)(2x−3)2=3(2x−3)．
15.(本小题6分)
如图，抛物线y=ax2+bx−3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB=OC=3OA，求该抛物线的解析式．
16.(本小题6分)
已知关于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x1x2=5，求k的值．
17.(本小题6分)
如图是由7×6个小正方形组成的网格图，已知A，B为格点．请仅用无刻度直尺根据下列要求作图：
(1)在图1中，作线段AB的垂直平分线；
(2)在图2中，作∠AOB的平分线．
18.(本小题6分)
关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
19.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥BD，垂足为点F．
(1)求证：AE=CF；
(2)若∠AOE=70°，∠EAD=3∠EAO，求∠BCA的度数．
20.(本小题8分)
已知点A(1,1)在二次函数y=x2−2ax+b图象上．
(1)用含a的代数式表示b；
(2)如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
21.(本小题9分)
科学研究表明接种疫苗是战胜新冠病毒的最有效途径．当前居民接种疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏，某工厂及时引进了一条一次性注射器生产线生产一次性注射器．开工第一天生产200万个，第三天生产288万个．试回答下列问题：
(1)求前三天生产量的日平均增长率；
(2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/天．
①现该厂要保证每天生产一次性注射2600万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下(生产线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．
22.(本小题9分)
凤鸣山中学组织全校学生参加国家禁毒知识学习，现让八年级和九年级参与学习的学生参加禁毒知识竞赛，再从中各随机选出20名同学的成绩进行分析.(单位：分，满分100分)，将学生竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：
A：x<70，B：70≤x<80，C：80≤x<90，D：90≤x≤100.下面给出了部分信息：
其中，八年级学生的竞赛成绩为：66，75，76，78，79，81，82，83，84，86，86，88，88，88，91，92，94，95，96，96；
九年级等级C的学生成绩为：86，88，83，81，87，82，89．

两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______，b= ______，m= ______；
(2)根据以上数据，你认为在此次禁毒知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由(一条理由即可)；
(3)若八年级有700名学生参加禁毒知识学习，九年级有800名学生参加禁毒知识学习，请估计两个年级参赛学生中成绩优秀的学生共有多少人？
23.(本小题12分)
如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m(水平距离)远处跳起投篮，已知球出手时离地面209m，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m.已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在(1)的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：一元二次方程x2+x−6=0的常数项为：−6．
故选：B．
直接根据一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项进行求解．
本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a,b,c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件，解题的关键是掌握在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项，其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
2.【答案】A
【解析】解：x2−4x−3=0，
x2−4x=3，
x2−4x+4=3+4，
(x−2)2=7，
故选：A．
利用解一元二次方程−配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握解一元二次方程−配方法是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵Δ=12−4×2×(−1)=1+8=9>0，
∴一元二次方程2x2+x−1=0有两个不相等的实数根，
故选：A．
求出判别式Δ=b2−4ac，判断符号即可得出结论．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ>0时，方程有两个不相等的实数根是解决问题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，
由图象可知，y<0时，x的取值范围是x<−1或x>3．
故选：D．
由抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一交点为(3,0)，根据图象可得出答案．
本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，准确识图是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了方差，平均数的知识，正确理解方差，平均数的意义是解题的关键．利用平均数和方差的性质即可得解，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】
解：∵甲的平均分最高，方差最小，成绩最稳定，
∴应选甲．
6.【答案】D
【解析】解：A选项，∵a=1>0，
∴抛物线开口向上，故该选项不符合题意；
B选项，抛物线的对称轴为直线x=2，故该选项不符合题意；
C选项，抛物线的顶点坐标为(2,1)，故该选项不符合题意；
D选项，当x<2时，y随x的增大而减小，故该选项符合题意；
故选：D．
根据抛物线a>0时，开口向上，a<0时，开口向下判断A选项；
根据抛物线的对称轴为x=h判断B选项；
根据抛物线的顶点坐标为(h,k)判断C选项；
根据抛物线a>0，x本题考查了二次函数的性质，掌握抛物线a>0，xh时，y随x的增大而增大；a<0时，xh时，y随x的增大而减小是解题的关键．
7.【答案】32
【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程2x2−3x−6=0的两个根，
∴x1+x2=−ba=−−32=32．
故答案为：32．
直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可．
本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程y=ax2+bx+c(a≠0)根与系数的关系：x1+x2=−ba和x1x2=ca是解题关键．
8.【答案】3
【解析】解：将点(m,3)代入m2−m−1中得：
m2−m−1=3，
故代数式m2−m−1的值为3，
故答案为：3．
将(m,3)代入y=x2−x−1得m2−m−1=3，据此求解即可．
本题主要考查了二次函数图象上的点和代数式求值，掌握二次函数图象上的点满足函数解析式以及整体思想的运用成为解答本题的关键．
9.【答案】20
【解析】解：∵在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=6，BD=8，
∴∠AOB=90°，AO=3，BO=4，
∴AB=5，
∴菱形ABCD的周长是：20．
故答案为：20．
直接利用菱形的性质结合勾股定理得出AB的长，进而得出答案．
此题主要考查了菱形的性质，正确把握菱形的性质是解题关键．
10.【答案】84分
【解析】解：85×40%+90×25%+80×25%+75×10%=84(分)，
故答案为：84分．
根据加权平均数的定义计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义和计算方法．
11.【答案】y3【解析】解：
∵A(0,y1)，B(−1,y2)，C(4,y3)均在二次函数y=−x2+2x+c的图象上，
∴y1=c，y2=−(−1)2+2×(−1)+c=c−3，y3=−42+2×4+c=c−8，
∴c−8∴y3故答案为：y3把所给点的坐标分别代入二次函数解析式，可用c分别表示出y1、y2、y3的值，再比较其大小即可．
本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
12.【答案】−4或2或12
【解析】解：①当a≤−1时，平均数为14(−1+4+7+a)，中位数为32，
故可得：14(−1+4+7+a)=32，
解得：a=−4．
②当a≥7时，平均数为14(−1+4+7+a)，中位数为112，
故可得：14(−1+4+7+a)=112，
解得：a=12．
③当−1故可得：14(−1+4+7+a)=4+a2，
解得：a=2，
故a可取−4或2或12．
故答案为：−4或2或12．
分三种情况进行讨论，①a≤−1，②a≥7，③−1本题考查了中位数和平均数的知识，解答本题的关键是分类讨论，得出a的值，有一定难度，注意不要漏解．
13.【答案】(1)y=(8−x)(8+2x)=−2x2+8x+64；
(2)4；
(3)解析式变形为：y=−2(x−2)2+72，
所以当x=2时，y有最大值，
∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米．
【解析】解：(1)见答案；
(2)根据题意可得：−2x2+8x+64=64，
解得：x1=4，x2=0(不合题意，舍去)，
所以BE的长为4米，
故答案为：4；
(3)见答案．
【分析】(1)根据题意可得DG=2x，再表示出AE和AG，然后利用面积可得y与x之间的函数关系式；
(2)根据题意可得正方形苗圃ABCD的面积为64，进而可得矩形苗圃AEFG的面积为64，进而可得：−2x2+8x+64=64再解方程即可；
(3)根据二次函数的性质即可得到结论．
此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
14.【答案】解：(1)2x(x−3)=0，
∴2x=0或x−3=0，
∴x1=0，x2=3；
(2)(2x−3)2−3(2x−3)=0，
∴(2x−3)(2x−3−3)=0，
∴2x−3=0或2x−3−3=0，
∴x1=32，x2=3．
【解析】(1)利用因式分解法求解；
(2)移项后，利用因式分解法求解．
本题考查了解一元二次方程，属于基础题，要有一定的运算求解能力，熟练运用因式分解法解一元二次方程是解决本题的关键．
15.【答案】解：当x=0时，y=−3，
∴C(0,−3)，
∴OC=3，
∴OB=3，OA=1，
∴B(3,0)，A(−1,0)，
将B(3,0)，A(−1,0)代入y=ax2+bx−3得，
0=9a+3b−30=a−b−3，
解得a=1b=−2，
∴该抛物线的解析式是y=x2−2x−3．
【解析】根据抛物线与y轴交于点C易得点C的坐标为C(0,−3)，根据OB=OC=3OA，可得点A、B的坐标，再利用待定系数法即可求得二次函数的解析式．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象和性质，待定系数法求二次函数的关系式，求得A、B的坐标是解题的关键．
16.【答案】解：(1)根据题意得Δ=(2k+1)2−4(k2+1)>0，
整理得4k>3，
解得k>34；
(2)根据根与系数的关系得x1x2=k2+1，
∵x1x2=5，
∴k2+1=5，解得k1=−2，k2=2，
∵k>34，
∴k=2．
【解析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元一次不等式，解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
(1)根据判别式的意义得到Δ=(2k+1)2−4(k2+1)>0，然后解不等式即可；
(2)根据根与系数的关系得到x1x2=k2+1，再利用x1x2=5得到k2+1=5，然后解关于k的方程，最后利用k的范围确定k的值．
17.【答案】解：(1)如图，直线CD即为所求．
(2)如图，射线OP即为所求．

【解析】(1)取格点C，D，作直线CD即可．
(2)连接AB，作AB的中点P，作射线OP即可．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
18.【答案】解：(1)∵方程有两个相等的实数根，
∴(2b)2−4(a+c)(a−c)=0，
∴4b2−4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；
(2)∵当△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∵(a+c)x2+2bx+(a−c)=0，
∴2ax2+2ax=0，
∴x1=0，x2=−1．
【解析】(1)利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
(2)利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．
19.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEO=∠CFO=90°，
∵∠AOE=∠COF，
∴△AEO≌△CFO(AAS)，
∴AE=CF；
(2)解：∵AE⊥BD，
∴∠AEO=90°，
∵∠AOE=70°，
∴∠EAO=90°−∠AOE=20°，
∵∠EAD=3∠EAO，
∴∠EAD=3×20°=60°，
∴∠DAC=∠DAE−∠EAO=60°−20°=40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠BCA=∠DAC=40°．
【解析】(1)证明△AEO≌△CFO(AAS)可得结论；
(2)利用三角形内角和定理求出∠EAO，求出∠DAC的度数，再利用平行线的性质解决问题即可．
本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△AEO≌△CFO．
20.【答案】解：(1)∵点A(1,1)在二次函数y=x2−2ax+b的图象上，
∴把A点代入y=x2−2ax+b中得b=2a，
∴b=2a
(2)由题意得方程x2−2ax+b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=0，即4a2−4b=4a2−8a=0
解得a=0，或a=2，
当a=0时，函数解析式为y=x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)，
当a=2时，函数解析式为y=x2−4x+4=(x−2)2，这个二次函数的图象的顶点坐标为(2,0)，
故这个二次函数的图象的顶点坐标为(0,0)或(2,0)．
【解析】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．
(1)因为二次函数y=x2−2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2−2ax+b，所以，把点A(1,1)代入方程求解即可；
(2)根据二次函数y=x2−2ax+b的图象与x轴交点的个数，求出a即可解答
21.【答案】解：(1)设前三天生产量的日平均增长率为x，
依题意得：200(1+x)2=288，
解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(不合题意，舍去)．
答：前三天日平均增长率为20%．
(2)①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20m)万个/天，
依题意得：(1+m)(600−20m)=2600，
整理得：m2−29m+100=0，
解得：m1=4，m2=25，
又∵在增加产能同时又要节省投入，
∴m=4．
答：应该增加4条生产线．
②不能，理由如下：
设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20a)万个/天，
依题意得：(1+a)(600−20a)=5000，
整理得：a2−29a+220=0．
∵b2−4ac=(−29)2−4×1×220=−39<0，
∴该方程无实数根．
∴不能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．
【解析】(1)设前三天生产量的日平均增长率为x，利用第三天的产量=第一天的产量×(1+增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
(2)①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20m)万个/天，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m的值；
②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为(600−20a)万个/天，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于a的一元二次方程，由根的判别式Δ=−39<0，可得出该方程无实数根，进而可得出能增加生产线，使得每天生产一次性注射器5000万个．
本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出一元二次方程；(2)①找准等量关系，正确列出一元二次方程；②牢记“当Δ<0时，方程无实数根”．
22.【答案】87.5 88 40
【解析】解：(1)九年级20名同学的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别为87、88，故中位数a=87+882=87.5；
八年级20名同学的成绩出现次数最多的是88，故众数b=88；
由题意可得m%=1−10%−15%−720×100%=40%，故m=40，
故答案为：87.5；88；40；
(2)九年级的成绩更好，因为两个年级的平均数相同，而九年级的成绩的中位数和众数均大于八年级；
(3)700×620+800×40%=210+320=530(人)，
答：估计两个年级参赛学生中成绩优秀(大于或等于90分)的学生共有530人．
(1)分别根据中位数和众数的定义可得a和b的值，用1分别减去其它三个等级所占百分比即可得出m的值；
(2)依据表格中平均数、中位数、众数，方差做出判断即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数、平均数的计算方法是正确解答的关键．
23.【答案】解：(1)∵抛物线顶点坐标为(4,4)，
∴设抛物线的解析式为y=a(x−4)2+4，
把(0,209)代入，得a=−19，
所以篮球运行路线所在抛物线的函数表达式为y=−19(x−4)2+4；
(2)①把x=7.3代入抛物线解析式得：y=−19(7.3−4)2+4=2.79，
∵2.79<3，
∴此球不能投中，小丽的判断是正确的；
②当y=3时，3=−19(x−4)2+4，
解得x=7或1(舍去)，
7.3−7=0.3(米)，
所以小明应该向前走0.3米才能命中篮圈中心；
(3)当y=3.19时，3.19=−19(x−4)2+4，
解得x=1.3或6.7，
∵6.7>4，
∴x=1.3，
答：他应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
【解析】(1)根据抛物线的顶点坐标及球出手时的坐标，可确定抛物线的解析式；
(2)①令x=7.3，求出y的值，与3m比较即可作出判断；②把y=3代入解析式求出x得值，再与7.3m比较；
(3)将y=3.19代入解析式，进而得出答案．
本题考查了二次函数解析式的求法及其实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．甲
乙
丙
丁
平均数
9.6
9.5
9.5
9.6
方差
0.25
0.25
0.27
0.27
项目
学习
卫生
纪律
活动参与
所占比例
40%
25%
25%
10%
学生
平均数
中位数
众数
方差
八年级
85.2
86
b
59.66
九年级
85.2
a
91
91.76

2023-2024学年江西省南昌外国语学校九年级（上）质检数学试卷（10月份）（含解析）

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