2023-2024学年安徽省合肥市包河区滨湖寿春中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省合肥市包河区滨湖寿春中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）(含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线y=−2x2+3的顶点为( )
A. (0,3)B. (−2,3)C. (2,3)D. (0,−3)
2.若反比例函数y=2−mx的图象在一、三象限，则m的值可以是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.两个相似三角形的相似比为1：2，较小的三角形的面积为4，则另一个三角形的面积为( )
A. 2B. 8C. 16D. 1
4.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正弦值是( )
A. 2
B. 12
C. 55
D. 2 55
5.一种精密零件长2毫米，把它画在图纸上，图上零件长10厘米，这张图纸的比例尺是( )
A. 1：500B. 500：1C. 1：50D. 50：1
6.如图，直线a/​/b/​/c，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是( )
A. ACCE=BDDF
B. ACAE=ABEF
C. CEAE=DFBF
D. AEAC=BFBD
7.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( )
A. B. C. D.
8.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③a−b+c>0；④m为任意实数，则a+b≥am2+bm，其中正确的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9.如图，OB交双曲线y=kx于点A，且OB：OA=5：3，若△ABC的面积是8，∠C=90°，且AC/​/x轴，则k的值是( )
A. 18
B. 36
C. 12
D. 2009
10.如图，点P是∠AOB内一动点，始终保持P0=3，以OP为角的一边作∠OPD=∠OPE，角的另一边分别交OA，OB于点D，点E.假设PD=x，PE=y，则当∠AOB+∠OPD=180°时，y与x之间的函数关系用图象大致可以表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.已知2024a=2023b，那么ab的值为______．
12.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=34，则csB=______．
13.如图，已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BF⊥BP，若在射线BF有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM=______．
14.已知二次函数y=ax2−2x−2(a为常数，a≠0)，点P(m,n)是该函数图象上一点．
(1)当a=2时，抛物线的对称轴是______．
(2)当0≤m≤2时，n≤−2，则a的取值范围是______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：4sin60°−6cs60°tan30°+sin245°．
16.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点(−3,0)，(2,−5)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该二次函数的与y轴的交点．
17.(本小题8分)
如图所示，已知AB/​/EF/​/CD，AC、BD相交于点E，BF=2cm，CF=4cm．
(1)若BE=3，求ED．
(2)若AB=3，求CD．
18.(本小题8分)
小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面点E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE=20米．当她与镜子的距离CE=2.5米时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B.已知她的眼睛距地面高度DC=1.6米，请你帮助小红测量出大楼AB的高度(注：入射角=反射角)．
19.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,−2)，B(2,−1)，C(4,−3)．
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
(3)设点P(a,b)为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是______．
20.(本小题10分)
如图，直线y=kx+b与双曲线y=mx(x<0)相交于A(−3,1)，B两点，与x轴相交于点C(−4,0)．
(1)分别求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)连接OA，OB，求△AOB的面积；
(3)直接写出当x<0时，关于x的不等式kx+b21.(本小题12分)
电商平台销售销售一种T恤衫，每件进价为100元.经过市场调查，该T恤衫每周的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足如下的一次函数关系：当销售单价为120元时，每周的销售量为80件；当销售单价为140元时，每周的销售量为40件．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)当销售单价定为多少时，该服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大？最大利润是多少？
22.(本小题12分)
已知：如图1，在矩形ABCD中，连接AC，作BG⊥AC，分别交边DC、AD的延长线于点F、E．
(1)求证：BC2=CF⋅CD；
(2)若DE=CD．
①求证：点F是CD的黄金分割点．
②如图2连接AF，求tan∠CAF的值．
23.(本小题14分)
已知如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，动点D、E分别在边AB，AC上，作∠EDF=45°，角的另一边交BC于点F．
(1)如图1，①求证：△EAD∽△DBF；②若EA=3，求CF的最小值．
(2)如图2，若点D是AB的中点，连接EF，求△CEF的周长．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=−2x2+3，
∴抛物线顶点坐标为(0,3)，
故选：A．
直接由抛物线解析式即可求得答案．
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴为x=h．
2.【答案】A
【解析】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，
∴2−m>0，
解得：m<2．
结合选项可知，只有1符合题意．
故选：A．
根据反比例函数的性质：反比例函数的图象位于第一、三象限，则可知系数2−m>0，解得m的取值范围即可．
本题主要考查反比例函数的性质，当k>0时，双曲线的两个分支在一，三象限，在每一分支上y随x的增大而减小；当k<0时，双曲线的两个分支在二，四象限，在每一分支上y随x的增大而增大．
3.【答案】C
【解析】解：∵两个相似三角形的相似比为1：2，
∴两个相似三角形的面积比为1：4，
∵较小三角形的面积为4，
∴较大三角形的面积为16．
故选：C．
根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可．
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，如图所示．
AB= BD2+AD2=3 2，BC= BD2+CD2= 10．
∵12AC⋅BD=12AB⋅CE，即12×2×3=12×3 2⋅CE，
∴CE= 2，
∴sin∠ABC=CEBC= 2 10= 55．
故选：C．
过点B作BD⊥AC于点D，过点C作CE⊥AB于点E，则BD=AD=3，CD=1，利用勾股定理可求出AB，BC的长，利用面积法可求出CE的长，再利用正弦的定义可求出∠ABC的正弦值．
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，利用面积法及勾股定理求出CE，BC的长度是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵10厘米=100毫米，
∴100：2=50：1，
∴这张图纸的比例尺是50：1．
故选：D．
比例尺=图上距离与实际距离的比，由此即可计算．
本题考查比例尺，关键是掌握比例尺的定义．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键．
利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
【解答】
解：∵a/​/b/​/c，
∴ACCE=BDDF，ACAE=BDBF，CEAE=DFBF，AEAC=BFBD，
∴选项A、C、D正确，
故选：B．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知，在△ABC中，∠ACB=135°，AC= 2，BC=2，
在B、C、D选项中的三角形都没有135°的角，而在A选项中，三角形的钝角为135°，它的两边分别为1和 2，
因为2 2= 21，所以A选项中的三角形与△ABC相似．
故选：A．
利用△ABC中，∠ACB=135°，AC= 2，BC=2，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对各选项进行判定．
此题考查了相似三角形的判定．注意两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
8.【答案】B
【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a<0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
所以abc<0．
故①错误，不符合题意．
②∵抛物线对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，即2a+b=0，
故②正确，符合题意；
③抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧，
∴当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
故③错误，不符合题意；
④a+b≥am2+bm，可以表示为：a+b+c≥am2+bm+c，
即x=1时，函数取得最大值，符合题意，
故④正确，符合题意；
故选：B．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
9.【答案】B
【解析】解：如图，作AD⊥x轴，垂足为点D，
∵AC/​/x轴，
∴∠AOD=∠BAC，
又∵∠ADO=∠BCA=90°，
∴△AOD∽△BAC，
∴S△AODS△BAC=AO2AB2，
∵OB：OA=5：3，
∴AOAB=32，
∴S△AODS△BAC=AO2AB2=94，
∵△ABC的面积是8，
∴S△AOD8=94，
∴S△AOD=18，
∴k=36．
故选：B．
作AD⊥x轴，得到△AOD∽△BAC，利用面积比等于相似比的平方求出S△AOD后可得k值．
本题考查了反比例函数k值的几何意义，求出S△AOD是关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB+∠OPD=180°，
∴∠AOP+∠BOP+∠OPD=180°．
∵∠AOP+∠ADP+∠OPD=180°，
∴∠BOP=∠ADP．
又∵∠OPD=∠OPE，
∴△ODP∽△EOP．
∴OPEP=DPOP．
∵P0=3，PD=x，PE=y，
∴3y=x3．
∴xy=9，
∴y=9x．
故选D．
根据所给条件可得△ODP∽△EOP，那么根据对应边成比例可得y与x的函数关系式．
本题考查动点问题的函数图象．根据题意判断出y与x所在三角形相似是解决本题的关键．
11.【答案】20232024
【解析】解：∵2024a=2023b，
∴ab=20232024，
故答案为：20232024．
根据比例的性质进行计算，即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
12.【答案】34
【解析】解：由∠C=90°，若sinA=34，
得csB=sinA=34，
故答案为：34．
根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
本题考查了互余两角的三角函数，利用一个角的余弦等于它余角的正弦是解题关键．
13.【答案】3，163
【解析】解：∵∠ABC=∠FBP=90°
∴∠ABP=∠CBF
当△ABP∽△MBC时，BM：AB=BC：BP，得BM=4×4÷3=163；
当△ABP∽△CBM时，BM：BP=CB：AB，得BM=4×3÷4=3
先确定相似三角形的一个对应角，得出△相似的两种可能，根据相似比求出BM的值．
本题关键是确定相似三角形的一个对应角，考查相似三角形的性质．
14.【答案】x=12 0【解析】解：(1)当a=2时，二次函数为y=2x2−2x−2，
∴x=−b2a=12，
故答案为：x=12；
(2)二次函数y=ax2−2x−2对称轴为直线x=−1a，
∵当x=0时，y=−2，
∴抛物线与y轴的交点为(0,−2)，
∵当0≤m≤2时，n≤−2，
∴当x=2时，y=4a−4−2≤−2，
解得：a<1，
∴0当a<0时，抛物线开口向下，
当0≤m≤2时，抛物线随x的增大而减小，n≤−2，
∵当x=0时，y=−2，则n≤−2恒成立，
综上所述，0故答案为：0(1)把a=2代入解析式，利用公式计算即可；
(2)根据抛物线解析式得出对称轴为直线x=1a，分a>0，a<0两种情况讨论，根据当0≤m≤2时，n≤−2，得出a的范围即可求解．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15.【答案】解：4sin60°−6cs60°tan30°+sin245°
=4× 32−6×12× 33+( 22)2
=2 3− 3+12
= 3+12．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)将(−3,0)和(2,−5)代入函数解析式得，
9a−3b+3=04a+2b+3=−5，
解得a=−1b=−2．
所以二次函数的表达式为y=−x2−2x+3．
(2)因为y=−x2−2x+3，
x=0时，y=3，
二次函数的与y轴的交点为(0,3)．
【解析】(1)将(−3,0)和(2,−5)代入函数解析式即可．
(2)由(1)中的解析式即可解决问题．
本题考查待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
17.【答案】解：(1)∵EF//CD，
∴BEDE=BFCF，
∴3DE=24，
∴DE=6cm；
(2)∵BF=2cm，CF=4cm，
∴BC=6cm，
∵AB//EF//CD，
∴△CEF∽△CAB，△BEF∽△BDC，
∴EFAB=CFBC,EFCD=BFBC，
∴EF3=46，
∴EF=2，
∴2CD=26，
∴CD=6cm．
【解析】(1))由EF//CD得BEDE=BFCF，进一步得出结果；
(2)根据AB/​/EF/​/CD得出△CEF∽△CAB，△BEF∽△BDC，从而EFAB=CFBC,EFCD=BFBC，先求得EF，进而求得结果．
本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
18.【答案】解：如图，
∵根据反射定律知：∠FEB=∠FED，
∴∠BEA=∠DEC
∵∠BAE=∠DCE=90°
∴△BAE∽△DCE
∴ABDC=AEEC；
∵CE=2.5米，DC=1.6米，
∴AB1.6=202.5；
∴AB=12.8
∴大楼AB的高为12.8米．
【解析】根据反射定律和垂直定义得到∠BAE=∠DCE，所以可得△BAE∽△DCE，再根据相似三角形的性质解答．
本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
19.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作；
(3)(2a,−2b)．
【解析】【分析】
本题考查了作图−位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为(先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形)．
(1)利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
(2)利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
(3)利用(2)中的坐标变换规律求解．
【解答】
解：(1)(2)见答案；
(3)点P的对应点P2的坐标是(2a,−2b)．
故答案为(2a,−2b)．
20.【答案】解：(1)将A(−3,1)，C(−4,0)代入y=kx+b，
得−3k+b=1−4k+b=0，
解得：k=1b=4，
∴一次函数的解析式为y=x+4，
将A(−3,1)代入y=mx(x<0)，
得m=−3，
∴反比例的解析式为y=−3x(x<0)；
(2)∵直线AC的解析式为y=x+4与y轴交点D，
∴点D的坐标为(0,4)，
由y=x+4y=−3x，
解得x=−3y=1或x=−1y=3，
∴点B的坐标为(−1,3)，
∴△AOB的面积=S△AOD−S△BOD=12×4×3−12×4×1=4；
(3)x<−3或−1【解析】【分析】
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强．
(1)将已知点坐标代入函数表达式，即可求解；
(2)两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据∴△AOB的面积=S△AOD−S△BOD即可以解决问题；
(3)根据图象即可解决问题．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)见答案；
(3)观察图象，当x<0时，关于x的不等式kx+b故答案为x<−3或−121.【答案】解：(1)由题意，设y与x的关系式为y=kx+b，
把(120,80)与(140,40)代入，
得：120k+b=80140k+b=40，解得：k=−2b=320，
∴y与x之间的函数关系式为y=−2x+320．
(2)由题意可得：
w=(x−100)(−2x+320)
=−2x2+520x−32000
=−2(x−130)2+1800．
∵−2<0，
∴当x=130时，w最大，w最大=1800(元)．
答：销售单价定为130元时，服装店每周销售这种T恤衫所获得的利润最大，最大利润是1800元．
【解析】(1)依据题意，利用待定系数法求解可得；
(2)依据题意，根据所获得总利润=每件利润×销售数量列出函数解析式，配方成顶点式可得答案．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据销售问题中关于利润的相等关系列出函数解析式及二次函数的性质．
22.【答案】(1)证明：如图1，∵四边形ABCD是矩形，
∴DA=BC，∠BCF=∠CDA=90°，
∵BG⊥AC，
∴∠BGC=90°，
∴∠CBF=∠DCA=90−∠ACB，
∴△BDF∽△CDA，
∴BCCD=CFDA，
∴BCCD=CFBC，
∴BC2=CF⋅CD．
(2)①证明：如图2，∵∠DAB=∠ABC=∠ADC=∠AGE=90°，
∴∠EDF=90°，∠E=∠BAC=90°−∠DAC，
∴∠EDF=∠ABC，
∵DE=CD，BA=CD，
∴DE=BA，
在△EDF和△ABC中，
∠EDF=∠ABCDE=BA∠E=∠BAC，
∴△EDF≌△ABC(ASA)，
∴DF=BC，
∵AD/​/BC，
∴∠E=∠FBC，
∴CFBC=tan∠FBC=tanE=DFDE，
∴CFDF=DFCD，
∴点F是CD的黄金分割点．
②解：如图2，∵∠CGF=∠BCF=90°，∠GCF=∠CBF=90°−∠ACB，
∴FGCG=tan∠GCF=tan∠CBF=CFBC=CFDF= 5−12，
∴FG= 5−12CG，
∵DFCD= 5−12，
∴DF= 5−12CD，
∴CF=CD−DF=CD− 5−12CD=3− 52CD，
∴CFAB=CFCD=3− 52CDCD=3− 52，
∵CF/​/AB，
∴△CFG∽△ABG，
∴CGAG=CFAB=3− 52，
∴AG=3+ 52CG，
∵∠AGF=90°，
∴tan∠CAF=FGAG= 5−12CG3+ 52CG= 5−2，
∴tan∠CAF的值为 5−2．
【解析】(1)由矩形的性质得DA=BC，∠BCF=∠CDA=90°，由BG⊥AC，得∠BGC=90°，则∠CBF=∠DCA=90−∠ACB，所以△BDF∽△CDA，得BCCD=CFDA，即可证明BC2=CF⋅CD；
(2)①由∠ADC=90°，得∠EDF=90°，所以∠EDF=∠ABC，而∠E=∠BAC=90°−∠DAC，DE=CD=BA，可证明△EDF≌△ABC，得DF=BC，由CFBC=tan∠FBC=tanE=DFDE，得CFDF=DFCD，则点F是CD的黄金分割点；
②由FGCG=tan∠GCF=tan∠CBF=CFBC=CFDF= 5−12，求得FG= 5−12CG，由DFCD= 5−12，得DF= 5−12CD，则CF=CD−DF=3− 52CD，再证明△CFG∽△ABG，得CGAG=CFAB=CFCD=3− 52，则AG=3+ 52CG，即可求得tan∠CAF=FGAG= 5−2．
此题重点考查矩形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、黄金分割、锐角三角函数与解直角三角形等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．
23.【答案】(1)①证明：在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，
∴∠A=∠B=45°，
∴∠ADE+∠AED=180°−∠A=135°，
∵∠EDF=45°，
∴∠ADE+∠BDF=180°−∠EDF=135°，
∴∠AED=∠BDF，
∴△EAD∽△DBF；
②解：在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB=4，
由勾股定理得：AB=√ CA2+CB2=4 2，
设AD=x，则BD=AB−AD=4 2−x，
由①可知：△EAD∽△DBF，
∴EA：AD=BD：BF，
又∵EA=3，
即3：x=(4 2−x)：BF，
∴BF=−13(x2−4 2x)，
∴CF=BC−BF=4+13(x2−4 2x)=13(x−2 2)2+43，
∵13(x−2 2)2≥0，
∴13(x−2 2)3+43≥43，
∴当x=2 2时，13(x−2 2)2+43有最小值，最小值为43，
∴CF的最小值为43；
(2)解：由(1)②可知：AB=4 2，
∵点D是AB的中点，
∴AD=BD=12AB=2 2，
由(1)②可知：当AD=x=2 2时，CF=43，
∴BF=BC−CF=4−43=83，
由(1)①可知：△EAD∽△DBF，
∴AE：BD=AD：BF，
即AE：2 2=2 2：83，
∴AE=3，
∴CE=AC−AE=4−3=1，
在Rt△CEF中，CE=1，CF=43，
由勾股定理得：EF= CE2+CF2=53，
∴CE+CF+EF=1+43+53=4．
∴△CEF的周长为4．
【解析】(1)①先根据等腰直角三角形的性质得∠A=∠B=45°，进而得∠ADE+∠AED=135°，再根据∠EDF=45°得∠ADE+∠BDF=135°，进而得∠AED=∠BDF，据此即可得出结论；
②先求出AB=4 2，设AD=x，则BD=4 2−x，由△EAD和△DBF相似得EA：AD=BD：BF，进而得BF=−13(x2−4 2x)，则CF=13(x−2 2)2+43，据此可得CF的最小值；
(2)根据点D是AB的中点得AD=BD=2 2，由(1)②可知当AD=x=2 2时，CF=43，进而得BF=8/3，再由△EAD和△DBF相似得AE：BD=AD：BF，进而得AE=3，则CE=AC−AE=1，再由勾股定理求出EF=53，据此可得△CEF的周长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质，理解等腰直角三角形的性质，灵活运用相似三角形的性质和勾股定理进行计算是解决问题的关键．