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浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题（学生版）
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这是一份浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题（学生版），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
2. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A. 3B. 2C. 4D. 5
3. 已知向量，，若实数λ满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 正四面体棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正切函数是周期函数，最小正周期为π
B. 正切函数的图象是不连续的
C. 直线是正切曲线渐近线
D. 把的图象向左、右平行移动个单位，就得到的图象
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥．
B. 若，且，则事件A与事件B不是独立事件．
C. 若事件A，B，C两两独立，则．
D. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立．
11. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为的中点，直线交于点，则（ ）
A. 点在直线上B. 是的中点
C. D. 轴
12. 已知函数，，则（ ）
A. 当时，有2个零点
B. 当时，有2个零点
C. 存在，使得有3个零点
D. 存在，使得有5个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项是120，则实数______．
14. 若数列满足，则__________.
15. 半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为______．
16. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）作角A的平分线与交于点，且，求.
19. 如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，点是边的中点，点在边上，且．以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接．
（1）若是线段中点，求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：等比数列；
（ii）证明：当时，.
21. 已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．
22. 函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，若，求证：；
（3）求证：对于任意都有.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 已知复数，则（ ）
A. 0B. 1C. D.
2. 已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A. 3B. 2C. 4D. 5
3. 已知向量，，若实数λ满足，则（ ）
A. B. C. D. 1
4. 已知，，，则下列结论错误的为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 已知某物种年后的种群数量近似满足函数模型：（，当时表示2023年初的种群数量）.自2023年初起，经过年后，当该物种的种群数量不足2023年初的时，的最小值为（参考数据：）（ ）
A. 16B. 17C. 18D. 19
6. 已知数列满足，，令．若数列是公比为2的等比数列，则（ ）
A. B. C. D.
7. 正四面体棱长为，点，是它内切球球面上的两点，为正四面体表面上的动点，当线段最长时，的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上不与左右顶点重合的任意一点，，分别为的内心和重心，当轴时，椭圆的离心率为
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 正切函数是周期函数，最小正周期为π
B. 正切函数的图象是不连续的
C. 直线是正切曲线渐近线
D. 把的图象向左、右平行移动个单位，就得到的图象
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 事件A与事件B互斥，则它们的对立事件也互斥．
B. 若，且，则事件A与事件B不是独立事件．
C. 若事件A，B，C两两独立，则．
D. 从2个红球和2个白球中任取两个球，记事件{取出两个球均为红色}，{取出的两个球颜色不同}，则A与B互斥而不对立．
11. 已知抛物线的焦点为，经过点的直线与交于两点，且抛物线在两点处的切线交于点，为的中点，直线交于点，则（ ）
A. 点在直线上B. 是的中点
C. D. 轴
12. 已知函数，，则（ ）
A. 当时，有2个零点
B. 当时，有2个零点
C. 存在，使得有3个零点
D. 存在，使得有5个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 展开式中的常数项是120，则实数______．
14. 若数列满足，则__________.
15. 半径为R的球的内接正三棱柱的侧面积（各侧面面积之和）的最大值为______．
16. 对任意，函数恒成立，则a的取值范围为___________．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
17. 已知在等差数列中，，，是数列的前项和，且满足.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角A；
（2）作角A的平分线与交于点，且，求.
19. 如图所示，已知是以为斜边的等腰直角三角形，点是边的中点，点在边上，且．以为折痕将折起，使点到达点的位置，且平面平面，连接．
（1）若是线段中点，求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
20. 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
（1）求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
（2）记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：等比数列；
（ii）证明：当时，.
21. 已知为双曲线上异于左、右顶点的一个动点，双曲线的左、右焦点分别为，且．当时，的最小内角为．
（1）求双曲线的标准方程．
（2）连接，交双曲线于另一点，连接，交双曲线于另一点，若．
①求证：为定值；
②若直线AB的斜率为−1，求点P的坐标．
22. 函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，若，求证：；
（3）求证：对于任意都有.
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