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初中数学青岛版七年级下册13.2 多边形教学演示ppt课件
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这是一份初中数学青岛版七年级下册13.2 多边形教学演示ppt课件，共60页。PPT课件主要包含了2多边形，对角线，正方形正四边形，正五边形，正六边形，正八边形，如下图，多边形的外角和，习题132等内容，欢迎下载使用。
观察下图，你能说出这些图形有什么共同特征吗?
平面内，若干条线段首尾顺次相接，且有公共端点的线段不在同一条直线上，这样得到的图形叫做多边形. 组成多边形的各条线段叫做多边形的边，它们的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
一个多边形有四条边，叫做四边形； 有五条边，叫做五边形；
一般地，有n条边，叫做n边形(n是大于2的整数).
观察上图，思考下面的问题：
(1) 把图中四边形、五边形和六边形的顶点分别用字母表示出来，然后分别读出这些多边形，说出这些多边形的每条边和每个角；
三边形习惯上叫做三角形，它是边数最少的多边形.
(2) 对于一个n边形来说，它的边数、顶点个数和角的个数分别是多少?
(3) 分别连接图中四边形、五边形、六边形不相邻的任意两个顶点，得到哪些线段?
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(4) 数一数，四边形一共有几条对角线?五边形呢?六边形呢?
分别度量图中每个多边形的边和角，你发现它们具有什么特点?
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正三角形(等边三角形 )
你能用若干个(个数不限)同样大小的含 45°的三角尺拼成四边形吗?这些四边形内角度数有几种不同情况?试一试.
两个同样大小的含45°的三角形尺能拼成一个正方形或一个平行四边形，
正方形的四个角都是90°平行四边形的内角为45°和135°故拼成的四边形内角度数有90°、45°135°三种情况
多边形有两类：一类是凸多边形，它的每个内角都小于 180°例如我们认识的三角形、平行四边形、梯形、正多边形都是凸多边形；另一类是凹多边形，它的内角中至少有一个大于180°.
如图是一面锦旗的图片，它是一个凹五边形.你能找出它的哪个内角大于180°吗? 五角星形是凹多边形吗? 你能分别画出一个凹四边形和凹六边形吗? 试试看.
1. 举出生活中多边形的实例.
多边形：由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形. 生活中的多边形有被套、餐桌、地砖等.
2. 图中的多边形是几边形?说出它的边、顶点与内角.
3. 如图，画出正五边形ABCDE的所有对角线.
(1) 一个正方形的内角和是多少度?一个长方形呢?
一个正方形的内角和是360°，一个长方形的内角和是360°；
(2) 在纸上任意画出一个四边形 ABCD .将四边形的四个内角剪下来 ，
并将剪下来的各个内角按中图所示的方式拼在一起，你有什么发现?
在图中∠1，∠2，∠3，∠4有公共的顶点，相邻的角有一条公共边，它们恰好拼成了一个周角，所以四边形ABCD的内角和是360°
(3) 除了利用上面的实验方法外，利用三角形的内角和的性质，能说明四边形的内角和是360°吗?
为了解决问题的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线. 辅助线通常画成虚线.
如图，在一个任意的四边形ABCD内任取一点O， 连接AO，BO、CO、DO， 得到△OAB，△OBC，△OCD和△ODA.
这四个三角形所有内角之和为 4 × 180°，比四边形ABCD的内角和多出了以O为顶点的四个角之和，即360°.
从而，可以得出任意四边形的内角和等于：4×180°－360°＝ 360°.
(4) 用上面的方法，你能求出任意五边形的内角和吗?
(5) 如果O是n边形A1A2A3 ··· An－1An内的一点连接 OA1，OA2，···，OAn－1，OAn， 你能利用△OA1A2，△OA2A3，···，△OAn－1An，△OAnA1 的所有内角的度数之和，推导出n边形A1A2A3 ··· An－1An 的内角和吗?与同学交流.
n边形的内角和等于(n－ 2)·180°
你还记得什么是三角形的外角吗?三角形外角的意义可以推广到多边形上.
多边形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做多边形的外角.
任意画出一个四边形ABCD.思考下面的问题： (1) 从四边形ABCD的任意一个顶点 (例如顶点C)处，画四边形的外角. 你能画出几个?它们具有什么位置关系和数量关系?
(2) 四边形ABCD共有多少个外角?
(3) 四边形ABCD的一个外角跟与它相邻的内角有什么数量关系?
(4) 如图 ，在四边形ABCD的每个顶点处分别画出它的一个外角这些外角的和是多少?你是怎样得到这个结果的?五边形呢?六边形呢?
四边形ABCD的每个外角都与相邻的内角组成一个平角. 四边形有4个内角，组成的四个平角的和是4×180°. 再减去四边形的内角和360°，因此这4个外角的和为360°.
一般地，在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角， 这些外角的和叫做多边形的外角和.
如图所示，∠1， ∠2，∠3，∠4的和就是四边形ABCD的外角和四边形的外角和等于360°.
(5) n边形的外角和是多少?说明你的理由.
n边形的每一个内角跟与它相邻的一个外角都组成一个平角，n边形有n个内角，所以，这些平角的和为n·180°，其中所有内角的和为 (n－2)·180°，因此n边形的外角和为：
n·180°－(n － 2)·180° ＝ n·180°－n·180°＋2×180°＝360°
多边形的外角和等于360°.
任意多边形的内角中，最多有几个锐角?说明理由.
由于n边形外角和为360°，则外角中至多有三个钝角，因此n边形内角中最多有三个锐角.
1. 分别计算九边形、十二边形、二十边形的内角和.
九边形的内角和为：(9－2) ×180°＝1260°十二边形的内角和为：(12－2) ×180°＝1800°二十边形的内角和为：(20－2) ×180°＝3240°.
2. 求正八边形的每个内角与每个外角的度数.
每个内角为135°，每个外角为45°.
1. 把n边形内的任意一点与各顶点相连接，这些线段把n边形分成多少个三角形?把n边形一边上的任意一点(不是顶点)与其他边上的各顶点相连接，这些线段把n边形分成多少个三角形?
把n边形内的任意一点与各顶点相连接这些线段把n边形分成(n－2)个三角形； 把n边形一边上的任意一点(不是顶点)与其他边上的各顶点相连接这些线段把n边形分成(n－1)个三角形.
2. 如果一个多边形从一个顶点出发的对角线把这个多边形分成6个三角形，这个多边形是几边形?
设这个多边形的边数是n，由题意得，n－2＝6.解答n＝8.答：这个多边形是八边形.
3.下面的说法正确吗?如果不正确，你能用一个例子作出说明吗? (1) 如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形；
如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形，说法错误，菱形的各边都相等，但菱形不是正多边形；
(2) 如果一个多边形的所有内角都相等，那么它是正多边形.
如果一个多边形的所有内角都相等，那么它是正多边形，说法错误，矩形的四个角都是直角但矩形不是正多边形.
4. 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角各是多少度?
根据多边形的内角和公式可得： 正三角形的内角和为： (3－2) ×180°＝180°， ∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°
正方形的内角和为：(4－2) ×180°＝360°， ∴正方形的每一个内角为360°÷4＝90°；正五边形的内角和为：(5－2) ×180°＝540°， ∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°；正六边形的内角和为：(6－2) ×180°＝720°， ∴正六边形的每一个内角为720°÷6＝120°.
5. 一个多边形的内角和为 2700°，求它的边数.
设这个多边形的边数为n.由题意得：(n－2) ×180°＝2700°解得 n＝17.即这个多边形的边数为17.
6. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形?
设这个多边形的边数为n.由题意得：(n－2) ×180°＝360°解得n＝4.即这个多边形是四边形。
7. 如图，五角星中含有几个五边形? 几个四边形?几个三角形?把它们分别表示出来.
8. 能不能找出一个多边形，使它的每一个内角都是与它相邻外角的3倍?
能，这个多边形是正八边形.每一个外角的度数：180°÷4＝45°，360÷45＝8.这个多边形是正八边形
9. (1) 四边形ABCD中，从顶点A引对角线AC，将四边形分为几个三角形? 这几个三角形所有内角之和与四边形内角之和有什么关系?
由图形可知，从顶点A引对角线AC，将四边形分成2个三角形，这2个三角形所有内角和等于四边形内角之和；
(2) 五边形ABCDE中，过顶点A最多能引几条对角线? 它们将五边形分为几个三角形?这几个三角形所有内角之和与五边形内角之和有什么关系?
五边形ABCDE中，从顶点A最多能引2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，这3个三角形所有内角和等于五边形内角之和；
(3) 过n边形的任意一个顶点最多可引几条对角线?它们将n边形分为几个三角形这几个三角形所有内角之和与n边形内角之和有什么关系?由此你能得出n边形内角之和的公式吗?试一试.
过n边形的任意一个顶点最多可以 (n－3)条对角线，它们将n边形分为 (n－2) 个三角形，这(n－2)个三角形所有内角之和等于n边形内角之和，由此可得出n边形内角之和的公式为 (n－2)×180°
10. 四边形的边比三角形的边多了一条，内角和多了多少度? 五边形的边比四边形的边多了一条，内角和多了多少度?由此可以推测，多边形的边每多一条，内角和多了多少度?说明你的理由.
四边形的边比三角形的边多了一条，内角和多了 360°－180°＝180°，
五边形的边比四边形的边多了一条，内角和多了540°－360°＝180°， 由此可以推测，多边形的边每多一条，内角和多了180°，∵多边形的内角和为： (n－2)×180°.∴若多边形边数每多一条，则它的内角和多了 (n＋1－2) ×180°－ (n－2) ×180＝180°.
观察下图，你能说出这些图形有什么共同特征吗?
平面内，若干条线段首尾顺次相接，且有公共端点的线段不在同一条直线上，这样得到的图形叫做多边形. 组成多边形的各条线段叫做多边形的边，它们的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.
一个多边形有四条边，叫做四边形； 有五条边，叫做五边形；
一般地，有n条边，叫做n边形(n是大于2的整数).
观察上图，思考下面的问题：
(1) 把图中四边形、五边形和六边形的顶点分别用字母表示出来，然后分别读出这些多边形，说出这些多边形的每条边和每个角；
三边形习惯上叫做三角形，它是边数最少的多边形.
(2) 对于一个n边形来说，它的边数、顶点个数和角的个数分别是多少?
(3) 分别连接图中四边形、五边形、六边形不相邻的任意两个顶点，得到哪些线段?
连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
(4) 数一数，四边形一共有几条对角线?五边形呢?六边形呢?
分别度量图中每个多边形的边和角，你发现它们具有什么特点?
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正三角形(等边三角形 )
你能用若干个(个数不限)同样大小的含 45°的三角尺拼成四边形吗?这些四边形内角度数有几种不同情况?试一试.
两个同样大小的含45°的三角形尺能拼成一个正方形或一个平行四边形，
正方形的四个角都是90°平行四边形的内角为45°和135°故拼成的四边形内角度数有90°、45°135°三种情况
多边形有两类：一类是凸多边形，它的每个内角都小于 180°例如我们认识的三角形、平行四边形、梯形、正多边形都是凸多边形；另一类是凹多边形，它的内角中至少有一个大于180°.
如图是一面锦旗的图片，它是一个凹五边形.你能找出它的哪个内角大于180°吗? 五角星形是凹多边形吗? 你能分别画出一个凹四边形和凹六边形吗? 试试看.
1. 举出生活中多边形的实例.
多边形：由三条或三条以上的线段首尾顺次连接所组成的平面图形. 生活中的多边形有被套、餐桌、地砖等.
2. 图中的多边形是几边形?说出它的边、顶点与内角.
3. 如图，画出正五边形ABCDE的所有对角线.
(1) 一个正方形的内角和是多少度?一个长方形呢?
一个正方形的内角和是360°，一个长方形的内角和是360°；
(2) 在纸上任意画出一个四边形 ABCD .将四边形的四个内角剪下来 ，
并将剪下来的各个内角按中图所示的方式拼在一起，你有什么发现?
在图中∠1，∠2，∠3，∠4有公共的顶点，相邻的角有一条公共边，它们恰好拼成了一个周角，所以四边形ABCD的内角和是360°
(3) 除了利用上面的实验方法外，利用三角形的内角和的性质，能说明四边形的内角和是360°吗?
为了解决问题的需要，在原来图形上添画的线叫做辅助线. 辅助线通常画成虚线.
如图，在一个任意的四边形ABCD内任取一点O， 连接AO，BO、CO、DO， 得到△OAB，△OBC，△OCD和△ODA.
这四个三角形所有内角之和为 4 × 180°，比四边形ABCD的内角和多出了以O为顶点的四个角之和，即360°.
从而，可以得出任意四边形的内角和等于：4×180°－360°＝ 360°.
(4) 用上面的方法，你能求出任意五边形的内角和吗?
(5) 如果O是n边形A1A2A3 ··· An－1An内的一点连接 OA1，OA2，···，OAn－1，OAn， 你能利用△OA1A2，△OA2A3，···，△OAn－1An，△OAnA1 的所有内角的度数之和，推导出n边形A1A2A3 ··· An－1An 的内角和吗?与同学交流.
n边形的内角和等于(n－ 2)·180°
你还记得什么是三角形的外角吗?三角形外角的意义可以推广到多边形上.
多边形一个角的一边与另一边的反向延长线所组成的角，叫做多边形的外角.
任意画出一个四边形ABCD.思考下面的问题： (1) 从四边形ABCD的任意一个顶点 (例如顶点C)处，画四边形的外角. 你能画出几个?它们具有什么位置关系和数量关系?
(2) 四边形ABCD共有多少个外角?
(3) 四边形ABCD的一个外角跟与它相邻的内角有什么数量关系?
(4) 如图 ，在四边形ABCD的每个顶点处分别画出它的一个外角这些外角的和是多少?你是怎样得到这个结果的?五边形呢?六边形呢?
四边形ABCD的每个外角都与相邻的内角组成一个平角. 四边形有4个内角，组成的四个平角的和是4×180°. 再减去四边形的内角和360°，因此这4个外角的和为360°.
一般地，在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角， 这些外角的和叫做多边形的外角和.
如图所示，∠1， ∠2，∠3，∠4的和就是四边形ABCD的外角和四边形的外角和等于360°.
(5) n边形的外角和是多少?说明你的理由.
n边形的每一个内角跟与它相邻的一个外角都组成一个平角，n边形有n个内角，所以，这些平角的和为n·180°，其中所有内角的和为 (n－2)·180°，因此n边形的外角和为：
n·180°－(n － 2)·180° ＝ n·180°－n·180°＋2×180°＝360°
多边形的外角和等于360°.
任意多边形的内角中，最多有几个锐角?说明理由.
由于n边形外角和为360°，则外角中至多有三个钝角，因此n边形内角中最多有三个锐角.
1. 分别计算九边形、十二边形、二十边形的内角和.
九边形的内角和为：(9－2) ×180°＝1260°十二边形的内角和为：(12－2) ×180°＝1800°二十边形的内角和为：(20－2) ×180°＝3240°.
2. 求正八边形的每个内角与每个外角的度数.
每个内角为135°，每个外角为45°.
1. 把n边形内的任意一点与各顶点相连接，这些线段把n边形分成多少个三角形?把n边形一边上的任意一点(不是顶点)与其他边上的各顶点相连接，这些线段把n边形分成多少个三角形?
把n边形内的任意一点与各顶点相连接这些线段把n边形分成(n－2)个三角形； 把n边形一边上的任意一点(不是顶点)与其他边上的各顶点相连接这些线段把n边形分成(n－1)个三角形.
2. 如果一个多边形从一个顶点出发的对角线把这个多边形分成6个三角形，这个多边形是几边形?
设这个多边形的边数是n，由题意得，n－2＝6.解答n＝8.答：这个多边形是八边形.
3.下面的说法正确吗?如果不正确，你能用一个例子作出说明吗? (1) 如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形；
如果一个多边形的各边都相等，那么它是正多边形，说法错误，菱形的各边都相等，但菱形不是正多边形；
(2) 如果一个多边形的所有内角都相等，那么它是正多边形.
如果一个多边形的所有内角都相等，那么它是正多边形，说法错误，矩形的四个角都是直角但矩形不是正多边形.
4. 正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一个内角各是多少度?
根据多边形的内角和公式可得： 正三角形的内角和为： (3－2) ×180°＝180°， ∴正三角形的每一个内角为180°÷3＝60°
正方形的内角和为：(4－2) ×180°＝360°， ∴正方形的每一个内角为360°÷4＝90°；正五边形的内角和为：(5－2) ×180°＝540°， ∴正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°；正六边形的内角和为：(6－2) ×180°＝720°， ∴正六边形的每一个内角为720°÷6＝120°.
5. 一个多边形的内角和为 2700°，求它的边数.
设这个多边形的边数为n.由题意得：(n－2) ×180°＝2700°解得 n＝17.即这个多边形的边数为17.
6. 一个多边形的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形?
设这个多边形的边数为n.由题意得：(n－2) ×180°＝360°解得n＝4.即这个多边形是四边形。
7. 如图，五角星中含有几个五边形? 几个四边形?几个三角形?把它们分别表示出来.
8. 能不能找出一个多边形，使它的每一个内角都是与它相邻外角的3倍?
能，这个多边形是正八边形.每一个外角的度数：180°÷4＝45°，360÷45＝8.这个多边形是正八边形
9. (1) 四边形ABCD中，从顶点A引对角线AC，将四边形分为几个三角形? 这几个三角形所有内角之和与四边形内角之和有什么关系?
由图形可知，从顶点A引对角线AC，将四边形分成2个三角形，这2个三角形所有内角和等于四边形内角之和；
(2) 五边形ABCDE中，过顶点A最多能引几条对角线? 它们将五边形分为几个三角形?这几个三角形所有内角之和与五边形内角之和有什么关系?
五边形ABCDE中，从顶点A最多能引2条对角线，它们将五边形分成3个三角形，这3个三角形所有内角和等于五边形内角之和；
(3) 过n边形的任意一个顶点最多可引几条对角线?它们将n边形分为几个三角形这几个三角形所有内角之和与n边形内角之和有什么关系?由此你能得出n边形内角之和的公式吗?试一试.
过n边形的任意一个顶点最多可以 (n－3)条对角线，它们将n边形分为 (n－2) 个三角形，这(n－2)个三角形所有内角之和等于n边形内角之和，由此可得出n边形内角之和的公式为 (n－2)×180°
10. 四边形的边比三角形的边多了一条，内角和多了多少度? 五边形的边比四边形的边多了一条，内角和多了多少度?由此可以推测，多边形的边每多一条，内角和多了多少度?说明你的理由.
四边形的边比三角形的边多了一条，内角和多了 360°－180°＝180°，
五边形的边比四边形的边多了一条，内角和多了540°－360°＝180°， 由此可以推测，多边形的边每多一条，内角和多了180°，∵多边形的内角和为： (n－2)×180°.∴若多边形边数每多一条，则它的内角和多了 (n＋1－2) ×180°－ (n－2) ×180＝180°.
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