专题07二次函数的应用最新模拟50道押题预测（销售、分段、投球、喷水、拱桥）-【临考预测】2023中考数学重难题型押题培优【全国通用】

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（销售、分段、投球、喷水、拱桥）
类型一、二次函数的应用：销售问题
1．（2023·广西南宁·校考一模）某商店购进一批清洁剂，每瓶进价为20元，出于营销考虑，要求每瓶清洁剂的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该清洁剂每周的销售量y（瓶）与每瓶清洁剂的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为23元时，销售量为34瓶；当销售单价为25元时，销售量为30瓶．
(1)求出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)设该商店每周销售这种清洁剂所获得的利润为w元，将该清洁剂销售单价定为多少元时，才能使商店销售该清洁剂所获利润最大？最大利润是多少？
2．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）一人一盔安全守规，一人一带平安常在！某摩托车配件店经市场调查，发现进价为40元的新款头盔每月的销售量y(件)与售价x(元)的相关信息如下：
(1)试用你学过的函数来描述与x的关系，这个函数可以是 (填“一次函数”或“二次函数”)，写出这个函数解析式为 ．
(2)若获利不得高于进价的80%，那么售价定为多少元时，月销售利润达到最大？
3．（2023·广东茂名·统考一模）我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
4．（2023·河南周口·校联考一模）受2022年卡塔尔世界杯的影响，全世界范围内掀起了踢足球热潮，值此时机，某足球生产厂商推出了一款成本为50元的足球，物价部门规定，该产品利润率不得高于100%，经调查，该产品的日销量 （个)与售价x（元)(x>50)之间满足一次函数关系．关于日销量与售价的几组对应值如下：
(1)求日销量y（个）与售价x（元）之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)①请写出每天销售总利润w（元）与售价x（元）之间的函数关系式；
②如果厂商请你帮忙定价，售价定为多少元可使每天总利润最大？最大利润是多少？
5．（2023·黑龙江大庆·校考一模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过50万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图像是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图像是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）
(1)直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式 ， （不必写出自变量的取值范围）；
(2)求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？
(3)由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过80万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？
6．（2023·北京海淀·人大附中校考一模）为指导菜农生产和销售某种蔬菜，小明进行了如下调查，得到某种蔬菜的售价x（元/千克）与相应需求量p（千克）以及供给量q（千克）的数据，如下表：
(1)观察表中的数据，小明发现：供给量q（千克）与售价x（元/千克）之间满足______函数关系（横线上填“一次”、“二次”或“反比例”），它的函数表达式为______；
(2)为了研究这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间的关系，小明在坐标系中，以售价为横坐标、相应需求量为纵坐标描出下列四个点，将其用平滑曲线连线，如图．通过再图观察，小明发现这种蔬菜的需求量p（千克）与售价x（元/千克）之间满足二次函数关系，并进一步确定它的函数表达式满足p=ax2+c的形式，请求出p关于x关于的函数表达式．
(3)为使这种蔬菜供需平衡（即供给量与需求量相等），售价应定为多少？
7．（2023·湖北孝感·校考一模）中考临近，某中学食堂为提高全体初三学子伙食，精心购买A、B两种食材共600kg，A食材的价格为每千克5元，当B食材购买量不大于300kg时，B食材的价格为每千克9元，当B食材购买量大于300kg时，每增加10kg，B食材的价格降低0.1元．设购买B种食材xkg（x为10的整数倍）．
(1)若x<300，购买A、B两种食材共花了3800元，求A、B两种食材各多少千克？
(2)若x>300，且购买A食材的数量不少于B食材数量的一半，求购买A种食材多少千克时，购买的总费用最少，最少总费用是多少元？
(3)若购买A食材不超过mkg(m<250)，购买B食材超过300kg，商家获得的最大销售额为4000元，求m的值．
8．（2023·广东佛山·统考一模）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套
(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？
(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？
9．（2023·安徽淮北·淮北一中校联考一模）某商场试销一款玩具，进价为20元/件，商场与供货商约定，试销期间利润不高于30%，且同一周内售价不变．从试销记录看到，当售价为22元时，一周销售了80件该玩具；当售价为24元时，一周销售了60件该玩具．每周销量y（件）与售价x（元）符合一次函数关系．
(1)求每周销量y（件）与售价x（元）之间的关系式；
(2)若商场一周内销售该玩具获得的利润为210元，则该玩具的售价为多少元?
(3)商场将该玩具的售价定为多少时，一周内销售该玩具获得利润最大?最大利润W为多少元?
10．（2023·陕西西安·模拟预测）一食品店平均每天可卖出300个某种甜点，卖出1个甜点的利润是1元，经调查发现，零售单价每下降0.1元，每天可多卖出100个甜点，为了使每天获得的利润更多，该店决定把零售单价下降m(0(1)零售单价下降0.2元后，该店平均每天可卖出______个甜点，利润是______元；
(2)在不考虑其它因素的条件下，当m定为多少元时，才能使该店每天获得的利润是420元，并且卖出的甜点更多；
(3)若使该店每天获取的利润最大，m应定为多少元？并求出此时的最大利润．
类型二、二次函数的应用：分段问题
11．（2023·河北保定·校考模拟预测）东东在网上销售一种成本为30元/件的T恤衫，销售过程中的其他各种费用（不再含T恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x（元/件），销售量为y（百件），当40≤x≤60时，y与x之间满足一次函数关系，且当x=40时，y=6，有关销售量y（百件）与销售价格x（元/件）的相关信息如表：
(1)求当40≤x≤60时，y与x的函数关系式；
(2)①求销售这种T恤衫的纯利润w(百元)与销售价格x(元/件)的函数关系式；
②销售价格定为每件多少元时，获得的利润最大？最大利润是多少？
12．（2023·湖北咸宁·校联考一模）李丽大学毕业后回家乡创业，开了一家服装专卖店代理品牌服装的销售．已知该品牌服装进价每件40元，日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的关系如图所示（实线），每天付员工的工资每人82元，每天应支付其他费用106元．
(1)直接写出日销售y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
(2)当某天的销售价为48元/件时，收支恰好平衡（收入=支出），求该店员工人数；
(3)若该店只有2名员工，则每天能获得的最大利润是多少元?此时，每件服装的价格应定为多少元?
13．（2023·湖北孝感·统考一模）某商场销售的一种商品的进价为30元/件，连续销售120天后，统计发现：在这120天内，该商品每天的销售价格x（元/件）与时间t（第t天）之间满足如图所示的函数关系，该商品的日销售量y（件）与时间t（第t天）之间满足一次函数关系y=150−t．
(1)直接写出x与t之间的函数关系式；
(2)设销售该商品的日利润为w（元），求w与t之间的函数关系式，并求出在这120天内哪天的日利润最大，最大日利润是多少元？
(3)在这120天内，日利润不低于4800元的共有多少天？请直接写出结果．
14．（2023·江苏无锡·江苏省锡山高级中学实验学校校考一模）某商店决定购A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
(1)求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
(2)该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如下表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为每件mm>30元时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，直接写出m的值．
15．（2023·四川·校联考模拟预测）2022年全球疫情肆虐，医用物质紧缺，一线的抗议人员奋不顾身，用血肉之躯为我们开辟一条安全的道路，直至11月，全国各地相继宣布解封，各行各业纷纷复工投入上产，“阳光医疗器械厂”立即投入生产，下图表是12月份前5天的防护服售价y（元/套），和销量t（套）的关系表：
由于物价部门发现这种乱象，从第5天开始工厂对外调整价格为28元一套，据统计第6天以后防护服销量t（套）和第x天的关系出现：t=−x2+50x−100（6≤x≤20，且x为整数）．
(1)直接写出销量t与第x天（前4天）满足的关系式：并且求出第6天以后第几天的销量最大，最大值为多少；
(2)若成本价为22元，该工厂这些天（按20天计）出售防护服得到的利润W（元）与x的函数关系式：直接写出第几天的利润的最大．
16．（2023·辽宁阜新·校考一模）某玩具连锁店研制出一种新式文具，试销一段时间后发现，若每件文具的售价不超过10元，每天可销售300件；若每件文具售价超过10元，每提高1元，每天的销量就会减少30件，但每件文具售价不得高于20元，这家文具连锁店每天需要支付因这种文具而产生的其他费用（不含文具成本）200元，设每件文具的售价为x（元），文具连锁店每件利润为y元，文具连锁店每天销售这种文具的纯收入为w（元）．（注：纯收入＝销售额﹣成本﹣其他费用）
(1)根据题意，填写下表：
(2)经调查，该文具店每天销售这种文具的每件收入为p（元）与零售价x（元/件）满足一次函数关系，其图象如图，求出p与x之间的函数关系式；
(3)如果这种文具每件的售价不超过12元，那么如何定价才能使该文具连锁店每天销售这种文具的纯收入最高？最高纯收入为多少元？
17．（2023·江西南昌·统考一模）小黄做小商品的批发生意，其中某款“中国结”每件的成本为15元，该款“中国结”的批发单价y（元）与一次性批发量x（x为正整数）（件）之间满足如图所示的函数关系．
(1)当200≤x≤400时，求y与x的函数关系式．
(2)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”，共支付7280元，求此次批发量．
(3)某零售商在小黄处一次性批发该款“中国结”x（200≤x≤600）件，小黄获得的利润为w元，当x为何值时，小黄获得的利润最大？最大利润是多少元？
18．（2023·江苏扬州·校考一模）精准扶贫工作已经进入攻坚阶段，贫苦户李大叔在政府的帮助下，建起塑料大棚，种植优质草莓，今年二月份正式上市销售．在30天的试销中，每天的销售量与销售天数x满足一次函数关系，部分数据如下表：
设第x天的售价为y元/千克，y关于x的函数关系满足如下图像：已知种植销售草莓的成本为5元/千克，每天的利润是w元．（利润＝销售收入﹣成本）
(1)将表格中的最后一列补充完整；
(2)求y关于x的函数关系式；
(3)求销售草莓的第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少元？
19．（2023·浙江杭州·模拟预测）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．
(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？
(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？
20．（2023·湖北武汉·校考一模）冰墩墩是2022年北京冬季奥运会的吉祥物．冰墩墩以熊猫为原型设计，寓意创造非凡、探索未来．某批发市场购进一批冰墩墩玩偶出售，每件进货价为50元．经市场调查，每月的销传量y（万件）与每件的售价x（元）满足一次函数关系，部分数据如下表：
(1)直接写出y与x之间的函数表达式为 ；
(2)批发市场销售冰墩墩玩偶希望每月获利352万元，且尽量给客户实惠，每件冰墩墩应该如何定价？
(3)批发市场规定，冰墩墩的每件利润率不低于10%，若这批玩偶每月销售量不低于20a万件，最大利润为400万元，求a的值．
类型三、二次函数的应用：投球问题
21．（2023·河北沧州·校考模拟预测）学校举办篮球比赛，运动员小明跳起投篮，已知球出手时离地面2.4米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手的水平距离4米时到达最大高度（M点）4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈中心距地面3.1米．以地面为x轴，经过最高点（M点）与地面垂直的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
(1)请根据图中信息，求出篮球运行轨迹的抛物线解析式；
(2)请问运动员小明的这次跳起投篮能否投中？
(3)此时，对方队员乙上前拦截盖帽，且队员乙最大摸高3.2米，若队员乙盖帽失败，则他距运动员小明至少多远？（2≈1.414，结果精确到0.1）（说明：在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来，称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规，判进攻方得2分．）
22．（2023·福建·福建省福州第十九中学校考一模）排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次摸拟测试中，某生在O处将球垫偏，之后又在A、B两处先后垫球，球沿抛物线C1→C2→C3运动（假设抛物线C1、C2、C3在同一平面内），最终正好在O处垫住，O处离地面的距离为1米．如图所示，以O为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x轴平行于地面水平直线m，已知点A32,38，点B的横坐标为−32，抛物线C1表达式为y=ax2−2ax和抛物线C3表达式为y=2ax2+bx(a≠0)．
(1)求抛物线C1的函数表达式；
(2)第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由；
(3)为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该生第三次垫球处B离地面的高度至少为多少米？
23．（2023·江西南昌·统考一模）为增强学生身体素质，创设体育文化氛围，某校开展田径运动会，小贤同学报了投铅球比赛的项目，如图曲线AB就是他投出的铅球运动路线，呈抛物线形，出手点A离地面BC的高度为85m，铅球飞行的水平距离的长度为13m．过A作AO⊥BC于点O，以OB为x轴，OA为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
(1)写出A，B两点的坐标；
(2)若抛物线的解析式为y=ax2+bx+ca≠0
①求ba的取值范围；
②若ba=−10，求小贤同学投出的铅球运动路线（抛物线）的解析式．
24．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图，一小球M从斜坡OA上的O点处抛出，建立如图所示的平面直角坐标系，球的抛出路线是抛物线L1:y=−12x2+bx的一部分，斜坡可以看作直线L2:y=12x的一部分．若小球经过点6,6，解答下列问题：
(1)求抛物线L1的表达式，并直接写出抛物线L2的对称轴；
(2)小球在斜坡上的落点为A，求A点的坐标；
(3)在斜坡OA上的B点有一棵树，B点的横坐标为2，树高为4，小球M能否飞过这棵树？通过计算说明理由；
(4)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
25．（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）在某场足球比赛中，球员甲将在地面上点A处的足球对着球门踢出，图中的抛物线是足球的高度ym与球和点O的水平距离xm的函数y=ax−ℎ2+k的部分图象（不考虑空气的阻力），当足球运行到最高点D时，此时球恰好在球员乙的正上方，球员乙在距点O，12m的点C处，球距地面的高度为5m，即CD=5m，对方球门与点O的水平距离为20m．
(1)当OA=2时，
①求y与x的关系式；
②当球的高度为3.2m时，求足球与对方球门的水平距离；
(2)防守队员丙站在距点O正前方10m的点B处，球员甲罚出的任意球高过球员丙的头顶并直接射进对方球门，已知丙的身高为1.76m，即BG=1.76m，球门的高度为2.44m，即EF=2.44m，直接写出a的取值范围．
26．（2023·浙江湖州·统考一模）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，滑雪大跳台在设计时融入了敦煌壁画中“飞天”的元素，故又名“雪飞天”．图1为“雪飞天”滑雪大跳台赛道的横截面示意图．运动员从D点起跳后到着陆坡AC着落时的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，取水平线OC为x轴，铅垂线OB为y轴，建立平面直角坐标示如图2，从起跳到着落的过程中，运动员的铅垂高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax−ℎ2+ka<0．在着陆坡AC上设置点K32,4作为标准点，着陆点在K点或超过K点视为成绩达标．
(1)在某运动员的一次试跳中，测得该运动员的水平距离x与铅垂高度y的几组数据如上表，根据上述数据，直接写出该运动员铅垂高度的最大值，并求出满足的函数关系式
(2)请问在此次试跳中，该运动员的成绩是否达标？
(3)此次试跳中，该运动员在空中从起跳到达最高点的高度或从最高点到下落的高度ℎ（m）与时间t（s）均满足ℎ=12gt2（其中g为常数，表示重力加速度，取10m/s2），运动员要完成“飞天”动作至少在空中要停留3秒钟，问该运动员从起跳到落地能完成动作吗？
27．（2023·北京西城·校考一模）奥运会主火炬手小王练习射箭点火．他需要用火种点燃箭头，然后准确地射向70米远、20米高的火炬塔．火炬塔上面是一个弓形的圣火台，该弓形的弦记为AB，且火炬塔EF垂直平分AB，这支箭飞行的轨迹可以看作是抛物线的一部分，记这支箭飞行的水平距离为d（单位：m），距地面的竖直高度为ℎ（单位：m），获得数据如表：
小芳根据学习函数的经验，对函数h随自变量d的变化而变化的规律进行了研究．下面是小芳的探究过程，请补充完整：
(1)k的值为_________；
(2)在平面直角坐标系中，描全以表中各对应值为坐标的点，并用平滑的曲线连接；
(3)只要小王射出箭的轨迹与线段AB有公共点AB=4，那么这支箭就可以射入圣火台．请问小王是否可以将这支箭射入圣火台？答：_______________（填“是”或者“否”）
(4)开幕式当晚，只要小王射出的箭能够进入圣火台上方边长为4米的正方形ABCD范围内（包含边界），都可以顺利点燃主火炬．小芳发现，在射箭的初始角度和力量不变的情况下，小王还可以通过调整与火炬塔的水平距离来改变这支箭的飞行轨迹（即向右平移原抛物线）．若保证圣火被点燃，小王可以沿横轴正方向移动的最大距离是______________米．（结果请保留根号）
28．（2023·河南郑州·统考一模）原地正面掷实心球是中招体育考试项目之一．受测者站在起掷线后，被掷出的实心球进行斜抛运动，实心球着陆点到起掷线的距离即为此项目成绩．实心球的运动轨迹可看作抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，实心球从出手到着陆的过程中，竖直高度ym与水平距离xm近似满足函数关系y=ax2+bx+c(a<0)．小明使用内置传感器的智能实心球进行掷实心球训练．
(1)第一次训练时，智能实心球回传的水平距离xm与竖直高度ym的几组对应数据如下：
则：①抛物线顶点的坐标是______，顶点坐标的实际意义是________；
②求y与x近似满足的函数关系式，并直接写出本次训练的成绩．
(2)第二次训练时，y与x近似满足函数关系y=−0.09x2+0.72x+1.8，则第二次训练成绩与第一次相比是否有提高？为什么？
(3)实心球的抛物线轨迹是影响成绩的重要因素，可以通过多种方法调整实心球的轨迹．小明掷实心球的出手高度不变，即抛物线y=ax2+bx+c(a<0)中c的值不变，要提高成绩应使a，b的值做怎样的调整?
29．（2023·北京海淀·北京交通大学附属中学校考模拟预测）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数y=12x刻画．若小球到达最高点的坐标为4,8．
(1)求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
(2)若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B与抛出点O的水平距离为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
(3)直接写出小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
30．（2023·河北沧州·校考一模）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽路空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．
（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；
（2）求出y2与x之间的函数关系式；
（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？
类型四、二次函数的应用：喷水问题
31．（2023·湖南永州·校考一模）一座桥如图，桥下水面宽度AB是10米，高CD是4米．如图，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？
32．（2023·贵州铜仁·校考一模）如图，古代一石桥有17个大小相同的桥洞，桥面平直，其中三个桥洞抽象成抛物线，其最大高度为4.5m，宽为6m，将桥墩的宽度、厚度忽略不计，以水平方向为横轴，建立平面直角坐标系如图所示，OM=6．
(1)求OAM这条抛物线的函数关系式；
(2)若一艘高于水平面3m的小船想要通过桥洞，根据安全需要，它顶部最宽处两侧距桥洞的水平距离均不得小于20cm，设它顶部最宽处为dm，求d的值不得超过多少小船才能顺利通过？
33．（2023·安徽滁州·校考一模）如图1，一段高架桥的两墙A，B由抛物线一部分ACB连接，为确保安全，在抛物线一部分ACB内修建了一个菱形支架ODCE，抛物线的最高点C到AB的距离OC=4米，∠ODC=60°，点D，E在抛物线一部分ACB上，以AB所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，确定一个单位长度为1米．
(1)求此抛物线对应的函数表达式；
(2)求高架桥两端的A,B的距离；
(3)如图2，现在将菱形ODCE做成广告牌，且在菱形内再做一个内接矩形MNPQ广告牌，已知矩形MNPQ广告牌的价格为80元/米2，其余部分广告牌的价格为160元/米2，试求菱形广告牌所需的最低费用．
34．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m．
(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD 处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是多少？它能否安全通过此桥？
35．（2023·北京西城·北京市第三十五中学校考一模）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场人口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
(1)请在图2中建立平面直角坐标系xOy，并求出该抛物线的解析式；
(2)“技”与“之”的水平距离为2a米．小明想同时达到如下两个设计效果：
① “科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，直接写出a的值；若不能实现，请说明理由．
36．（2023·陕西咸阳·统考一模）某公路有一个抛物线形状的隧道ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝﹣110x2+c且过顶点C（0，5）.（长度单位：m）
(1)直接写出c＝ ；
(2)求该隧道截面的最大跨度（即AB的长度）是多少米？
(3)该隧道为双向车道，现有一辆运货卡车高4米、宽3米，问这辆卡车能否顺利通过隧道？请说明理由.
37．（2023·河南信阳·统考一模）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系．根据设计要求：OE=10m，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m．
(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；
(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别安装照明灯．已知点A、B到OE的距离均为6m，求点A、B的坐标．
38．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；
(2)在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：
①桥墩露出水面的高度AE为_______米；
②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE=DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）
39．（2023·湖北武汉·华中科技大学附属中学校考模拟预测）有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面AB的宽为18米，拱顶O离水面AB的距离OM为9米，建立如图所示的平面直角坐标系.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）一艘货船在水面上的部分的横断面是矩形CDEF.
①如果限定矩形的长CD为12米，那么要使船通过拱桥，矩形的高DE不能超过多少米？
②若点E，F都在抛物线上，设L=EF+DE+CF，当L的值最大时，求矩形CDEF的高.
40．（2023·北京东城·北京市广渠门中学校考模拟预测）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：
(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；
(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．
(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．
类型五、二次函数的应用：拱桥问题
41．（2023·江西吉安·校考模拟预测）某公司为城市广场上一雕塑AB安装喷水装置．喷水口位于雕塑的顶端点B处，喷出的水柱轨迹呈现抛物线型．据此建立平面直角坐标系，如图．若喷出的水柱轨迹BC上某一点与支柱AB的水平距离为x（单位：m），与广场地面的垂直高度为y（单位：m）．下面的表中记录了y与x的五组数据：
根据上述信息，解决以下问题：
(1)求出y与x之间的函数关系；
(2)求水柱落地点与雕塑AB的水平距离；
(3)为实现动态喷水效果，广场管理处决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱轨迹的形状y=ax2+bx+c不变的前提下，把水柱喷水的半径（动态喷水时，点C到AB的距离）控制在7m到14m之间，请探究改建后喷水池水柱的最大高度和b的取值范围．
42．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，直接写出d的取值范围．
43．（2023·安徽蚌埠·统考一模）某游乐场的圆形喷水池中心O有一喷水管OA，OA=0.5米，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线且形状相同．如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立平面直角坐标系，点A在y轴上．已知在与池中心O点水平距离为3米时，水柱达到最高，此时高度为2米．
(1)求水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式；
(2)身高为1.67m的小颖站在距离喷水管4m的地方，她会被水喷到吗？
(3)现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？
44．（2023·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，若设距水枪水平距离为x米时水柱距离湖面高度为y米，y与x近似的满足函数关系y=a(x−ℎ)2+k(a<0)．现测量出x与y的几组数据如下：
请解决以下问题：
(1)求出满足条件的函数关系式；
(2)身高1.75米的小明与水柱在同一平面中，设他到水枪的水平距离为m米（m≠0），画出图象，结合图象回答，若小明被水枪淋到m的取值范围．
45．（2023·北京西城·北师大实验中学校考模拟预测）某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为______米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度3米，顶棚到水面高度为4.5米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
46．（2023·河北沧州·校考模拟预测）某公园要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管OA长2.25m．在水管的顶端安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．
(1)建立如图所示平面直角坐标系，求抛物线（第一象限部分）的解析式；
(2)不考虑其它因素，水池的直径至少要多少米才能使喷出的水流不落到池外？
(3)实际施工时，经测量，水池的最大半径只有2.5m，在不改变喷出的抛物线形水柱形状的情况下，且喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，需对水管的长度进行调整，求调整后水管的最大长度．
47．（2023·北京顺义·北京市顺义区仁和中学校考一模）某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉，安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米，
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；
(3)求所画图象对应的函数表达式；
(4)从安全的角度考虑，需要在这个喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请通过计算说明公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．
48．（2023·安徽合肥·校考模拟预测）如图，灌溉车为绿化带浇水，喷水口H离地竖直高度OH为1.2m．可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.4m，灌溉车到绿化带的距离OD为d（单位：m）．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求出d的取值范围．
49．（2023·安徽芜湖·芜湖市第二十九中学校考一模）某景观公园的人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下表中的数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为ℎ米．
请解决以下问题：
(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接．
(2)①求喷泉抛物线的解析式；
②求喷泉的落水点距水枪的水平距离．14≈3.7
(3)已知喷泉落水点刚好在水池内边缘，如果通过改变喷泉的推力大小，使得喷出的水流形成的抛物线为ℎ=−0.3d−3.52+5.7，此时喷泉是否会喷到水池外？为什么？
(4)在（2）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为4米，顶棚到湖面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
50．（2023·北京海淀·校考二模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．
请解决以下问题：
(1)在下边网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；
(2)请结合表中所给数据或所画图象，估出喷泉的落水点距水枪的水平距离约为 米（精确到0.1）；
(3)公园增设了新的游玩项目，购置了宽度4米，顶棚到水面高度为4.2米的平顶游船，游船从喷泉正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被喷泉淋到的危险．
售价x(元)
60
70
80
90
…
销售量y(件)
280
260
240
220
…
销售单价x（元）
40
50
月销售量y（件）
100
80
售价x（元）
60
70
100
日销量y（个）
140
120
60
售价x（元/千克）
…
2.5
3
3.5
4
…
需求量p（千克）
…
7.75
7.2
6.55
5.8
…
供给量q（千克）
…
1.5
2
2.5
3
销售量y(百件)
______
y=240x
销售价格x(元/件)
40≤x≤60
60≤x≤80
售价x（元/件）
50≤x≤60
60销售量（件）
100
400−5x
第x天
1
2
3
4
5
销售价格y（元/套）
30
32
34
36
38
销量t（套）
100
120
140
160
180
文具的销售量（件）
…
300
___
240
___
…
每件文具售价（元）
…
8
10
12
16
…
x（天）
1
2
3
…
x
每天的销售量（千克）
10
12
14
…

售价x（元/件）
60
62
68
销售量y（万件）
40
36
24
水平距离x（m）
0
2
6
10
14
18
铅垂高度y（m）
20.00
21.80
24.20
25.00
24.20
21.80
d（单位：m）
0
10
20
30
40
50
60
70
ℎ（单位：m）
1.5
10.5
17.5
22.5
25.5
26.5
25.5
k
水平距离x/m
0
1
2
3
4
5
6
7
竖直高度y/m
1.8
2.3
2.6
2.7
2.6
2.3
1.8
1.1
d/米
0
0.6
1
1.8
2.4
3
3.6
4
h/米
0.88
1.90
2.38
2.86
2.80
2.38
1.60
0.88
x（米）
0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
3.5
4.0
y（米）
3.00
3.44
3.76
3.94
3.99
3.92
3.78
3.42
3.00
xm
0
2
6
10
ym
3
367
487
367
x（米）
0
1
2
3
4
…
y（米）
1.75
3.0
3.75
4.0
3.75
…
d（米）
0
1
2
3
4
…
ℎ（米）
2.0
4.0
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
1.0
3.0
5.0
7.0
h（米）
3.2
4.2
5.0
4.2
1.8
d/米
0
0.7
2
3
4
…
ℎ/米
2.0
3.484
5.2
5.6
5.2
…
d（米）
0
0.7
2
3
4
…
h（米）
2.0
3.49
5.2
5.6
5.2
…