2023-2024学年山东省威海市荣成市16校联盟九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含解析）

这是一份2023-2024学年山东省威海市荣成市16校联盟九年级（上）期中数学试卷（五四学制）(含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，四象限；，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.把抛物线y=−12x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( )
A. y=−12(x+1)2+1B. y=−12(x+1)2−1
C. y=−12(x−1)2+1D. y=−12(x−1)2−1
2.某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长(参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34).( )
A. 6米B. 3米C. 2米D. 1米
3.如图，延长等腰Rt△ABC斜边AB到D，使BD=2AB，连接CD，则tan∠BCD的值为( )
A. 23
B. 1
C. 13
D. 12
4.关于反比例函数y=−4x的下列说法不正确的是( )
①该函数的图象在第二、四象限；
②A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在该函数图象上，若x1③当x>2时，y>−2；
④若反比例函数y=−kx与一次函数y=x+2的图象无交点，则k的取值范围是k>1．
A. ①③B. ①③④C. ②③D. ②④
5.地球周围的大气层阻挡了紫外线和宇宙射线对地球生命的伤害，同时产生一定的大气压，海拔不同，大气压不同.观察图中数据，你发现( )
A. 图中曲线是反比例函数的图象
B. 海拔越高，大气压越大
C. 海拔为4千米时，大气压约为50千帕
D. 图中曲线表达了大气压和海拔两个量之间的变化关系
6.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)都在反比例函数y=a2+1x(a是常数)的图象上，且y1A. x2>x1>x3B. x1>x2>x3C. x3>x2>x1D. x3>x1>x2
7.如图，在坡度i=1： 3的斜坡AB上立有一电线杆EF，工程师在点A处测得E的仰角为60°，沿斜坡前进20米到达B，此时测得点E的仰角为15°，现要在斜坡AB上找一点P，在P处安装一根拉绳PE来固定电线杆，以使EF保持竖直，为使拉绳PE最短，则FP的长度约为(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)( )
A. 3.7米B. 3.9米C. 4.2米D. 5.7米
8.如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y=3x和y=nx的图象的四个分支上，则实数n的值为
( )
A. −3B. −13C. 13D. 3
9.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=mx+n与抛物线y2=ax2+bx−3相交于点A，B.结合图象，判断下列结论：①当−2y2；②x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解；③若(−1,t1)，(4,t2)是抛物线上的两点，则t1A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.下列说法中，错误的是( )
A. 在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则csA也扩大5倍
B. 若45°<α<90°，则sinα>1
C. cs30°+cs45°=cs(30°+45°)
D. 若α为锐角，tanα=512，则sinα=513
三、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
11.在函数y=1 x−1+1x−2中，自变量x的取值范围是______．
12.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
从上表可知，下列说法中正确的是______.(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为(3,0)；
②函数y=ax2+bx+c的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线x=12；
④在对称轴左侧，y随x增大而增大．
13.已知抛物线y=x2−2x−1，则当0≤x≤3时，y的取值范围是______．
14.如图是由六个全等的菱形组成的网格图，菱形的顶点称为格点，A、O、B、C均在格点上，当菱形的边长为1且∠AOB=60°时，则有AB=______；sin∠BAC=______
15.如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，顶点B、C在第一象限，对角线AC/​/x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cs∠OAC=23，则k= ______．
16.如图，在△ABC中，AB=10，BC=6，AC=8，点P为线段AB上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC于点M.作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t(秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为______．
四、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：sin30°⋅tan45°+ 2⋅cs45°+sin60°⋅tan60°．
五、解答题：本题共6小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图1，某人的一器官后面A处长了一个新生物，现需检测其到皮肤的距离(图1).为避免伤害器官，可利用一种新型检测技术，检测射线可避开器官从侧面测量.某医疗小组制定方案，通过医疗仪器的测量获得相关数据，并利用数据计算出新生物到皮肤的距离方案如下：
请你根据上表中的测量数据，计算新生物A处到皮肤的距离.(结果精确到0.1cm)
(参考数据：sin35°≈0.57，cs35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin22°≈0.37，cs22°≈0.93，tan22°≈0.40)
19.(本小题10分)
如图，直线y=−x+b与反比例函数y=kx的图象相交于A(1,4)，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB．
(1)求k和b的值；
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值范围．
20.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a为常数)．
(1)若a>0，当x(2)若二次函数在−3≤x≤1时有最大值3，求a的值．
21.(本小题8分)
根据以下素材，探索完成任务．
22.(本小题9分)
【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L(灯丝的阻值RL=2Ω)亮度的实验(如图)，已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为I=UR+RL，通过实验得出如下数据：
(1)a= ______，b= ______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数y=12x+2(x≥0)，结合表格信息，探究函数y=12x+2(x≥0)的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2(x≥0)的图象；
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是______．
(3)【拓展】结合(2)中函数图象分析，当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为______．
23.(本小题11分)
阅读理解题：阅读材料：
如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=12，则tanβ=13．
证明：设BE=k，
∵tanα=12，
∴AB=2k，
易证△AEB≌△EFC(AAS)．
∴EC=2k，CF=k，
∴FD=k，AD=3k，
∴tanβ=DFAD=k3k=13，
若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．
同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．
根据上述材料，完成下列问题：
如图2，直线y=3x−9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B.将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；
(3)求直线AE的解析式．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：把抛物线y=−12x2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为y=−12(x+1)2−1．
故选：B．
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：在Rt△BAD中，AB=5米，∠BAD=37°，
则BD=AB⋅sin∠BAD≈5×35=3(米)，
在Rt△BCD中，∠C=30°，
∴BC=2BD=6(米)，
则调整后的楼梯会加长：6−5=1(米)，
故选：D．
根据正弦的定义求出BD，根据直角三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，
∴∠DEB=90°，
设AC=BC=a，
∵∠ACB=90°，
∴AB= 2AC= 2a，∠A=∠ABC=45°，
∴∠EBD=∠ABC=45°，
∴∠EDB=90°−∠EBD=45°，
∴EB=ED，
∵BD=2AB，
∴BD=2 2a，
∴EB=ED=DB 2=2 2a 2=2a，
∴CE=BC+BE=3a，
在Rt△ECD中，tan∠BCD=EDEC=2a3a=23，
故选：A．
过点D作DE⊥CB，交CB的延长线于点E，根据垂直定义可得∠DEB=90°，再设AC=BC=a，从而利用等腰直角三角形的性质可得AB= 2a，∠A=∠ABC=45°，再利用对顶角相等可得∠EBD=45°，从而可得EB=ED，然后根据已知可得BD=2 2a，从而利用等腰直角三角形的性质可得EB=ED=2a，进而可得CE=3a，最后在Rt△ECD中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵y=−4x，−4<0，
∴反比例函数的图象在二四象限，故①正确，
A(x1,y1)、B(x2,y2)两点在该函数图象上，若x1∵无法判断A、B的具体位置，
∴不能确定y1与y2的大小；故②错误，
∵x=2时，y=−2，
∴当x>2时，−2由y=−kxy=x+2，消去y得到，x2+2x+k=0，
∵反比例函数y=−kx与一次函数y=x+2的图象无交点，
∴Δ<0，
∴22−4k<0，
∴k>1，故④正确，
故选：C．
利用反比例函数的性质一一判断即可．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：海拔越高大气压越低，B选项不符合题意；
代值图中点(2,80)和(4,60)，由横、纵坐标之积不同，说明图中曲线不是反比例函数的图象，A选项不符合题意；
海拔为4千米时，图中读数可知大气压应该是60千帕左右，C选项不符合题意；
图中曲线表达的是大气压与海拔两个量之间的变化关系，D选项符合题意．
故选：D．
根据图中数据，进行分析确定答案即可．
考查读图，分析图中的数据，关键要读懂题意，会分析图中数据．
6.【答案】D
【解析】解：∵a2+1>0，
∴反比例函数y=a2+1x(a是常数)的图象在第一、三象限，
如图所示，当y10>x1>x2，
故选：D．
先判断k=a2+1>0，可知反比例函数的图象在第一、三象限，再利用图象法可得答案．
本题考查反比例函数的图象和性质，理解“在每个象限内，y随x的增大而减小”以及图象法是解决问题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：作BD/​/AC，如右图所示，
∵斜坡AB的坡度i=1： 3，
∴tan∠BAC=1 3= 33，
∴∠BAC=30°，
∵∠EAC=60°，
∴∠EAF=30°，
∵要使点E到AB的距离最短，
∴EP⊥AB于点P，
∴tan∠EAP=EPAP，
∴AP=EPtan30∘，
∵∠EBD=15°，BD/​/AC，
∴∠DBA=∠BAC=30°，
∴∠EBP=45°，
∴EP=PB，
∵AP+PB=AB=20米，
∴EPtan30∘+EP=20，
解得，EP=10 3−10，
又∵EF/​/BC，∠B=90°−∠BAC=60°，
∴∠EFP=60°，
∵tan∠EFP=EPPF，
即tan60°=10 3−10PF，
解得，PF≈4.2米，
故选C．
要使点E到AB的距离最短，则EP⊥AB，根据题目中的信息可以求得FP的长度，本题得以解决．
本题考查解直角三角形的应用−坡度坡角问题、仰角俯角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数进行解答，注意挖掘题目中的隐含条件．
8.【答案】A
【解析】解：如图，连接正方形的对角线，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AO=BO，∠AOB=∠BDO=∠ACO=90°，
∴∠CAO=90°−∠AOC=∠BOD，
∴△AOC≌△OBD(AAS)，
∴S△AOC=S△OBD=32=|n|2，
∵点A在第二象限，
∴n=−3，
故选：A．
本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：①∵直线y1=mx+n与抛物线y2=ax+bx−3相交于点A，B，
∴由图象可知：当−2∴y1>y2，
∴①正确．
②由图象可知：抛物线y2=ax+bx−3有两个交点，
∴方程ax2+bx−3=0有两个不相等的实数根．
∴x=3是方程ax2+bx−3=0的一个解，
∴②正确．
③将点(−2,5)、(3,0)代入y=ax2+bx−3得：4a−2b−3=59a+3b−3=0，
解得：a=32b=−4，
∴抛物线解析式为y=32x2−4x−3，
当x=−1时，t1=−12，
当x=4时，t2=5，
∴t1∴③正确．
④由③可知(−2,5)与点(4,5)关于对称轴x对称，
∴对称轴x=−2+42=1．
将x=1代入抛物线解析式得y=−112，
∴当−2当1∴④错误．
故选：C．
①根据函数的图象特征即可得出结论．
②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论．
③将点(−2,5)、(3,0)代入y=ax2+bx−3得出解析式，再求出t的值即可得出结论．
④由图象和③可得出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出y得取值范围．
本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式(组)之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于选项A，
在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，
因此csA的值不变，
故选项A错误；
对于选项B，
∵45°<α<90°，
∴sin45°即 22故选项B错误；
对于选项C，
∵cs30°+cs45°= 32+ 22>1，
又∵45°<75°<90°，
∴cs45°>cs75°>cs90°，
即 22>cs75°>0，
∴cs30°+cs45°≠cs75°，
故选项C错误；
对于选项D，
设α为Rt△ABC的一个锐角，
∵tanα=512，
可设Rt△ABC的两条直角边分别为5k，12k，
由勾股定理得：斜边为13k，
∴sinα=5k13k=513，
故选项D正确．
综上所述：选项A，B，C均是错误的．
故选：ABC．
根据在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，可对选项A进行判断；由45°<α<90°得sin45°1，再由45°<75°<90°得cs45°>cs75°>cs90°，进而得 22>cs75°>0，据此可对选项C进行判断；先设α为Rt△ABC的一个锐角，由tanα=512可可设Rt△ABC的两条直角边分别为5k，12k，由勾股定理球场斜边为13k，进而根据正弦函数的定义可对选项D进行判断．
此题主要考查了锐角三角函数，理解锐角三角函数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
11.【答案】x>1且x≠2
【解析】解：已知函数为y=1 x−1+1x−2，
则x−1>0，且x−2≠0，
解得：x>1且x≠2，
故答案为：x>1且x≠2．
根据二次根式有意义的条件及分母不能为0即可求得答案．
本题考查求函数自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件及分母不能为0求得x−1>0，且x−2≠0是解题的关键．
12.【答案】①③④
【解析】解：由表格可知，抛物线的对称轴x=12，开口向下，与x轴的交点为(−2,0)，(3,0)，
在对称轴左侧，y随x的增大而增大，函数y有最大值，最大值>6，
所以①③④正确，
故答案为：①③④．
根据表格判断出抛物线的对称轴、开口方向、与x轴的交点等即可解决问题．
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【答案】−2≤y≤2
【解析】解：∵二次函数y=x2−2x−1中a=1>0，
∴抛物线开口向上，有最小值，
∵y=x2−2x−1=(x−1)2−2，
∴抛物线的对称轴x=1，
∵0≤x≤3，
∴当x=3时，y最大=9−6−1=2．
当x=1时，y最小=1−2−1=−2，
∴−2≤y≤2．
故答案为：−2≤y≤2．
先根据a=1判断出抛物线的开口向上，故有最小值，再把抛物线化为顶点式的形式可知对称轴x=1，再根据0≤x≤3可知当x=3时y最大，x=1时y最小，把x=3和x=1代入即可得出结论．
本题考查的是二次函数的性质，在解答此题时要先确定出抛物线的对称轴及最小值，再根据x的取值范围进行解答．
14.【答案】 7； 217
【解析】【分析】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.如图，连接AD，DE，证明∠ADO=90°是解决问题的关键.先证出△EOD是等边三角形，得出DE=EO=EA=1，从而得出∠ADO=90°，利用勾股定理求出AD，AB的长，再根据平行线的性质得出∠BAC=∠ABD，然后利用锐角三角函数的定义即可求解．
【解答】
解：如图，连接AD，DE，
∵OE=OD=1，∠EOD=60°，
∴△EOD是等边三角形，
∴DE=EO=EA=1，
∴∠ADO=90°，
∴AD= AE2−OD2= 22−12= 3，
∴AB= AD2+BD2= ( 3)2+22= 7，
∵AC/​/OB，
∴∠BAC=∠ABD，
∴sin∠BAC=sin∠ABD=ADAB= 3 7= 217．
故答案为 7； 217．
15.【答案】−83
【解析】解：作AE⊥x轴于E，
∵矩形OABC的面积是6，
∴△AOC的面积是3，
∵∠AOC=90°，cs∠OAC=23，
∴OAAC=23，
∵对角线AC/​/x轴，
∴∠AOE=∠OAC，
∵∠OEA=∠AOC=90°，
∴△OEA∽△AOC，
∴S△OEAS△AOC=(OAAC)2，
∴S△OEA3=49，
∴S△OEA=43，
∵S△OEA=12|k|，k<0，
∴k=−83．
故答案为：−83．
作AE⊥x轴于E，由矩形的面积可以求得△AOC的面积是3，然后通过证得△OEA∽△AOC，求得S△OEA=43，最后通过反比例函数系数k的几何意义即可求得k的值．
本题考查了矩形的性质，三角形相似的判定和性质，解直角三角形，反比例函数系数k的几何意义，求得△AOE的面积是解题的关键．
16.【答案】(325,245)
【解析】解：连接CP，如图，
∵AB=10，BC=6，AC=8，
∴BC2+AC2=36+64=100，AB2=100，
∴BC2+AC2=AB2，
∴∠ACB=90°．
∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴四边形MPNC为矩形，
∴MN=CP．
∵点P为线段AB上的动点，由于垂线段最短，
∴当CP⊥AB时，CP取得最小值，即y=MN取得最小值．
过点C作CP⊥AB于点P，
∵∠ACB=90°，CP⊥AB，
∴△ACP∽△ABC，
∴ACAB=CPBC=APAC，
∴810=CP6=AP8，
∴CP=245，AP=325．
∴当t=325时，y取得最小值为245．
∴函数图象最低点E的坐标为(325,245).
故答案为：(325,245).
连接CP，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，利用矩形的判定定理得到四边形MPNC为矩形，利用矩形的对角线相等得到MN=CP，再利用垂线段最短的性质得到当CP⊥AB时，MN取得最小值，最后利用相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．
本题主要考查了直角三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，函数的图象，函数的极值，熟练掌握动点问题的函数的图象的特征是解题的关键．
17.【答案】解：原式=12×1+ 2× 22+ 32× 3
=12+1+32
=3．
【解析】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌握特殊角的函数值是解题关键．
本题可运用特殊的三角函数值解出sin30°、tan45°、cs45°、sin60°和tan60°的值，再代入原式中即可．
18.【答案】解：过点A作AF⊥MN，垂足为F，

设BF=x cm，
∵BC=9cm，
∴CF=BC+BF=(x+9)cm，
在Rt△ABF中，∠ABF=∠DBN=35°，
∴AF=BF⋅tan35°≈0.7x(cm)，
在Rt△ACF中，∠ACF=∠ECN=22°，
∴AF=CF⋅tan22°≈0.4(x+9)cm，
∴0.7x=0.4(x+9)，
解得：x=12，
∴AF=0.7x=8.4(cm)，
∴新生物A处到皮肤的距离约为8.4cm．
【解析】过点A作AF⊥MN，垂足为F，设BF=x cm，则CF=(x+9)cm，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
19.【答案】解：(1)把A(1,4)代入y=−x+b得：
4=−1+b，
解得：b=5，
把A(1,4)代入y=kx得：
4=k1，
∴k=4，
∴k的值为4，b的值为5；
(2)由(1)可得，一次函数为y=−x+5，反比例函数为y=4x，
联立y=−x+5y=4x，
解得x=1y=4或x=4y=1，
∴A(1,4)，B(4,1)；
观察函数图象可知，当04时，一次函数值小于反比例函数值．
【解析】(1)把A(1,4)代入y=−x+b可得：b=5，把A(1,4)代入y=kx得k=4；
(2)联立y=−x+5y=4x，求出A(1,4)，B(4,1)；观察函数图象可得答案．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握待定系数法及数形结合思想的应用．
20.【答案】解：(1)∵抛物线得对称轴为直线x=−4a2a=−2，a>0，
∴抛物线开口向上，当x≤−2时，二次函数y随x的增大而减小，
∵x∴m+13≤−2，即m≤−7；
(2)由题意得：y=a(x+2)2−a，
∵二次函数在−3≤x≤1时有最大值3
①当a>0 时，开口向上，
∴当x=1时，y有最大值8a，
∴8a=3，
∴a=38；
②当a<0 时，开口向下，
∴当x=−2时，y有最大值−a，
∴−a=3，
∴a=−3，
综上，a=38或a=−3．
【解析】(1)由a>0可知抛物线开口向上，求得对称轴为直线x=−2，根据二次函数的性质得到m+13≤−2，解得m≤−7；
(2)分两种情况讨论，得到关于a的方程，解方程即可．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键：(1)根据二次函数的性质得到m+13≤−2；(2)分开口向上和开口向下两种情况讨论．
21.【答案】解：任务1：如解图：以AB的中点为原点建立平面直角坐标系(不唯一)，
则桥拱最高点M的坐标为(0,8)，
∵AB=20，
∴OB=10，
∴B(10,0)，
设抛物线的解析式为y=ax2+c，
则100a+c=0c=8，
解得ca=−0.08c=8，
∴抛物线的函数表达式为y=−0.08x2+8(−10≤x≤10)；

任务2：令y=4，则−0.08x2+8=4，
解得x1=−5 2，x2=5 2，
∴两个桥墩之间的距离是10 2m；
任务3：∵矩形广告牌的面积为18m且长、宽均为整数，
∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案(前面的数字代表的边长落在CE上)：
①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，
∵拱桥的最高点到CE的距离为8−4=4(m)，方案①，②，③不符合题意，
∵CE=10 2<18，
∴方案⑥不符合题意，
对于方案④：
当x=62=3时，y=−0.08x2+8=7.28，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为4+3=7(m)，
∵7.28>7，
方案④可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是(−3,7)；
对于方案⑤：当x=92时，
y=−0.08x2+8=6.38(m)，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为4+2=6(m)，
∵6.38>6，方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌左上方顶点的坐标是(−92,6)，
综上所述，共有两种设计方案：
方案一；矩形广告牌的长为6m，宽为3m，左上方顶点的坐标是(−3,7)；
方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，左上方顶点的坐标是(−92,6)．
【解析】任务1：以AB的中点为原点建立平面直角坐标系(不唯一)，则桥拱最高点M的坐标为(0,8)，根据已知利用待定系数法求得解析式；
任务2：由y=−0.08x2+8(−10≤x≤10)，令y=4，则−0.08x2+8=4，即可得两桥墩之间的距离；
任务3：矩形广告牌的面积为18m且长、宽均为整数，则矩形广告牌有下列6种初步的设计方案(前面的数字代表的边长落在CE上)：①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，根据最高点坐标分类讨论即可．
本题考查待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的实际应用，关键时读懂题意理解题意，理清楚数量关系是解决问题的关键．
22.【答案】(1)2，1.5；
(2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y=12x+2(x≥0)的图象如下：
②不断减小；
(3)x≥2或x=0．
【解析】【分析】
(1)由已知列出方程，即可解得a，b的值；
(2)①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
(3)同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
【解答】
解：(1)根据题意，3=12a+2，b=126+2，
∴a=2，b=1.5；
故答案为：2，1.5；
(2)①见答案，
②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
(3)如图：
由函数图象知，当x≥2或x=0时，12x+2≥−32x+6，
即当x≥0时，12x+2≥−32x+6的解集为x≥2或x=0，
故答案为：x≥2或x=0．
23.【答案】解：(1)设A(t,3t−9)，
∴OM=t，AM=3t−9，
∵OA=5，
∴t2+(3t−9)2=52，
解得t=4或t=1.4，
∴A(4,3)或(1.4,−4.8)(此时A在第四象限，不符合题意，舍去)，
把A(4,3)代入y=mx(x>0)得：
3=m4，
解得m=12，
∴反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；
(2)在y=3x−9中，令y=0得0=3x−9，
解得x=3，
∴B(3,0)，
∴OB=3，
由(1)知A(4,3)，
∴OM=4，AM=3，
∴BM=OM−OB=4−3=1，
∴tan∠BAM=BMAM=13，
∵∠ANO=∠NOM=∠OMA=90°，
∴∠MAN=90°，
∵∠BAE=45°，
∴∠BAM+∠NAE=45°，
由若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12可得：
tan∠NAE=12；
(3)由(2)知tan∠NAE=12，
∴NEAN=12，
∵A(4,3)，
∴AN=4，ON=3，
∴NE4=12，
∴NE=2，
∴OE=ON−NE=3−2=1，
∴E(0,1)，
设直线AE解析式为y=kx+b，
把A(4,3)，E(0,1)代入得：
4k+b=3b=1，
解得k=12b=1，
∴直线AE解析式为y=12x+1．
【解析】(1)设A(t,3t−9)，由OA=5，得t2+(3t−9)2=52，可解得A(4,3)，再用待定系数法得反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；
(2)求出B(3,0)，由A(4,3)，得AM=3，BM=OM−OB=1，即知tan∠BAM=BMAM=13，而∠BAE=45°，故∠BAM+∠NAE=45°，由阅读材料得tan∠NAE=12；
(3)由tan∠NAE=12，A(4,3)，得NE=2，从而E(0,1)，再用待定系数法得直线AE解析式为y=12x+1．
本题考查反比例函数的综合应用，涉及待定系数法，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是读懂阅读材料，掌握待定系数法．x
…
−2
−1
0
1
2
…
y
…
0
4
6
6
4
…
课题
检测新生物到皮肤的距离
工具
医疗仪器等
示意图
说明
如图2，新生物在A处，先在皮肤上选择最大限度地避开器官的B处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠DBN；再在皮肤上选择距离B处9cm的C处照射新生物，检测射线与皮肤MN的夹角为∠ECN．
测量数据
∠DBN=35°，∠ECN=22°，BC=9cm
素材1
如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
某游乐园计划在道路AB上方搭建一座抛物线型彩虹桥.如图①，道路AB的宽为20m，桥拱最高处距离路面的距离为8m．
素材2
在实际搭建时，需在桥拱下方安置两个桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称.如图②，桥墩CD=EF=4m．
素材3
如图③，在两个桥墩上搭−一个限高横杆CE，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在横杆CE.上方设置一个面积为18 m′的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在CE上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决
任务1
确定桥拱形状
建立适当平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式；
任务2
确定桥墩位置
求两个桥墩之间的距离(不考虑桥墩的宽度)；
任务3
拟定设计方案
给出一种广告牌的设计方案，并根据你所建立的坐标系，求出矩形广告牌左上方顶点的坐标．
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…