浙教版七年级下册3.4 乘法公式精练

这是一份浙教版七年级下册3.4 乘法公式精练，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.利用图形中阴影部分的面积与边长a，b之间的关系，可以验证某些数学公式.例如，根据图1，可以验证两数和的平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，根据图2能验证的数学公式是
( )

图1 图2
A. (a−2b)2=a2−4ab+4b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. a2−b2=a+ba−bD. (a+2b)2=a2+4ab+4b2
2.若(2x+3y)(mx−ny)=9y2−4x2，则
( )
A. m=2，n=3B. m=−2，n=−3
C. m=2，n=−3D. m=−2，n=3
3.如图所示，将四张全等的长方形硬纸片围成一个正方形，根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a，b的恒等式为
( )
A. a2−b2=(a+b)(a−b)B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4abD. a2+ab=a(a+b)
4.如图，从边长为(a+4)的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，则矩形的面积为
( )
A. 3a+15B. 6a+9C. 2a2+5aD. 6a+15
5.下列等式中能够成立的是( )
A. (x−y)2=x2−xy+y2B. x−12y2=x2−xy+14y2
C. (x+3y)2=x2+9y2D. (m−9)(m+9)=m2−9
6.如图，边长为(a+3)的正方形纸片剪出一个边长为a的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，若拼成的长方形一边长为3，则另一边长是( )
A. 2a+3B. 2a+6C. a+3D. a+6
7.已知(x−2025)2+(x−2027)2=34，则(x−2026)2的值是( )
A. 4B. 8C. 12D. 16
8.若9x2−12xy+m是一个完全平方式，则m的值为
( )
A. 2y2B. 2yC. 4y2D. 4y
9.下列可用平方差公式计算的是( )
A. (2a+b)(2a−b)B. (1+x)(x+1)C. (−a+b)(a−b)D. (a−b)(m+b)
10.如图，两个正方形的边长分别为a和b，如果a+b=10，ab=20，那么阴影部分的面积是( )
A. 5
B. 10
C. 20
D. 30
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
11.数学活动课上，小明同学尝试将正方形纸片剪去一个小正方形，剩余部分沿虚线剪开，拼成新的图形．现给出下列3种不同的剪、拼方案，其中能够验证平方差公式的方案是 .(请填上正确的序号)
12.(x+2y)2= ．
13.计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)= ．
14.已知(x−2020)2+(x−2022)2=18，则(x−2021)2的值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
如图，给一张边长为a(m)的正方形桌子铺上正方形桌布，桌布的四周均超出桌面0.1m.此桌布的面积是多少平方米?
16.(本小题8分)
把一个长为2a，宽为2b的长方形沿虚线剪开，平均分成四个小长方形(图 ①)，然后如图 ②围成一个大的正方形．
(1)用两种不同的方法求图 ②中阴影正方形的面积．
(2)观察图 ②，写出(a+b)2，(a−b)2，ab这三个代数式之间的等量关系．
(3)若x−y=3，xy=74，求x+y的值．
17.(本小题8分)
如图，给一张边长为a(m)的正方形桌子铺上正方形桌布，桌布的四周均超出桌面0.1m.此桌布的面积是多少平方米?
18.(本小题8分)
某中学为了响应国家“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池，已知游泳池的长为(4a2+9b2)m，宽为(2a+3b)m，深为(2a−3b)m，请计算这个游泳池的容积．
19.(本小题8分)
有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为3和16，求正方形A，B的面积之和．
20.(本小题8分)
【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为a，宽为b的四个相同的长方形拼成的一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分(小正方形)的面积，可以得到(a+b)2、(a−b)2、ab三者之间的等量关系式：______；
【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个等式，如图2，观察大正方体分割，可以得到等式：(a+b)3=a3+b3+3ab(a+b)．
利用上面所得的结论解答下列问题：
(1)已知x+y=6，xy=114，求(x−y)2的值；
(2)已知a+b=6，ab=7，求a3+b3的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：图2阴影部分的面积为(a−b)2，大正方形的面积为a2，矩形B+C的面积为ab，矩形C+D的面积为ab，正方形C的面积为b2，
因此有(a−b)2=a2−2ab+b2，
故选：B．
图2阴影部分是边长为(a−b)的正方形，其面积为(a−b)2，大正方形的边长为a，其面积为a2，矩形B+C的面积为ab，矩形C+D的面积为ab，正方形C的面积为b2，根据各个图形的面积之间的关系可得出数学公式．
考查完全平方公式的几何背景，用含有a、b的代数式表示图形中各个部分的面积，是得出数学公式的前提．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式，根据对应项系数相等列式是解题的关键，先把等式左边利用多项式乘多项式的法则展开并整理，根据对应项系数相等列出等式，求解即可．注意：不存在的项说明该项的系数等于0．
【解答】
解：∵(2x+3y)(mx−ny)=2mx2−2nxy+3mxy−3ny2=9y2−4x2，
∴2m=−4,−3n=9,−2n+3m=0，
解得m=−2，n=−3．
故选B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是用两种方法正确的表示出阴影部分的面积．用两种方法正确的表示出阴影部分的面积，再根据图形阴影部分面积的关系，即可直观地得到一个关于a、b的恒等式．
【解答】
解：方法一阴影部分的面积为：(a−b)2，
方法二阴影部分的面积为：(a+b)2−4ab，
所以根据图形阴影部分面积的关系，可以直观地得到一个关于a、b的恒等式为(a−b)2=(a+b)2−4ab．
故选C．
4.【答案】D
【解析】解：矩形的面积(a+4)2−(a+1)2
=a2+8a+16−a2−2a−1
=6a+15．
故选D．
矩形的面积等于第一个图形中两个正方形的面积的差，根据完全平方公式化简即可．
本题考查了完全平方公式，理解矩形的面积等于两个正方形的面积的差是关键．
5.【答案】B
【解析】[分析]
本题主要考查了完全平方公式及平方差公式，熟练掌握公式是关键．
根据完全平方公式及平方差公式对各项依次分析即可．
[详解]
解：A.(x−y)2=x2−2xy+y2，故本项错误；
B.(x−12y)2=x2−xy+14y2，故本项正确；
C.(x+3y)2=x2+6xy+9y2，故本项错误；
D.(m−9)(m+9)=m2−81，故本项错误；
故选B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了完全平方公式，此类题目根据图形的面积的两种表示方法列出等式是解题的关键．设另一边长为x，然后根据剩余部分的面积的两种表示方法列式计算即可得解．
【解答】
解：设另一边长为x，
根据题意得，3x=(a+3)2−a2，
解得x=2a+3．
故选：A．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查完全平方公式．
先把(x−2025)2+(x−2027)2=34变形为(x−2026+1)2+(x−2026−1)2=34，把(x−2026)看作一个整体，根据完全平方公式展开，得到关于(x−2026)2的方程，解方程即可求解．
【解答】
解：∵(x−2025)2+(x−2027)2=34，
∴(x−2026+1)2+(x−2026−1)2=34，
(x−2026)2+2(x−2026)+1+(x−2026)2−2(x−2026)+1=34，
2(x−2026)2+2=34，
2(x−2026)2=32，
(x−2026)2=16，
故选D．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题是完全平方式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．
先根据第一项确定出第一个数，再根据二倍项确定m的值．
【解答】
解：因为9x2−12xy+m是一个完全平方式，
所以−12xy=±2×3x× m，
所以m=4y2．
故选C．
9.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
依据平方差公式进行判断即可．
【解答】
解：A、(2a+b)(2a−b)有一项相同，另一项互为相反数．符合平方差公式的特征，故能用平方差公式计算，故本选项正确；
B、两项相同，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
C、两项都互为相反数，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
D、两项都不相同，故不能用平方差公式计算，故本选项错误；
故选：A．
10.【答案】C
【解析】解：根据题意可得，阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，
即(a2+b2)−a22−b(a+b)2=12(a2+b2−ab)=12(a2+b2+2ab−3ab)=12[(a+b)2−3ab]；
代入a+b=10，ab=20可得：
S阴影面积=(10×10−20×3)÷2=20．
故选：C．
分析图形可得阴影部分面积为两个正方形面积和减去空白面积，据此计算可得关系式；代入a+b=10，ab=20，计算可得答案．
此题考查整式的混合运算，解答本题的关键是利用面积的和差关系求出阴影部分的面积，但在计算时要把未知的代数式转化成已知，代入求值．
11.【答案】①②
【解析】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积=a2−b2，右边图形中阴影部分的面积=(a+b)(a−b)，
故可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式；
在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=a2−b2，右边阴影部分面积=(a+b)⋅(a−b)，
可得：a2−b2=(a+b)(a−b)，可以验证平方差公式；
在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积=(a+b)2−(a−b)2=4ab，右边阴影部分面积=2a⋅2b=4ab，
可得：(a+b)2−(a−b)2=2a⋅2b，不可以验证平方差公式．
故答案为：①②．
针对每一种拼法，利用代数式表示拼接前、后的面积，适当化简或变形可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前后的面积是得出答案的前提．
12.【答案】略
【解析】略
13.【答案】216−1
【解析】原式=(2−1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=(22−1)(22+1)(24+1)(28+1)=216−1．
14.【答案】8
【解析】略
15.【答案】略
【解析】略
16.【答案】略
【解析】略
17.【答案】略
【解析】略
18.【答案】解：(4a2+9b2)(2a+3b)(2a−3b)
=(4a2+9b2)(4a2−9b2)
=(16a4−81b4)m3．
答：这个游泳池的容积是(16a4−81b4)m3．

【解析】本题考查了平方差公式的应用．解题关键是根据长方体体积公式正确列出代数式．解题时，由长方体的体积公式可得游泳池的容积的求法：长×宽×高，列出代数式后，连续运用平方差公式进行化简即可．
19.【答案】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b， 由图甲得：(a−b)2=3， 即a2−2ab+b2=3， 由图乙得：(a+b)2−a2−b2=16，∴2ab=16，∴a2+b2=3+2ab=3+16=19．
【解析】略
20.【答案】(a+b)2=4ab+(a−b)2
【解析】解：【知识生成】(a+b)2=4ab+(a−b)2，
故答案为：(a+b)2=4ab+(a−b)2；
【知识迁移】(1)∵x+y=6，xy=114，
∴(x−y)2
=(x+y)2−4xy
=36−11
=25；
(2)∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3
=(a+b)3−3ab(a+b)
=216−3×7×6
=216−126
=90．
【知识生成】根据面积相等进行推导；
【知识迁移】(1)应用【知识生成】中的公式进行变形，再整体代入求解；
(2)应用【知识迁移】中的公式进行变形，再整体代入求解．
本题考查了完全平方公式的几何背景，整体代入求值是解题的关键．