四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性考试数学（文）试卷(含答案)

这是一份四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性考试数学（文）试卷(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．若,则复数( )
A.B.C.D.
2．已知,,则( )
A.B.C.D.
3．已知,,,则与的夹角为( )
A.B.C.D.
4．若变量x,y满足不等式组,则的最大值是( )
A.B.0C.1D.2
5．已知变量x,y之间的线性回归方程为,且变量x,y之间的一组相关数据如表所示,
则下列说法正确的是( )
A.B.变量y与x是负相关关系
C.该回归直线必过点D.x增加1个单位,y一定增加2个单位
6．已知为R上的减函数,则( )
A.B.
C.D.
7．已知,则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知角的终边与角的终边关于对称(为象限角),则( )
A.B.0C.1D.2
9．如图是的大致图象,则的解析式可能为( )
A.B.C.D.
10．已知数列的前n项和为,且,则下列说法正确的是( )
A.B.C.D.
11．已知曲线与x轴交于不同的两点A,B,与y轴交于点C,则过A,B,C三点的圆的圆心轨迹为( )
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
12．设,分别为椭圆的左,右焦点,以为圆心且过的圆与x轴交于另一点P,与y轴交于点Q,线段与C交于点A.已知与的面积之比为,则该椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．已知为钝角,,则_______.
14．若为奇函数,则_________.
15．甲,乙二人用7张不同的扑克牌(其中红桃4张,方片3张)玩游戏.他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.则甲,乙二人抽到花色相同的概率为_________.
16．已知,分别是双曲线的左,右焦点,过点作E的渐近线的垂线,垂足为P.点M在E的左支上,当轴时,,则E的渐近线方程为_________.
三、解答题
17．已知等差数列的前n项和为,且,.
（1）求的通项公式;
（2）求数列的前n项和.
18．绵阳市37家A级旅游景区,在2023年国庆中秋双节期间,接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随机调查了市区100位市民平时外出旅游情况,得到的数据如下表:
（1）能否有的把握认为喜欢旅游与性别有关?
（2）在以上所调查的喜欢旅游的市民中,按性别进行分层抽样随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人进行访谈,求这两人是不同性别的概率.
附:
19．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求及a;
（2）若周长为48,求的面积.
20．已知直线与抛物线交于A,B两点,F为E的焦点,直线FA,FB的斜率之和为0.
（1）求E的方程;
（2）直线FA,FB分别交直线于M,N两点,若,求k的取值范围.
21．已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程:
（2）若在上是单调函数,求实数a的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
（1）求曲线C极坐标方程;
（2）若A,B为曲线C上的动点,且,求的值.
23．（1）已知a,b,x,y均为正数,求证:并指出等号成立的条件;
（2）利用（1）的结论,求函数的最大值,并指出取最大值时x的值.
参考答案
1．答案：B
解析:
2．答案：A
解析:因为,,
则.
故选:A.
3．答案：A
解析:由题意可知,,
设与的夹角为,,
,,
则,即,
,
故,解得.
故选:A.
4．答案：D
解析:由作出可行域如图,
令,可得,由图可知,当直线过时,z有最大值为2.
故选:D.
5．答案：C
解析:对于A,由题意可知,,
点一定在线性回归方程上,
,
,解得,故A错误;
对于B,线性回归方程的斜率大于0
变量y与x是正相关关系,故B错误;
对于C,由A可知,该回归直线必过点,故C正确;
对于D,线性回归方程,
增加1个单位,y大约增加2个单位,故D错误.
故选:C.
6．答案：B
解析:因为,,
所以,
又因为为R上的减函数,
所以.
故选:B.
7．答案：A
解析:
8．答案：C
解析:因为角的终边与角的终边关于对称,设的终边上点,则P关于对称的点在的终边上,
所以,,
所以,
故选:C.
9．答案：A
解析:时,由选项可知,,排除D;
时,可知是单调增函数,不满足题意,排除C;
由函数的图象的变化趋势可知时,函数的图象远离,所以排除B.
故选:A.
10．答案：D
解析:,
时,
,
时,.
,,,
时,,
综上可得:只有D正确.
故选:D.
11．答案：A
解析:根据题意可知圆心M在抛物线:的对称轴上,
设,又易知,
令,解得,
不妨设,
则由,可得,
,
整理可得,
当时,此时,,,A与C重合,此时,
当时,,即圆心,
圆心M的轨迹方程为,又点也满足该方程,
圆心轨迹为一条直线.
故选:A.
12．答案：B
解析:由题意可得,,,
则以为圆心且过的圆的方程为,
令,则,由对称性,不妨取点P在x轴上方,即,
则,即,
有,则,
又,即有,即,
代入,有,即,
即在椭圆上,故,
化简得,由,
即有,
整理得,即,
有或,
由,故舍去,即,
则,
故选:B.
13．答案：
解析:因为为钝角,,
所以,
则,
故答案为:.
14．答案：
解析:,
由,得或,
所以函数的定义域为,
因为奇函数的定义域关于原点对称,所以,得,
此时,,
即,函数为奇函数,所以,
故答案为:.
15．答案：
解析:一共有7张不同的扑克牌(其中红桃4张,方片3张),甲先抽,乙后抽,
甲,乙二人抽到花色相同的情况有2种:①甲先抽到红桃,乙后抽到红桃,概率为,
②甲先抽到方片,乙后抽到方片,概率为,
甲,乙二人抽到花色相同的概率为:,
故答案为:.
16．答案：
解析:
17．答案：（1）见解析
（2）见解析
解析:（1）设数列的公差是d,
则,
解得,
;
（2）,
.
18．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）
,
故有95%的把握认为喜欢旅游与性别有关.
（2）按分层抽样喜欢旅游的男性为2人,记为,,女性为3人,记为,,,
随机抽取2人的事件有:,,,,,,,,,,
不同性别的事件为:
,,,,,,
故两人是不同性别的概率.
19．答案：（1）10
（2）84
解析:（1）
,
,则,
又,
,
,
;
（2）由余弦定理:,
,
又,则,
,
,
.
20．答案：（1）
（2）或
解析:（1）设,,
联立,消y整理得:,
所以:,,
所以,即抛物线E的方程为:;
（2）由（1）可知:,
且,所以:,
,
直线FA的方程为:,所以:,
同理:,
所以,
解得:或.
21．答案：（1）
（2）见解析
解析:（1）,
,
切线斜率为5,
曲线在处的切线方程为.
（2）解法一: = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时,
若时,恒成立,
若时在上单调递减.
,则,
综上:;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时
若时,恒成立,
恒成立,
若时在上单调递增.
,则,
,
综上所述:.
解法二:由（1）可知,
在上必是单调递增函数,
令,
则,,
为在上是增函数成立的必要条件,
令,
下证:当时,对任意恒成立,
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①当时,,则,,
;
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②当时,
,,很显然;
,为增函数,;
当时,对任意恒成立,
,使得在上是单调函数.
22．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）由题意:,且,
曲线C的普通方程为:
曲线C的极坐标方程为,
即;
（2）由（1）得,
因为且,不妨设,,
,
,
23．答案：（1）见解析
（2）
解析:（1）证明:因为,
,
当且仅当,即时,等号成立;
（2）函数
根据（1）的结论,,
当且仅当,即时,等号成立.
函数的最大值为,此时.
x
2
4
6
8
y
5
8.2
13
m
喜欢旅游
不喜欢旅游
总计
男性
20
30
50
女性
30
20
50
总计
50
50
100
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828