2023-2024学年吉林省长春市重点学校八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市重点学校八年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.9的平方根是( )
A. ±3B. 3C. ± 3D. 3
2.下列各数是无理数的是( )
A. −227B. 0C. 5D. 1.101001
3.下列运算正确的是( )
A. a3−a2=aB. (ab)3=ab3C. a8÷a2=a6D. (a2)3=a5
4.下列长度的三条线段能构成直角三角形的是( )
A. 1，1，2B. 1, 2, 3C. 2，3，4D. 4，5，6
5.如图，在▭ABCD中，∠A+∠C=80°，则∠D=( )
A. 80°B. 40°C. 70°D. 140°
6.矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A. 对角相等B. 对角线相等C. 对边相等D. 对角线互相平分
7.已知实数a在数轴上的对应点位置如图，则化简 (2−a)2+|1−a|的结果为( )
A. 1B. −1C. 2a−3D. 3−2a
8.如图，在平行四边形ABCD中，AB>AD，按如下步骤作图：①以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，交边AB于点E；②分别以点D和点E为圆心、大于线段DE长的一半为半径作圆弧，两弧交于点P；③作射线AP，交边CD于点F；④连结EF，下列结论不一定成立的是( )
A. AE=ADB. AF=ABC. EF=BCD. AD=DF
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.要使式子 x−3有意义，则x的取值范围是______．
10.若am=2，an=3，则a2m+n=______．
11.比较大小： 19 ______364(填“>”、“<”或“=”)．
12.如图，已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且AC与BD的和为18，AB=6，则△OCD的周长为______．
13.我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何？”大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长为8尺，求绳索AC长为多少？设绳索AC长为x尺，根据题意，可列方程为______．
14.如图，在菱形ABCD中，AC=24，BD=10.E是CD边上一动点，过点E分别作EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，连接FG，则FG的最小值为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
计算：
(1)(x+5y)(x−2y)；
(2)(12m3−6m2+3m)÷3m．
16.(本小题6分)
计算：
(1) 27− 12+ 45；
(2) 32× 25− 48÷ 3．
17.(本小题6分)
因式分解：
(1)m2−6m+9；
(2)xy3−16xy．
18.(本小题7分)
先化简，再求值：(a+2)2+a(a−4)−1，其中a= 3．
19.(本小题7分)
文化广场视野开阔，阻挡物少，是放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班两名学生为了测量风筝离地面的高度，进行了如下操作：如图，他们测得牵线放风筝同学的头顶与风筝的水平距离BD长为8米.已知牵线放风筝同学的身高AB为1.60米，放出的风筝线BC长为17米(其中风筝本身的长宽忽略不计)，求此刻风筝离地面的高度CE．
20.(本小题7分)
图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．
(1)在图①中，以AB为腰画一个等腰直角三角形；
(2)在图②中，画△ABC的高线CD；
(3)在图③中，在AB边上找一点E，连结CE，使得CE平分△ABC的面积．
21.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，AB/​/CD，AD/​/BC.过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若∠EDF=60°，AB=6，则四边形ABCD的面积为______．
22.(本小题9分)
阅读材料：
若x满足(x−3)(x−5)=16，求(x−3)2+(x−5)2的值．
解：设x−3=a，x−5=b，则ab=(x−3)(x−5)=16，a−b=(x−3)−(x−5)=2，
∴(x−3)2+(x−5)2=a2+b2=(a−b)2+2ab=22+2×16=36．
请仿照上面的方法求解下面问题：
(1)若x满足(x−2)(x−5)=10，求(x−2)2+(x−5)2的值；
(2)已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE=1，CF=3，分别以MF、DF为边长作正方形MFRN和正方形DFGH．
①MF= ______，DF= ______；(用含x的代数式表示)
②若长方形EMFD的面积为24，则阴影部分的面积为______．
23.(本小题10分)
综合与实践．
活动课上，老师让同学们翻折正方形ABCD进行探究活动，同学们经过动手操作探究，发展了空间观念，并积累了数学活动经验．
【问题背景】如图①，过点A引射线AH，交边CD于点H(点H与点D不重合).通过翻折，使点B落在射线AH上的点G处，折痕AE交BC于E，延长EG交CD于F．
【问题探究】：
(1)如图②，当点H与点C重合时，FG与FD的大小关系是______；△CFE是______三角形．
(2)如图③，当点H为边CD上任意一点时(点H与点C不重合)，连接AF，猜想FG与FD的数量关系，并说明理由．
(3)在(2)条件下，当AB=5，BE=3时，CF的长为______．
24.(本小题12分)
如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD//BC，AD=8，BC=4，CD=3，过点B作BE⊥AD于点E.若动点P从点A出发，沿折线AB−BC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，当点P不与点A、B重合时，连结PE，作点B关于直线PE的对称点B′，连结B′E、B′P，设点P的运动时间为t秒.(t>0)
(1)AB的长为______；
(2)用含t的代数式表示线段BP的长；
(3)当△BEP是以BE为腰的等腰三角形时，求t的值；
(4)当B′E与四边形ABCD的某条边平行时，直接写出t的值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】∵(±3)2=9，
∴9的平方根是±3，
故选：A．
根据平方根的定义计算即可得出结论．
本题考查了平方根，熟练掌握平方根的运算是求平方根的关键．
2.【答案】C
【解析】解：−227，0，1.101001是有理数；
5是无理数．
故选：C．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、a3与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、(ab)3=a3b3，原计算错误，不符合题意；
C、a8÷a2=a6，正确，符合题意；
D、(a2)3=a6，原计算错误，不符合题意．
故选：C．
根据合并同类项的法则、同底数幂的乘除法则、幂的乘方与积的乘方法则对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方与积的乘方法则，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵1+1=2，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵12+( 2)2=( 3)2，∴能构成直角三角形，正确，符合题意；
C、∵22+32≠42，∴不能构成直角三角形，不符合题意；
D、∵42+52≠62，不能构成直角三角形，不符合题意．
故选：B．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
5.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AB/​/CD，
∴∠A+∠D=180°，
∵∠A+∠C=80°，
∴∠A=∠C=40°，
∴∠D=180°−∠A=140°，
故选：D．
由平行四边形的性质得∠A=∠C，AB/​/CD，则∠A+∠D=180°，再求出∠A=40°，即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对角相等、邻角互补是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
7.【答案】A
【解析】解：由图知：1∴2−a>0，1−a<0，
∴原式=|2−a|+(a−1)
=2−a+a−1
=1．
故选：A．
根据二次根式的基本性质，先把二次根式写成绝对值的形式，再用绝对值的性质化简，最后计算．
本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，掌握二次根式的基本性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：由作法得AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠EAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AD=BC，
∴∠AFD=∠DAF，
∴AD=DF，
∵AD=AE，
∴DF=AE，
∵DF//AE，
∴四边形ADFE是平行四边形，
∴四边形ADEF是菱形，
∴AD=AE=DF=EF，
∴EF=BC，
故选：B．
利用基本作法克判定AE平分∠BAD，再根据平行四边形的性质得到AD/​/EF，则可判断四边形ADEF是平行四边形，再利用AE平分∠BAD证明∠AED=∠DAE，则AD=AE，然后根据菱形的判定方法可判断四边形ADEF是菱形．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的性质．
9.【答案】x≥3
【解析】解：要使式子 x−3有意义，必须x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式有意义的条件得出x−3≥0，再求出x的范围即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，能熟记二次根式有意义的条件(式子 a中a≥0)是解此题的关键．
10.【答案】12
【解析】解：∵am=2，an=3，
∴a2m+n=a2m⋅an=(am)2⋅an=22×3=12．
故答案为：12．
根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得a2m+n=a2m⋅an=(am)2⋅an，又由am=2，an=3，即可求得答案．
此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：(ab)n=anbn(n是正整数)与同底数幂的乘法法则：am⋅an=am+n(m,n是正整数)，注意公式的逆用．
11.【答案】>
【解析】解：364=4，
∵ 19> 16， 16=4，
∴ 19>4，
∴ 19>364．
故答案为：>．
首先求出364的值，然后根据 19> 16， 16=4，判断出 19与364的大小关系即可．
此题主要考查了算术平方根、立方根的含义和求法，以及实数大小比较的方法，解答此题的关键是求出364的值．
12.【答案】15
【解析】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=6，
∴OC+OD=12(AC+BD)=9，
∴△OCD的周长=OC+OD+CD=9+6=15．
故答案为：15．
根据平行四边形的对角线互相平分可得出OC+OD=12(AC+BD)，再由平行四边形的对边相等可得AB=CD=6，继而代入可求出△OCD的周长．
此题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平行四边形的对边相等及对角线互相平分的性质，难度一般．
13.【答案】(x−3)2+82=x2
【解析】解：设AC=x尺，则AB=(x−3)尺，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2=AC2，
即(x−3)2+82=x2，
故答案为：(x−3)2+82=x2．
设AC=x尺，则AB=(x−3)尺，由勾股定理得出方程(x−3)2+82=x2．
本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理得出方程是解题的关键．
14.【答案】6013
【解析】解：连接OE，作OH⊥CD于点H，
∵四边形ABCD是菱形，AC=24，BD=10，
∴AC⊥BD，OC=OA=12AC=12，OD=OB=12BD=5，
∴∠COD=90°，
∴CD= OC2+OD2= 122+52=13，
∵12CD⋅OH=12OC⋅OD=S△COD，
∴12×13OH=12×12×5，
解得OH=6013，
∵EF⊥OC于点F，EG⊥OD于点G，
∴∠OFE=∠OGE=∠FOG=90°，
∴四边形OGEF是矩形，
∴OE=FG，
∴OE≥OH，
∵FG≥6013，
∴FG的最小值为6013，
故答案为：6013．
连接OE，作OH⊥CD于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OC=12AC=12，OD=12BD=5，则CD= OC2+OD2=13，由12×13OH=12×12×5=S△COD，求得OH=6013，再证明四边形OGEF是矩形，则OE=FG，由OE≥OH，得FG≥6013，则FG的最小值为6013，于是得到问题的答案．
此题重点考查菱形的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
15.【答案】解：(1)(x+5y)(x−2y)
=x2−2xy+5xy−10y2
=x2+3xy−10y2；
(2)(12m3−6m2+3m)÷3m
=12m3÷3m−6m2÷3m+3m÷3m
=4m2−2m+1．
【解析】(1)先根据多项式乘多项式法则进行计算，再合并同类项即可；
(2)根据多项式除以单项式法则进行计算即可．
本题考查了多项式乘多项式和整式的除法，能正确根据运算法则进行计算是解此题的关键．
16.【答案】解：(1) 27− 12+ 45
=3 3−2 3+3 5
= 3+3 5；
(2) 32× 25− 48÷ 3
= 32×25− 483
= 645− 16
=8 55−4．
【解析】(1)先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
(2)先算乘除，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式=(m−3)2；
(2)原式=xy(y2−16)
=xy(y+4)(y−4)．
【解析】(1)原式利用完全平方公式分解即可；
(2)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】解：(a+2)2+a(a−4)−1
=a2+4a+4+a2−4a−1
=2a2+3，
当a= 3时，
原式=2×( 3)2+3=9．
【解析】根据完全平方公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
此题考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
19.【答案】解：由题意得∠BDC=90°，BC=17m，BD=8m，DE=1.6m，
∴在Rt△CDB中，CD2=BC2−BD2，解得CD=15m，
∴CE=CD+DE=15+1.6=16.6m，
∴此刻风筝离地面的高度CE为16.6米．
【解析】利用勾股定理求出CD的长，即可解决问题．
本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图①，△ABC(△ABC′)即以AB为腰的等腰直角三角形；

∵AD=AE，∠ADC=∠AEB，CD=BE，
∴△ADC≌△AEB(SAS)，
∴AB=AC，∠BAE=∠CAD，
∵∠DAC+∠CAE=90°，
∴∠BAE+∠CAE=∠BAC=90°，
∴△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形；
(2)如图②，画△ABC的高线CD；

同(1)得△CEF≌△AEB(SAS)，
∴∠BAE=∠FCE，
∵AE=CE，∠AEC=90°，
∴∠EAC+∠ECA=∠EAC+∠FCA+∠FCE=90°，
∴∠EAC+∠FCA+∠BAE=90°，
∴∠BAC+∠FCA=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD是△ABC的高线；
(3)如图③，以AB为对角线作矩形AMBN，AB、MN交于点E，连接CE．

∵矩形AMBN，AB、MN交于点E，
∴AE=BE，
∴CE平分△ABC的面积．
【解析】(1)根据全等三角形的判定和性质作△ADC≌△AEB，则AB=AC，∠BAE=∠CAD，可得△ABC是以AB为腰的等腰直角三角形；
(2)根据全等三角形的判定和性质作△CEF≌△AEB，则∠BAE=∠FCE，推出∠BAC+∠FCA=90°，可得CD⊥AB，即可得CD是△ABC的高线；
(3)以AB为对角线作矩形AMBN，AB、MN交于点E，连接CE即可得答案．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21.【答案】18 3
【解析】(1)证明：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，
∴∠AED=∠CFD=90°，
∵AB/​/CD，AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
在△ADE和△CDF中，
∠A=∠C∠AED=∠CFDDE=DF，
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴AD=CD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=6，∠A+∠B=180°，
∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠EDF=60°，
∴∠B=360°−60°−90°−90°=120°，
∴∠A=60°，∠ADE=30°
∴AE=12AD=3，DE= AD2−AE2=3 3，
∴S四边形ABCD=AB⋅DE=6×3 3=18 3．
故答案为：18 3．
(1)由AB/​/CD，AD//BC，证明四边形ABCD是平行四边形，再证明△ADE≌△CDF，得AD=CD，即可证明四边形ABCD是菱形；
(2)由四边形ABCD是菱形．得AD=AB=6，∠A+∠B=180°，再结合DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，∠EDF=60°，得出∠B=120°，∠A=60°，∠ADE=30°，得出DE=3 3，根据S四边形ABCD=AB⋅DE即可求解．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明△ADE≌△CDF是解题的关键．
22.【答案】x−1 x−3 20
【解析】解：(1)设x−2=a，x−5=b，
∴a−b=x−2−(x−5)=3，
∵(x−2)(x−5)=10，
∴ab=10，
∴(x−2)2+(x−5)2
=a2+b2
=(a−b)2+2ab
=32+2×10
=9+20
=29，
∴(x−2)2+(x−5)2的值为29；
(2)①由题意得：MF=x−1，DF=x−3，
故答案为：x−1；x−3；
②由题意得MF=x−1，DF=x−3，则(x−1)(x−3)=24，
设x−1=a，x−3=b.则(x−1)(x−3)=ab=24，a−b=x−1−x+3=2，
∴(x−1+x−3)2=(a+b)2=(a−b)2+4ab=22+4×24=100，
∵a≥0，b≥0，
∴x−1+x−3=a+b= 100=10，
∴阴影部分面积为(x−1)2−(x−3)2=a2−b2=(a+b)(a−b)=10×2=20．
(1)设x−5=a，x−2=b，分别得出ab=10，(a−b)2=9，进而得出答案；
(2)①根据题意及图形解答即可；
②设x−1=a，x−3=b.则(x−1)(x−3)=ab=24，a−b=x−1−x+3=2，根据(a+b)2=(a−b)2+4ab求妯a+b的值，最后根据阴影部分面积为(x−1)2−(x−3)2=a2−b2利用平方差公式即可得出答案．
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式的应用，牢记(a+b)2，(a−b)2，a2+b2，a2−b2，a+b，a−b，ab之间的关系并灵活切换是解题的关键．
23.【答案】FG=FD 等腰直角 154
【解析】解：(1)如图②中，连接AF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠D=∠ECF=90°，AB=AD，
由翻折可知：AG=AB，∠AEG=∠B=90°，
∴∠AGF=∠D=90°，
∵AF=AF，AD=AG，
∴△AFD≌△AFG(HL)，
∴FG=FD．
∵∠CGE=90°，∠GCE=45°，
∴∠CEF=45°，
∵∠ECF=90°，
∴∠CEF=∠CFE=45°，
∴CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形．
故答案为：FG=FD；等腰直角；
(2)结论：FG=FD，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形的对角线，
∴∠B=∠D=90°，AD=AB，
由翻折可知∠AGF=∠B=∠D=90°，AG=AB=AD，
∵AF=AF，
∴Rt△AGF≌Rt△ADF(HL)，
∴FG=FD；
(3)设FG=x，则FC=5−x，FE=3+x．
在Rt△ECF中，FE2=FC2+EC2，
∴(3+x)2=(5−x)2+22．
解得x=54，
∴FG的长为54，
∴CF=CD−FD=5−54=154，
故答案为：154．
(1)根据HL证明△AFD≌△AFG(HL)，∠CEF=∠CFE=45°即可解决问题；
(2)结论：FG=FD.证明方法类似(1)；
(3)设FG=x，则FC=5−x，FE=3+x.利用勾股定理构建方程求出CF即可．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．
24.【答案】5
【解析】解：(1)∵BE⊥AD，AD//BC，
∴∠CBE=∠BED=∠D=90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴BE=CD=3，BC=DE=4，
∴AE=AD−DE=4，
在Rt△ABE中，
∵AE=4，BE=3，
∴AB= AE2+BE2=5；
故答案为：5；
(2)当0∵点P从点A出发，速度为每秒1个单位长度，
∴AP=t，
∴BP=AB−AP=5−t，
当5此时点P所走的路程为t，
∴BP=t−AB=t−5，
综上所述，当0(3)当BP=BE=3时，
若点P在线段AB上，
得5−t=3，
解得t=2，
若点P在线段BC上，
得t−5=3，
解得t=8；
当BE=PE=3时，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，
∵BE=PE，EF⊥AB，
∴BF=PF=12BP=5−t2，
∵∠EBF=∠ABE，∠BFE=∠BEA=90°，
∴△BEF∽△BAE，
∴BFBE=BEAB，
∴5−t23=35，
解得t=75；
综上所述，当△BEP是以BE为腰的等腰三角形时，t的值为2或8或75；
(4)当B′E//CD时，
得t=0；
当B′E//AB时，
∴∠ABB′=∠BB′E，BE=B′E，
∴∠B′BE=∠BB′E，
∴∠B′BE=∠ABB′，
∵BB′⊥PE，
∴BP=BE=3，
∴5−t=3，
∴t=2；
当B′E//AB时，
∴BC=AE=4，BC/​/AE，BE=B′E=3，BP=B′P，∠EBP=∠EB′P=90°，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴AB=EC=5，AB/​/EC，
∴E、B′、C三点共线，
∴B′C=5−3=2，∠CB′P=90°，
∴B′C2+PB′2=PC2，
∴4+BP2=(4−BP)2，
∴BP=1.5，
∴t−5=1.5，
∴t=6.5；
当B′E/​/BC时，
∴∠PBE=∠BEB′=90°，BE=B′E，BP=B′E，
∴四边形BEB′P是正方形，
∴BP=BE=3，
∴t−5=3，
∴t=8；
综上所述，当B′E与四边形ABCD的某条边平行时，t的值为0或2或6.5或8．
(1)证明四边形BCDE是矩形，根据矩形的性质和勾股定理即可求出结果；
(2)分当0(3)分当BP=BE=3时，当BE=PE=3时，两种情况，根据相似三角形的性质即可求出结果；
(4)分当B′E//CD时，当B′E//AB时，当B′E/​/BC时，三种情况，结合特殊四边形的性质即可求出结果．
本题考查了矩形的性质和判定，正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，轴对称的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，本题的关键是熟练运用矩形和平行四边形的性质解题．