高二数学开学摸底考02（上海专用）（测试范围：必修三+选修一）-2023-2024学年高二数学下学期开学摸底考试卷.zip

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1.． 2. 9． 3. 0． 4. ．
5. ． 6. ． 7. ③④ 8. 3或6．
9. ． 10. ． 11. 或． 12. ，．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
三、解答题（本大题共有5题，17-19题每题14分，20-21题18分，满分78分）
17.（14分）解：（1）频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1，
即，得，
，的频率为，
，的频率为，
中位数为．
（2）打分区间在，的同学共有人，分别记为，，
打分区间在，的同学共有人，分别记为，，，，
从这6人中随机抽出2位同学，共有以下15种情况：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中，至少有一位同学来自打分区间，共有14种情况，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，
所以至少有一位同学来自打分区间，的概率为．
18（14分）解：（1）根据题意，，
，
由于，则，
则；
（2）证明：由（1）的结论：，，，
则有，则向量、、共面，必有，，，四点共面．
19.（14分）解：（1）由题意可得，（万元），（万元）；
（2）设第年太空椅获利万元，办公桌获利万元，
则，，
，
当且仅当，即时等号成立，
故第2006年两产品获利最小；
（3）由，
令，则有，即，
解得或（舍去），
，当时，，
当时，，
故至少经过7年即可超过预期计划．
20.（18分）（1）证明：中，，是中点，，
且．
在中，连接，
，
且，
在中，，，，
，故．
平面；
（2）解：取中点，连接、、，
中，、分别为、中点，
，且．
在中，、分别为、的中点，
且．
异面直线与所成角等于（或其补角）．
又是斜边上的中线，
，
等腰中；
（3）解：如图建立空间直角坐标系，设平面的法向量为，，，
，，
则，即．
令，得．
又，
点到平面的距离．
21.（18分）解：（Ⅰ）①数列具有“性质（2）”；
②数列不具有“性质（2）”．
（Ⅱ）证明：先证“充分性”：
当数列具有“性质（2）”时，有，
又因为，
所以，
进而有
结合有，
即“数列为常数列”；
再证“必要性”：
若“数列为常数列”，
则有，
即“数列具有“性质（2）”．
（Ⅲ）首先证明：．
因为具有“性质（4）”，
所以．
当时，有．
又因为，且，
所以有，，
进而有，
所以，
结合可得：．
然后利用反证法证明：．
假设数列中存在相邻的两项之差大于3，
即存在满足：或，
进而有．
又因为，
所以
依此类推可得：，矛盾，
所以有．
综上有：，
结合可得，
经验证，该通项公式满足，
所以：．
13
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16
D
A
B
D