【开学摸底考】九年级数学（江苏专用）01-2023-2024学年九年级数学下学期开学摸底考试卷.zip

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：苏科版九年级上册+下册。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．关于x的一元二次方程的根的情况（ ）
A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根
C．只有一个实数根D．没有实数根
【答案】B
【分析】求出一元二次方程的判别式，根据判别式即可得到答案，此题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的个数关系是解题的关键．
【详解】解：对于x的一元二次方程来说，
∵，
∴一元二次方程有两个相等实数根，
故选：B．
2．在一个不透明的盒子中装有红球和白球共10个，这些球除颜色外无其他差别．随机从中摸出1个，记下颜色后，放回并摇匀，通过大量实验后发现摸出白球的频率逐渐稳定于，则盒子中白球的个数可能是（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸出白球的概率为，再根据摸出白球的概率等于白球的数量除以球的总数进行求解即可．
【详解】解：∵通过大量实验后发现摸出白球的频率逐渐稳定于，
∴摸出白球的概率为，
∴白球的个数可能是，
故选A．
3．某同学对数据27，38，38，49，5■，53进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（ ）
A．平均数B．中位数C．方差D．众数
【答案】B
【分析】本题考查了方差,众数，利用平均数、众数、中位数、方差的定义对各选项进行判断即可．
【详解】解：这组数据的平均数、众数、方差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为38与49的平均数，与被涂污数字无关．
故选：B．
4．如图，下列条件不能判定与相似的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解决问题的关键是掌握相似三角形的判定定理：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
【详解】解：由图得：
∴当或或时，；
当时，．
A选项中不是成比例的两边的夹角．
故选：A．
5．圆锥的底面圆半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查的是圆锥的计算，根据扇形面积公式计算即可，掌握扇形面积公式是解题的关键．
【详解】解：圆锥的侧面积为：，
故选：B．
6．已知抛物线，下列结论错误的是（ ）
A．抛物线开口向上B．抛物线与x轴没有交点
C．抛物线的顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解．
【详解】抛物线中，，抛物线开口向上，因此A选项正确，不符合题意；
由解析式得，抛物线的顶点坐标为，开口向上，故抛物线与x轴没有交点，故B选项正确，不符合题意；由解析式得，抛物线的顶点坐标为，因此C选项正确，不符合题意；
因为抛物线开口向上，因此当时，y随x的增大而增大，因此D选项错误，符合题意；
故选：D．
7．在如图所示的网格中，小正方形的边长为，点、、、都在格点上，与相交于点，则的正切值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，如图，取格点、，连接、、、，证明，可得，继而得到，推出，再根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，再解直角三角形求出即可．解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
【详解】解：如图，取格点、，连接、、、，
∵在如图所示的网格中，小正方形的边长为，
∴点、、共线，点、、共线，
∴，，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴的正切值是．
故选：C．
8．如图，在矩形中，，，点从点出发，沿折线运动，过点作对角线的垂线，交折线于．设点运动的路程为，的面积为，则关于的函数图象大致为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分、、三段范围，根据证明分别表示出的面积，得到函数解析式，再判断其图象即可．
【详解】解：如图，当时，点在边上，点在边上，
，
，
，
，
，
，即，
，
,
图象是开口向上的抛物线，
如图，当时，点在边上，点在边上，
，
则中，边上的的高为2，
，
图象是一次函数，且随着的增大而增大，
时，图象是线段，
如图，当时，点在边上，点在边上，
，
在矩形中，，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
当时，图象是开口向下的抛物线，
故选：D．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，相似三角形的判定和性质，二次函数的图象，解题的关键是根据动点运动的情况表示出的面积．
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9．已知一元二次方程的两根分别为、，则 .
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系；
根据一元二次方程的两根之积等于列式计算即可．
【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为、，
∴，
故答案为：．
10．若一组数据4，6，6，5，6，8，x的众数与平均数相等，则x的值为 ．
【答案】7
【分析】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数叫这组数据的众数．
根据众数的概念得到这组数据的众数只可能为6，然后根据众数与平均数相等列方程，即可得到的值．
【详解】解：这组数据的众数只可能为6，
∴平均数，
故答案为：7．
11．若线段长为，是的黄金分割点且，则线段 ．
【答案】/
【分析】根据黄金分割的概念及得到，从而求出的长，再根据进行计算即可得到答案．
【详解】解：是的黄金分割点且，
，
线段长为，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了黄金分割，一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这个点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，并且较长线段是整个线段的倍．
12．如图，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中，，，小明蒙上眼睛用棍子击中了锣面，他击中阴影部分的概率是 ．

【答案】
【分析】本题考查了勾股定理，几何概率．正确求解阴影部分的面积是解题的关键．
由勾股定理得，，根据，计算求解，根据概率为，计算求解即可．
【详解】解：由勾股定理得，，
∴，
∴他击中阴影部分的概率是，
故答案为：．
13．如图，在中，直径与弦相交于点P，，若，，则 ．

【答案】
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．过点O作于点D，连接，先根据是直径，求出的半径，故可得出的长，根据，得出是等腰直角三角形，再根据勾股定理求出的长，故可得出的长，由此即可得出结论．
【详解】解：如图所示，过点O作于点D，连接，则，

∵是的直径，，，
∴的半径，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，根据勾股定理得：
，
∴．
故答案为：．
14．如图，在四边形中，，，，对角线平分．，则的面积为

【答案】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，利用角平分线的定义可得，求出的长度，利用勾股定理求出的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可．
【详解】解：过点作，垂足为，
对角线平分．，
，
，
，，
，
，
，
，
，
．

故答案为：．
15．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．

【答案】，
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的交点问题是解题的关键．由关于x的方程可化为，根据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程的解．
【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，，
∴联立二次函数及一次函数解析式可得，即，
∴关于x的方程的解为，；
故答案为，．
16．如图，在中，，点是边上的一点，过点作，交于点，作的平分线交于点，连接．若的面积是2，则点到的距离为 ，的值是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的定义等知识，首先由勾股定理求出的长，由面积法得点到的距离为，点到的距离为，从而得出，再根据角平分线的定义和平行线的性质得，从而解决问题，熟练掌握相似三角形对应线段的比等于相似比是解题的关键．
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
设点到的距离为，
的面积是2，
，即，
∴点到的距离为，
设点到的距离为，
，
，
在中，点到的距离为，
设点到的距离为，
∴点到的距离为，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，．
三、解答题：本题共10小题，共88分.其中17-21题每题8分，22-23题每题10分，24-25题每题12分，第26题14分
17．计算：
(1)（公式法）；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，掌握运用公式法和因式分解法解一元二次方程成为解答本题的关键．
（1）先用根的判别式判定方程根的情况，然后再运用求根公式解答即可；
（2）直接运用因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：，
，
∴，
∴．
（2）解：，
，
∴．
18．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课开讲．神舟十四号飞行乘组航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲为广；大青少年带来了一堂精彩的太空科普课．为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，九年级在此次太空科普知识竞赛中，有A、B、C、D四名同学的竞赛成绩为满分．
(1)若学校要从九年级这4名满分的同学中随机选取1名同学，参加周一国旗下的演讲，则A同学被选中的概率是_______．
(2)若九年级4名满分同学中A和B是女生，C和D是男生，若要从这4名满分同学中随机同时抽取两名同学，参加周一国旗下的演讲，请用画树状图或列表的方法求出抽到两名女生的概率．
【答案】(1)
(2)抽到两名女生的概率为
【分析】本题考查了树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式，即可进行解答；
（2）画出树状图，数出所有的情况数和符合题意的情况数，再根据概率公式，即可求解．
【详解】（1）∵有4名同学，
∴A同学被选中的概率是；
故答案为：．
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽到两名女生的有2种结果，
所以抽到两名女生的概率为．
19．如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）

(1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点；
(2)在图2中，以点O为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点．
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出，满足，则满足；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出．
【详解】（1）解：如图，即为所求作；

（2）如图，即为所求作．

【点睛】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
20．如图，已知，点E在边上，连接，交对角线于点F，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质；
（1）根据平行四边形的性质证明，即可证明；
（2）根据相似三角形的性质可得，再根据即可求解．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
又∵，
∴．
又∵，
∴．
（2）解：∵，
∴＝，即＝，
∴．
∴．
21．如图，在中，直径与弦相交于点P，，．

(1)求的大小；
(2)已知圆心O到的距离为4，求的长．
【答案】(1)
(2)8
【分析】本题主要考查了圆周角定理：
（1）由同弧所对的圆周角相等求得，根据三角形外角性质求解即可；
（2）过点O作于点E，则，根据直径所对的圆周角是直角，以及平行线的判定知，又由O是直径的半径可以判定O是的中点，由此可以判定是的中位线，最后根据三角形的中位线定理计算的长度．
【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到，
∵，，
∴；
（2）过点O作于点E，则圆心O到的距离，

∵是直径，
∴，
∴，
∴，
又∵O是的中点，
∴是的中位线，
∴．
22．为进一步宣传防溺水知识，提高学生防溺水的能力，某校组织七、人年级学生进行防溺水知识竞赛（满分100分）．现分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成绩：（单位：分）
进行统计、整理如下：
七年级：86，90，79，84，74，93，76，81，90，87．
八年级：85，76，90，81，84，92，81，84，83，84．
七、八年级测试成绩频数统计表
七、八年级测试成绩分析统计表
根据以上信息，解答下列问题：
(1)______，______，______；
(2)如果把分数不低于85分记为“优秀”，现七、八年级共有1200名学生，该估计七八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数；
(3)你认为哪个年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)
(3)八年级
【分析】本题主要考查样本估计总体，众数，熟练掌握平均数，中位数，众数，方差是解题的关键．
（1）从题目中给出的七、八年级中各随机抽取名学生的测试成绩中可直接求出的值，很根据中位数的定义求出；
（2）分别求出七、八年级优秀的比例，再乘以总人数即可；
（3）根据两种数据的平均数相同，通过方差的大小直接比较即可．
【详解】（1）解：八年级中随机抽取10名学生的测试成绩有名学生的成绩低于分，
，
根据众数的定义可知，
把七年级10名学生的测试成绩排好顺序为，
根据中位数的定义得：，
故答案为：，，；
（2）解：七年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为，
八年级10名学生的分数不低于85分所占的比例为
七、八年级在本次知识竞赛中成绩优秀的学生人数，
（3）解：由于七、八年级测试成绩的平均数相等，八年级测试成绩的方差小于七年级测试成绩的方差，
故八年级的学生学提防溺水知识的总体水平较好．
23．如图1是一辆汽车的侧面示意图，其中矩形表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，当旋转角为时，箱盖落在的位置（如图2），，，．

(1)若，求点、两点之间的距离；（参考数据：，）
(2)若，求、两点之间的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，等边三角形的判定及性质，三角函数；
（1）连接，作交于，由旋转的性质可得，，再由等腰三角形的性质可求，由正弦函数的定义可得，即可求解；
（2）连接，由旋转的性质得，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，再由勾股定理得，即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，能根据题意构建直角三角形进行求解是解题的关键．
【详解】（1）解：如图2，连接，作交于，

由题意得：，，
，
在中，
，
，
；
答：点、两点之间的距离约为；
（2）解：如图3，连接，

由题意得：，，
为等边三角形，
，
在中，
则
，
；
答：、两点之间的距离为．
24．某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．
(2)每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)，且为正整数
(2)每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元
(3)每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系，列出关系式，以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据总利润=单件利润×数量，即可列出函数关系式；
（2）把代入（1）中得出的函数关系式，算出自变量的值，即可解答；
（3）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数，
∴自变量的取值范围为，且为正整数．
（2）解：当时，，
解得（不合题意，舎去）．
则（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（3）解：由题意得，
∵，且m为正整数，
当时，，
当时，，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
25．如图，二次函数的图象与x轴交于点，B，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与交于点E，与x轴交于点F．
(1)填空：点B的坐标是 ；
(2)若，求抛物线的表达式；
(3)在（2）的条件下，点G是第一象限内抛物线对称轴l上一点，且，求点G的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，由抛物线的对称性可求点B坐标；
（2）先求出点E，点D坐标，由可列等式，求a的值，即可求解；
（3）通过证明，可得，可证点A，点C，点B，点G四点共圆，即可求解．
【详解】（1）∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴是直线，
∵抛物线与x轴交于、B两点，
∴点B；
故答案为：；
（2）当时，，
∴点，
∵抛物线，与y轴交于点C，
∴点，
又∵点，
∴直线BC的解析式为，
当时，，
∴点，
∵，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为；
（3）如图，
∵点，点，点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点A，点C，点B，点G四点共圆，
∵，
∴，
∴，
∴是直径，
∴点F是圆心，
∴，
∴点．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．【特例感知】
（1）如图1，是圆的直径，O为圆心，A，P为圆上的两点，若，， 则 ；
【类比迁移】
（2）如图2，在中，，，，点P在直线的右侧，且满足，请探究线段最小值；
【问题解决】
（3）建华广告公司承接了一项业务，广告内容呈现在一块宽米，高米矩形板材上，如图3所示，由于工作需要，设计师想在这块板材上找一点P安装镀金字，需要裁出，客户设想点P要满足，且就非常完美了． 请问设计师能找到符合客户设想的P点吗？如果可以，请帮他计算所截得的的面积；如果不能，请说明你的理由．
【答案】（1）；（2）；（3）能找到，
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，利用圆周角定理可得，再根据正弦的定义计算即可；
（2）在上截取，可得，然后以为直径作，根据圆周角定理可知点P在上时满足，即，连接交于P，则此时取最小值，然后求出和，利用勾股定理求出和，得到的半径，进而可得的值；
（3）在上截取，可得，然后以为直径作交于K，证明点P在上，且在的角平分线上时满足题意，然后求出、和的值，证明，利用相似三角形的性质求出，得到的值，进而可得，然后利用三角形面积公式计算即可．
【详解】解：（1）∵是圆的直径，，
∴，，
又∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图，在上截取，以为直径作，
∵，
∴过点A，，
连接交于P，连接、，则，
∴，此时取最小值，
过点O作于D，则，
∴，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
即线段最小值为；
（3）如图，在上截取，
∵，，
∴，
∴，
以为直径作交于K，则过点A，
当点P在上时，，
∴，
又∵，且，
∴点P到和的距离相等，
∴点P在的角平分线上，
如图，连接并延长交于J，连接，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴是直径，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
过点P作于M，则是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，圆周角定理及其推论，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义，学会利用圆周角定理寻找相等的角所在的位置是解题的关键．
七年级
3
4
3
八年级
1
7
a
平均数
中位数
众数
方差
七年级
84
b
90
八年级
84
84
c