72，江苏省清河中学2022-2023学年高二下学期3月阶段测试数学试卷(1)

这是一份72，江苏省清河中学2022-2023学年高二下学期3月阶段测试数学试卷(1)，共4页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题
1.A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.B 7.C 8.D
二、多项选择题
9．ACD 10．BCD 11.AC 12．ABD
三、填空题
13．1 14．eq \r(3) 15．eq \f(1,4) 16. －7 eq \f(\r(337),5)
16.解析 如图所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，足分别为E，F，则AC＝5，DE＝BF＝eq \f(12,5)，
AE＝CF＝eq \f(9,5)，EF＝eq \f(7,5)，折叠后，DE，EF，FB的长度保持不变，
所以eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))·(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝5×4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＋5×3×eq \f(3,5)＝－7，
故|eq \(BD,\s\up6(→))|2＝(eq \(BF,\s\up6(→))＋eq \(FE,\s\up6(→))＋eq \(ED,\s\up6(→)))2＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(FE,\s\up6(→))＋2eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))＋2eq \(FE,\s\up6(→))·eq \(ED,\s\up6(→))
＝|eq \(BF,\s\up6(→))|2＋|eq \(FE,\s\up6(→))|2＋|eq \(ED,\s\up6(→))|2＋0＋0＋0＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,5)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,5)))2＝eq \f(337,25)，得BD＝eq \f(\r(337),5).
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17.解 eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CN,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(CM,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AM,\s\up6(→))－eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)[eq \(AM,\s\up6(→))－(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))]
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AM,\s\up6(→)).所以eq \(BN,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c，|eq \(BN,\s\up6(→))|2＝eq \(BN,\s\up6(→))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋\f(1,2)c))2
＝eq \f(1,4)(a2＋b2＋c2－2a·b－2a·c＋2b·c)＝eq \f(17,4).所以|eq \(BN,\s\up6(→))|＝eq \f(\r(17),2)，即BN的长为eq \f(\r(17),2).
18.解 (1)∵eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2，－1,3)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(1，－3,2)，∴cs∠BAC＝eq \f(\(AB,\s\up6(→))·\(AC,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))||\(AC,\s\up6(→))|)＝eq \f(7,\r(14)×\r(14))＝eq \f(1,2)，
又∵∠BAC∈[0，π]，∴∠BAC＝eq \f(π,3)，∴S＝|eq \(AB,\s\up6(→))||eq \(AC,\s\up6(→))|sin eq \f(π,3)＝7eq \r(3).
(2)设a＝(x，y，z)，由a⊥eq \(AB,\s\up6(→))，得－2x－y＋3z＝0，由a⊥eq \(AC,\s\up6(→))，得x－3y＋2z＝0，
由|a|＝eq \r(3)，得x2＋y2＋z2＝3，∴x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1.
∴a＝(1,1,1)或a＝(－1，－1，－1)．
19.(1)证明 如图，以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(a,2)，0))，P(0,0，a)，
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，\f(a,2)，\f(a,2))).eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,2)，0，\f(a,2)))，eq \(DC,\s\up6(→))＝(0，a,0)，∵eq \(EF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，∴eq \(EF,\s\up6(→))⊥eq \(DC,\s\up6(→))，即EF⊥CD.
(2)解 设G(x,0，z)，则eq \(FG,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))，若使GF⊥平面PCB，则需eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝0且eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝0，由eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(a,0,0)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))＝0，得x＝eq \f(a,2)，由eq \(FG,\s\up6(→))·eq \(CP,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)，－\f(a,2)，z－\f(a,2)))·(0，－a，a)＝eq \f(a2,2)＋aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(z－\f(a,2)))＝0，得z＝0.
∴G点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，0，0))，即G为AD的中点时，GF⊥平面PCB.
20.解 (1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.则eq \(DA,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq \(CC′,\s\up6(—→))＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.
在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设eq \(DH,\s\up6(→))＝(m，m,1)(m>0)，
由已知得〈eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DH,\s\up6(→))〉＝60°，由eq \(DA,\s\up6(→))·eq \(DH,\s\up6(→))＝|eq \(DA,\s\up6(→))||eq \(DH,\s\up6(→))|cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DA,\s\up6(→))〉，
可得2m＝eq \r(2m2＋1).
解得m＝eq \f(\r(2),2)，所以eq \(DH,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).
因为cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(CC′,\s\up6(—→))〉＝eq \f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,\r(2)×1)＝eq \f(\r(2),2)，
所以〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(CC′,\s\up6(—→))〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.
(2)由题意得，平面AA′D′D的一个法向量是eq \(DC,\s\up6(→))＝(0,1,0)，因为cs〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉
＝eq \f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))＝eq \f(1,2)，所以〈eq \(DH,\s\up6(→))，eq \(DC,\s\up6(→))〉＝60°，
可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.
21.(1)证明 依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得A(0,0,0)，
B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，
P(0,0,2)．
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，
所以eq \(BE,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq \(DC,\s\up6(→))＝(2,0,0)，
故eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝0，
所以BE⊥DC.
(2)解 eq \(BC,\s\up6(→))＝(1,2,0)，eq \(CP,\s\up6(→))＝(－2，－2,2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(2,2,0)，eq \(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)．
由点F在棱PC上，设eq \(CF,\s\up6(→))＝λeq \(CP,\s\up6(→))(0≤λ≤1)，
故eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CF,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋λeq \(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，
则2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝eq \f(3,4)，
即eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2))).
设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AB,\s\up6(→))＝0，,n1·\(BF,\s\up6(→))＝0))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＋\f(3,2)z＝0.))
不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3,1)为平面FAB的一个法向量．
易知向量n2＝(0,1,0)为平面ABP的一个法向量，
则cs〈n1，n2〉＝eq \f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq \f(－3,\r(10)×1)＝－eq \f(3\r(10),10).
由图可知，二面角F－AB－P为锐角，
所以二面角F－AB－P的余弦值为eq \f(3\r(10),10).
22.(1)证明 在梯形ABCD中，连接BE(图略)，
∵AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为中点，
∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，
∴OB⊥AE，OD⊥AE，
即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，
OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，
∴AE⊥平面POB.
又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE.
(2)由(1)可知四边形ABED为菱形，
∴AD＝DE＝2，
在等腰梯形ABCD中，AE＝BC＝2，
∴△PAE为正三角形，∴OP＝eq \r(3)，同理OB＝eq \r(3)，
∵PB＝eq \r(6)，∴OP2＋OB2＝PB2，∴OP⊥OB.
由(1)可知OP⊥AE，OB⊥AE，
以O为原点，eq \(OE,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OP,\s\up6(→))分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz，
则P(0,0，eq \r(3))，A(－1,0,0)，B(0，eq \r(3)，0)，C(2，eq \r(3)，0)，
E(1,0,0),
∴eq \(AP,\s\up6(→))＝(1,0，eq \r(3))，eq \(PB,\s\up6(→))＝(0，eq \r(3)，－eq \r(3))，
eq \(PC,\s\up6(→))＝(2，eq \r(3)，－eq \r(3))，eq \(AE,\s\up6(→))＝(2,0,0)，
设eq \(PQ,\s\up6(→))＝λeq \(PB,\s\up6(→))(0<λ<1)，
eq \(AQ,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(PQ,\s\up6(→))＝eq \(AP,\s\up6(→))＋λeq \(PB,\s\up6(→))＝(1，eq \r(3)λ，eq \r(3)－eq \r(3)λ)，
设平面AEQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AE,\s\up6(→))＝0，,n·\(AQ,\s\up6(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝0，,x＋\r(3)λy＋\r(3)－\r(3)λz＝0，))
取x＝0，y＝1，得z＝eq \f(λ,λ－1)，
∴n＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(λ,λ－1)))，
设直线PC与平面AEQ所成角为θ，θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
则sin θ＝|cs〈eq \(PC,\s\up6(→))，n〉|＝eq \f(|\(PC,\s\up6(→))·n|,|\(PC,\s\up6(→))||n|)＝eq \f(\r(15),5)，
即eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\r(3)＋\f(\r(3)λ,1－λ))),\r(10)\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,λ－1)))2))＝eq \f(\r(15),5)，
化简得4λ2－4λ＋1＝0，解得λ＝eq \f(1,2)，
∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为eq \f(\r(15),5).