01集合与常用逻辑用语-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新

这是一份01集合与常用逻辑用语-北京市2023-2024学年高一上学期期末数学专题练习（人教A版，2019新，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知函数，则“，使”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
2．（2024上·北京昌平·高一统考期末）高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：
①有人通过了体能测试：
②同学甲没有通过体能测试；
③有人没有通过体能测试.
若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（ ）
A．只有1名同学通过了体能测试B．只有1名同学没有通过体能测试
C．30名同学都通过了体能测试D．30名同学都没通过体能测试
3．（2024上·北京昌平·高一统考期末）已知集合，，则集合（ ）
A．B．C．D．
4．（2024上·北京海淀·高一统考期末）命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2024上·北京顺义·高一统考期末）已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024上·北京海淀·高一统考期末）已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2024上·北京通州·高一统考期末）已知全集，，则（ ）
A．B．
C．或D．或
8．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）命题“，都有”的否定为（ ）
A．，使得B．，使得
C．，都有D．，都有
9．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
10．（2024上·北京顺义·高一统考期末）命题“，使得”的否定为（ ）
A．，B．，都有
C．，D．，都有
11．（2024上·北京东城·高一统考期末）已知集合,，则（ ）
A．B．C．D．
12．（2024上·北京丰台·高一统考期末）记为非空集合A中的元素个数，定义.若，，且，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
13．（2023上·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，集合，则 ．
14．（2023上·北京丰台·高一统考期末）能说明“，”是假命题的一个实数a的取值是 ．
15．（2022上·北京·高一北京师大附中校考期末）若“”的必要不充分条件是“”，则实数a的取值范围是 ．
16．（2022上·北京怀柔·高一统考期末）已知集合，，则集合 .
17．（2022上·北京大兴·高一统考期末）集合的非空子集是 ．
18．（2022上·北京丰台·高一统考期末）已知命题“，”是真命题，那么实数a的取值范围是 .
三、解答题
19．（2024上·北京通州·高一统考期末）已知有个连续正整数元素的有限集合（，），记有序数对，若对任意，，，且，A同时满足下列条件，则称为元完备数对.
条件①：；
条件②：.
(1)试判断是否存在3元完备数对和4元完备数对，并说明理由；
(2)试证明不存在8元完备数对.
20．（2024上·北京密云·高一统考期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
21．（2024上·北京密云·高一统考期末）已知集合，.
(1)当时，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
22．（2024上·北京朝阳·高一统考期末）已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．
参考答案：
1．B
【分析】由不等式有解得到的取值范围，从而得到充分性不成立；通过，判断函数对应的不等式有解，说明必要性成立.
【详解】由” ，使”，即，所以，
即，充分性不成立；
已知函数，当“”时，，函数与轴有两个交点，所以“，使”成立，即必要性成立.
综述，已知函数，则“，使”是“”的必要而不充分条件.
故选：B.
2．C
【分析】根据给定条件，分析确定正确的一个判断，即可求得正确答案.
【详解】“有人通过了体能测试”与“有人没有通过体能测试”不可能都为真，
若“同学甲没有通过体能测试”为真，则“有人没有通过体能测试”必真，不符合题意，
因此“同学甲没有通过体能测试”是假的，即同学甲通过了体能测试，②假，①真，③假，
由“有人没有通过体能测试”是假的判断，得30名同学都通过了体能测试，C正确.
故选：C
3．C
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意.
故选：C
4．C
【分析】根据特称命题的否定是全称命题分析判断.
【详解】由题意可知：命题“”的否定是“”.
故选：C.
5．A
【分析】直接求集合的交集即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：A.
6．B
【分析】根据补集概念求解出结果.
【详解】因为，，
所以，
故选：B.
7．C
【分析】根据补集的定义即可求解.
【详解】因为全集，，
所以.
故选： C
8．A
【分析】根据全称命题的否定知识即可求解.
【详解】由“，使得”的否定为“，使得”，故A正确.
故选：A.
9．B
【分析】根据题意，结合集合交集的概念，即可求解.
【详解】由集合，
集合B由，所有偶数构成，集合A中只有-2,2两个偶数，故.
故选：B.
10．D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题来选择.
【详解】根据特称命题的否定是全称命题可得
命题“，使得”的否定为，都有.
故选：D.
11．B
【分析】根据集合的交运算法则直接计算即可.
【详解】因为集合,，
所以，
故选：B.
12．C
【分析】根据给定条件可得或，再根据集合中的方程的根的个数，对参数进行分类讨论即可求得实数的所有可能取值，即可得出结果.
【详解】由定义得，又，则或，
由方程，得或，
当时，方程只有一个实数根，
而方程有一根为0，则另一根必为0，，此时无实根，因此；
当时，必有，方程有两个不相等的实数根，
并且都不是方程的根，
显然方程有两个相等的实数根，且异于，
于是，解得或，
当时，方程的根为，满足题意，
当时，方程的根为，满足题意，
因此或，所以，.
故选：C
13．
【分析】根据并集的定义运算即可.
【详解】因为，，
所以，
故答案为：
14．(中任一值均可)
【分析】根据题意可知：命题为真命题，列出不等式解之即可.
【详解】因为命题：，为假命题，
所以命题：为真命题，
也即成立，所以，
故答案为：4（中的任一值均可）
15．
【分析】将必要不充分条件转化为集合之间在关系，即可列不等式求解.
【详解】由于“”的必要不充分条件是“”，所以
则且两个等号不同时取得，解得，经检验和均符合要求，
故a的取值范围是．
故答案为：
16．
【分析】根据集合的交集运算，即可求出结果.
【详解】因为集合，，
所以.
故答案为：.
17．
【分析】结合子集的概念，写出集合A的所有非空子集即可.
【详解】集合的所有非空子集是.
故答案为：.
18．
【分析】根据，成立，由求解.
【详解】因为，成立，
所以，
则，
故答案为：
19．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用元完备数对的定义推理判断即得.
（2）令，根据元完备数对的定义确定的所有可能情况，再导出矛盾即可.
【详解】（1）当时，由，得，不符合题意，
所以不存在3元完备数对；
当时，当，，，时，
满足且，符合题意，
所以为4元完备数对.
（2）假设存在8元完备数对，
当时，令，则，且，
则有以下三种可能：①；②；③
当时，于是，即，
由，得或，
而，则有，
因此，，…，，分别为1，2，…，7，8或2，3，…，8，1或7，6，…，1，8或8，7，…，2，1，
由得或，与已知矛盾，则当时，不存在8元完备数对；
当或时，同理不存在8元完备数对，
所以不存在8元完备数对.
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
20．(1)不是，理由见解析
(2)证明见解析
(3)7
【分析】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；
（2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解.
【详解】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,
经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
（2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知
均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数；
若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）,
显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数，
综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”，
当，设，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7.
【点睛】关键点点睛：此题考查对集合新定义的理解和应用，考查理解能力，解题的关键是对“和谐集”的准确理解，运用分类讨论求解是常用方法，属于较难题.
21．(1)或，
(2)
【分析】（1）根据补集和并集概念计算出答案；
（2）分与两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】（1）时，，或，
；
（2），当时，，解得，
当时，，解得，
故实数的取值范围是.
22．(1)，，，
(2)4
(3)证明见详解
【分析】根据条件，可列出（1）（2）中所有满足条件的；对（3），分情况讨论，寻找使是倍数的集合.
【详解】（1）所有可能的集合为：，，，.
（2）不妨设：，由于，且，
所以.
由题意，是12的倍数时，或.
当时，因为，
所以当且仅当时，成立，故符合题意.
当时，
若，则，故或符合题意；
若，则，故符合题意；
若，则，无解.
综上，所有可能的集合为，，，.
故满足条件的集合的个数为.
（3）（1）当时，设，则
，
这个数取个值，故其中有两个数相等.
又因为，于是，
从而互不相等，互不相等，
所以存在，使得.
又因，故.
则，则，结论成立.
（2）当时，不妨设，
则（），在这个数中任取3个数，.
若与都是的倍数，，
这与矛盾.
则至少有2个数，它们之差不是的倍数，不妨设不是的倍数.
考虑这个数：，，，，，.
①若这个数除以的余数两两不同，则其中必有一个是的倍数，又，且均不为，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
②若这个数除以的余数中有两个相同，则它们之差是的倍数，又，均不是的倍数，
故存在，使得.
若为偶数，取，则，结论成立；
若为奇数，取，则，结论成立.
综上，存在非空集合，使得是的倍数.
【点睛】关键点点睛：如何找到非空集合，使得是的倍数是问题的关键.