2023-2024学年河北省承德市兴隆县九年级（上）期末数学试卷(含解析）

这是一份2023-2024学年河北省承德市兴隆县九年级（上）期末数学试卷(含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值( )
A. 放大5倍B. 缩小5倍C. 不能确定D. 不变
2.已知4x=3y(y≠0)，则下面结论成立的是( )
A. xy=43B. x3=4yC. x3=y4D. x=3，y=4
3.抛物线y=(x−1)2+3的顶点坐标是( )
A. (1,3)B. (−1,3)C. (−1,−3)D. (1,−3)
4.在比例尺为1：20000的宜宾交通游览图上，宜宾长江大桥长约7cm，它的实际长度约为( )
A. 140kmB. 14kmC. 1.4kmD. 0.14km
5.如图，DE/​/BC，AD：DB=1：2，EC=6，则AE的长是( )
A. 3
B. 4
C. 6
D. 10
6.如图，将直角三角板30°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，C是优弧AB上任意一点(与A、B不重合)，则∠ACB的度数是( )
A. 30°
B. 15°
C. 22.5°
D. 20°
7.若关于x的方程x2−x=k有两个不相等的实数根，则k的值可以是( )
A. −3B. −2C. −1D. 0
8.如图，△ABC中，∠B=60°，AB=6，AC=8.将△ABC沿图中的DE剪开.剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A.
B.
C.
D.
9.近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动.某款燃油汽车今年2月份售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，则所列方程正确的是( )
A. 18.63(1+x)2=23B. 23(1−x)2=18.63
C. 18.63(1−x)2=23D. 23(1−2x)=16
10.如图，冰激凌蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积(接缝忽略不计)是( )
A. 80cm2
B. 40cm2
C. 80πcm2
D. 40πcm2
11.如图，反比例函数y=−2x(x>0)的图象上有一点P，PA⊥x轴于点A，点B在y轴上，则△PAB的面积为( )
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
12.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，以A为圆心作一个半径为3的圆，下列结论中正确的是( )
A. 点B在⊙A内B. 直线BC与⊙A相离
C. 点C在⊙A上D. 直线BC与⊙A相切
13.如图，小明为了测量树AB的高度，在离B点8米的E处水平放置一个平面镜，小明沿直线BE方向后退4米到点D，此时从镜子中恰好看到树梢(点A)，已知小明的眼睛(点C)到地面的高度CD是1.6米，则树的高度AB为( )
A. 4.8mB. 3.2mC. 8mD. 20m
14.已知O是△ABC的内心，∠BAC=70°，P为平面上一点，点O恰好又是△BCP的外心，则∠BPC的度数为( )
A. 50°
B. 55°
C. 62.5°
D. 65°
15.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=−13，下列结论：①ab<0；②a−b+c<0；③3b=2a；④a+4c>2b，其中正确结论的个数是( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
16.如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA=3，OC=1，分别连接AC、BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. 12π
B. π
C. 2π
D. 4π
二、填空题：本题共3小题，共12分。
17.在平面直角坐标系中，A(1,n)，D(3,n)是抛物线y=ax2+bx+c上两点，则抛物线的对称轴为______．
18.如图，正五边形ABCDE内接于半径为3的⊙O，则阴影部分的面积为______．
19.如图，以G(0,2)为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D两点，点E为圆G上一动点，CF⊥AE于F．
(1)AC的长度为______；
(2)当点E在圆G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为______．
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题8分)
已知y是x2的正比例函数，并且当x=2时，y=−1．
(1)求出y与x之间的函数关系式；
(2)求y=−1时x的值．
21.(本小题8分)
已知二次函数y=x2−4x+3．
(1)二次函数y=x2−4x+3图象与x轴的交点坐标是______，y轴的交点坐标是______，顶点坐标是______；
(2)在平面直角坐标系xOy中，画出二次函数y=x2−4x+3的图象；
(3)当122.(本小题8分)
唐代李皋发明了桨轮船，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导，如图，某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6m，轮子的吃水深度CD为1.5m，求该桨轮船的轮子直径．
23.(本小题12分)
如图，一次函数y=2x+3与反比例函数y=kx交于点A(1,m)，B(n,−2)．
(1)求k、m，n的值；
(2)直接写出2x+3>kx中x的取值；
(3)直接写出方程2x2+3x−5=0的解．
24.(本小题10分)
如图，∠A=15°．
(1)猜想：tan15°的值______．
A.大于1
B.大于12小于1
C.大于13小于12
D.大于14小于13
(2)你能用你学过的特殊角的正切值，求得tan15°的准确值吗？(结果保留根号)
25.(本小题12分)
一座拱桥的示意图如图2所示，当水面宽为16米时，桥洞顶部离水面4米.已知桥洞的拱桥是抛物线，请尝试解决以下问题：

(1)建立合适的平面直角坐标系，求该抛物线的表达式；
(2)由于暴雨导致水位上涨了2米，求此时水面的宽度；
(3)已知一艘货船的高为2.6米，宽为3.2米，其截面如图3所示.为保证这艘货船可以安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升多少米？(结果精确到0.1)
26.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，∠DCB=∠B=90°，对角线CA⊥AD，AB=8，BC=6，点P为折线BA−AD上的点．

(1)求AD的长；
(2)若点P在∠ACB的平分线上，求AP的长；
(3)若AP=2，求tan∠PCB的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，
∴sinA=∠A的对边与斜边的比，
∵△ABC的三边都扩大5倍，
∴∠A的对边与斜边的比不变，
∴sinA的值不变．
故选：D．
直接利用锐角的正弦的定义——“锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA”求解．
本题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵xy=43，
∴3x=4y，
故A不符合题意；
B、∵x3=4y，
∴xy=12，
故B不符合题意；
C、∵x3=y4，
∴4x=3y，
故C符合题意；
D、∵4x=3y，
∴xy=34，
∴设x=3k，y=4k，
故D不符合题意；
故选：C．
利用比例的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：
∵y=(x−1)2+3，
∴顶点坐标为(1,3)，
故选：A．
由抛物线解析式可求得其标点坐标．
本题主要考查二次函数的性质，掌握抛物线的顶点式是解题的关键，即在y=a(x−h)2+k中，顶点坐标为(h,k)，对称轴x=h．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意得：
7÷120000=140000(cm)，
140000cm=1.4km．
故选：C．
根据实际距离=图上距离÷比例尺．代值计算即可得出答案．
此题考查了比例线段，能够根据比例尺灵活计算，注意单位的换算问题．
5.【答案】A
【解析】解：∵DE/​/BC，
∴ADDB=AEEC，即AE6=12，
∴AE=3．
故选：A．
利用平行线分线段成比例定理得到ADDB=AEEC，然后利用比例的性质可计算出AE的长．
本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得：∠AOB=30°，
∴∠ACB=12∠AOB=12×30°=15°．
故选：B．
由题意得∠AOB=30°，再由圆周角定理求得∠ACB的度数即可．
本题考查圆周角定理，掌握“在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：原方程可化为x2−x−k=0，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−1)2+4k>0，解得k>−14．
∵−3<−2<−1<−14<0，
∴四个选项中只有D符合．
故选：D．
先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再根据方程有两个不相等的实数根求出k的取值范围，进而可得出结论．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac的关系是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：A、∵∠C=∠C，∠DEC=∠B=60°，
∴△DEC∽△ABC，故本选项不符合题意；
B、∵∠C=∠C，∠CDE=∠B，
∴△CDE∽△CBA，故本选项不符合题意；
C、由图形可知，只有∠B=∠B，不能判断△BDE∽△BAC，故本选项符合题意；
D、∵∠A=∠A，∠ADE=∠B=60°，
∴△ADE∽△ABC，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据相似三角形的判定逐一判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：根据题意得：23(1−x)2=18.63．
故选：B．
利用该款燃油汽车今年4月份的售价=该款燃油汽车今年2月份的售价×(1−该款汽车这两月售价的月平均降价率)2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：由图知，底面直径为8cm，母线长为10cm，
则底面周长为8πcm，
所以蛋筒圆锥部分包装纸的面积是，S=12×8π×10=40π(cm2)．
故选：D．
先根据直径求出圆的周长，再根据母线长求圆锥的侧面积，圆锥的侧面展开图是扇形，运用扇形面积公式计算，圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．
本题主要考查了圆锥的侧面积，解决问题的关键是熟练掌握圆的周长公式和扇形面积公式．
11.【答案】A
【解析】解：设P(x,y)，
∵点P在反比例函数y=−2x的图象上，
∴xy=−2．
∵PA⊥x轴，
∴S△PAB=12|xy|=12×2=1．
故选：A．
设P(x,y)，则|xy|=2，再由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：过A点作AH⊥BC于H，如图，
∵AB=AC，
∴BH=CH=12BC=4，
在Rt△ABH中，AH= AB2−BH2= 52−42=3，
∵AB=5>3，
∴B点在⊙A外，所以A选项不符合题意；
∵AC=5>3，
∴C点在⊙A外，所以C选项不符合题意；
∴AH=3，AH⊥BC，
∴直线BC与⊙A相切，所以D选项符合题意，B选项不符合题意．
故选：D．
过A点作AH⊥BC于H，如图，利用等腰三角形的性质得到BH=CH=12BC=4，则利用勾股定理可计算出AH=3，然后根据点与圆的位置关系的判定方法对A选项和B选项进行判断；根据直线与圆的位置关系对C选项和D选项进行判断．
本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，若直线l和⊙O相交⇔dr.也考查了点与圆的位置关系和等腰三角形的性质．
13.【答案】B
【解析】解：由题意得：AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠CDE=∠ABE=90°，
由光的反射原理可得：∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED，
∴ABBE=CDDE，
∵BE=8，DE=4，CD=1.6，
即AB8=1.64，
∴AB=3.2(米)．
故选：B．
根据相似三角形的判定定理证明△AEB∽△CED，再利用相似三角形的性质求解即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质定理，能够熟练判定相似并利用性质进行计算是解题关键．
14.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴∠BOC=180°−12(∠ABC+∠ACB)=90°+12∠BAC=90°+12×70°=125°，
∵点O是△BCP的外心，
∴∠BPC=12∠BOC=12×125°=62.5°．
故选：C．
连接OB、OC，如图，利用内心的性质和三角形内角和得到∠BOC=90°+12∠BAC=125°，利用点O是△BCP的外心，然后根据圆周角定理得到∠BPC=12∠BOC．
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外接圆与外心和圆周角定理．
15.【答案】B
【解析】解：①x=−b2a=−13，a、b同号，故ab>0，原结论错误；
②当x=−1时，由图象可知y>0，即a−b+c>0，原结论错误；
③由对称轴可知，x=−b2a=−13
∴2a=3b，原结论正确；
④当x=−12时，由图象可知y>0，即14a−12b+c>0，整理得a+4c>2b，原结论正确．
所以，正确的结论有2个．
故选：B．
根据抛物线的对称轴方程可判断a、b同号，判断①错误；代入x=−1结合图象可判断②错误；由对称轴方程可判断③正确；代入x=−12结合函数的图象判断④正确．
本题考查了二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
16.【答案】C
【解析】通过分析图可知：△OCA经过旋转90°后能够和△ODB重合(证全等也可)，因此图中阴影部分的面积=扇形AOB的面积−扇形COD的面积，所以S阴=14π×(9−1)=2π.本题考查扇形面积的计算，图中阴影部分的面积可以看作是扇形AOB与扇形COD的面积差，求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．
解：由图可知，将△OAC顺时针旋转90°后可与△ODB重合，
∴S△OAC=S△OBD.
因此S阴影=S扇形OAB+S△OBD−S△OAC−S扇形OCD=S扇形OAB−S扇形OCD=14π×(9−1)=2π．
故选C．
17.【答案】直线x=2
【解析】解：因为A(1,n)，D(3,n)两点的纵坐标相同，都是n，
所以抛物线的对称轴为x=3+12=2，
故答案为：直线x=2．
抛物线具有对称性，当抛物线上两点纵坐标相同时，对称轴是两点横坐标和的平均数，据此求解即可．
本题考查的是二次函数的性质．
18.【答案】18π5
【解析】解：∵正五边形ABCDE内接于半径为3的⊙O，
∴∠AOD=360°×25=144°，
∴S阴影=S扇形AOD=144×π×32360=18π5，
故答案为：18π5．
由正五边形的性质，可得∠AOD=360°×25=144°，再根据扇形的面积公式求解即可
本题考查了正多边形与圆，扇形面积的计算，解题关键是掌握扇形面积公式S=nπR2360．
19.【答案】83π 2 3−2
【解析】解：(1)如图，连接AG，
∵AG=4，OG=2，
∴OG=12AG，
∴∠OAG=30°，
∴∠AGO=60°，
∴∠AGC=120°，
∴AC的长度为120π×4180=83π；
故答案为：83π；
(2)过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示：
∵GO⊥AB，
∴OA=OB，
∵G(0,2)，
∴OG=2，
在Rt△AGO中，
∵AG=4，OG=2，
∴AG=2OG，OA= 42−22=2 3，
∴∠GAO=30°，AB=2AO=4 3，
∴∠AGO=60°，
∵GC=GA=4，
∴∠GCA=∠GAC，
∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA=∠GAC=30°，
∴AC=2OA=4 3，MG=12CG=2，
∵∠AFC=90°，
∴点F在以AC为直径的⊙M上，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM−MG=2 3−2，
故答案为：2 3−2．
(1)连接AG，根据AG=4，OG=2，求出∠OAG=30°，再求出∠AGC=120°，再根据弧长公式计算即可；
(2)过G作GM⊥AC于M，连接AG.由∠AFC=90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM−GM，想办法求出FM、GM即可解决问题．
本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
20.【答案】解：(1)设y=kx2，
∵当x=2时，y=−1，
∴−1=k×22，
解得k=−14，
∴y与x之间的函数关系式为y=−14x2；
(2)当y=−1时，−1=−14x2，
解得x=±2，
即y=−1时x的值为±2．
【解析】(1)设y=kx2，再根据当x=2时，y=−1进行求解即可；
(2)把y=−1代入(1)中，然后求解即可．
本题考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，求自变量的值，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
21.【答案】(1,0)，(3,0) (0,3) (2,−1) −1≤y<3
【解析】解：(1)令y=0，可得y=x2−4x+3=0，
∴x=1或x=3．
∴抛物线与x轴额交点坐标为(1,0)，(3,0)．
令x=0可得，y=3．
∴与y轴交点为(0,3)，
∵y=x2−4x+3=(x−2)2−1，
∴顶点坐标为(2,−1)；
故答案为：(1,0)，(3,0)；(0,3)；(2,−1)；
(2)由(1)可画图象如下：
(3)由题意，当x=2时抛物线有最小值y=−1；
当x=4时，y=3；
当x=1时，y=0，
由图象可知，当1故答案为：−1≤y<3．
(1)令y=0，可得y=x2−4x+3=0，解方程的x，可得与x轴交点的横坐标，令x=0可得与y轴交点纵坐标，抛物线变形为y=(x−2)2−1，可得顶点坐标；
(3)依据题意，根据抛物线与对称轴交点坐标及对称轴可得图象；
(4)由x=−2时抛物线有最小值，再求x=−4、x=2时的函数值可y的范围．
本题考查的是考查了二次函数的图象与性质，二次函数与不等式，画出二次函数的图象是解答此题的关键．
22.【答案】解：依题意，得OC⊥AB，AD=BD=3m，
如图，连接OB，设轮子的直径为dm，则其半径为d2 m．

则在Rt△OBD中，OD2+BD2=OB2，
∴(d2−1.5)2+32=(d2)2，
解得d=7.5m，
故答案为该桨轮船的轮子直径为7.5m．
【解析】连接OB，构建Rt△OBD，利用勾股定理求出轮子的直径．
本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意在圆内构建直角三角形，利用勾股定理求出直径是解答本题的关键．
23.【答案】解：(1)把A(1,m)代入y=2x+3中得：m=2×1+3=5；
把B(n,−2)代入y=2x+3中得：2n+3=−2，解得n=−2.5，
∴B(−2.5,−2)，
把B(−2.5,−2)代入y=kx中得：k=−2.5×(−2)=5；
(2)由函数图象可当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为x>1或−2.5∴2x+3>kx中x的取值范围为x>1或−2.5(3)∵2x2+3x−5=0，
∴2x+3−5x=0，即2x+3=5x，
∴方程2x2+3x−5=0的解即为一次函数y=2x+3与反比例函数y=5x交点的横坐标，
∴x=−2.5或x=1．
【解析】(1)分别把A、B坐标代入一次函数解析式求出m、n的值，进而得到点B的坐标，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
(2)结合函数图象找到当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案；
(3)可把原方程变形为2x+3=5x，则方程2x2+3x−5=0的解即为一次函数y=2x+3与反比例函数y=5x交点的横坐标，据此可得答案．
本题主要考查了一次函数与反比例函数交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24.【答案】D
【解析】解：(1)如图：取格点D、E，
由图可得：tan∠DAB=14，tan∠EAB=26=13，
∵∠DAB<∠A<∠EAB，
∴14故选：D；
(2)如图，
由图可得：AG=FG=3，∠AGF=90°，
∴△AFG是等腰直角三角形，
∴∠FAG=∠AFG=45°，
取格点O，则OF=AF= 32+32=3 2，AO=6，
∴AF2+OF2=AO2，
∴∠AFO=90°，即AF⊥FO，
将FO平移，使其过点H，交AF于点I，则AF⊥HI，
∴△FIH是等腰直角三角形，
∴FH= 2HI，
∵∠HAG=15°，
∴∠IAH=∠FAG−∠HAG=30°，
∴AH=2HI，
设HI=x，则FH= 2x，AH=2x，GH=3− 2x，
∵AH2=GH2+AG2，
∴(2x)2=32+(3− 2x)2，
解得：x=−3 2+3 62或x=−3 2−3 62(不符合题意，舍去)，
∴ 2x=3 3−3，
∴GH=3− 2x=6−3 3，
∴tan15°=GHAG=6−3 33=2− 3．
(1)取格点D、E，求出tan∠DAB=14，tan∠EAB=26=13，结合∠DAB<∠A<∠EAB即可得出答案；
(2)构造等腰直角三角形AFG、AFO，将FO平移，使其过点H，交AF于点I，则AF⊥HI，从而得出△FIH是等腰直角三角形，求出AH=2HI，设HI=x，则FH= 2x，AH=2x，GH=3− 2x，由勾股定理可得(2x)2=32+(3− 2x)2，求出x的值，再根据tan15°=GHAG进行计算即可．
本题主要考查了正切的定义、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，AB为宽16米的水面，C为拱桥最高点，以AB的中点为平面直角坐标系的原点O，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如下：

则OA=OB=12AB=8，OC=4，
∴抛物线的顶点坐标为C(0,4)，B(8,0)，
∴设抛物线的函数表达式为y=ax2+4，
将B(8,0)代入，得：a⋅82+4=0，
解得：a=−116，
∴该抛物线的表达式为y=−116x2+4；
(2)在y=−116x2+4中，当y=2时，则y=−116x2+4=2，
解得：x=±4 2，
4 2−(−4 2)=8 2，
∴水面上升2米后的水面宽度为8 2米，
(3)如图，这艘货船安全通过拱桥时，水面最多可以上升到O′处，

∵货船的高为2.6米，宽为3.2米，
∴EF=12×3.2=1.6米，O′E=2.6，
设OO′=m米，则OE=OO′+O′E=(m+2.6)米，
∴点F的坐标为(1.6,m+2.6)，
将F(1.6,m+2.6)代入y=−116x2+4，得：−116×1．62+4=m+2.6
解得m=1.24，
∴要使这艘货船安全通过拱桥，水面在正常水位的基础上最多能上升1.2米．
【解析】(1)建立的坐标系要便于计算，因此以正常水面所在直线为x轴，拱桥的最高点在y轴上，设抛物线的函数表达式为y=ax2+4，利用待定系数法求解；
(2)水位上涨了2米时，则y=2，求出对应的x的值即可；
(3)货船安全通过拱桥，当水面宽与货船宽相等时，水位上升的高度取最大值，结合函数解析式求解．
本题考查二次函数的实际应用，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=10，
∵∠DCB=∠B=90°，
∴DC/​/AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∵CA⊥AD，
∴∠DAC=∠B，
∴△DAC∽△CAB，
∴ADBC=ACAB，即AD6=108，
∴AD=152；
(2)如图，设AP=x，则PB=AB−AP=8−x，过点P作PH⊥AC，

∵CP为∠ACB的平分线，∠B=90°，
∴PH=PB=8−x，
∵∠CAB=∠CAB，∠AHP=∠B，
∴△APH∽△ACB，
∴APAC=HPBC，即x10=8−x6，
∴AP=5；
(3)分两种情况：
当点P在AB边上，如图，
，
则PB=6，则tan∠PCB=PBBC=1，
当点P在AD边上，如图，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥BA交BA的延长线于点F，
，
∵∠B=90°，
∴四边形PFBE为矩形，
∴PF=BE，PE=BF，
∵∠F=∠B=∠PAC，
∴∠PAF+∠APF=∠PAF+∠CAB=90°，
∴∠APF=∠CAB，
∴△APF∽△CAB，
∴APAC=FPAB=AFBC，即210=PF8=AF6，
∴PF=85，AF=65，
∴CE=CB−BE=6−85=225，PE=BF=AF+AB=8+65=465，
∴tan∠PCB=PEEC=2311，
综上所述．tan∠PCB=2311或1．
【解析】(1)由勾股定理可得AC=10，证明△DAC∽△CAB，可得ADBC=ACAB，代入数值进行计算即可得出答案；
(2)设AP=x，则PB=AB−AP=8−x，过点P作PH⊥AC，由角平分线的性质定理可得PH=PB=8−x，证明△APH∽△ACB得出APAC=HPBC，代入数值进行计算即可得出答案；
(3)分两种情况：当点P在AB边上；当点P在AD边上，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥BA交BA的延长线于点F；分别根据正切的定义求解即可．
本题考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、正切的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．