2024年四川省中考数学二轮备考之真题演练一次函数

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一、选择题
1．（2023·广安）如图，用弹簧测力计将一铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，使铁块完全露出水面，并上升一定高度，则下列能反映弹簧测力计的读数y（单位：N）与铁块被提起的时间x（单位：s）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由浮力的知识可知当铁块完全浸没在水中时，浮力不变；当铁块的排水体积逐渐减小时，浮力减小；当铁块与水面无接触时，浮力将不再变化；
∴弹簧测力计的读数应先不变，再上升，再不变，
故答案为：A
【分析】根据浮力的知识即可得到弹簧测力计读数的变化情况，进而即可画出函数图象。
2．（2023·遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．(−1，0)B．(0，0)C．(0，1)D．(1，0)
【答案】A
【解析】【解答】解：设直线AD的解析式为y=kx+b，
将点A（1，2），D（3，4）代入得k+b=23k+b=4，
解得k=1b=1，
∴直线AD的解析式为y=x+1，
∵直线AD与直线BEx轴的交点坐标即为位似中心，
∴当y=0时，x=-1，
∴位似中心的坐标为(−1，0)，
故答案为：A
【分析】设直线AD的解析式为y=kx+b，先根据待定系数法求一次函数即可得到直线AD的解析式，再根据一次函数的性质结合位似图形的性质即可求解。
3．（2023·乐山）下列各点在函数y=2x−1图象上的是（ ）
A．(−1，3)B．(0，1)C．(1，−1)D．(2，3)
【答案】D
【解析】【解答】解：
A、当x=-1时，y=-3，A不符合题意；
B、当x=0时，y=-1，B不符合题意；
C、当x=1时，y=1，C不符合题意；
D、当x=2时，y=3，故(2，3)在函数y=2x−1图象上，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征将ABCD选项代入即可求解。
4．（2023·自贡）如图1，小亮家､报亭､羽毛球馆在一条直线上．小亮从家跑步到羽毛球馆打羽毛球，再去报亭看报，最后散步回家．小亮离家距离y与时间x之间的关系如图2所示．下列结论错误的是（ ）
A．小亮从家到羽毛球馆用了7分钟
B．小亮从羽毛球馆到报亭平均每分钟走75米
C．报亭到小亮家的距离是400米
D．小亮打羽毛球的时间是37分钟
【答案】D
【解析】【解答】解：
A、由图像得小亮从家到羽毛球馆用了7分钟，A不符合题意；
B、由题意得1000−40045−37=75m/min，B不符合题意；
C、由图像得报亭到小亮家的距离是400米，C不符合题意；
D、小亮打羽毛球的时间是30分钟，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据一次函数的图象对选项逐一判断即可求解。
5．（2023·乐山）如图5，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x−2与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的⊙O上两动点，且CD=2，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大值是（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】D
【解析】【解答】解：当x=0时，y=-2，
当y=0时，x=-2，
∴B（0，-2），A（-2，0），
∴BO=AO=2，
∴由勾股定理得AB=22+22=22，
∴AB为定值，
∴要使△BAP的面积最大，即使以AB为底的高达到最大，
故当PO的延长线刚好与AB垂直时，此时EP即为最大，连接OD，如图所示：
∵CD=2，⊙O的半径为1，
∴PD=22，
∴由勾股定理得PO=DO2−PD2=22，
∵BA⊥EO，
∴EO=2，
∴PE=322，
∴S△PAB=12×322×22=3，
故答案为：D
【分析】先运用一次函数与坐标轴的交点坐标得到OA和BO的长，再运用勾股定理即可求出AB为定值，进而得到要使△BAP的面积最大，即使以AB为底的高达到最大，当PO的延长线刚好与AB垂直时，此时EP即为最大，连接OD，再根据勾股定理结合题意即可得到PE的长，进而运用三角形的面积即可求解。
二、填空题
6．（2023·南充）如图，直线y=kx−2k+3（k为常数，k<0）与x，y轴分别交于点A，B，则2OA+3OB的值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：将x=0代入y=kx−2k+3得，y=-2k+3，
∴B（0，-2k+3），
∴OB=-2k+3，
将y=0代入y=kx−2k+3得x=−3k+2，
∴A（−3k+2，0），
∴OA=−3k+2
∴2OA+3OB=22k−3k+33−2k=2k−32k−3=1，
故答案为：1
【分析】先运用一次函数与坐标轴的交点将x=0和y=0分别代入函数解析式，进而即可求出OB和OA的值，再结合题意即可求解。
7．（2023·眉山）如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(−8，6)，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=−2x−6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=−2x−6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为
【答案】M(−8，6)或M(−8，23)
【解析】【解答】解：∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，
∴点N在以AM为直径的圆上，且NM=AN，
∴y=−2x−6与圆H的交点为N，
当M和B重合时，
∵点B的坐标为(−8，6)，
∴H（-4，3），
∴HA=HM=HN=4，
∴M（-8，6），
当N在MA的上方时，过点N作NJ⊥y轴于点J，延长BM交BJ于点K，如图所示：
∴∠NKM=∠AJN=90°，BA=JK=8，
∴∠JNA+∠JAN=90°，
∵∠MNA=90°，
∴∠JAN=∠KNM，
∴△JAN≌△KNM，
设N（x，-2x-6），
∴KM=JN=-x，KN=JA=-2x-12，
∴-2x-12-x=8，
∴x=−203，−2x−6=223，
∴M(−8，23)
故答案为：M(−8，6)或M(−8，23)
【分析】先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到点N在以AM为直径的圆上，且NM=AN，进而分类讨论：当M和B重合时，根据点B的坐标进而即可求点H的坐标，再结合题意即可求解；当N在MA的上方时，过点N作NJ⊥y轴于点J，延长BM交BJ于点K，先根据三角形全等的判定与性质证明△JAN≌△KNM，设N（x，-2x-6），进而得到KM=JN=-x，KN=JA=-2x-12，再根据题意即可求出x的值，进而即可求解。
8．（2023·自贡）如图，直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点D是线段AB上一动点，点H是直线y=−43x+2上的一动点，动点E(m，0)，F(m+3，0)，连接BE，DF，HD．当BE+DF取最小值时，3BH+5DH的最小值是 ．
【答案】392
【解析】【解答】解：∵直线y=−13x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，2），
过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，如图所示：
∴四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），
∴FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，
∵∠DFA=∠PFC，
∴∠PCF=∠FAD，
∴tan∠PCF=tan∠FAD，
∴PF2=26，
∴PF=23，
∴F（113，0），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意得113k+b=−23k+b=0，解得k=3b=−11，
∴y=3x-11，
∴y=−13x+2y=3x−11，
∴D（3910，710），
过点D作GD⊥y轴于点G，如图所示：
∵直线y=−43x+2与x轴交于点Q，
∴Q32，0，
由勾股定理得QB=52，
∴sin∠QBO=QOBQ=35，
∵sin∠GBH=HGBH，
∴HG=35BH，
∴3BH+5DH的最小值是3BH+5DH=535BH+DH=5DG=392，
故答案为：392
【分析】过点B作其关于x轴的对称点B'，再把B'向右平移3个单位得到C，过点C作CD⊥AB于点D且交x轴于点F，过点B'作B'E∥CD，过点C作CP⊥x轴于点P，则CP=2，PO=3，进而即可得到四边形EFCB'为平行四边形，B'E=BE=CF，B'（0，-2），C（3，-2），进而得到FD+EB=FC+DF=CD存在最小值，再运用解直角三角形即可得到点F的坐标，再运用待定系数法求一次函数即可得到直线CD的解析式，进而即可得到点D的坐标，过点D作GD⊥y轴于点G，先根据一次函数的性质即可得到点Q的坐标，再运用勾股定理即可求出QB的长，最后运用3BH+5DH=5DG即可求解。
三、综合题
9．（2023·广元）如图，已知一次函数y=kx+6的图象与反比例函数y=mx(m>0)的图象交于A(3，4)，B两点，与x轴交于点C，将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后与反比例函数图象交于点D，E．
（1）求k，m的值及C点坐标；
（2）连接AD，CD，求△ACD的面积．
【答案】（1）解：把点A(3，4)代入y=kx+6和y=mx(m>0)得：
3k+6=4，4=m3，
解得：k=−23，m=12，
∴AB的解析式为y=−23x+6，反比例函数解析式为y=12x，
把y=0代入y=−23x+6得：0=−23x+6，
解得：x=9，
∴点C的坐标为(9，0)；
（2）解：延长DA交x轴于点F，如图所示：
将直线AB沿y轴向上平移3个单位长度后解析式为：
y=−23x+6+3=−23x+9，
联立y=−23x+9y=12x，
解得：x1=32y1=8，x2=12y2=1，
∴点D(32，8)，
设直线AD的解析式为y=k1x+b1，把D(32，8)，A(3，4)代入得：
32k1+b1=83k1+b1=4，
解得：k1=−83b1=12，
∴直线AD的解析式为y=−83x+12，
把y=0代入y=−83x+12得0=−83x+12，
解得：x=92，
∴点F的坐标为(92，0)，
∴CF=9−92=92，
∴S△ACD=S△CDF−S△CAF
=12×92×8−12×92×4
=9．
【解析】【分析】（1） 把点A(3，4)分别代入y=kx+6和y=mx(m>0)中，即可求出k、m值， 求出一次函数与x轴的交点坐标，即得点C坐标；
（2）延长DA交x轴于点F， 先求出平移后的直线解析式为y=−23x+6+3=−23x+9， 联立反比例函数解析式并解之，即得D(32，8)，利用待定系数法求出直线AD为：y=−83x+12，据此求出 点F的坐标为(92，0)， 从而求出CF的长， 根据S△ACD=S△CDF−S△CAF即可求解.
10．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=mx+n与反比例函数y=kx的图象在第一象限内交于A(a，4)和B(4，2)两点，直线AB与x轴相交于点C，连接OA．
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）当x>0时，请结合函数图象，直接写出关于x的不等式mx+n≥kx的解集；
（3）过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，求梯形OCBD的面积．
【答案】（1）解：∵反比例函数y=kx过B(4，2)，
∴k=8，
∴反比例函数为：y=8x，
把A(a，4)代入y=8x可得：a=84=2，
∴A(2，4)，
∴2m+n=44m+n=2，解得：m=−1n=6，
∴一次函数为y=−x+6．
（2）2≤x≤4
（3）解：∵A(2，4)，同理可得OA的解析式为：y=2x，
∵过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B(4，2)，
∴yD=2，
∴xD=1，即D(1，2)，
∴BD=4−1=3，
∵AB为y=−x+6，
当y=0，则x=6，即C(6，0)，
∴OC=6，
∴梯形OCBD的面积为：12(3+6)×2=9．
【解析】【解答】解：（2）由题意得关于x的不等式mx+n≥kx的解集为2≤x≤4。
【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数即可得到解析式，进而得到点A的坐标，再运用待定系数法求一次函数解析式即可求解；
（2）直接观察图像结合交点坐标即可求解；
（3）先根据题意得到OA的解析式为：y=2x，过点B作BD平行于x轴，交OA于点D，B(4，2)，进而得到D(1，2)，再结合一次函数的性质求出OC，进而即可得到梯形OCBD的面积。
11．（2023·广安）如图，一次函数y=kx+94（k为常数，k≠0）的图象与反比例函数y=mx(m为常数，m≠0)的图象在第一象限交于点A(1，n)，与x轴交于点B(−3，0)．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）点P在x轴上，△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：把点B(−3，0)代入一次函数y=kx+94得，
−3k+94=0，
解得：k=34，
故一次函数的解析式为y=34x+94，
把点A(1，n)代入y=34x+94，得n=34+94=3，
∴A(1，3)，
把点A(1，3)代入y=mx，得m=3，
故反比例函数的解析式为y=3x；
（2）(−8，0)或(2，0)或(5，0)
【解析】【解答】解：（2）∵B(−3，0)，A(1，3)，BA=5，
∴当PB=BA=5时，P(−8，0)或(2，0)，
当AP=BA=5时，P(5，0)，
综上所述，点P的坐标为(−8，0)或(2，0)或(5，0)
【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式和待定系数法求反比例函数的解析式即可求解；
（2）先根据题意得到B(−3，0)，A(1，3)，BA=5，再结合等腰三角形的性质进行分类讨论即可求解。
12．（2023·南充）如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点A(−1，6)，B(3a，a−3)，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）点M在x轴上，若S△OAM=S△OAB，求点M的坐标．
【答案】（1）解：设反比例函数解析式为y=k1x，
将A(−1，6)代入y=k1x，可得6=k1−1，解得k1=−6，
∴反比例函数的解析式为y=−6x，
把B(3a，a−3)代入y=−6x，可得3(a−3)a=−6，
解得a=1，
经检验，a=1是方程的解，
∴B(3，−2)，
设一次函数的解析式为y=k2x+b，
将A(−1，6)，B(3，−2)代入y=k2x+b，
可得6=−x+b−2=3x+b，
解得k2=−2b=4，
∴一次函数的解析式为y=−2x+4；
（2）解：当y=0时，可得0=−2x+4，
解得x=2，
∴C(2，0)，
∴OC=2，
∴S△OAB=S△OAC+S△OBC=12×2×6+12×2×2=8，
∵S△OAM=S△OAB，
∴S△OAM=8=12×6×OM，
∴OM=83，
M在O点左侧时，M(−83，0)；
M点在O点右侧时，M(83，0)，
综上，M点的坐标为(−83，0)或(83，0)．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式即可求解；
（2）先运用一次函数的性质即可得到点C的坐标，进而得到OC的长度，再根据三角形的面积即可求出OM的长，再分类讨论即可求解。
13．（2023·南充）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y=80+0.01x2.
（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）
（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润=（售价−成本）×产销数量−专利费】
【答案】（1）解：由题意得，w1=(8−m)x−30(0w2=(20−12)x−(80+0.01x2)=−0.01x2+8x−80(0（2）解：∵4≤m≤6，
∴8−m>0，
∴w1随x增大而增大，
∴当x=500时，w1最大，最大为(8−m)×500−30=(−500m+3970)元；
w2=−0.01x2+8x−80=−0.01(x−400)2+1520，
∵−0.01<0，
∴当x<400时，w2随x增大而增大，
∴当x=300时，w2最大，最大为−0.01×(300−400)2+1520=1420元；
（3）解：当−500m+3970>1420，即4≤m<5.1时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；
当−500m+3970=1420，即m=5.1时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；
当−500m+3970<1420，即5.1综上所述，当4≤m<5.1时，该工厂应该选择产销A产品能获得最大日利润；当m=5.1时，该工厂应该选择产销任一产品都能获得最大日利润；当5.1【解析】【分析】（1）根据题意即可直接列出w1，w2与x的函数关系；
（2）根据二次函数顶点式的性质结合题意即可求解；
（3）根据（2）中所求的利润再进行比较即可求解。
14．（2023·遂宁）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元．
①求w与m的函数关系式，并求出m的取值范围；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，
由题意得：1000x=1200x+2，
解得：x=10，
经检验：x=10是原方程的解，且符合题意，
则x+2=12，
答：甲粽子每个的进价为10元，则乙粽子每个的进价为12元；
（2）解：①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，利润为w元，
由题意得：w=(12−10)m+(15−12)(200−m)=−m+600，
∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴m≥2(200−m)，
解得：m≥13313，
∴w与m的函数关系式为w=−m+600(m≥13313)；
②∵−1<0，则w随m的增大而减小，m≥13313，即m的最小整数为134，
∴当m=134时，w最大，最大值=−134+600=466，
则200−m=66，
答：购进甲粽子134个，乙粽子66个才能获得最大利润，最大利润为466元．
【解析】【分析】（1）设甲粽子每个的进价为x元，则乙粽子每个的进价为(x+2)元，根据“每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同”即可列出分式方程，进而即可求解；
（2）①设购进甲粽子m个，则乙粽子(200−m)个，利润为w元，先根据题意列出w和m的关系式，进而根据题意即可得到m的取值范围；
②根据一次函数的性质结合题意即可得到当m=134时，w最大，进而即可求解。
15．（2023·成都）2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行. “当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃. 已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元.
（1）求A，B两种食材的单价；
（2）该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用.
【答案】（1）A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.
【解析】【解答】解：（1）A种食材的单价是每千克x元，B种食材的单价是每千克y元，
由题意可得：x+y=685x+3y=280，
解得：x=38y=30，
即A种食材单价是每千克38元，B种食材单价是每千克30元；
（2）设A种食材购买x千克，总费用为w元，则B种食材购买（36-x）千克，
由题意可得：w=38x+30（36-x）=8x+1080，
∵x=8＞0，
∴w随x的增大而增大，
∵购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，
∴x≥2（36-x）
解得：x≥24，
∴当x=24时，w取最小值，w=8×24+1080=1272（元），
∴36-x=36-24=12（千克），
即A种食材购买24千克，B种食材购买12千克时，总费用最少，为1272元.
【分析】（1）根据题意找出等量关系求出x+y=685x+3y=280，再解方程组即可；
（2）根据题意先求出w=38x+30（36-x）=8x+1080，再求出x≥24，最后根据一次函数的性质求解即可。
16．（2023·广元）某移动公司推出A，B两种电话计费方式．
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为tmin，根据上表，分别写出在不同时间范围内，方式A，方式B的计费金额关于t的函数解析式；
（2）若你预计每月主叫时间为350min，你将选择A，B哪种计费方式，并说明理由；
（3）请你根据月主叫时间t的不同范围，直接写出最省钱的计费方式．
【答案】（1）解：根据题意，设两种计费金额分别为y1、y2
当t≤200时，方式A的计费金额为78元，方式B的计费金额为108元；
200＜t≤500，方式A的计费金额y1=78+(t−200)×0.25=0.25t+28，方式B的计费金额为108元；
当t＞500时，方式A的计费金额为y1=0.25t+28，方式B的计费金额为y2=108+(t−500)×0.19=0.19t+13
总结如下表：
（2）解：当t=350时，y1=0.25×350+28=115.5
y2=108
y1＞y2，故选方式B计费．
（3）令y1≤108，有0.25t+28≤108解得t≤320
∴当t＜320时，方式A更省钱；
当t=320时，方式A和B金额一样；
当t＞320时，方式B更省钱．
【解析】【分析】（1）设两种计费金额分别为y1、y2，利用表格中的计费及标准分别表示出计费金额即可；
（2）当t=350时 ，分别求出y1、y2的值，再比较即可；
（3） 令y1≤108 ，可求出t的范围，继而求解.
17．（2023·内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4，0)，C(−2，0)两点．与y轴交于点A(0，−2)．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求与12PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意得
16a+4b+c=04a−2b+c=0c=−2，
解得：a=14b=−12c=−2，
∴抛物线的解析式为y=14x2−12x−2．
（2）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，则有
4k+b=0b=−2，
解得：k=12b=−2，
∴直线AB的解析式为y=12x−2；
设P(m，14m2−12m−2)（0∴12x−2=14m2−12m−2，
解得：x=12m2−m，
∴K(12m2−m，14m2−12m−2)，
∴PK=m−(12m2−m)
=−12m2+2m，
∴12PK=−14m2+m，
PD=−(14m2−12m−2)
=−14m2+12m+2，
∴12PK+PD=−14m2+m−14m2+12m+2
=−12m2+32m+2
=−12(m−32)2+258，
∵−12<0，
∴当m=32时，12PK+PD的最大值为258，
∴y=14×(32)2−12×32−2=−3516，
∴P(32，−3516)．
故12PK+PD的最大值为258，P(32，−3516)．
（3）解：存在，
如图，过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M1，连接AM1，
∵抛物线y=14x2−12x−2的对称轴为直线x=1，
∴设M1(1，n)，
∴AM12=12+(n+2)2
=n2+4n+5，
AB2=22+42=20，
BM12=(4−1)2+n2
=n2+9，
∵AB2+BM12=AM12，
∴n2+9+20=n2+4n+5，
解得：n=6，
∴M1(1，6)；
设直线BM1的解析式为y=k1x+b1，则有
k1+b1=64k1+b1=0，
解得k1=−2b1=8，
∴直线BM1解析式为y=−2x+8，
∵AM2∥BM1，且经过A(0，−2)，
∴直线AM2解析式为y=−2x−2，
∴当x=1时，y=−2×1−2=−4，
∴M2(1，−4)；
综上所述：存在，M的坐标为(1，6)或(1，−4)．
【解析】【分析】（1）运用待定系数法求二次函数即可得到函数表达式；
（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，运用待定系数法求一次函数即可得到直线AB的解析式，进而设P(m，14m2−12m−2)（0（3）存在，如图，过A作AM2⊥AB交抛物线的对称轴于M2，过B作BM1⊥AB交抛物线的对称轴于M1，连接AM1，先根据二次函数的性质即可得到对称轴为x=1，设M1(1，n)，根据两点间的距离公式结合勾股定理即可求出n，进而得到M1(1，6)；设直线BM1的解析式为y=k1x+b1，运用待定系数法求一次函数即可得到直线BM1的解析式，再根据题意即可得到直线AM2解析式为y=−2x−2，进而即可得到M2(1，−4)；最后总结即可。
18．（2023·广安）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，对称轴是直线x=−1，点P是x轴上一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）若点P在线段AO上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形ABCN面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+bx+c的对称轴为直线x=−1，
∴−b2=−1，
∴b=2，
∵二次函数经过点B(1，0)，
∴12+b+c=0，即1+2+c=0，
∴c=−3，
∴二次函数解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：
∵二次函数经过点B(1，0)，且对称轴为直线x=−1，
∴A(−3，0)，
∴AB=4，
∵二次函数y=x2+2x−3与y轴交于点C，
∴C(0，−3)，
∴OC=3；
设直线AC的解析式为y=kx+b′，
∴−3k+b′=0b′=−3，
∴k=−1b′=−3，
∴直线AC的解析式为y=−x−3，
设P(m，0)，则M(m，−m−3)，N(m，m2+2m−3)，
∴MN=−m−3−(m2+2m−3)=−m2−3m；
∵S△ABC=12AB⋅OC=12×4×3=6，
∴S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN
=S△ABC+S△AMN+S△CMN
=12AP⋅MN+12OP⋅MN+6
=12×3(−m2−3m)+6
=−32(m+32)2+758，
∵−32<0，
∴当m=−32时，S四边形ABCN最大，最大值为758，
∴此时点P的坐标为(−32，0)；
（3）Q(0，−1)或Q(0，32−1)或Q(0，−1−32)
【解析】【解答】（3）
解：设 P(m，0) ，则 M(m，−m−3) ， N(m，m2+2m−3) ，
∵PM⊥x 轴，
∴PM∥y 轴，即 MN∥CQ ，
∴MN、CQ 是以 M 、 N、C、Q 为顶点的菱形的边；
如图3-1所示，当 MC 为对角线时，
∵OA=OC=3 ，
∴△AOC 是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45° ，
∵QM=QC ，
∴∠QMC=∠QCM=45° ，
∴∠MQC=90° ，
∴MQ⊥y 轴，
∴NC⊥y 轴，即 NC∥x 轴，
∴点C与点N关于抛物线对称轴对称，
∴点N的坐标为 (−2，−3) ，
∴CQ=CN=2 ，
∴Q(0，−1) ；
如图3-2所示，当 MC 为边时，则 MN=CM ，
∵M(m，−m−3) ， C(0，−3) ， N(m，m2+2m−3)
∴CM=m2+[(−m−3)−(−3)]2=−2m ， MN=m2+2m−3−(−m−3)=m2+3m
∴m2+3m=−2m ，
解得 m=−3−2 或 m=0 （舍去），
∴CQ=CM=−2m=32+2 ，
∴Q(0，32−1) ；
如图3-3所示，当 MC 为边时，则 MN=CM ，
同理可得 CM=−2m ，
∴−m2−3m=−2m ，
解得 m=2−3 或 m=0 （舍去），
∴CQ=CM=−2m=32−2 ，
∴Q(0，−1−32) ；
如图3-4所示，当 MC 为边时，则 CM=MN ，
同理可得 m2+3m=2m ，
解得 m=2−3 （舍去）或 m=0 （舍去）；
如图3-5所示，当 MC 为对角线时，
∴∠MCQ=∠ACO=45° ，
∵CQ=MQ ，
∴∠QCM=∠QMC=45° ，
∴∠MQC=90° ，
∴MQ⊥y 轴，
∴NC⊥y 轴，这与题意相矛盾，
∴此种情形不存在
如图3-6所示，当 MC 为对角线时，设 MC，QN 交于S，
∵MN∥y 轴，
∴∠NMC=180°−MCO=135° ，
∵NQ⊥CM ，
∴∠NSM=90° ，这与三角形内角和为180度矛盾，
∴此种情况不存在；
综上所述， Q(0，−1) 或 Q(0，32−1) 或 Q(0，−1−32) ．
【分析】（1）运用待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）先根据二次函数的性质和对称轴得到点A和点C的坐标，进而得到BA的长和OC的长，设直线AC的解析式为y=kx+b′，运用待定系数法求一次函数即可求出直线CA的解析式，设P(m，0)，则M(m，−m−3)，N(m，m2+2m−3)，进而即可得到MN的长，再根据S四边形ABCN=S△ABC+S△ACN 结合题意即可求出点P的坐标；
（3）先根据题意得到MN、CQ 是以 M 、 N、C、Q 为顶点的菱形的边，进而分类讨论：当 MC 为对角线时，当 MC 为边时，则 MN=CM ，当 MC 为边时，则 MN=CM ，当 MC 为边时，则 CM=MN ，当 MC 为对角线时，然后运用坐标系中两点间的距离公式，结合题意即可求解。
19．（2023·南充）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点K(1，3)的直线（直线KD除外）与抛物线交于G，H两点，直线DG，DH分别交x轴于点M，N．试探究EM⋅EN是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(−1，0)，B(3，0)两点，
∴a−b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−1b=2，
故抛物线的解析式为y=−x2+2x+3．
（2）解：①如图，过C作CP∥x轴，交抛物线于P1，过P1作P1Q1∥BC，交x轴于Q1，
∴四边形BCP1Q1是平行四边形，
∴yP1=3，
∴−x2+2x+3=3，
解得：x1=2，x2=0，
P1(2，3)；
②如图，在x轴的负半轴上取点Q2，过Q2作Q2P2∥BC，交抛物线于P2，同时使Q2P2=BC，连接CQ2、BP2，过P2作P2D⊥x轴，交x轴于D，
∴四边形BCQ2P2是平行四边形，
∴∠CBQ2=∠P2Q2B，
在△CBQ2和△P2Q2B中，
BQ2=Q2B∠CBQ2=∠P2Q2BCB=P2Q2，
∴△CBQ2≌△P2Q2B(SAS)，
∴P2D=CO=3，
∴yP2=−3，
∴−x2+2x+3=−3，
解得：x1=1−7，x2=1+7，
∴P2(1−7，−3)；
如上图，根据对称性：P3(1+7，−3)，
③当BC为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且BQ=BQ1=2时，也满足条件，此时点P的坐标仍为(2，3)；
综上所述：P的坐标为(2，3)或(1−7，−3)或(1+7，−3)．
（3）解：是定值，
理由：如图，∵直线GH经过K(1，3)，
∴可设直线GH的解析式为y=k(x−1)+3，
∵G、H在抛物线上，
∴可设G(m，−m2+2m+3)，H(n，−n2+2n+3)，
∴k(x−1)+3=−x2+2x+3，
整理得：x2+(k−2)x−k=0，
∴x1=m，x2=n，
∴m+n=2−kmn=−k，
当x=1时，y=−12+2×1+3=4，
∴D(1，4)，
设直线DG的解析式为y=k1x+b1，则有
mk1+b1=−m2+2m+3k1+b1=4，
解得k1=−(m−1)b1=m+3，
∴直线DG的解析式为y=−(m−1)x+m+3，
当y=0时，−(m−1)x+m+3=0，
解得：x=m+3m−1，
∴M(m+3m−1，0)，
∴EM=1−m+3m−1
=−4m−1，
同理可求：EN=4n−1，
∴EM⋅EN=−4m−1⋅4n−1
=−16mn−(m+n)+1
=−162−k−(−k)+1
=−16−k−(2−k)+1
=16；
当G与H对调位置后，同理可求EM⋅EN=16；
故EM⋅EN的定值为16．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可求解；
（2）分类讨论：①过C作CP∥x轴，交抛物线于P1，过P1作P1Q1∥BC，交x轴于Q1，先根据平行四边形的性质即可得到yP1=3，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；②在x轴的负半轴上取点Q2，过Q2作Q2P2∥BC，交抛物线于P2，同时使Q2P2=BC，连接CQ2、BP2，过P2作P2D⊥x轴，交x轴于D，先根据平行四边形的性质即可得到∠CBQ2=∠P2Q2B，再根据三角形全等的判定与性质即可得到P2D=CO=3，yP2=−3，进而即可列出一元二次方程，解方程即可得到点P的坐标；③当BC为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且BQ=BQ1=2时，也满足条件，此时点P的坐标仍为(2，3)，最后总结即可求解；
（3）是定值，先根据题意求出点D的坐标，设直线DG的解析式为y=k1x+b1，运用待定系数法求一次函数即得到直线GD的解析式，再运用一次函数的性质即可得到点M的坐标，进而得到EM的长，同理即可得到EN的长，进而即可求解。
20．（2023·泸州）端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗．今年端午节来临之际，某商场预测A粽子能够畅销．根据预测，每千克A粽子节前的进价比节后多2元，节前用240元购进A粽子的数量比节后用相同金额购进的数量少4千克．根据以上信息，解答下列问题：
（1）该商场节后每千克A粽子的进价是多少元？
（2）如果该商场在节前和节后共购进A粽子400千克，且总费用不超过4600元，并按照节前每千克20元，节后每千克16元全部售出，那么该商场节前购进多少千克A粽子获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设节后每千克A粽子的进价为x元，则每千克A粽子节前的进价为(x+2)元，根据题意得：
240x−4=240x+2，
解得：x1=10，x2=−12，
经检验x1=10，x2=−12都是原方程的解，但x2=−12不符合实际舍去，
答：节后每千克A粽子的进价为10元．
（2）解：设该商场节前购进m千克A粽子，则节后购进(400−m)千克A粽子，获得的利润为w元，根据题意得：
w=(20−12)m+(16−10)(400−m)=2m+2400，
∵12m+10(400−m)≤4600m>0，
∴0∵2>0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=300时，w取最大值，且最大值为：w最大=2×300+2400=3000，
答：节前购进300千克A粽子获得利润最大，最大利润为3000元．
【解析】【分析】（1）根据题意找出等量关系求出 240x−4=240x+2， 再解方程即可；
（2）利用利润公式求出w=2m+2400，再求出 12m+10(400−m)≤4600m>0， 最后求解即可。计费方式
月使用费/元
主叫限定时间/min
主叫超时费/（元/min）
被叫
A
78
200
0.25
免费
B
108
500
0.19
免费
主叫时间t/分钟
方式A计费(y1)
方式B计费(y2)
t≤200
78
108
200＜t≤500
0.25t+28
108
t＞500
0.25t+28
0.19t+13