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重难点01三角恒等变换（五种题型）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二）
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这是一份重难点01三角恒等变换（五种题型）-高一数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版必修二），文件包含重难点01三角恒等变换五种题型原卷版docx、重难点01三角恒等变换五种题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
一．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
三．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
四．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
五．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
六．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
能力拓展
一．两角和与差的三角函数（共14小题）
1．（2023春•浦东新区校级月考）已知，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两角和的正切公式计算即可求解．
【解答】解：由，
解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，属于基础题．
2．（2023春•黄浦区校级月考）已知，β是第三象限角，则＝ ．
【分析】由已知得sinβ＝﹣，根据同角关系得csβ，代入的展开式求解即可．
【解答】解：∵，
∴sin（﹣β）＝，即sinβ＝﹣，∵β是第三象限角，则csβ＝﹣，
∴sin（β﹣）＝sinβcs﹣csβsin＝﹣×+×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和差公式，同角函数关系，属于基础题．
3．（2022春•奉贤区校级月考）已知：．求：
（1）sin（α+β）；
（2）求角β的大小．
【分析】（1）先求出α+β的范围，再由同角三角函数的关系结合已知条件求出sin（α+β）；
（2）由β＝（α+β）﹣α，得csβ＝cs[（α+β）﹣α]，利用两角差的余弦公式展开，代值可计算出csβ的值，从而可求出角β的大小
【解答】解：（1）因为0＜α＜，0＜β＜，
所以0＜α+β＜π，
因为cs（α+β）＝﹣，
所以sin（α+β）＝＝＝；
（2）因为csα＝，0＜α＜，
所以sinα＝＝＝，
因为β＝（α+β）﹣α，
所以csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣+＝，
因为0＜β＜，
所以β＝．
【点评】本题考查了同角三角函数关系及两角差的余弦公式、整体思想，属于基础题．
4．（2023春•浦东新区校级月考）若，，，，则＝ ．
【分析】判断角的范围，根据同角的三角函数关系求出sin（α+β），，将化为，根据两角差的余弦公式即可求得答案．
【解答】解：因为，，故0＜α+β＜π，，
故由可得，
由可得，
则＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
5．（2022秋•浦东新区校级期末）将sinα﹣csα化为Asin（α+φ）（其中A＞0且0＜φ＜2π）的形式的结果为 2sin（） ．
【分析】先将原式提取2，再利用和角的正弦函数公式即可．
【解答】解：由题意，sinα﹣csα＝2（）＝2sin（α+）．
故答案为：2sin（）．
【点评】本题的考点是两角和与差的正弦函数，主要考查运用和与差的正弦余弦函数公式的能力，以及三角函数恒等变换的能力．
6．（2022春•奉贤区校级月考）已知α是第三象限的角且tanα＝3．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用“同除余弦可化切的思想”，即可得解；
（2）由同角三角函数的关系求得csα和sinα的值，再结合两角和的正弦公式求解．
【解答】解：（1）＝＝＝．
（2）因为α是第三象限的角，且tanα＝3，所以csα＝﹣，sinα＝﹣
所以＝sin（α+）＝（sinα+csα）
＝（﹣﹣）＝﹣．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（2022春•宝山区校级期中）已知．
（1）求csα和sin（α+β）的值；
（2）求sinβ的值．
【分析】（1）由已知结合同角平方关系即可求解；
（2）结合两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（1）因为．
所以csα＝﹣，sin（α+β）＝﹣；
（2）sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣sinαcs（α+β）＝﹣＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
8．（2023春•浦东新区校级月考）.设常数a使方程在闭区间[0，2π]上恰有三个不同的解x1、x2、x3，则实数a的取值集合为 {} ．
【分析】由已知化简得：a＝2sin（x+），x∈[0，2π]，依题意，可求得x1、x2、x3，从而可求得实数a的取值集合．
【解答】解：a＝sinx+csx＝2（sinx+csx）＝2sin（x+），
令f（x）＝2sin（x+），
∵0≤x≤2π，
∴≤x+≤，
∵方程在一个周期[0，2π]上恰有三个不同的解x1、x2、x3，
∴x1+＝，x2+＝，x3+＝，
∴x1＝0，x2＝，x3＝2π，
此时a＝2sin＝，
∴实数a的取值集合为{}．
故答案为：{}．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意，由不等式可得sin（2x﹣）∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，可得sin（2x﹣）∈[，1]，根据[，1]⊆[，]，求得m的范围．
【解答】解：（1）∵函数＝2sin（2x﹣），x∈R，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，
即|2sin（2x﹣）﹣m|＜3对任意的恒成立，
即sin（2x﹣）∈[，]，
∵2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]．
由题意，可得[，1]⊆[，]，
∴≤，且≥1，求得﹣1≤m≤4，故实数m的取值范围为[1，4]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．
10．（2022春•闵行区期中）设，，且α，β满足．
（1）求的值；
（2）求cs（α+β）的值．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin（α+）的值，由α的范围求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cs（α+）的值；
（2）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin（β+）的值，由β的范围求出β+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cs（β+）的值，将所求式子利用诱导公式sin（+θ）＝csθ变形，其中的角+α+β变形为（α+）+（β+），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）∵由题意可得5sinα+5csα＝8，
∴10（sinα+csα）＝8，即sin（α+）＝，
∵α∈（0，），∴α+∈（，），
∴cs（α+）＝＝；
（2）∵由题意可得sinβ+csβ＝2，
∴2（sinβ+csβ）＝2，即sin（β+）＝，
∵β∈（，），∴β+∈（，），
∴cs（β+）＝﹣，
∴cs（α+β）＝sin[+（α+β）]＝sin[（α+）+（β+）]
＝sin（α+）cs（β+）+cs（α+）sin（β+）
＝×（﹣）+×
＝﹣．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！
11．（2022•闵行区校级开学）（1）已知α、β∈（0，π），，，求csβ．
（2）化简：．
【分析】（1）由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解；
（2）结合二倍角公式，同角基本关系，诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：（1）因为α、β∈（0，π），，
所以tanα＝＝＝，
所以sinα＝，cs，
α∈（0，π），β∈（0，π），
所以，
因为∈（0，），
所以，
所以cs（α+β）＝，
故csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣＝﹣；
（2）＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
12．（2022春•普陀区校级期中）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题
（1）在直角坐标系中，将点A（2，1）绕坐标原点O按逆时针方向旋转到点B，求点B的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转θ得到向量，求的坐标；
（3）设为A（a，a），B（m，n）不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转θ角得点C，判断C是否能够落在直线y＝x上，若能，试用a，m，n表示相应的θ值，若不能，说明理由．
【分析】（1）由终边上的点，利用三角函数的定义求csα、sinα，进而应用和角正余弦公式求 的正余弦值，求B的坐标；
（2）由向量的坐标，及与向量的关系，写出含参数的坐标，再应用正余弦和角公式得到关于a、b、θ的AC坐标；
（3）利用向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示求得含参数的C坐标，根据C在直线v＝x上得（m+n﹣2a）sinθ＝（m﹣n）csθ，讨论m+n﹣2a求θ的值．
【解答】解：（1）因为A的坐标为（2，1），
终边经过点的角记为α，
那么可知，
设B坐标为（x，y），
则点B的坐标为；
（2）过点A作直线AD∥x轴，如图：
记∠BAD＝β，，则 ，
又 rcs（β+θ）＝rcsβcsθ﹣rsinβsinθ＝acsθ﹣bsinθ，rsin（β+θ）＝rsinβcsθ+rcsβsinθ＝bcsθ+asinθ，
∴；
（3），
由 （2）知：，
，
即 C（a+（m﹣a）csθ﹣（n﹣a）sinθ，a+（n﹣a）csθ+（m﹣a）sinθ），
由 C 在直线 y＝x 上，得：a+（m﹣a）csθ﹣（n﹣a）sinθ＝a+（n﹣a）csθ+（m﹣a）sinθ，
整理得 （m+n﹣2a）sinθ＝（m﹣n）csθ，
（1）当 m+n﹣2a＝0 时，即当 m+n＝2a 时，csθ＝0，此时 ；
（2）当 m+n﹣2a≠0 时，即当 m+n≠2a 时，可得 ，此时，．
综上，．
【点评】本题考查三角比的定义，考查三角函数和差角公式，考查平面向量平行的等价转化，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．
13．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和严格递减区间；
（2）若g（x）＝f（x）+1，，求函数的值域．
【分析】（1）化简可得f（x）＝sin（2x﹣）﹣1，再根据正弦函数的周期性与单调性，得解；
（2）先求得g（x）在上的值域，再利用分离常数法化简函数y后，即可得解．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x＝sin2x﹣（1+cs2x）＝sin（2x﹣）﹣1，
所以最小正周期T＝＝π，
令2x﹣∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，则x∈（kπ+，kπ+），k∈Z，
故最小正周期为π，严格递减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z．
（2）g（x）＝f（x）+1＝sin（2x﹣），
因为，所以2x﹣∈[﹣，]，所以g（x）∈[﹣1，]，
故＝＝2﹣∈[﹣2，﹣2+2]．
【点评】本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及分离常数法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间I，用NI表示函数y＝f（x）在I上的最小值．
（1）设y＝f（x）＝sinx﹣csx，求的值；
（2）设，且y＝f（x）偶函数，，求n﹣m的最大值；
（3）设，若有且仅有一个正数a使得N[0，a]＝kN[a，2a]（k＞0）成立，求正实数k的取值范围．
【分析】（1）先化简f（x），再结合所给区间求解的值；
（2）先利用偶函数求出a，再利用，求出n﹣m的最大值；
（3）根据题意分段讨论，求出k，a的关系式，结合简图可得答案．
【解答】解：（1），
因为，所以，
所以，所以N＝﹣．
（2）因为为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
，整理得，
所以，此时，
因为，所以，即，
解得，所以n﹣m的最大值为．
（3），
当时，N[0，a]＝﹣sina，N[a，2a]＝﹣sin2a＝﹣2sinacsa，
由﹣sina＝﹣2ksinacsa，得，
当时，N[0，a]＝﹣sina，N[a，2a]＝﹣1，所以k＝sina；
当时，N[0，a]＝﹣1，N[a，2a]＝﹣sina，所以；
当时，，所以；
当时，，所以k＝1；
所以，
作出简图，
由图可知，k的取值范围是．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于难题．
二．二倍角的三角函数（共12小题）
15．（2022春•嘉定区校级期末）函数y＝sinxcsx值域是 [﹣，] ．
【分析】先利用二倍角公式化简函数，再结合正弦函数的值域，得解．
【解答】解：y＝sinxcsx＝sin2x，
因为x∈R，所以sin2x∈[﹣1，1]，
所以函数y的值域为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数的基础知识，熟练掌握二倍角公式，正弦函数的值域是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（2022春•宝山区校级月考）若cs（+α）＝2cs（α+π），则sin2α＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】把已知等式利用诱导公式变形，可得tanα＝2，再把sin2α化弦为切求解．
【解答】解：由cs（+α）＝2cs（α+π），
得﹣sinα＝﹣2csα，则tanα＝2．
∴sin2α＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题．
17．（2022春•奉贤区校级月考）已知，且α为第四象限角，则sin2α＝ ﹣ ．
【分析】由同角的三角函数关系求出sinα，再利用二倍角的正弦公式求出sin2α．
【解答】解：因为，且α为第四象限角，
所以sinα＝﹣＝﹣，
所以sin2α＝2sinαcsα＝2×（﹣）×＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了同角的三角函数关系和二倍角的正弦公式应用问题，是基础题．
18．（2022春•奉贤区校级月考）若0＜α＜π，sinα、csα，为关于x的方程25x2﹣35x+12＝0的两个根，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据根与系数之间的关系以及三角函数的运算公式即可得到结论．
【解答】解：因为0＜α＜π，sinα、csα，为关于x的方程25x2﹣35x+12＝0的两个根，
所以sinα+csα＝，sinαcsα＝，
sinα﹣csα＝±＝±＝±，
所以cs2α＝﹣（sinα﹣csα）（sinα+csα）＝±×＝±．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数之间的关系以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19．（2022春•长宁区校级期中）已知sin，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，诱导公式以及二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为sin，两边平方，可得sin2α+cs2α+2sinαcsα＝1+sin2α＝，可得sin2α＝﹣，
所以＝﹣sin2α＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
20．（2022春•杨浦区校级期末）若角α的终边落在第三象限内，且cs（+α）＝，则cs2α＝ ．
【分析】由已知结合诱导公式进行化简先求出sinα，然后结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为角α的终边落在第三象限内，且cs（+α）＝＝﹣sinα，
所以sinα＝﹣，
所以cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及二本倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
21．（2022春•虹口区校级期末）已知，，则cs2β＝ ．
【分析】由题意可求范围≤2β+≤π，利用同角三角函数基本关系式可求cs（2β+）的值，由于2β＝（2β+）﹣，利用两角差的余弦公式即可求解．
【解答】解：因为，可得≤2β+≤π，
又，
所以cs（2β+）＝﹣＝﹣，
则cs2β＝cs[（2β+）﹣]＝cs（2β+）cs+sin（2β+）sin＝（﹣）×+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
22．（2022春•闵行区期中）已知，α是第三象限角，则＝（ ）
A．±2B．C．﹣2D．
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，可求范围kπ+＜＜kπ+，k∈Z，可得tan＜0，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，α是第三象限角，
所以csα＝﹣＝﹣，
即2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z，
所以kπ+＜＜kπ+，k∈Z，
所以tan＜0，
而sin2＝，cs2＝，
所以tan2＝＝＝＝4，
所以tan＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
23．（2022春•黄浦区校级期中）设函数y＝cs2x（x≥0）和函数y＝cs10x（x≥0）的图像公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3﹣α）＝csx4，则tan2α的值为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】利用余弦方程，解出x的值，然后得到x3＝，x4＝，代入tan（x3﹣α）＝csx4，利用正切的两角差公式求出tanα的值，然后再利用二倍角公式，求解即可．
【解答】解：因为cs2x＝cs10x（x≥0），
则有10x＝2x+2kπ或10x+2x＝2nπ，k，n∈N，
解得x＝kπ，或x＝，k，n∈N．
又函数y＝cs2x（x≥0）和函数y＝cs10x（x≥0）的图像的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，
所以x＝0，，，，，，…，
故x3＝，x4＝，
所以tan（x3﹣α）＝csx4，即tan（﹣α）＝cs＝，
即＝，∴tanα＝，∴tan2α＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的求值问题，涉及了三角方程的应用，两角和差公式以及二倍角公式，考查了转化化归与计算能力，属于中档题．
24．（2022春•浦东新区校级月考）（1）已知，α∈（0，π）．求cs2α的值；
（2）已知，且，，求角β的值．
【分析】（1）将已知等式两边平方可得2sinαcsα＝﹣＜0，可求范围α∈（，π），可得csα﹣sinα的值，进而根据二倍角公式即可计算得解．
（2）先利用平方关系式结合角的范围求出sinα和cs（α+β），然后用已知三角函数值的角α和α+β表示要求解的角β，β＝（α+β）﹣α，利用两角差的正弦公式求解β的正弦值，进而求出角β．
【解答】解：（1），α∈（0，π），
两边平方，可得1+2sinαcsα＝，可得2sinαcsα＝﹣＜0，
所以α∈（，π），可得sinα＞0，csα＜0，
所以csα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣，
所以cs2α＝（csα﹣sinα）（csα+sinα）＝﹣×＝﹣．
（2）∵csα＝，0＜α＜，
∴sinα＝，
∵sinα＝，，，
∴sin（α﹣β）＝，
∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]
＝cs（α﹣β）sinα﹣sin（α﹣β）csα＝×﹣×＝，
又∵0＜β＜，
∴β＝．
∴角β的值为．
【点评】本题考查了二倍角公式，平方关系式及两角和差公式，解决这类题目的关键是“拆角”，把要求解的角用给出三角函数值的角表示．
25．（2022春•浦东新区校级期中）已知tanα＝﹣，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【解答】解：（1）因为tanα＝﹣，
所以＝＝＝﹣；
（2）＝＝＝tanα＝﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
26．（2022春•杨浦区校级期中）已知tanα＝2．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
（2）由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵tanα＝2，
∴；
（2）∵tanα＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
三．半角的三角函数（共2小题）
27．（2022春•青浦区校级月考）已知θ是第二象限，，则＝ ．
【分析】将正切转化成正弦与余弦，利用二倍角公式，即可解出．
【解答】解：∵θ是第二象限，，
∴csθ＝﹣＝﹣，
tan＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
28．（2021•黄浦区开学）若，α是第三象限角，且，则＝ ．
【分析】根据，且，求得，再根据α是第三象限角，确定的范围，然后利用平方关系求解．
【解答】解：因为，且，
所以，
又因为α是第三象限角，
所以，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，考查学生的运算能力，属于中档题．
四．三角函数的恒等变换及化简求值（共14小题）
29．（2022春•浦东新区校级月考）把化成Asin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为 2sin（） ．
【分析】根据辅助角公式化解可得答案．
【解答】解：由＝φ），tanφ＝，
∵φ∈（0，2π）），
∴φ＝，
则＝2sin（），
故答案为：2sin（）．
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基本知识的考查．
30．（2022春•宝山区校级期中）“或”是“tanx＝1”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【分析】由已知结合特殊角的正切值分别检验充分性及必要性即可判断．
【解答】解：当或时tanx＝1成立，但tanx＝1时，x的值有无数个，
故或”是“tanx＝1”成立充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
31．（2022春•徐汇区校级月考）已知α∈（，2π），则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数符号、倍角公式直接求解．
【解答】解：∵α∈（，2π），∴，
∴sin＞0，
∴＝＝|sin|＝sin．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的运算，考查三角函数符号、倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
32．（2022春•青浦区校级月考）化简＝ ﹣tanα ．
【分析】利用三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：原式＝＝＝＝﹣tanα，
故答案为：﹣tanα．
【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用三角函数的诱导公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
33．（2022春•奉贤区校级月考）化简tan（+α）tan（π+α）＝ ﹣1 ．
【分析】结合诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：tan（+α）tan（π+α）＝﹣•tanα＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
34．（2022春•宝山区校级期中）已知△ABC满足tanAtanB＝tan（A+B），有下列四个结论：
①A、B可能都是锐角；
②A、B中一定存在钝角；
③{x|x＝sinC}＝（0，1）；
④{x|x＝sinC}⊂（0，1）．
正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【分析】先假设A，B都是锐角，分A+B＞，分别推出矛盾，则A，B中一定存在钝角，不可能都是锐角，由此可得间C为锐角，故即可求解．
【解答】解：假设A，B都是锐角，
当A+B时，tan（A+B）＜0，tanAtanB＞0，则tan（A+B）≠tanAtanB，与已知矛盾，
当A+B时，则tanA＜tan（A+B），tanB＜tan（A+B），
所以tan（A+B）＞tanAtanB，与已知矛盾，
所以A，B中一定存在钝角，不可能都是锐角，故①错误，②正确，
由以上可得角C为锐角，则{x|x＝sinC}⊂（0，1），故③错误，④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
35．（2022春•奉贤区校级月考）化简：若，则＝ 2sinα ．
【分析】由题意知sinα＞csα＞0，结合同角三角函数关系式求值即可．
【解答】解：∵，
∴sinα＞csα＞0，
∴
＝+
＝sinα+csα+sinα﹣csα
＝2sinα，
故答案为：2sinα．
【点评】本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
36．（2022春•浦东新区校级期中）已知k是正整数，且1≤k≤2160，则满足方程sin1°+sin2°+……+sink°＝sin1°•sin2°•…•sink°的k有 13 个．
【分析】由正弦函数性质可知，sin1°•sin2°•…•sink°＜1，除k＝1外，只有等式的两边都为0时等式才成立，在所给的k的取值范围内检验即可判断．
【解答】解：由正弦函数性质可知，sin1°•sin2°•…•sink°＜1，
所以除k＝1外，只有等式的两边都为0时等式才成立，
故k＝1，359，360，719，720，1079，1080，1439，1440，1799，1800，2159，2160时等式成立．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于基础题．
37．（2022春•奉贤区校级月考）若，则φ＝ ．
【分析】直接利用辅助角公式化解即可得解．
【解答】解：由f（θ）＝sincsθ＝2sin（θ）．
由题意，﹣π＜φ＜π．
∴φ＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了辅助角的运用．比较基础．
38．（2022春•徐汇区校级月考）（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cs（α+β）＝csαcsβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算cs（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的α和β值分别是什么？（请写出至少三组答案）
（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为ct（α+β）＝，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学继续“混对”答案？若存在α和β，请求出，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）化简cs（α﹣β）＝cs（α+β），能求出结果．
（2）化简已知得tan2（α+β）＝﹣1，能求出结果．
【解答】解：（1）由cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，
错误公式得cs（α+β）＝csαcsβ+sinαsinβ，
当cs（α﹣β）＝cs（α+β）时，
csαcsβ﹣sinαsinβ＝csαcsβ+sinαsinβ，
∴2sinαsinβ＝0，
∴或，
∴老师给出 的可能是cs（），cs（），cs（2）等．
（2）∵＝＝＝﹣tan（α+β），
若该同学能继续“混对”，则＝﹣tan（α+β），
∴tan2（α+β）＝﹣1，无解，
∴不存在α和β，可以让该同学继续“混对”答案．
【点评】本题考查三角函数的运算，考查两角和与差的余弦函数、正切函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
39．（2022•闵行区校级开学）已加x，y均为正数，，且满足，，则的值为 ．
【分析】，利用sin2θ+cs2θ＝1，将sin2θ，cs2θ分别表示出来，再根据已知等式，可把的整体值求出来，要注意取舍．
【解答】解：因为，所以＝，
而sin2θ+cs2θ＝1，所以sin2θ＝，cs2θ＝，
由+＝，得+＝，因此＝4或＝，
因为x，y均为正数，，∴y＞x，＝．
故答案为：．
【点评】本题考查同角三角函数关系，考查观察能力，属于中档题．
40．（2022春•虹口区校级期末）利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：
已知，，则＝ ﹣ ．
【分析】利用和差化积公式可求得tan＝，化简＝﹣tan＝﹣，可得答案．
【解答】解：sinω1+sinω2＝2sin•cs＝，①
csω1+csω2＝2cs•cs＝，②
∴得tan＝．③
∴＝＝﹣tan＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
41．（2022春•杨浦区校级期中）若k是正整数，且1≤k≤2022，则满足方程sin1°+sin2°+sin3°+⋯+sink°＝sin1°•sin2°•sin3°•⋯•sink°的k有 11 个．
【分析】结合三角函数的单调性、周期性、值域等知识求得正确答案．
【解答】解：当k＝1时，方程显然成立，
当k≥2时，由三角函数的单调性和值域可知sin1°⋅sin2°⋅sin3°⋯⋅sink°＜1，
当2≤k≤179时，，
即不符合题意，
当180≤k≤360时，sin1°⋅sin2°⋅sin3°⋯⋅sink°＝0，
360°是函数y＝sinx的最小正周期，
所以方程sin1°+sin2°+sin3°+⋯+sink°＝sin1°⋅sin2°⋅sin3°⋯⋯⋅sink°两边均为0时成立，
结合三角函数y＝sinx的周期性可知：
k＝359，360，719，720，1079，1080，1439，1440，1799，1800，共10个，
综上所述，k的可能取值有11个．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角函数的单调性、周期性和值域，属于中档题．
42．（2022春•浦东新区校级月考）在△ABC中，，则＝ ．
【分析】把已知等式化弦为切，整理后求得＝或＝3．再由A，B，C为三角形三内角，得＜，即＜，则tan＜tan（）＝ct，可得＜1，则答案可求．
【解答】解：在△ABC中，由，
得＝，
整理得＝．
即，则＝或＝3．
又A，B，C为三角形三内角，∴＜，即＜，
则tan＜tan（）＝ct，可得＜1，则＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查万能公式的应用，是中档题．
五．三角函数中的恒等变换应用（共9小题）
43．（2022春•奉贤区校级月考）已知函数，g（x）＝2sin2．
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；
（2）求使f（x）＝g（x）成立的x的取值集合．
【分析】（1）利用两角和差的三角公式进行化简，然后进行求解即可．
（2）根据等式关系建立方程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵＝sinx﹣csx+csx+sinx＝sinx，
若α是第一象限角，且f（α）＝，
则sinα＝，得sinα＝，csα＝，
g（x）＝2sin2＝2×＝1﹣csx，
则g（α）＝1﹣csx＝1﹣＝．
（2）由f（x）＝g（x）得sinx＝1﹣csx，
即sinx+csx＝1，得2sin（x+）＝1，得sin（x+）＝，
得x+＝2kπ+或x+＝2kπ+，k∈Z，
得x＝2kπ或x＝2kπ+，k∈Z，
即x的取值集合为{x|x＝2kπ或x＝2kπ+，k∈Z}．
【点评】本题主要考查三角函数式的化简和求值，利用两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．
44．（2021春•金山区校级期末）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcsx，称向量＝（a，b）为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）设函数，试求g（x）的相伴特征向量；
（2）记向量＝（1，）的相伴函数为f（x），求当且x∈（，）时，sinx的值；
（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），＝（，1）为的相伴特征向量，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得⊥．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换和伴随向量的应用求出结果；
（2）利用伴随向量的应用和函数的定义域的应用求出函数的值；
（3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用求出点P的坐标．
【解答】解：（1）＝，
所以，
故函数g（x）的伴随特征向量，
（2）由于f（x）＝sinx+＝，
所以，
由于，
所以，则，
故sinx＝sin[（x+）﹣]＝＝．
（3）由于为函数＝的伴随向量，
故m＝﹣2．
所以φ（x）＝h（）＝＝，
设P（x，），由于A（﹣2，3），B（2，6），
所以，，
由于，
所以，
故，
整理得，
所以，
由于，
所以；
故，
由于，
当且仅当x＝0时，，
所以在y＝h（x）的图象上存在点P（0，2）使得⊥成立．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平面向量在三角函数关系中的应用，向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
45．（2021春•宝山区校级期末）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2cs（ωx+）cs（ωx﹣）+sin（2ωx），其中常数ω＞0．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设实数x1、x2满足|x1﹣x2|＝＜，若对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，求ω的值以及方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解．
【分析】（1）利用三角恒等变换将函数f（x）的解析式进行变形，然后利用正弦函数的有界性求解即可；
（2）先利用恒等式求出x1和x2满足的关系，从而求出ω的值，可得到f（x）的解析式，然后由三角方程求解方程的解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝2cs（ωx+）cs（ωx﹣）+sin（2ωx）
＝2sin（ωx﹣）cs（ωx﹣）+sin（2ωx）
＝sin（2ωx）+cs（2ωx）
＝2sin（2ωx+），
因为sin（2ωx+）∈[﹣1，1]，
所以f（x）的值域为[﹣2，2]；
（2）对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，
则f（x1）＝﹣2，f（x2）＝2，
所以2ωx1+＝，2ωx2+＝，k1，k2∈Z，
所以＝，
则2k1﹣2k2＝2，解得ω＝1，
故，
因为x∈[0，π]，则，
因为f（x）＝1，则，
所以或或，
解得x＝0或x＝或x＝π，
故方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解为x＝0或x＝或x＝π．
【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，正弦函数有界性的运用，三角方程的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
46．（2021春•嘉定区校级期中）已知函数f（x）＝5csθsinx﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ是偶函数．
（1）求tanθ的值：
（2）若f（x）的最小值是﹣6，，求g（x）的单调减区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中a＞0，ω＞0．若y＝h（x）在取得最小值，且是其图象的一个对称中心，求a+ω的最小值．
【分析】（1）先利用两角和差公式将函数f（x）的解析式进行化简变形，然后由偶函数的定义，即可求解；
（2）利用函数f（x）的最小值求出，从而得到f（x）的解析式，求出g（x）的解析式，化简g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求解即可；
（3）利用辅助角公式将函数h（x）进行变形，由已知条件列出关于ω和φ的方程组，先求出φ和a的值，再利用ω和φ的关系求解ω的最小值，即可得到答案．
【解答】解：（1）函数f（x）＝5csθsinx﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ＝5sinθcsx+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ，
因为f（x）为偶函数，所以4tanθ﹣3＝0，解得；
（2）由（1）知f（x）＝5sinθcsx﹣5sinθ，
当csx＝﹣1时，函数f（x）取最小值，即[f（x）]min＝﹣10sinθ＝﹣6，可得，
所以f（x）＝3csx﹣3，
故，
当，即，k∈Z时，g（x）单调递减，
所以g（x）的单调减区间为，k∈Z；
（3）h（x）＝3sin（ωx）+3acs（ωx）+3﹣3a，这里a＞0，ω＞0，
由辅助角公式可得，，其中tanφ＝a，，
由题意得，其中k1，k2∈Z，
解得，
由于，即，得，而8k1﹣k2∈Z，
所以8k1﹣k2＝3，进而得到，，
把代入（*），可得ω＝12k1﹣5，k2∈Z，
由于ω＞0，所以ωmin＝7，
综上所述，．
【点评】本题考查了三角函数的综合应用，考查了三角函数的奇偶性以及单调性的应用，对称性的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
47．（2021春•嘉定区校级月考）已知函数f（x）＝cs（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）求函数f（x）在[﹣，]上的值域．
【分析】（1）利用两角和差的余弦公式以及诱导公式结合辅助角公式进行化简即可求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）求出函数在[﹣，]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝cs（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）＝cs2x+sin2x+2sin（x﹣）sin[+（x﹣）]
＝cs2x+sin2x+2sin（x﹣）cs（x﹣）＝cs2x+sin2x+sin（2x﹣）＝cs2x+sin2x﹣cs2x
＝sin2x﹣cs2x＝sin（2x﹣）．
则函数f（x）的最小正周期T＝，
由2x﹣＝kπ+，k∈Z，
得2x＝kπ+，k∈Z，
即x＝+，k∈Z，
即图象的对称轴为x＝+，k∈Z；
（2）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x≤π，
∴﹣≤2x﹣≤，
则当2x﹣＝时，函数取得最大值为f（x）＝sin＝1，
当2x﹣＝﹣时，函数取得最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣，
即函数的值域为[﹣，1]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
48．（2021春•静安区校级期中）在△ABC中，4sinBsin2（+）+cs2B＝1+．
（1）求角B的度数；
（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB＝，结合B是△ABC的内角可B＝，或B＝；
（2）根据正弦定理的面积公式，算出边c＝5．再利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB的式子，代入数据即可算出边b的值等于 或 ．
【解答】解：（1）由4sinB•sin2（+）+cs2B＝1+，得：2sinB•[1﹣cs（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，
可得sinB＝，
又∵B是△ABC的内角，
∴B＝，或B＝；
（2）∵a＝4，S＝5，
∴acsinB＝×4×c×＝5，解之得c＝5，
∵由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴当B＝时，b＝＝；
当B＝时，b＝＝．
即边b的值等于或．
【点评】本题给出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
49．（2022春•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝asinx+bcsx+csinxcsx+1，其中a、b、c∈R．
（1）当a＝b＝c＝1时，求f（x）的值域；
（2）当a＝1，c＝0时，设g（x）＝f（x）﹣1，且g（x）关于直线对称，如果当x∈[0，]时，方程g（x）﹣m＝0恰有两个不等实根，求实数m的取值范围；
（3）当a＝3，b＝2，c＝0时，若实数m、n、p使得mf（x）+nf（x﹣p）＝1对任意实数x恒成立，求的值．
【分析】（1）令t＝sinx+csx＝sin（x+）∈[﹣，]，然后求解即可；
（2）g（x）＝sinx+bcsx＝sin（x+θ），由条件求出b＝，然后可得sint＝在[，]上有两个不等实根，画图求解即可；
（3）可得f（x）＝sin（x+φ）+1，然后可得（m+ncsp）sin（x+φ）﹣nsinpcs（x+φ）+（m+n﹣1）＝0，然后可得，解出即可得到答案．
【解答】解：（1）可得f（x）＝sinx+csx+sinxcsx+1，令t＝sinx+csx＝sin（x+）∈[﹣，]，
所以sinxcsx＝，即f（t）＝t++1＝，所以值域为[0，]，
（2）可得g（x）＝sinx+bcsx＝sin（x+θ），又g（x）关于直线对称，
∴g（）＝g（x）max＝，∴|+b|＝，∴b＝，
∴g（x）＝sinx+csx＝2sin（x+），令t＝x+∈[，]，
即2sint＝m在[，]上有两个不等实根，∴sint＝在[，]上有两个不等实根，
y＝sint，t∈[，]的图像如下，其中A（，），B（，﹣），
所以≤＜1或﹣1＜＜﹣，解得﹣2＜m≤﹣1或≤m＜2，
实数m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[，2）；
（3）当a＝3，b＝2，c＝0时，则f（x）＝3sinx+2csx+1，
由题可得f（x）＝sin（x+φ）+1，f（x﹣p）＝sin（x+φ﹣p）+1，其中0＜φ＜且tanφ＝，
于是mf（x）+nf（x﹣p）＝1，可化为sin（x+φ）+sin（x+φ﹣p）+m+n＝1，
即（m+mcsp）sin（x+φ）﹣nsinpcs（x+φ）+（m+n﹣1）＝0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若n＝0，则由（1）知m＝0，显然不满足（3）式，故n≠0，
所以由（2）知sinp＝0，故p＝2kπ+π或p＝2kπ（k∈Z），
当p＝2kπ时，csp＝1，则（1）（3）两式矛盾，
故p＝2kπ+π，（k∈Z），csp＝﹣1，由（1）（3）知m＝n＝，所以＝﹣．
【点评】本题考查函数的值域问题，以及方程的根的问题，恒成立问题，综合性较强，属难题．
50．（2022春•徐汇区校级期中）若关于x的方程sinx+csx+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．
【分析】由sinx+csx+a＝0，得sinx+csx＝﹣a，画出函数y＝sinx+csx＝的图象，数形结合得答案．
【解答】解：由sinx+csx+a＝0，得sinx+csx＝﹣a，
令y＝sinx+csx＝，
∵x∈（0，2π），∴x+∈（，），
作出函数的图象如图：
若关于x的方程sinx+csx+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，
则﹣2，或，
即或．
当a∈（﹣2，﹣）时，；
当a∈（﹣，2）时，．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．
51．（2021春•金山区校级期中）已知a＜0，函数，其中．
（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）设a＝﹣1，若对区间内的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，求实数m的取值范围．
【分析】（1）t2＝1+sinx+1﹣sinx+2＝2+2csx，得csx＝，
（2），g（t）＝，（t），函数二次g（t）的对称轴是t＝﹣＞0，分类讨论其最值，
（3）对区间内的任意x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤m成立，即（|f（x1）﹣f（x2）|）max≤m恒成立．求出f（x）max，f（x）min即可，
【解答】解：（1）由，
得t2＝1+sinx+1﹣sinx+2＝2+2csx
∵，∴csx∈[0，1]，故t∈[，2]，
由上得csx＝，f（x）表示为t的函数g（t），g（t）＝，（t）；
（2）由（1）得，g（t）＝，（t）
二次函数g（t）的对称轴是t＝﹣＞0，
①当﹣＞2，即﹣＜a＜0时，g（t）mnx＝g（2）＝a+2；
②当﹣，即a时，g（t）mnx＝g（）＝；
③当，﹣≤a≤﹣时，g（t）mnx＝g（﹣）＝
f（x）mnx＝
（3）对区间内的任意x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤m成立，
即（|f（x1）﹣f（x2）|）max≤m恒成立．
a＝﹣1时，g（t）＝﹣+t+1，g（t）mnx＝g（）＝，g（t）min＝g（2）＝1
在区间内f（x）max＝，f（x）min＝1，
（|f（x1）﹣f（x2）|）max＝f（x）max﹣f（x）min＝﹣1，m≥﹣1．
实数m的取值范围：[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查了三角函数的化简，换元法、含参数二次函数的最值、恒成立问题的处理，属于中档题．
一．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝cs_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cs（π+α）＝﹣cs_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cs（﹣α）＝cs_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣cs_α．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sinα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcs_α；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
二．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
三．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•csα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+csα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cs2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
四．半角的三角函数
【半角的三角函数】
半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．
五．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝csx
②余弦函数有y＝cs（2kπ+x）＝csx，cs（﹣x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝ctx，
④余切函数有y＝ct（﹣x）＝tanx，ct（kπ+x）＝ctx．
六．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cs2α＝1．
（2）商数关系：＝tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cs（α+2kπ）＝csα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cs（π+α）＝﹣csα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cs（﹣α）＝csα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cs（π﹣α）＝﹣csα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（﹣α）＝csα，cs（﹣α）＝sin α，tan（﹣α）＝ctα．
公式六：sin（+α）＝csα，cs（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣ctα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cs （α﹣β）＝csαcsβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcsβ+csαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcsβ﹣csαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcsα；
（2）C2α：cs 2α＝cs2α﹣sin2α＝2cs2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α＝．
能力拓展
一．两角和与差的三角函数（共14小题）
1．（2023春•浦东新区校级月考）已知，则tanα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据两角和的正切公式计算即可求解．
【解答】解：由，
解得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了两角和的正切公式，属于基础题．
2．（2023春•黄浦区校级月考）已知，β是第三象限角，则＝ ．
【分析】由已知得sinβ＝﹣，根据同角关系得csβ，代入的展开式求解即可．
【解答】解：∵，
∴sin（﹣β）＝，即sinβ＝﹣，∵β是第三象限角，则csβ＝﹣，
∴sin（β﹣）＝sinβcs﹣csβsin＝﹣×+×＝．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和差公式，同角函数关系，属于基础题．
3．（2022春•奉贤区校级月考）已知：．求：
（1）sin（α+β）；
（2）求角β的大小．
【分析】（1）先求出α+β的范围，再由同角三角函数的关系结合已知条件求出sin（α+β）；
（2）由β＝（α+β）﹣α，得csβ＝cs[（α+β）﹣α]，利用两角差的余弦公式展开，代值可计算出csβ的值，从而可求出角β的大小
【解答】解：（1）因为0＜α＜，0＜β＜，
所以0＜α+β＜π，
因为cs（α+β）＝﹣，
所以sin（α+β）＝＝＝；
（2）因为csα＝，0＜α＜，
所以sinα＝＝＝，
因为β＝（α+β）﹣α，
所以csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣+＝，
因为0＜β＜，
所以β＝．
【点评】本题考查了同角三角函数关系及两角差的余弦公式、整体思想，属于基础题．
4．（2023春•浦东新区校级月考）若，，，，则＝ ．
【分析】判断角的范围，根据同角的三角函数关系求出sin（α+β），，将化为，根据两角差的余弦公式即可求得答案．
【解答】解：因为，，故0＜α+β＜π，，
故由可得，
由可得，
则＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，属于基础题．
5．（2022秋•浦东新区校级期末）将sinα﹣csα化为Asin（α+φ）（其中A＞0且0＜φ＜2π）的形式的结果为 2sin（） ．
【分析】先将原式提取2，再利用和角的正弦函数公式即可．
【解答】解：由题意，sinα﹣csα＝2（）＝2sin（α+）．
故答案为：2sin（）．
【点评】本题的考点是两角和与差的正弦函数，主要考查运用和与差的正弦余弦函数公式的能力，以及三角函数恒等变换的能力．
6．（2022春•奉贤区校级月考）已知α是第三象限的角且tanα＝3．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用“同除余弦可化切的思想”，即可得解；
（2）由同角三角函数的关系求得csα和sinα的值，再结合两角和的正弦公式求解．
【解答】解：（1）＝＝＝．
（2）因为α是第三象限的角，且tanα＝3，所以csα＝﹣，sinα＝﹣
所以＝sin（α+）＝（sinα+csα）
＝（﹣﹣）＝﹣．
【点评】本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
7．（2022春•宝山区校级期中）已知．
（1）求csα和sin（α+β）的值；
（2）求sinβ的值．
【分析】（1）由已知结合同角平方关系即可求解；
（2）结合两角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（1）因为．
所以csα＝﹣，sin（α+β）＝﹣；
（2）sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）csα﹣sinαcs（α+β）＝﹣＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题．
8．（2023春•浦东新区校级月考）.设常数a使方程在闭区间[0，2π]上恰有三个不同的解x1、x2、x3，则实数a的取值集合为 {} ．
【分析】由已知化简得：a＝2sin（x+），x∈[0，2π]，依题意，可求得x1、x2、x3，从而可求得实数a的取值集合．
【解答】解：a＝sinx+csx＝2（sinx+csx）＝2sin（x+），
令f（x）＝2sin（x+），
∵0≤x≤2π，
∴≤x+≤，
∵方程在一个周期[0，2π]上恰有三个不同的解x1、x2、x3，
∴x1+＝，x2+＝，x3+＝，
∴x1＝0，x2＝，x3＝2π，
此时a＝2sin＝，
∴实数a的取值集合为{}．
故答案为：{}．
【点评】本题主要考查两角和与差的三角函数，考查运算求解能力，属于中档题．
9．（2022春•浦东新区校级期末）已知函数，x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【分析】（1）由题意，利用三角恒等变换，正弦函数的单调性，得出结论．
（2）由题意，由不等式可得sin（2x﹣）∈[，]，利用正弦函数的定义域和值域，可得sin（2x﹣）∈[，1]，根据[，1]⊆[，]，求得m的范围．
【解答】解：（1）∵函数＝2sin（2x﹣），x∈R，
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．
（2）不等式|f（x）﹣m|＜3对任意的恒成立，
即|2sin（2x﹣）﹣m|＜3对任意的恒成立，
即sin（2x﹣）∈[，]，
∵2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]．
由题意，可得[，1]⊆[，]，
∴≤，且≥1，求得﹣1≤m≤4，故实数m的取值范围为[1，4]．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于中档题．
10．（2022春•闵行区期中）设，，且α，β满足．
（1）求的值；
（2）求cs（α+β）的值．
【分析】（1）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值求出sin（α+）的值，由α的范围求出α+的范围，利用同角三角函数间的基本关系化简即可求出cs（α+）的值；
（2）利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出sin（β+）的值，由β的范围求出β+的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cs（β+）的值，将所求式子利用诱导公式sin（+θ）＝csθ变形，其中的角+α+β变形为（α+）+（β+），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．
【解答】解：（1）∵由题意可得5sinα+5csα＝8，
∴10（sinα+csα）＝8，即sin（α+）＝，
∵α∈（0，），∴α+∈（，），
∴cs（α+）＝＝；
（2）∵由题意可得sinβ+csβ＝2，
∴2（sinβ+csβ）＝2，即sin（β+）＝，
∵β∈（，），∴β+∈（，），
∴cs（β+）＝﹣，
∴cs（α+β）＝sin[+（α+β）]＝sin[（α+）+（β+）]
＝sin（α+）cs（β+）+cs（α+）sin（β+）
＝×（﹣）+×
＝﹣．
【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式，灵活变换角度是解本题的关键，同时注意角度的范围．本题中灵活运用角的变换的技巧达到了用已知表示未知，在求值题中，这是一个重要的经验！
11．（2022•闵行区校级开学）（1）已知α、β∈（0，π），，，求csβ．
（2）化简：．
【分析】（1）由已知结合同角基本关系及和差角公式进行化简即可求解；
（2）结合二倍角公式，同角基本关系，诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：（1）因为α、β∈（0，π），，
所以tanα＝＝＝，
所以sinα＝，cs，
α∈（0，π），β∈（0，π），
所以，
因为∈（0，），
所以，
所以cs（α+β）＝，
故csβ＝cs[（α+β）﹣α]＝cs（α+β）csα+sin（α+β）sinα＝﹣＝﹣；
（2）＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式，诱导公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
12．（2022春•普陀区校级期中）借助三角比及向量知识，可以方便地讨论平面上点及图像的旋转问题
（1）在直角坐标系中，将点A（2，1）绕坐标原点O按逆时针方向旋转到点B，求点B的坐标；
（2）如图，设向量，把向量按逆时针方向旋转θ得到向量，求的坐标；
（3）设为A（a，a），B（m，n）不重合的两定点，将点B绕点A按逆时针方向旋转θ角得点C，判断C是否能够落在直线y＝x上，若能，试用a，m，n表示相应的θ值，若不能，说明理由．
【分析】（1）由终边上的点，利用三角函数的定义求csα、sinα，进而应用和角正余弦公式求 的正余弦值，求B的坐标；
（2）由向量的坐标，及与向量的关系，写出含参数的坐标，再应用正余弦和角公式得到关于a、b、θ的AC坐标；
（3）利用向量的坐标表示及向量线性运算的坐标表示求得含参数的C坐标，根据C在直线v＝x上得（m+n﹣2a）sinθ＝（m﹣n）csθ，讨论m+n﹣2a求θ的值．
【解答】解：（1）因为A的坐标为（2，1），
终边经过点的角记为α，
那么可知，
设B坐标为（x，y），
则点B的坐标为；
（2）过点A作直线AD∥x轴，如图：
记∠BAD＝β，，则 ，
又 rcs（β+θ）＝rcsβcsθ﹣rsinβsinθ＝acsθ﹣bsinθ，rsin（β+θ）＝rsinβcsθ+rcsβsinθ＝bcsθ+asinθ，
∴；
（3），
由 （2）知：，
，
即 C（a+（m﹣a）csθ﹣（n﹣a）sinθ，a+（n﹣a）csθ+（m﹣a）sinθ），
由 C 在直线 y＝x 上，得：a+（m﹣a）csθ﹣（n﹣a）sinθ＝a+（n﹣a）csθ+（m﹣a）sinθ，
整理得 （m+n﹣2a）sinθ＝（m﹣n）csθ，
（1）当 m+n﹣2a＝0 时，即当 m+n＝2a 时，csθ＝0，此时 ；
（2）当 m+n﹣2a≠0 时，即当 m+n≠2a 时，可得 ，此时，．
综上，．
【点评】本题考查三角比的定义，考查三角函数和差角公式，考查平面向量平行的等价转化，考查数形结合思想和转化思想，属于中档题．
13．（2022春•浦东新区校级期中）已知函数f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和严格递减区间；
（2）若g（x）＝f（x）+1，，求函数的值域．
【分析】（1）化简可得f（x）＝sin（2x﹣）﹣1，再根据正弦函数的周期性与单调性，得解；
（2）先求得g（x）在上的值域，再利用分离常数法化简函数y后，即可得解．
【解答】解：（1）f（x）＝2sinxcsx﹣2cs2x＝sin2x﹣（1+cs2x）＝sin（2x﹣）﹣1，
所以最小正周期T＝＝π，
令2x﹣∈（2kπ+，2kπ+），k∈Z，则x∈（kπ+，kπ+），k∈Z，
故最小正周期为π，严格递减区间为（kπ+，kπ+），k∈Z．
（2）g（x）＝f（x）+1＝sin（2x﹣），
因为，所以2x﹣∈[﹣，]，所以g（x）∈[﹣1，]，
故＝＝2﹣∈[﹣2，﹣2+2]．
【点评】本题考查三角函数的综合，熟练掌握二倍角公式，辅助角公式，正弦函数的图象与性质，以及分离常数法是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
14．（2022春•普陀区校级期末）对闭区间I，用NI表示函数y＝f（x）在I上的最小值．
（1）设y＝f（x）＝sinx﹣csx，求的值；
（2）设，且y＝f（x）偶函数，，求n﹣m的最大值；
（3）设，若有且仅有一个正数a使得N[0，a]＝kN[a，2a]（k＞0）成立，求正实数k的取值范围．
【分析】（1）先化简f（x），再结合所给区间求解的值；
（2）先利用偶函数求出a，再利用，求出n﹣m的最大值；
（3）根据题意分段讨论，求出k，a的关系式，结合简图可得答案．
【解答】解：（1），
因为，所以，
所以，所以N＝﹣．
（2）因为为偶函数，所以f（﹣x）＝f（x），
，整理得，
所以，此时，
因为，所以，即，
解得，所以n﹣m的最大值为．
（3），
当时，N[0，a]＝﹣sina，N[a，2a]＝﹣sin2a＝﹣2sinacsa，
由﹣sina＝﹣2ksinacsa，得，
当时，N[0，a]＝﹣sina，N[a，2a]＝﹣1，所以k＝sina；
当时，N[0，a]＝﹣1，N[a，2a]＝﹣sina，所以；
当时，，所以；
当时，，所以k＝1；
所以，
作出简图，
由图可知，k的取值范围是．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用，属于难题．
二．二倍角的三角函数（共12小题）
15．（2022春•嘉定区校级期末）函数y＝sinxcsx值域是 [﹣，] ．
【分析】先利用二倍角公式化简函数，再结合正弦函数的值域，得解．
【解答】解：y＝sinxcsx＝sin2x，
因为x∈R，所以sin2x∈[﹣1，1]，
所以函数y的值域为[﹣，]．
故答案为：[﹣，]．
【点评】本题考查三角函数的基础知识，熟练掌握二倍角公式，正弦函数的值域是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
16．（2022春•宝山区校级月考）若cs（+α）＝2cs（α+π），则sin2α＝（ ）
A．﹣B．C．﹣D．
【分析】把已知等式利用诱导公式变形，可得tanα＝2，再把sin2α化弦为切求解．
【解答】解：由cs（+α）＝2cs（α+π），
得﹣sinα＝﹣2csα，则tanα＝2．
∴sin2α＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及诱导公式的应用，是基础题．
17．（2022春•奉贤区校级月考）已知，且α为第四象限角，则sin2α＝ ﹣ ．
【分析】由同角的三角函数关系求出sinα，再利用二倍角的正弦公式求出sin2α．
【解答】解：因为，且α为第四象限角，
所以sinα＝﹣＝﹣，
所以sin2α＝2sinαcsα＝2×（﹣）×＝﹣．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了同角的三角函数关系和二倍角的正弦公式应用问题，是基础题．
18．（2022春•奉贤区校级月考）若0＜α＜π，sinα、csα，为关于x的方程25x2﹣35x+12＝0的两个根，则cs2α的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据根与系数之间的关系以及三角函数的运算公式即可得到结论．
【解答】解：因为0＜α＜π，sinα、csα，为关于x的方程25x2﹣35x+12＝0的两个根，
所以sinα+csα＝，sinαcsα＝，
sinα﹣csα＝±＝±＝±，
所以cs2α＝﹣（sinα﹣csα）（sinα+csα）＝±×＝±．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数之间的关系以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
19．（2022春•长宁区校级期中）已知sin，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式，诱导公式以及二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为sin，两边平方，可得sin2α+cs2α+2sinαcsα＝1+sin2α＝，可得sin2α＝﹣，
所以＝﹣sin2α＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式以及二倍角公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
20．（2022春•杨浦区校级期末）若角α的终边落在第三象限内，且cs（+α）＝，则cs2α＝ ．
【分析】由已知结合诱导公式进行化简先求出sinα，然后结合二倍角公式即可求解．
【解答】解：因为角α的终边落在第三象限内，且cs（+α）＝＝﹣sinα，
所以sinα＝﹣，
所以cs2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了诱导公式及二本倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
21．（2022春•虹口区校级期末）已知，，则cs2β＝ ．
【分析】由题意可求范围≤2β+≤π，利用同角三角函数基本关系式可求cs（2β+）的值，由于2β＝（2β+）﹣，利用两角差的余弦公式即可求解．
【解答】解：因为，可得≤2β+≤π，
又，
所以cs（2β+）＝﹣＝﹣，
则cs2β＝cs[（2β+）﹣]＝cs（2β+）cs+sin（2β+）sin＝（﹣）×+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
22．（2022春•闵行区期中）已知，α是第三象限角，则＝（ ）
A．±2B．C．﹣2D．
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式可求csα的值，可求范围kπ+＜＜kπ+，k∈Z，可得tan＜0，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为，α是第三象限角，
所以csα＝﹣＝﹣，
即2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z，
所以kπ+＜＜kπ+，k∈Z，
所以tan＜0，
而sin2＝，cs2＝，
所以tan2＝＝＝＝4，
所以tan＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
23．（2022春•黄浦区校级期中）设函数y＝cs2x（x≥0）和函数y＝cs10x（x≥0）的图像公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，x3，…，xn，若tan（x3﹣α）＝csx4，则tan2α的值为（ ）
A．B．C．D．3
【分析】利用余弦方程，解出x的值，然后得到x3＝，x4＝，代入tan（x3﹣α）＝csx4，利用正切的两角差公式求出tanα的值，然后再利用二倍角公式，求解即可．
【解答】解：因为cs2x＝cs10x（x≥0），
则有10x＝2x+2kπ或10x+2x＝2nπ，k，n∈N，
解得x＝kπ，或x＝，k，n∈N．
又函数y＝cs2x（x≥0）和函数y＝cs10x（x≥0）的图像的公共点的横坐标从小到大依次为x1，x2，…，xn，
所以x＝0，，，，，，…，
故x3＝，x4＝，
所以tan（x3﹣α）＝csx4，即tan（﹣α）＝cs＝，
即＝，∴tanα＝，∴tan2α＝＝，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的求值问题，涉及了三角方程的应用，两角和差公式以及二倍角公式，考查了转化化归与计算能力，属于中档题．
24．（2022春•浦东新区校级月考）（1）已知，α∈（0，π）．求cs2α的值；
（2）已知，且，，求角β的值．
【分析】（1）将已知等式两边平方可得2sinαcsα＝﹣＜0，可求范围α∈（，π），可得csα﹣sinα的值，进而根据二倍角公式即可计算得解．
（2）先利用平方关系式结合角的范围求出sinα和cs（α+β），然后用已知三角函数值的角α和α+β表示要求解的角β，β＝（α+β）﹣α，利用两角差的正弦公式求解β的正弦值，进而求出角β．
【解答】解：（1），α∈（0，π），
两边平方，可得1+2sinαcsα＝，可得2sinαcsα＝﹣＜0，
所以α∈（，π），可得sinα＞0，csα＜0，
所以csα﹣sinα＝﹣＝﹣＝﹣，
所以cs2α＝（csα﹣sinα）（csα+sinα）＝﹣×＝﹣．
（2）∵csα＝，0＜α＜，
∴sinα＝，
∵sinα＝，，，
∴sin（α﹣β）＝，
∴sinβ＝sin[α﹣（α﹣β）]
＝cs（α﹣β）sinα﹣sin（α﹣β）csα＝×﹣×＝，
又∵0＜β＜，
∴β＝．
∴角β的值为．
【点评】本题考查了二倍角公式，平方关系式及两角和差公式，解决这类题目的关键是“拆角”，把要求解的角用给出三角函数值的角表示．
25．（2022春•浦东新区校级期中）已知tanα＝﹣，求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；
（2）利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
【解答】解：（1）因为tanα＝﹣，
所以＝＝＝﹣；
（2）＝＝＝tanα＝﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
26．（2022春•杨浦区校级期中）已知tanα＝2．
（1）求的值；
（2）求的值．
【分析】（1）由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解．
（2）由已知利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【解答】解：（1）∵tanα＝2，
∴；
（2）∵tanα＝2，
∴．
【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
三．半角的三角函数（共2小题）
27．（2022春•青浦区校级月考）已知θ是第二象限，，则＝ ．
【分析】将正切转化成正弦与余弦，利用二倍角公式，即可解出．
【解答】解：∵θ是第二象限，，
∴csθ＝﹣＝﹣，
tan＝＝＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的计算，学生的数学运算能力，属于基础题．
28．（2021•黄浦区开学）若，α是第三象限角，且，则＝ ．
【分析】根据，且，求得，再根据α是第三象限角，确定的范围，然后利用平方关系求解．
【解答】解：因为，且，
所以，
又因为α是第三象限角，
所以，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换，考查学生的运算能力，属于中档题．
四．三角函数的恒等变换及化简求值（共14小题）
29．（2022春•浦东新区校级月考）把化成Asin（α+φ）（A＞0，φ∈（0，2π））的形式为 2sin（） ．
【分析】根据辅助角公式化解可得答案．
【解答】解：由＝φ），tanφ＝，
∵φ∈（0，2π）），
∴φ＝，
则＝2sin（），
故答案为：2sin（）．
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基本知识的考查．
30．（2022春•宝山区校级期中）“或”是“tanx＝1”成立的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
【分析】由已知结合特殊角的正切值分别检验充分性及必要性即可判断．
【解答】解：当或时tanx＝1成立，但tanx＝1时，x的值有无数个，
故或”是“tanx＝1”成立充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
31．（2022春•徐汇区校级月考）已知α∈（，2π），则等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数符号、倍角公式直接求解．
【解答】解：∵α∈（，2π），∴，
∴sin＞0，
∴＝＝|sin|＝sin．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的运算，考查三角函数符号、倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
32．（2022春•青浦区校级月考）化简＝ ﹣tanα ．
【分析】利用三角函数的诱导公式进行转化求解即可．
【解答】解：原式＝＝＝＝﹣tanα，
故答案为：﹣tanα．
【点评】本题主要考查三角函数的化简，利用三角函数的诱导公式进行转化求解是解决本题的关键，是基础题．
33．（2022春•奉贤区校级月考）化简tan（+α）tan（π+α）＝ ﹣1 ．
【分析】结合诱导公式进行化简即可求解．
【解答】解：tan（+α）tan（π+α）＝﹣•tanα＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
34．（2022春•宝山区校级期中）已知△ABC满足tanAtanB＝tan（A+B），有下列四个结论：
①A、B可能都是锐角；
②A、B中一定存在钝角；
③{x|x＝sinC}＝（0，1）；
④{x|x＝sinC}⊂（0，1）．
正确的是（ ）
A．①③B．②④C．①④D．②③
【分析】先假设A，B都是锐角，分A+B＞，分别推出矛盾，则A，B中一定存在钝角，不可能都是锐角，由此可得间C为锐角，故即可求解．
【解答】解：假设A，B都是锐角，
当A+B时，tan（A+B）＜0，tanAtanB＞0，则tan（A+B）≠tanAtanB，与已知矛盾，
当A+B时，则tanA＜tan（A+B），tanB＜tan（A+B），
所以tan（A+B）＞tanAtanB，与已知矛盾，
所以A，B中一定存在钝角，不可能都是锐角，故①错误，②正确，
由以上可得角C为锐角，则{x|x＝sinC}⊂（0，1），故③错误，④正确，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的恒等变换，涉及到分类讨论思想，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
35．（2022春•奉贤区校级月考）化简：若，则＝ 2sinα ．
【分析】由题意知sinα＞csα＞0，结合同角三角函数关系式求值即可．
【解答】解：∵，
∴sinα＞csα＞0，
∴
＝+
＝sinα+csα+sinα﹣csα
＝2sinα，
故答案为：2sinα．
【点评】本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
36．（2022春•浦东新区校级期中）已知k是正整数，且1≤k≤2160，则满足方程sin1°+sin2°+……+sink°＝sin1°•sin2°•…•sink°的k有 13 个．
【分析】由正弦函数性质可知，sin1°•sin2°•…•sink°＜1，除k＝1外，只有等式的两边都为0时等式才成立，在所给的k的取值范围内检验即可判断．
【解答】解：由正弦函数性质可知，sin1°•sin2°•…•sink°＜1，
所以除k＝1外，只有等式的两边都为0时等式才成立，
故k＝1，359，360，719，720，1079，1080，1439，1440，1799，1800，2159，2160时等式成立．
故答案为：13．
【点评】本题主要考查了正弦函数的性质的应用，属于基础题．
37．（2022春•奉贤区校级月考）若，则φ＝ ．
【分析】直接利用辅助角公式化解即可得解．
【解答】解：由f（θ）＝sincsθ＝2sin（θ）．
由题意，﹣π＜φ＜π．
∴φ＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了辅助角的运用．比较基础．
38．（2022春•徐汇区校级月考）（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：cs（α+β）＝csαcsβ+sinαsinβ，老师给定了α和β值，该同学用错误的公式计算cs（α+β）的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的α和β值分别是什么？（请写出至少三组答案）
（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为ct（α+β）＝，请问：是否存在某些α和β，可以让该同学继续“混对”答案？若存在α和β，请求出，若不存在，请说明理由．
【分析】（1）化简cs（α﹣β）＝cs（α+β），能求出结果．
（2）化简已知得tan2（α+β）＝﹣1，能求出结果．
【解答】解：（1）由cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ，
错误公式得cs（α+β）＝csαcsβ+sinαsinβ，
当cs（α﹣β）＝cs（α+β）时，
csαcsβ﹣sinαsinβ＝csαcsβ+sinαsinβ，
∴2sinαsinβ＝0，
∴或，
∴老师给出 的可能是cs（），cs（），cs（2）等．
（2）∵＝＝＝﹣tan（α+β），
若该同学能继续“混对”，则＝﹣tan（α+β），
∴tan2（α+β）＝﹣1，无解，
∴不存在α和β，可以让该同学继续“混对”答案．
【点评】本题考查三角函数的运算，考查两角和与差的余弦函数、正切函数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
39．（2022•闵行区校级开学）已加x，y均为正数，，且满足，，则的值为 ．
【分析】，利用sin2θ+cs2θ＝1，将sin2θ，cs2θ分别表示出来，再根据已知等式，可把的整体值求出来，要注意取舍．
【解答】解：因为，所以＝，
而sin2θ+cs2θ＝1，所以sin2θ＝，cs2θ＝，
由+＝，得+＝，因此＝4或＝，
因为x，y均为正数，，∴y＞x，＝．
故答案为：．
【点评】本题考查同角三角函数关系，考查观察能力，属于中档题．
40．（2022春•虹口区校级期末）利用和差化积和积化和差公式完成下面的问题：
已知，，则＝ ﹣ ．
【分析】利用和差化积公式可求得tan＝，化简＝﹣tan＝﹣，可得答案．
【解答】解：sinω1+sinω2＝2sin•cs＝，①
csω1+csω2＝2cs•cs＝，②
∴得tan＝．③
∴＝＝﹣tan＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数的应用，考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
41．（2022春•杨浦区校级期中）若k是正整数，且1≤k≤2022，则满足方程sin1°+sin2°+sin3°+⋯+sink°＝sin1°•sin2°•sin3°•⋯•sink°的k有 11 个．
【分析】结合三角函数的单调性、周期性、值域等知识求得正确答案．
【解答】解：当k＝1时，方程显然成立，
当k≥2时，由三角函数的单调性和值域可知sin1°⋅sin2°⋅sin3°⋯⋅sink°＜1，
当2≤k≤179时，，
即不符合题意，
当180≤k≤360时，sin1°⋅sin2°⋅sin3°⋯⋅sink°＝0，
360°是函数y＝sinx的最小正周期，
所以方程sin1°+sin2°+sin3°+⋯+sink°＝sin1°⋅sin2°⋅sin3°⋯⋯⋅sink°两边均为0时成立，
结合三角函数y＝sinx的周期性可知：
k＝359，360，719，720，1079，1080，1439，1440，1799，1800，共10个，
综上所述，k的可能取值有11个．
故答案为：11．
【点评】本题考查了三角函数的单调性、周期性和值域，属于中档题．
42．（2022春•浦东新区校级月考）在△ABC中，，则＝ ．
【分析】把已知等式化弦为切，整理后求得＝或＝3．再由A，B，C为三角形三内角，得＜，即＜，则tan＜tan（）＝ct，可得＜1，则答案可求．
【解答】解：在△ABC中，由，
得＝，
整理得＝．
即，则＝或＝3．
又A，B，C为三角形三内角，∴＜，即＜，
则tan＜tan（）＝ct，可得＜1，则＝．
故答案为：．
【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查万能公式的应用，是中档题．
五．三角函数中的恒等变换应用（共9小题）
43．（2022春•奉贤区校级月考）已知函数，g（x）＝2sin2．
（1）若α是第一象限角，且f（α）＝，求g（α）的值；
（2）求使f（x）＝g（x）成立的x的取值集合．
【分析】（1）利用两角和差的三角公式进行化简，然后进行求解即可．
（2）根据等式关系建立方程进行求解即可．
【解答】解：（1）∵＝sinx﹣csx+csx+sinx＝sinx，
若α是第一象限角，且f（α）＝，
则sinα＝，得sinα＝，csα＝，
g（x）＝2sin2＝2×＝1﹣csx，
则g（α）＝1﹣csx＝1﹣＝．
（2）由f（x）＝g（x）得sinx＝1﹣csx，
即sinx+csx＝1，得2sin（x+）＝1，得sin（x+）＝，
得x+＝2kπ+或x+＝2kπ+，k∈Z，
得x＝2kπ或x＝2kπ+，k∈Z，
即x的取值集合为{x|x＝2kπ或x＝2kπ+，k∈Z}．
【点评】本题主要考查三角函数式的化简和求值，利用两角和差的三角公式进行转化是解决本题的关键，是中档题．
44．（2021春•金山区校级期末）已知O为坐标原点，对于函数f（x）＝asinx+bcsx，称向量＝（a，b）为函数f（x）的相伴特征向量，同时称函数f（x）为向量的相伴函数．
（1）设函数，试求g（x）的相伴特征向量；
（2）记向量＝（1，）的相伴函数为f（x），求当且x∈（，）时，sinx的值；
（3）已知A（﹣2，3），B（2，6），＝（，1）为的相伴特征向量，，请问在y＝φ（x）的图象上是否存在一点P，使得⊥．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）直接利用关系式的恒等变换和伴随向量的应用求出结果；
（2）利用伴随向量的应用和函数的定义域的应用求出函数的值；
（3）利用向量的数量积和垂直的充要条件的应用求出点P的坐标．
【解答】解：（1）＝，
所以，
故函数g（x）的伴随特征向量，
（2）由于f（x）＝sinx+＝，
所以，
由于，
所以，则，
故sinx＝sin[（x+）﹣]＝＝．
（3）由于为函数＝的伴随向量，
故m＝﹣2．
所以φ（x）＝h（）＝＝，
设P（x，），由于A（﹣2，3），B（2，6），
所以，，
由于，
所以，
故，
整理得，
所以，
由于，
所以；
故，
由于，
当且仅当x＝0时，，
所以在y＝h（x）的图象上存在点P（0，2）使得⊥成立．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，平面向量在三角函数关系中的应用，向量的数量积的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
45．（2021春•宝山区校级期末）设函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝2cs（ωx+）cs（ωx﹣）+sin（2ωx），其中常数ω＞0．
（1）求函数y＝f（x）的值域；
（2）设实数x1、x2满足|x1﹣x2|＝＜，若对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，求ω的值以及方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解．
【分析】（1）利用三角恒等变换将函数f（x）的解析式进行变形，然后利用正弦函数的有界性求解即可；
（2）先利用恒等式求出x1和x2满足的关系，从而求出ω的值，可得到f（x）的解析式，然后由三角方程求解方程的解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝2cs（ωx+）cs（ωx﹣）+sin（2ωx）
＝2sin（ωx﹣）cs（ωx﹣）+sin（2ωx）
＝sin（2ωx）+cs（2ωx）
＝2sin（2ωx+），
因为sin（2ωx+）∈[﹣1，1]，
所以f（x）的值域为[﹣2，2]；
（2）对任意x∈R，不等式f（x1）≤f（x）≤f（x2）都成立，
则f（x1）＝﹣2，f（x2）＝2，
所以2ωx1+＝，2ωx2+＝，k1，k2∈Z，
所以＝，
则2k1﹣2k2＝2，解得ω＝1，
故，
因为x∈[0，π]，则，
因为f（x）＝1，则，
所以或或，
解得x＝0或x＝或x＝π，
故方程f（x）＝1在闭区间[0，π]上的解为x＝0或x＝或x＝π．
【点评】本题考查了三角恒等变换的应用，正弦函数有界性的运用，三角方程的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
46．（2021春•嘉定区校级期中）已知函数f（x）＝5csθsinx﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ是偶函数．
（1）求tanθ的值：
（2）若f（x）的最小值是﹣6，，求g（x）的单调减区间；
（3）在（2）的条件下，设函数，其中a＞0，ω＞0．若y＝h（x）在取得最小值，且是其图象的一个对称中心，求a+ω的最小值．
【分析】（1）先利用两角和差公式将函数f（x）的解析式进行化简变形，然后由偶函数的定义，即可求解；
（2）利用函数f（x）的最小值求出，从而得到f（x）的解析式，求出g（x）的解析式，化简g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求解即可；
（3）利用辅助角公式将函数h（x）进行变形，由已知条件列出关于ω和φ的方程组，先求出φ和a的值，再利用ω和φ的关系求解ω的最小值，即可得到答案．
【解答】解：（1）函数f（x）＝5csθsinx﹣5sin（x﹣θ）+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ＝5sinθcsx+（4tanθ﹣3）sinx﹣5sinθ，
因为f（x）为偶函数，所以4tanθ﹣3＝0，解得；
（2）由（1）知f（x）＝5sinθcsx﹣5sinθ，
当csx＝﹣1时，函数f（x）取最小值，即[f（x）]min＝﹣10sinθ＝﹣6，可得，
所以f（x）＝3csx﹣3，
故，
当，即，k∈Z时，g（x）单调递减，
所以g（x）的单调减区间为，k∈Z；
（3）h（x）＝3sin（ωx）+3acs（ωx）+3﹣3a，这里a＞0，ω＞0，
由辅助角公式可得，，其中tanφ＝a，，
由题意得，其中k1，k2∈Z，
解得，
由于，即，得，而8k1﹣k2∈Z，
所以8k1﹣k2＝3，进而得到，，
把代入（*），可得ω＝12k1﹣5，k2∈Z，
由于ω＞0，所以ωmin＝7，
综上所述，．
【点评】本题考查了三角函数的综合应用，考查了三角函数的奇偶性以及单调性的应用，对称性的应用，综合性强，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
47．（2021春•嘉定区校级月考）已知函数f（x）＝cs（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）求函数f（x）在[﹣，]上的值域．
【分析】（1）利用两角和差的余弦公式以及诱导公式结合辅助角公式进行化简即可求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴；
（2）求出函数在[﹣，]上的取值范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：（1）f（x）＝cs（2x﹣）+2sin（x﹣）sin（x+）＝cs2x+sin2x+2sin（x﹣）sin[+（x﹣）]
＝cs2x+sin2x+2sin（x﹣）cs（x﹣）＝cs2x+sin2x+sin（2x﹣）＝cs2x+sin2x﹣cs2x
＝sin2x﹣cs2x＝sin（2x﹣）．
则函数f（x）的最小正周期T＝，
由2x﹣＝kπ+，k∈Z，
得2x＝kπ+，k∈Z，
即x＝+，k∈Z，
即图象的对称轴为x＝+，k∈Z；
（2）∵﹣≤x≤，
∴﹣≤2x≤π，
∴﹣≤2x﹣≤，
则当2x﹣＝时，函数取得最大值为f（x）＝sin＝1，
当2x﹣＝﹣时，函数取得最小值为f（x）＝sin（﹣）＝﹣，
即函数的值域为[﹣，1]．
【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据两角和差的余弦公式以及辅助角公式将函数进行化简是解决本题的关键．
48．（2021春•静安区校级期中）在△ABC中，4sinBsin2（+）+cs2B＝1+．
（1）求角B的度数；
（2）若a＝4，S△＝5，求边b的值．
【分析】（1）利用三角恒等变换公式化简已知等式，算出sinB＝，结合B是△ABC的内角可B＝，或B＝；
（2）根据正弦定理的面积公式，算出边c＝5．再利用余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB的式子，代入数据即可算出边b的值等于 或 ．
【解答】解：（1）由4sinB•sin2（+）+cs2B＝1+，得：2sinB•[1﹣cs（+B）]+1﹣2sin2B＝1+，
可得sinB＝，
又∵B是△ABC的内角，
∴B＝，或B＝；
（2）∵a＝4，S＝5，
∴acsinB＝×4×c×＝5，解之得c＝5，
∵由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accsB，
∴当B＝时，b＝＝；
当B＝时，b＝＝．
即边b的值等于或．
【点评】本题给出三角形中角B的三角等式，求角B的大小，并在已知面积的情况下求边b．着重考查了三角恒等变换、正余弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．
49．（2022春•浦东新区校级月考）已知函数f（x）＝asinx+bcsx+csinxcsx+1，其中a、b、c∈R．
（1）当a＝b＝c＝1时，求f（x）的值域；
（2）当a＝1，c＝0时，设g（x）＝f（x）﹣1，且g（x）关于直线对称，如果当x∈[0，]时，方程g（x）﹣m＝0恰有两个不等实根，求实数m的取值范围；
（3）当a＝3，b＝2，c＝0时，若实数m、n、p使得mf（x）+nf（x﹣p）＝1对任意实数x恒成立，求的值．
【分析】（1）令t＝sinx+csx＝sin（x+）∈[﹣，]，然后求解即可；
（2）g（x）＝sinx+bcsx＝sin（x+θ），由条件求出b＝，然后可得sint＝在[，]上有两个不等实根，画图求解即可；
（3）可得f（x）＝sin（x+φ）+1，然后可得（m+ncsp）sin（x+φ）﹣nsinpcs（x+φ）+（m+n﹣1）＝0，然后可得，解出即可得到答案．
【解答】解：（1）可得f（x）＝sinx+csx+sinxcsx+1，令t＝sinx+csx＝sin（x+）∈[﹣，]，
所以sinxcsx＝，即f（t）＝t++1＝，所以值域为[0，]，
（2）可得g（x）＝sinx+bcsx＝sin（x+θ），又g（x）关于直线对称，
∴g（）＝g（x）max＝，∴|+b|＝，∴b＝，
∴g（x）＝sinx+csx＝2sin（x+），令t＝x+∈[，]，
即2sint＝m在[，]上有两个不等实根，∴sint＝在[，]上有两个不等实根，
y＝sint，t∈[，]的图像如下，其中A（，），B（，﹣），
所以≤＜1或﹣1＜＜﹣，解得﹣2＜m≤﹣1或≤m＜2，
实数m的取值范围为（﹣2，﹣1]∪[，2）；
（3）当a＝3，b＝2，c＝0时，则f（x）＝3sinx+2csx+1，
由题可得f（x）＝sin（x+φ）+1，f（x﹣p）＝sin（x+φ﹣p）+1，其中0＜φ＜且tanφ＝，
于是mf（x）+nf（x﹣p）＝1，可化为sin（x+φ）+sin（x+φ﹣p）+m+n＝1，
即（m+mcsp）sin（x+φ）﹣nsinpcs（x+φ）+（m+n﹣1）＝0，
由已知条件，上式对任意x∈R恒成立，故必有，
若n＝0，则由（1）知m＝0，显然不满足（3）式，故n≠0，
所以由（2）知sinp＝0，故p＝2kπ+π或p＝2kπ（k∈Z），
当p＝2kπ时，csp＝1，则（1）（3）两式矛盾，
故p＝2kπ+π，（k∈Z），csp＝﹣1，由（1）（3）知m＝n＝，所以＝﹣．
【点评】本题考查函数的值域问题，以及方程的根的问题，恒成立问题，综合性较强，属难题．
50．（2022春•徐汇区校级期中）若关于x的方程sinx+csx+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，求实数a的取值范围及相应的α+β的值．
【分析】由sinx+csx+a＝0，得sinx+csx＝﹣a，画出函数y＝sinx+csx＝的图象，数形结合得答案．
【解答】解：由sinx+csx+a＝0，得sinx+csx＝﹣a，
令y＝sinx+csx＝，
∵x∈（0，2π），∴x+∈（，），
作出函数的图象如图：
若关于x的方程sinx+csx+a＝0在（0，2π）内有两个不同的实数根α，β，
则﹣2，或，
即或．
当a∈（﹣2，﹣）时，；
当a∈（﹣，2）时，．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，训练了数形结合的解题思想方法，是中档题．
51．（2021春•金山区校级期中）已知a＜0，函数，其中．
（1）设，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数g（t）；
（2）求函数f（x）的最大值（可以用a表示）；
（3）设a＝﹣1，若对区间内的任意x1，x2，若有|f（x1）﹣f（x2）|≤m，求实数m的取值范围．
【分析】（1）t2＝1+sinx+1﹣sinx+2＝2+2csx，得csx＝，
（2），g（t）＝，（t），函数二次g（t）的对称轴是t＝﹣＞0，分类讨论其最值，
（3）对区间内的任意x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤m成立，即（|f（x1）﹣f（x2）|）max≤m恒成立．求出f（x）max，f（x）min即可，
【解答】解：（1）由，
得t2＝1+sinx+1﹣sinx+2＝2+2csx
∵，∴csx∈[0，1]，故t∈[，2]，
由上得csx＝，f（x）表示为t的函数g（t），g（t）＝，（t）；
（2）由（1）得，g（t）＝，（t）
二次函数g（t）的对称轴是t＝﹣＞0，
①当﹣＞2，即﹣＜a＜0时，g（t）mnx＝g（2）＝a+2；
②当﹣，即a时，g（t）mnx＝g（）＝；
③当，﹣≤a≤﹣时，g（t）mnx＝g（﹣）＝
f（x）mnx＝
（3）对区间内的任意x1，x2，|f（x1）﹣f（x2）|≤m成立，
即（|f（x1）﹣f（x2）|）max≤m恒成立．
a＝﹣1时，g（t）＝﹣+t+1，g（t）mnx＝g（）＝，g（t）min＝g（2）＝1
在区间内f（x）max＝，f（x）min＝1，
（|f（x1）﹣f（x2）|）max＝f（x）max﹣f（x）min＝﹣1，m≥﹣1．
实数m的取值范围：[﹣1，+∞）．
【点评】本题考查了三角函数的化简，换元法、含参数二次函数的最值、恒成立问题的处理，属于中档题．
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