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2006年河北省中考数学试卷（课标卷）
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这是一份2006年河北省中考数学试卷（课标卷），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
2．（2分）图中几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a+a=a2B．a•a2=a2C．（2a）2=2a2D．a+2a=3a
4．（2分）如图是华联商厦某个月甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量统计图，则甲、丙两种品牌彩电该月的销售量之和为（ ）
A．50台B．65台C．75台D．95台
5．（2分）某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）=363B．363（1﹣x）2=300C．300（1+2x）=363D．300（1+x）2=363
6．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
7．（2分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ=，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）
A．1.4kgB．5kgC．6.4kgD．7kg
8．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
9．（2分）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
10．（2分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a= ．
12．（3分）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为 m．
13．（3分）有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．
14．（3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 ．
15．（3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm．
三、解答题（共10小题，满分85分）
16．（7分）已知x=﹣，求（1+）•（x+1）的值．
17．（7分）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
18．（7分）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
4×0+1=4×1﹣3；①
4×1+1=4×2﹣3；②
4×2+1=4×3﹣3；③
；④
；⑤
…
…
（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．
19．（8分）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如图：
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合能确定两人先下棋的概率．
20．（8分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 元，众数为 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
21．（8分）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
22．（8分）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
23．（8分）如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
24．（12分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
25．（12分）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A⇒B⇒C⇒D⇒A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；
②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；
③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；
④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．
（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）
2006年河北省中考数学试卷（课标卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2006•河北）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
【分析】根据绝对值的性质作答．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）（2010•金华）图中几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据实物的形状和主视图的概念判断即可．
【解答】解：图中几何体的主视图如选项B所示．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
3．（2分）（2006•河北）下列运算中，正确的是（ ）
A．a+a=a2B．a•a2=a2C．（2a）2=2a2D．a+2a=3a
【分析】根据整式的运算、及幂的运算法则．
【解答】解：A、应为a+a=2a，故本选项错误；
B、应为a•a2=a1+2=a3，故本选项错误；
C、（2a）2=22•a2=4a2，故本选项错误；
D、a+2a=（1+2）a=3a，正确．
故选D．
【点评】本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
4．（2分）（2006•河北）如图是华联商厦某个月甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量统计图，则甲、丙两种品牌彩电该月的销售量之和为（ ）
A．50台B．65台C．75台D．95台
【分析】观察条形统计图可知甲品牌彩电销售45台，乙品牌彩电销售20台，丙品牌彩电销售30台．故甲、丙两品牌彩电销量之和为45+30=75（台）．
【解答】解：甲、丙两品牌彩电销量之和为45+30=75（台）．
故选：C．
【点评】本题考查学生从图象中读取信息的能力．
5．（2分）（2006•河北）某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）=363B．363（1﹣x）2=300C．300（1+2x）=363D．300（1+x）2=363
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据“2008年底增加到363公顷．”可得出方程．
【解答】解：依题意得300（1+x）2=363．
故选D．
【点评】本题可按照增长率的一般规律进行计算．
6．（2分）（2006•河北）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
【分析】根据第二象限内的点的坐标特征，列出不等式组，通过解不等式组解题．
【解答】解：∵点P（x﹣2，x）在第二象限，
∴，解得0＜x＜2，
∴x的取值范围为0＜x＜2，
故选：A．
【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求x的取值范围．
7．（2分）（2006•河北）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ=，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）
A．1.4kgB．5kgC．6.4kgD．7kg
【分析】由图象知点（5，1.4）在函数的图象上，根据待定系数法就可求得函数解析式．求得m的值．
【解答】解：∵ρ=，
∴m=ρV，
而点（5，1.4）在图象上，
代入得m=5×1.4=7（kg）．
故选D．
【点评】考查实际问题中反比例函数的性质，关键是要由点的坐标求出函数的解析式．
8．（2分）（2012•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE，再由已知条件即可求解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE=3
∴EC=AD﹣BE=2
故选B．
【点评】命题立意：考查平行四边形性质及等腰三角形的性质．
9．（2分）（2010•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．
【解答】解：弧长：=4π，
圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．
故选：C．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
10．（2分）（2006•河北）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据已知，得第一个方程是2x+y=11；第二个方程是4x+3y=27，
则方程组为．
故选A．
【点评】主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）（2015•德阳）分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
12．（3分）（2006•河北）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为 m．
【分析】由图形可以看出AB=BC，要求AB的长，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，就可以运用勾股定理求出．
【解答】解：折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC==米．
小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为+=米．
【点评】命题立意：本题考查勾股定理的应用．
求两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=．
13．（3分）（2006•河北）有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．
【分析】让无理数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：四张卡片中2，为有理数，π，为无理数．故抽到写有无理数卡片的概率为．
故答案为：
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．（3分）（2009•青海）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 2 ．
【分析】连接OA，根据切线的性质及特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：连接OA，由切线性质知OA⊥PA．
在Rt△OAP中，PA=，∠APO=30°，
∴OA=PA•tan30°=2．
【点评】本题考查的是切线的性质及解直角三角形的应用．
15．（3分）（2006•河北）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 1 cm．
【分析】有关图形的折叠与拼接最好的解决方法是亲自动手操作．先求第一次折痕，再求第二次，从而求它们的关系．
【解答】解：第一次折痕的左侧部分比右侧部分短1cm，
第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，
其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴对称的关系，
它们到中线的距离是0.5cm，
所以在纸上形成的两条折痕之间的距离是1cm．
【点评】考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
三、解答题（共10小题，满分85分）
16．（7分）（2006•河北）已知x=﹣，求（1+）•（x+1）的值．
【分析】首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．
【解答】解：原式=x+2．（4分）
当x=时，原式=．（7分）
（说明：本题若直接代入求值正确，也相应给分）
【点评】此题考查分式的化简与计算，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
17．（7分）（2007•玉溪）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
【分析】本题以生活场景为载体，考查学生运用知识解决实际问题能力，本题可根据生活常识得第（1）问，第（2）问由相似三角形性质求出．
【解答】解：（1）如图所示，CP为视线，点C为所求位置．
（2）∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
∴∠CMD=∠PND=90°．
又∵∠CDM=∠PDN，
∴△CDM∽△PDN，
∴．
∵MN=20m，MD=8m，
∴ND=12m．
∴，
∴CM=16（m）．
∴点C到胜利街口的距离CM为16m．
【点评】命题立意：考查学生综合运用知识解决现实生活中问题的能力．
18．（7分）（2006•河北）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
4×0+1=4×1﹣3；①
4×1+1=4×2﹣3；②
4×2+1=4×3﹣3；③
4×3+1=4×4﹣3 ；④
4×4+1=4×5﹣3 ；⑤
…
…
（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．
【分析】解题思维过程是从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．同时启发同学们在学习过程中关注结果的同时，更应注重概念、法则、公式、公理的形成和发展过程．
【解答】解：前3个式子等号左边为4×序数减1+1，右边为：4×序数﹣3，那么其余式子也应按这个规律．
（1）④4×3+1=4×4﹣3；
⑤4×4+1=4×5﹣3．
（2）4（n﹣1）+1=4n﹣3．
【点评】本题为数字型猜想归纳题，着重考查同学们的阅读理解、探索规律和归纳猜想等多方面的能力．
19．（8分）（2006•河北）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如图：
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合能确定两人先下棋的概率．
【分析】（1）每一个人的硬币都有可能出现正反两种情况，按此排列即可；
（2）找到两个正面的情况占所有情况的多少即可．
【解答】解：（1）树状图为：
（2）由（1）中的树状图可知：P（确定两人先下棋）=．
【点评】考查概率知识在游戏中应用；采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2006•河北）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 16 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 1700 元，众数为 1600 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
【分析】此题文字比较多，解题时首先要理解题意，掌握众数、中位数和平均数的意义．首先求出工资数的中位数，众数，进行判断．
【解答】解：（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；
（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；
在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．
用1700元或1600元来介绍更合理些．
（4）≈1713（元）．
能反映该公司员工的月工资实际水平．
【点评】本题考查众数、平均数等统计知识，考查统计思想在实际生活中应用，属较基础的题目．
统计知识与人们的日常生活联系密切，中考以统计量为题眼进行试题设置时，重点是结合学生熟悉的现实生活中实际问题进行定量（计算统计量）和定性（估计、判断和预测）分析，用以考查同学们对统计基本思想的理解和用数学的意识．
21．（8分）（2006•河北）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 2 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 10 m；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
【分析】（1）此题只要认真读图，可从中找到甲、乙两队各组数据；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）利用（2）中的函数关系式可以解决问题．
【解答】解：（1）依题意得乙队开挖到30m时，用了2h，
开挖6h时甲队比乙队多挖了60﹣50=10m；
（2）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1=60，
解得k1=10，
∴y=10x，
设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴，
解得，
∴y=5x+20；
（3）由题意，得10x=5x+20，
解得x=4（h）．
∴当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
【点评】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
22．（8分）（2006•河北）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= a （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= 6a （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．
【解答】解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；
（2）2a；
理由：连接AD，
∵CD=BC，AE=CA，
∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，
∴S2=2a；
（3）结合（2）得：2a×3=6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．
应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）．
【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．
23．（8分）（2006•河北）如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质可证明△OBM≌△OFN，所以根据全等的性质可知BM=FN；
（2）同（1）中的证明方法一样，根据正方形和等腰直角三角形的性质得OB=OF，∠MBO=∠NFO=135°，∠MOB=∠NOF，可证△OBM≌△OFN，所以BM=FN．
【解答】（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM与△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN；
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM与△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．
【点评】本题考查旋转知识在几何综合题中运用，旋转前后许多线段相等，本题以实验为背景，探索在不同位置关系下线段的关系，为中考常见的题型．
24．（12分）（2006•河北）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【分析】本题属于市场营销问题，月利润=（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5=60（吨）．
（2）由题意：
y=（x﹣100）（45+×7.5），
化简得：y=﹣x2+315x﹣24000．
（3）y=﹣x2+315x﹣24000=﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W=x（45+×7.5）=﹣（x﹣160）2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
25．（12分）（2006•河北）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A⇒B⇒C⇒D⇒A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；
②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；
③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；
④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．
（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）
【分析】（1）当x=2时，Q离AD的距离为6+2=8，而G离AD的距离为7﹣2=5，因此重合部分的长为3．同理可求得重合部分的宽为1，因此y=3．
当x=18时，正方形MNPQ走完AB需14秒，因此x=18时，正方形MNPQ在BC边上运动了4秒，而正方形EHFG扩张到最大需7秒再缩小到原来的大小需7秒，因此x=18时，正方形EHFG重复第二次运动，且第二次运动过程中运动了4秒，因此MN离AB的距离为6+4=10，OP离AB的距离为4，因此重合部分的长为6，同理可求得重合部分的宽为3，y=3×6=18．
（2）①当1≤x≤3.5时，是正方形EHGF第一次向外扩张的过程，此时MK=x+6，SK=7﹣x，因此MS=2x﹣1．同理可求得SG的长，由此可得出重合部分的面积y与x的函数关系式．
②当3.5≤x≤7时，正方形EHGF第一次向内收缩，此时重合部分的长不变为MN的长即6，而EQ=x，NP=6，因此重合部分的宽为6﹣x，由此可得出y与x的函数关系式．
③当7≤x≤10.5时，正方形EHGF第二次向外扩张，此时重合部分的宽仍为MN的长即6，MQ=6，TQ=x﹣7，因此MT=13﹣x，由此可得出y与x的函数关系式．
④当10.5≤x≤13时，正方形EHGF第二次向内收缩，解法参照①．
（3）根据②中x不同区间的y的函数关系式，可根据各函数的性质和自变量的取值范围求出y的最大或最小值．
【解答】解：（1）相应的图形如图1，2．
当x=2时，y=3；
当x=18时，y=18．
（2）①当1≤x≤3.5时，如图3，
延长MN交AD于K，
设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6+x，SK=TQ=7﹣x，从而MS=MK﹣SK=2x﹣1，MT=MQ﹣TQ=6﹣（7﹣x）=x﹣1．
∴y=MT•MS=（x﹣1）（2x﹣1）=2x2﹣3x+1．
②当3.5≤x≤7时，如图4，
设FG与MQ交于T，则
TQ=7﹣x，
∴MT=MQ﹣TQ=6﹣（7﹣x）=x﹣1．
∴y=MN•MT=6（x﹣1）=6x﹣6．
③当7≤x≤10.5时，如图5，
设FG与MQ交于T，则
TQ=x﹣7，
∴MT=MQ﹣TQ=6﹣（x﹣7）=13﹣x．
∴y=MN•MT=6（13﹣x）=78﹣6x．
④当10.5≤x≤13时，如图6，
设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14﹣x，SK=RP=x﹣7，
∴SM=SK﹣MK=2x﹣21，从而SN=MN﹣SM=27﹣2x，NR=NP﹣RP=13﹣x．
∴y=NR•SN=（13﹣x）（27﹣2x）=2x2﹣53x+351．
（3）对于正方形MNPQ，
①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0；
当x=7时，y取得最大值36．
②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0；
当x=21时，y取得最大值36．
③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y取得最小值0；
当x=35时，y取得最大值36．
④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0；
当x=49时，y取得最大值36．
【点评】本题为压轴题有一定难度，但难题也分层次性设计，只要平时多加积累解题经验，探解题规律，一定会有很大收获．
命题立意：考查解决大综合题的数学能力．
参与本试卷答题和审题的老师有：yingzi；自由人；zhjh；137﹣hui；HJJ；lf2﹣9；zzz；Liuzhx；lanchng；CJX；蓝月梦；mmll852；hayujun；心若在；HLing；wdxwwzy；ZJX；MMCH；ln_86；lanyan；郝老师；hbxglhl；zcx；399462；kuaile；py168；zhangCF（排名不分先后）
菁优网
2017年6月23日员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
2．（2分）图中几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（2分）下列运算中，正确的是（ ）
A．a+a=a2B．a•a2=a2C．（2a）2=2a2D．a+2a=3a
4．（2分）如图是华联商厦某个月甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量统计图，则甲、丙两种品牌彩电该月的销售量之和为（ ）
A．50台B．65台C．75台D．95台
5．（2分）某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）=363B．363（1﹣x）2=300C．300（1+2x）=363D．300（1+x）2=363
6．（2分）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
7．（2分）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ=，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）
A．1.4kgB．5kgC．6.4kgD．7kg
8．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
9．（2分）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
10．（2分）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）分解因式：a3﹣a= ．
12．（3分）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为 m．
13．（3分）有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．
14．（3分）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 ．
15．（3分）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 cm．
三、解答题（共10小题，满分85分）
16．（7分）已知x=﹣，求（1+）•（x+1）的值．
17．（7分）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
18．（7分）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
4×0+1=4×1﹣3；①
4×1+1=4×2﹣3；②
4×2+1=4×3﹣3；③
；④
；⑤
…
…
（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．
19．（8分）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如图：
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合能确定两人先下棋的概率．
20．（8分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 元，众数为 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
21．（8分）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 m；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
22．（8分）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
23．（8分）如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
24．（12分）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
25．（12分）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A⇒B⇒C⇒D⇒A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；
②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；
③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；
④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．
（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）
2006年河北省中考数学试卷（课标卷）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）
1．（2分）（2006•河北）|﹣2|的值是（ ）
A．﹣2B．2C．D．﹣
【分析】根据绝对值的性质作答．
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故选B．
【点评】本题考查绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
2．（2分）（2010•金华）图中几何体的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据实物的形状和主视图的概念判断即可．
【解答】解：图中几何体的主视图如选项B所示．
故选B．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，解答时学生易将三种视图混淆而错误的选其它选项．
3．（2分）（2006•河北）下列运算中，正确的是（ ）
A．a+a=a2B．a•a2=a2C．（2a）2=2a2D．a+2a=3a
【分析】根据整式的运算、及幂的运算法则．
【解答】解：A、应为a+a=2a，故本选项错误；
B、应为a•a2=a1+2=a3，故本选项错误；
C、（2a）2=22•a2=4a2，故本选项错误；
D、a+2a=（1+2）a=3a，正确．
故选D．
【点评】本题主要考查合并同类项的法则，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键．
4．（2分）（2006•河北）如图是华联商厦某个月甲、乙、丙三种品牌彩电的销售量统计图，则甲、丙两种品牌彩电该月的销售量之和为（ ）
A．50台B．65台C．75台D．95台
【分析】观察条形统计图可知甲品牌彩电销售45台，乙品牌彩电销售20台，丙品牌彩电销售30台．故甲、丙两品牌彩电销量之和为45+30=75（台）．
【解答】解：甲、丙两品牌彩电销量之和为45+30=75（台）．
故选：C．
【点评】本题考查学生从图象中读取信息的能力．
5．（2分）（2006•河北）某城市2006年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2008年底增加到363公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．300（1+x）=363B．363（1﹣x）2=300C．300（1+2x）=363D．300（1+x）2=363
【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设绿化面积平均每年的增长率为x，根据“2008年底增加到363公顷．”可得出方程．
【解答】解：依题意得300（1+x）2=363．
故选D．
【点评】本题可按照增长率的一般规律进行计算．
6．（2分）（2006•河北）在平面直角坐标系中，若点P（x﹣2，x）在第二象限，则x的取值范围为（ ）
A．0＜x＜2B．x＜2C．x＞0D．x＞2
【分析】根据第二象限内的点的坐标特征，列出不等式组，通过解不等式组解题．
【解答】解：∵点P（x﹣2，x）在第二象限，
∴，解得0＜x＜2，
∴x的取值范围为0＜x＜2，
故选：A．
【点评】坐标平面被两条坐标轴分成了四个象限，每个象限内的点的坐标符号各有特点，该知识点是中考的常考点，常与不等式、方程结合起来求一些字母的取值范围，比如本题中求x的取值范围．
7．（2分）（2006•河北）在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气体，当改变容积V时，气体的密度ρ也随之改变．ρ与V在一定范围内满足ρ=，它的图象如图所示，则该气体的质量m为（ ）
A．1.4kgB．5kgC．6.4kgD．7kg
【分析】由图象知点（5，1.4）在函数的图象上，根据待定系数法就可求得函数解析式．求得m的值．
【解答】解：∵ρ=，
∴m=ρV，
而点（5，1.4）在图象上，
代入得m=5×1.4=7（kg）．
故选D．
【点评】考查实际问题中反比例函数的性质，关键是要由点的坐标求出函数的解析式．
8．（2分）（2012•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，AE平分∠BAD交BC边于点E，则线段BE，EC的长度分别为（ ）
A．2和3B．3和2C．4和1D．1和4
【分析】根据平行四边形的性质和角平分线，可推出AB=BE，再由已知条件即可求解．
【解答】解：∵AE平分∠BAD
∴∠BAE=∠DAE
∵▱ABCD
∴AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE=3
∴EC=AD﹣BE=2
故选B．
【点评】命题立意：考查平行四边形性质及等腰三角形的性质．
9．（2分）（2010•兰州）如图，现有一圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为（ ）
A．4cmB．3cmC．2cmD．1cm
【分析】本题考查了圆锥的有关计算，圆锥的表面是由一个曲面和一个圆面围成的，圆锥的侧面展开在平面上，是一个扇形，计算圆锥侧面积时，通过求侧面展开图面积求得，侧面积公式是底面周长与母线乘积的一半，先求扇形的弧长，再求圆锥底面圆的半径，弧长：=4π，圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．
【解答】解：弧长：=4π，
圆锥底面圆的半径：r==2（cm）．
故选：C．
【点评】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：
（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；
（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
10．（2分）（2006•河北）《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它的“方程”一章里一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，把它改为横排，如图（1）、（2），图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与对应的常数项，把图（1）所示的算筹图中方程组形式表述出来，就是类似地，图（2）所示的算筹图可表述为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据图1，结合已知的方程组理解算筹表示的实际数字，发现：前两项是x、y的系数，后一项是方程右边的常数项，十位数用横线表示，个位数用竖线表示，满五用横线表示．按此规律，即可看出第二个方程组．
【解答】解：根据已知，得第一个方程是2x+y=11；第二个方程是4x+3y=27，
则方程组为．
故选A．
【点评】主要培养学生的观察能力，关键是能够根据已知的方程根据对应位置的数字理解算筹表示的实际数字．
二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（3分）（2015•德阳）分解因式：a3﹣a= a（a+1）（a﹣1） ．
【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【解答】解：a3﹣a，
=a（a2﹣1），
=a（a+1）（a﹣1）．
故答案为：a（a+1）（a﹣1）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意要分解彻底．
12．（3分）（2006•河北）如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为 m．
【分析】由图形可以看出AB=BC，要求AB的长，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，就可以运用勾股定理求出．
【解答】解：折线分为AB、BC两段，
AB、BC分别看作直角三角形斜边，
由勾股定理得AB=BC==米．
小明沿图中所示的折线从A⇒B⇒C所走的路程为+=米．
【点评】命题立意：本题考查勾股定理的应用．
求两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB、BC分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算AB+BC=．
13．（3分）（2006•河北）有四张不透明的卡片为2，，π，，除正面的数不同外，其余都相同．将它们背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张卡片，抽到写有无理数卡片的概率为 ．
【分析】让无理数的个数除以数的总数即为所求的概率．
【解答】解：四张卡片中2，为有理数，π，为无理数．故抽到写有无理数卡片的概率为．
故答案为：
【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14．（3分）（2009•青海）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 2 ．
【分析】连接OA，根据切线的性质及特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：连接OA，由切线性质知OA⊥PA．
在Rt△OAP中，PA=，∠APO=30°，
∴OA=PA•tan30°=2．
【点评】本题考查的是切线的性质及解直角三角形的应用．
15．（3分）（2006•河北）小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 1 cm．
【分析】有关图形的折叠与拼接最好的解决方法是亲自动手操作．先求第一次折痕，再求第二次，从而求它们的关系．
【解答】解：第一次折痕的左侧部分比右侧部分短1cm，
第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm，
其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴对称的关系，
它们到中线的距离是0.5cm，
所以在纸上形成的两条折痕之间的距离是1cm．
【点评】考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
三、解答题（共10小题，满分85分）
16．（7分）（2006•河北）已知x=﹣，求（1+）•（x+1）的值．
【分析】首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．
【解答】解：原式=x+2．（4分）
当x=时，原式=．（7分）
（说明：本题若直接代入求值正确，也相应给分）
【点评】此题考查分式的化简与计算，解决这类题目关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简．
17．（7分）（2007•玉溪）如图所示，一段街道的两边缘所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ．建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N．小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等候小亮．
（1）请你在图中画出小亮恰好能看见小明时的视线，以及此时小亮所在位置（用点C标出）；
（2）已知：MN=20m，MD=8m，PN=24m，求（1）中的点C到胜利街口的距离CM．
【分析】本题以生活场景为载体，考查学生运用知识解决实际问题能力，本题可根据生活常识得第（1）问，第（2）问由相似三角形性质求出．
【解答】解：（1）如图所示，CP为视线，点C为所求位置．
（2）∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，
∴∠CMD=∠PND=90°．
又∵∠CDM=∠PDN，
∴△CDM∽△PDN，
∴．
∵MN=20m，MD=8m，
∴ND=12m．
∴，
∴CM=16（m）．
∴点C到胜利街口的距离CM为16m．
【点评】命题立意：考查学生综合运用知识解决现实生活中问题的能力．
18．（7分）（2006•河北）观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律：
（1）请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：
4×0+1=4×1﹣3；①
4×1+1=4×2﹣3；②
4×2+1=4×3﹣3；③
4×3+1=4×4﹣3 ；④
4×4+1=4×5﹣3 ；⑤
…
…
（2）通过猜想，写出与第n个图形相对应的等式．
【分析】解题思维过程是从特殊情况入手→探索、发现规律→归纳、猜想出结果→取特殊值代入验证，即体现特殊→一般→特殊的解题过程．同时启发同学们在学习过程中关注结果的同时，更应注重概念、法则、公式、公理的形成和发展过程．
【解答】解：前3个式子等号左边为4×序数减1+1，右边为：4×序数﹣3，那么其余式子也应按这个规律．
（1）④4×3+1=4×4﹣3；
⑤4×4+1=4×5﹣3．
（2）4（n﹣1）+1=4n﹣3．
【点评】本题为数字型猜想归纳题，着重考查同学们的阅读理解、探索规律和归纳猜想等多方面的能力．
19．（8分）（2006•河北）小明、小亮和小强三人准备下象棋，他们约定用“抛硬币”的游戏方式来确定哪两个人先下棋，规则如图：
（1）请你完成下面表示游戏一个回合所有可能出现的结果的树状图；
（2）求一个回合能确定两人先下棋的概率．
【分析】（1）每一个人的硬币都有可能出现正反两种情况，按此排列即可；
（2）找到两个正面的情况占所有情况的多少即可．
【解答】解：（1）树状图为：
（2）由（1）中的树状图可知：P（确定两人先下棋）=．
【点评】考查概率知识在游戏中应用；采用列举法解题的关键是找到所有存在的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20．（8分）（2006•河北）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：
请你根据上述内容，解答下列问题：
（1）该公司“高级技工”有 16 名；
（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为 1700 元，众数为 1600 元；
（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；
（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资（结果保留整数），并判断能否反映该公司员工的月工资实际水平．
【分析】此题文字比较多，解题时首先要理解题意，掌握众数、中位数和平均数的意义．首先求出工资数的中位数，众数，进行判断．
【解答】解：（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；
（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元；
在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；
（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．
用1700元或1600元来介绍更合理些．
（4）≈1713（元）．
能反映该公司员工的月工资实际水平．
【点评】本题考查众数、平均数等统计知识，考查统计思想在实际生活中应用，属较基础的题目．
统计知识与人们的日常生活联系密切，中考以统计量为题眼进行试题设置时，重点是结合学生熟悉的现实生活中实际问题进行定量（计算统计量）和定性（估计、判断和预测）分析，用以考查同学们对统计基本思想的理解和用数学的意识．
21．（8分）（2006•河北）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）乙队开挖到30m时，用了 2 h．开挖6h时甲队比乙队多挖了 10 m；
（2）请你求出：
①甲队在0≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
②乙队在2≤x≤6的时段内，y与x之间的函数关系式；
（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？
【分析】（1）此题只要认真读图，可从中找到甲、乙两队各组数据；
（2）根据图中的信息利用待定系数法即可确定函数关系式；
（3）利用（2）中的函数关系式可以解决问题．
【解答】解：（1）依题意得乙队开挖到30m时，用了2h，
开挖6h时甲队比乙队多挖了60﹣50=10m；
（2）设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式y=k1x，
由图可知，函数图象过点（6，60），
∴6k1=60，
解得k1=10，
∴y=10x，
设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b，
由图可知，函数图象过点（2，30）、（6，50），
∴，
解得，
∴y=5x+20；
（3）由题意，得10x=5x+20，
解得x=4（h）．
∴当x为4h时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．
【点评】此题主要考查学生对函数图象掌握情况及利用待定系数法求一次函数关系式，理解题意是解题的关键．
22．（8分）（2006•河北）探索：
在如图1至图3中，△ABC的面积为a．
（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= a （用含a的代数式表示）；
（2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；
（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD、FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= 6a （用含a的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍．
应用：
去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的3倍；再加上原来三角形的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的7倍，则扩展两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的72=49倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的48倍．
【解答】解：（1）∵BC=CD，
∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a；
（2）2a；
理由：连接AD，
∵CD=BC，AE=CA，
∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，
∴S2=2a；
（3）结合（2）得：2a×3=6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍．
应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）．
【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．
23．（8分）（2006•河北）如图1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【分析】（1）根据正方形和等腰直角三角形的性质可证明△OBM≌△OFN，所以根据全等的性质可知BM=FN；
（2）同（1）中的证明方法一样，根据正方形和等腰直角三角形的性质得OB=OF，∠MBO=∠NFO=135°，∠MOB=∠NOF，可证△OBM≌△OFN，所以BM=FN．
【解答】（1）BM=FN．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM与△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN；
（2）BM=FN仍然成立．
证明：∵△GEF是等腰直角三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
∴∠MBO=∠NFO=135°，
在△OBM与△OFN中，，
∴△OBM≌△OFN（ASA），
∴BM=FN．
【点评】本题考查旋转知识在几何综合题中运用，旋转前后许多线段相等，本题以实验为背景，探索在不同位置关系下线段的关系，为中考常见的题型．
24．（12分）（2006•河北）某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．
（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；
（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？
（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．
【分析】本题属于市场营销问题，月利润=（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，销售量与每吨售价的关系要表达清楚．再用二次函数的性质解决最大利润问题．
【解答】解：（1）由题意得：
45+×7.5=60（吨）．
（2）由题意：
y=（x﹣100）（45+×7.5），
化简得：y=﹣x2+315x﹣24000．
（3）y=﹣x2+315x﹣24000=﹣（x﹣210）2+9075．
利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．
（4）我认为，小静说的不对．
理由：方法一：当月利润最大时，x为210元，
而对于月销售额W=x（45+×7.5）=﹣（x﹣160）2+19200来说，
当x为160元时，月销售额W最大．
∴当x为210元时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
方法二：当月利润最大时，x为210元，此时，月销售额为17325元；
而当x为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，
∴当月利润最大时，月销售额W不是最大．
∴小静说的不对．
（说明：如果举出其它反例，说理正确，也可以）
【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数，再对二次函数进行实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．
25．（12分）（2006•河北）图1至图7的正方形霓虹灯广告牌ABCD都是20×20的等距网格（每个小方格的边长均为1个单位长），其对称中心为点O．
如图1，有一个边长为6个单位长的正方形EFGH的对称中心也是点O，它每秒1个单位长的速度由起始位置向外扩大（即点O不动，正方形EFGH经过一秒由6×6扩大为8×8；再经过一秒，由8×8扩大为10×10；…），直到充满正方形ABCD，再以同样的速度逐步缩小到起始时的大小，然后一直不断地以同样速度再扩大、再缩小．
另有一个边长为6个单位长的正方形MNPQ从如图1所示的位置开始，以每秒1个单位长的速度，沿正方形ABCD的内侧边缘按A⇒B⇒C⇒D⇒A移动（即正方形MNPQ从点P与点A重合位置开始，先向左平移，当点Q与点B重合时，再向上平移，当点M与点C重合时，再向右平移，当点N与点D重合时，再向下平移，到达起始位置后仍继续按上述方式移动）．
正方形EFGH和正方形MNPQ从如图1的位置同时开始运动，设运动时间为x秒，它们的重叠部分面积为y个平方单位．
（1）请你在图2和图3中分别画出x为2秒、18秒时，正方形EFGH和正方形MNPQ的位置及重叠部分（重叠部分用阴影表示），并分别写出重叠部分的面积；
（2）①如图4，当1≤x≤3.5时，求y与x的函数关系式；
②如图5，当3.5≤x≤7时，求y与x的函数关系式；
③如图6，当7≤x≤10.5时，求y与x的函数关系式；
④如图7，当10.5≤x≤13时，求y与x的函数关系式．
（3）对于正方形MNPQ在正方形ABCD各边上移动一周的过程，请你根据重叠部分面积y的变化情况，指出y取得最大值和最小值时，相对应的x的取值情况，并指出最大值和最小值分别是多少．（说明：问题（3）是额外加分题，加分幅度为1～4分）
【分析】（1）当x=2时，Q离AD的距离为6+2=8，而G离AD的距离为7﹣2=5，因此重合部分的长为3．同理可求得重合部分的宽为1，因此y=3．
当x=18时，正方形MNPQ走完AB需14秒，因此x=18时，正方形MNPQ在BC边上运动了4秒，而正方形EHFG扩张到最大需7秒再缩小到原来的大小需7秒，因此x=18时，正方形EHFG重复第二次运动，且第二次运动过程中运动了4秒，因此MN离AB的距离为6+4=10，OP离AB的距离为4，因此重合部分的长为6，同理可求得重合部分的宽为3，y=3×6=18．
（2）①当1≤x≤3.5时，是正方形EHGF第一次向外扩张的过程，此时MK=x+6，SK=7﹣x，因此MS=2x﹣1．同理可求得SG的长，由此可得出重合部分的面积y与x的函数关系式．
②当3.5≤x≤7时，正方形EHGF第一次向内收缩，此时重合部分的长不变为MN的长即6，而EQ=x，NP=6，因此重合部分的宽为6﹣x，由此可得出y与x的函数关系式．
③当7≤x≤10.5时，正方形EHGF第二次向外扩张，此时重合部分的宽仍为MN的长即6，MQ=6，TQ=x﹣7，因此MT=13﹣x，由此可得出y与x的函数关系式．
④当10.5≤x≤13时，正方形EHGF第二次向内收缩，解法参照①．
（3）根据②中x不同区间的y的函数关系式，可根据各函数的性质和自变量的取值范围求出y的最大或最小值．
【解答】解：（1）相应的图形如图1，2．
当x=2时，y=3；
当x=18时，y=18．
（2）①当1≤x≤3.5时，如图3，
延长MN交AD于K，
设MN与HG交于S，MQ与FG交于T，则MK=6+x，SK=TQ=7﹣x，从而MS=MK﹣SK=2x﹣1，MT=MQ﹣TQ=6﹣（7﹣x）=x﹣1．
∴y=MT•MS=（x﹣1）（2x﹣1）=2x2﹣3x+1．
②当3.5≤x≤7时，如图4，
设FG与MQ交于T，则
TQ=7﹣x，
∴MT=MQ﹣TQ=6﹣（7﹣x）=x﹣1．
∴y=MN•MT=6（x﹣1）=6x﹣6．
③当7≤x≤10.5时，如图5，
设FG与MQ交于T，则
TQ=x﹣7，
∴MT=MQ﹣TQ=6﹣（x﹣7）=13﹣x．
∴y=MN•MT=6（13﹣x）=78﹣6x．
④当10.5≤x≤13时，如图6，
设MN与EF交于S，NP交FG于R，延长NM交BC于K，则MK=14﹣x，SK=RP=x﹣7，
∴SM=SK﹣MK=2x﹣21，从而SN=MN﹣SM=27﹣2x，NR=NP﹣RP=13﹣x．
∴y=NR•SN=（13﹣x）（27﹣2x）=2x2﹣53x+351．
（3）对于正方形MNPQ，
①在AB边上移动时，当0≤x≤1及13≤x≤14时，y取得最小值0；
当x=7时，y取得最大值36．
②在BC边上移动时，当14≤x≤15及27≤x≤28时，y取得最小值0；
当x=21时，y取得最大值36．
③在CD边上移动时，当28≤x≤29及41≤x≤42时，y取得最小值0；
当x=35时，y取得最大值36．
④在DA边上移动时，当42≤x≤43及55≤x≤56时，y取得最小值0；
当x=49时，y取得最大值36．
【点评】本题为压轴题有一定难度，但难题也分层次性设计，只要平时多加积累解题经验，探解题规律，一定会有很大收获．
命题立意：考查解决大综合题的数学能力．
参与本试卷答题和审题的老师有：yingzi；自由人；zhjh；137﹣hui；HJJ；lf2﹣9；zzz；Liuzhx；lanchng；CJX；蓝月梦；mmll852；hayujun；心若在；HLing；wdxwwzy；ZJX；MMCH；ln_86；lanyan；郝老师；hbxglhl；zcx；399462；kuaile；py168；zhangCF（排名不分先后）
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2017年6月23日员工
管理人员
普通工作人员
人员结构
总经理
部门经理
科研人员
销售人员
高级技工
中级技工
勤杂工
员工数（名）
1
3
2
3
24
1
每人月工资（元）
21000
8400
2025
2200
1800
1600
950
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