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专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型-2024年新课标高中物理模型与方法
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这是一份专题15 带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型-2024年新课标高中物理模型与方法，文件包含专题15带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型原卷版docx、专题15带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。
\l "_Tc26697" 二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 PAGEREF _Tc26697 \h 2
\l "_Tc9809" 三．平行边界磁场模型 PAGEREF _Tc9809 \h 4
\l "_Tc6559" 四．圆形边界磁场模型 PAGEREF _Tc6559 \h 5
\l "_Tc13682" 五．环形磁约束模型 PAGEREF _Tc13682 \h 9
\l "_Tc18167" 六．三角形或四边形边界磁场模型 PAGEREF _Tc18167 \h 12
\l "_Tc20705" 七．数学圆模型在电磁学中的应用 PAGEREF _Tc20705 \h 14
\l "_Tc28515" 模型一 “放缩圆”模型的应用 PAGEREF _Tc28515 \h 14
\l "_Tc14347" 模型二 “旋转圆”模型的应用 PAGEREF _Tc14347 \h 16
\l "_Tc9920" 模型三 “平移圆”模型的应用 PAGEREF _Tc9920 \h 18
\l "_Tc8457" 模型四 “磁聚焦”模型 PAGEREF _Tc8457 \h 19
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】.(2020·贵州贵阳市四校联考)在如图所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为( )
A.eq \f(B1,B2)＝eq \f(1,4) B.eq \f(B1,B2)＝eq \f(2,1)
C.eq \f(B1,B2)＝eq \f(1,2) D.eq \f(B1,B2)＝eq \f(4,1)
【模型演练2】(2020·吉林长春市六中3月线上测试)如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，eq \r(3)a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为eq \f(4πa,t0)
C．带电粒子的比荷为eq \f(4π,3Bt0)
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
【典例分析3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞0)的粒子以速度v0从磁场区域左侧沿x轴进入磁场，不计重力．
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为eq \f(Bm,2)，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．
【模型演练4】(2020·湖北宜昌市四月调研)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则eq \f(t1,t2)为( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【模型演练5】（2021届云南省昆明市高三（上）三诊一模摸底诊断测试理综物理试题 ）如图所示，虚线上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，下方存在方向相同、磁感应强度大小为的匀强磁场，虚线为两磁场的分界线。位于分界线上，点为的中点。一电子从点射入磁场，速度方向与分界线的夹角为，电子离开点后依次经两点回到点。已知电子的质量为，电荷量为，重力不计，求：
(1)的值；
(2)电子从射入磁场到第一次回到点所用的时间。
三．平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】.(多选)(2020·辽宁沈阳市第一次质检)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则( )
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝eq \r(3)∶1
C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
【模型演练2】(2020·湖南长沙模拟)如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是( )
A．电子将向右偏转
B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O′点的距离为eq \r(3)d
D．电子在磁场中运动的时间为eq \f(πd,3v0)
【模型演练4】.如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，粒子的带电量相同，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)( )
A．1∶3 B．4∶3
C．1∶1 D．3∶2
四．圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
2． 圆形有界磁场问题（2）
【模型演练1】(2020·贵州黔东南州一模)如图，直角坐标系xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点．一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，不计带电粒子重力，下列判断正确的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
C．粒子运动的速率为eq \f(\r(3)qBR,m)
D．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(πm,6qB)
【模型演练2】.(多选)(2020·福建厦门市3月质检)如图所示，圆形区域直径MN上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同．现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以v1、v2的速度沿图示方向垂直磁场方向从M点入射，最终都从N点离开磁场，则( )
A．粒子a、b可能带异种电荷
B．粒子a、b一定带同种电荷
C．v1∶v2可能为2∶1
D．v1∶v2只能为1∶1
【模型演练3】.(多选)(2021·福建厦门市线上检测)如图所示，圆形区域直径MN上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同．现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以v1、v2的速度沿图示方向垂直于磁场从M点入射，最终都从N点离开磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则( )
A．粒子a、b可能带异种电荷
B．粒子a、b一定带同种电荷
C．v1∶v2可能为2∶1
D．v1∶v2只能为1∶1
【模型演练4】(多选)(2020·四川乐山市高三下学期三调)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个比荷为eq \f(q,m)的正粒子，从A点沿与AO成30°角的方向射入匀强磁场区域，最终从B点沿与AO垂直的方向离开磁场．若粒子在运动过程中只受磁场力作用，则( )
A．粒子运动的轨道半径r＝R
B．粒子在磁场区域内运动的时间t＝eq \f(πm,6Bq)
C．粒子的初速度为v0＝eq \f(qBR,m)
D．若仅改变初速度的方向，该粒子仍能从B点飞出磁场区域
【模型演练5】如图甲所示，有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，则B1与B2的比值为( )
A．2cs θ B．sin θ
C．cs θ D．tan θ
【模型演练6】.(2020·山东潍坊检测)如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角．设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力．求：
(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r.
【模型演练7】．(2020·陕西咸阳模拟)如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里．有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)磁场区域的圆心O1的坐标；
(3)电子在磁场中运动的时间．
五．环形磁约束模型
【模型构建】
【模型演练1】(2020·安徽十校联盟检测)如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点．在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子第一次在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
C．粒子运动的速度大小为eq \f(\r(3)qBr,2m)
D．磁场外边界圆的半径至少为eq \r(3)r
【模型演练2】(2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图8所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae) C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【模型演练3】(2021·广东深圳高级中学月考)如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔．一质量为m、电荷量为＋q的粒子由小孔下方eq \f(d,2)处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆射入磁场．不计粒子的重力．
(1)求极板间电场强度的大小；
(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小．
【模型演练4】(2021届·潍坊模拟)如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行。
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
【模型演练5】 (2021·安徽安庆市下学期第二次模拟)如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场，一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO 方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对的圆心角为120°；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则eq \f(v1,v2)至少为( )
A.eq \f(4\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(4\r(3),9) D.eq \f(\r(3),3)
六．三角形或四边形边界磁场模型
【模型演练1】 (2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【模型演练2】 (2021·山东省实验中学第二次模拟)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域．若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为( )
A.eq \f(qBL,m)≤v≤eq \f(2\r(2)qBL,m) B.eq \f(qBL,m)≤v≤eq \f(5qBL,m)
C.eq \f(qBL,2m)≤v≤eq \f(\r(2)＋1qBL,m) D.eq \f(qBL,2m)≤v≤eq \f(5qBL,2m)
【模型演练3】(2020·河北第二次省际调研)如图，在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a点处有离子源，可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子，且所有离子均垂直bc边射出，下列说法正确的是( )
A．磁场区域的最小面积为eq \f(π－2,4)L2
B．离子在磁场中做圆周运动的半径为eq \r(2)L
C．磁场区域的最大面积为eq \f(π,4)L2
D．离子在磁场中运动的最长时间为eq \f(2πL,3v)
【模型演练4】(2020·黑龙江哈尔滨六中期末)如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B.由顶点A处沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q.不计粒子重力．粒子以下列速度发射时其中不能通过D点的是( )
A.eq \f(qBl,4m) B.eq \f(qBl,2m) C.eq \f(3qBl,4m) D.eq \f(qBl,m)
【模型演练5】如图所示，在边长为L的正方形abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从边ad的四等分点P处沿与ad边成45°角的方向向磁场区域内射入速度大小不等的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为－q(q>0)。不计粒子重力，关于粒子的运动，下列说法正确的是( )
A．可能有粒子从b点射出
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(3πm,2qB)
C．速度为v＝eq \f(qBL,2m)的粒子从cd边射出磁场
D．从bc边射出的粒子的运动轨迹所对应的圆心角一定小于135°
七．数学圆模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图9中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.eq \f(7πm,6qB) B.eq \f(5πm,4qB)
C.eq \f(4πm,3qB) D.eq \f(3πm,2qB)
【模型演练2】.(多选)(2020·山东潍坊市检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【模型演练3】(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
【模型演练4】（2021届云南省保山市智源中学周测）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝be＝2bc＝2de＝L，bcde为矩形．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为( )
A.eq \f(3qBL,4m) B.eq \f(\r(2)qBL,2m) C.eq \f(5qBL,8m) D.eq \f(\r(3)qBL,3m)
模型二 “旋转圆”模型的应用
【模型演练1】(2017·全国卷Ⅱ)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为( )
A．eq \r(3)∶2 B．eq \r(2)∶1 C．eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
【模型演练2】.(多选)(2020·四川绵阳市高三第三次诊断)如图所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场．质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场．则粒子( )
A．带负电
B．运动速率v＝eq \f(\r(2)qBL,m)
C．在磁场中运动的最长时间Tm＝eq \f(πm,3qB)
D．在磁场中运动的最长时间Tm＝eq \f(πm,qB)
【模型演练3】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
【模型演练4】(2020·蚌埠二模)如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为 ( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．1∶3∶5 D．2∶3∶10
【模型演练5】(2021·安徽宣城市第二次模拟)如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．有无数个带有相同电荷量和相同质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的eq \f(1,3).将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为圆周长的eq \f(1,4)，则eq \f(B2,B1)等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
模型三 “平移圆”模型的应用
【模型演练1】(2020·江西红色七校一联)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝eq \f(π,6)。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为eq \f(4,3)t(不计粒子重力)。则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(πm,2qt)
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为eq \f(2,5)d
D．粒子进入磁场时的速度大小为eq \f(\r(3)πd,7t)
【模型演练2】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．eq \r(3)∶eq \r(2)
模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【模型演练1】(多选)(2021·山东泰安市一模)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
【模型演练2】(2021·山东济南市上学期期末)(多选)如图所示，长方形abcd的长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心，eb为半径的圆弧和以O为圆心，Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T．一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝2×10－3C的带正电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，粒子间的相互作用不计，则下列判断正确的是( )
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
B．从aO边射入的粒子，出射时全部通过b点
C．从Od边射入的粒子，出射时全部通过b点
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边
【模型演练3】(2020·广东模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝eq \f(mv,qB)，正确的图是( )
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)
R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝eq \f(θ,2π)T
②t＝eq \f(L,v)
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
临界圆
临界半径
勾股定理(R2-R1)2=R12+r2
解得：
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定
方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
\l "_Tc26697" 二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型 PAGEREF _Tc26697 \h 2
\l "_Tc9809" 三．平行边界磁场模型 PAGEREF _Tc9809 \h 4
\l "_Tc6559" 四．圆形边界磁场模型 PAGEREF _Tc6559 \h 5
\l "_Tc13682" 五．环形磁约束模型 PAGEREF _Tc13682 \h 9
\l "_Tc18167" 六．三角形或四边形边界磁场模型 PAGEREF _Tc18167 \h 12
\l "_Tc20705" 七．数学圆模型在电磁学中的应用 PAGEREF _Tc20705 \h 14
\l "_Tc28515" 模型一 “放缩圆”模型的应用 PAGEREF _Tc28515 \h 14
\l "_Tc14347" 模型二 “旋转圆”模型的应用 PAGEREF _Tc14347 \h 16
\l "_Tc9920" 模型三 “平移圆”模型的应用 PAGEREF _Tc9920 \h 18
\l "_Tc8457" 模型四 “磁聚焦”模型 PAGEREF _Tc8457 \h 19
一.带电粒子在有界匀强磁场中的匀速圆周运动模型解法综述
二．带电粒子在直线边界磁场中的运动模型
【运动模型】直线边界，粒子进出磁场具有对称性(如图所示)
图a中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】.(2020·贵州贵阳市四校联考)在如图所示的xOy平面的第一象限内，存在着垂直纸面向里、磁感应强度分别为B1、B2的两个匀强磁场(图中未画出)．Oa是两磁场的边界，且与x轴的夹角为45°.一不计重力、带正电的粒子从坐标原点O沿x轴正向射入磁场．之后粒子在磁场中的运动轨迹恰与y轴相切但未离开磁场．则两磁场磁感应强度的比值为( )
A.eq \f(B1,B2)＝eq \f(1,4) B.eq \f(B1,B2)＝eq \f(2,1)
C.eq \f(B1,B2)＝eq \f(1,2) D.eq \f(B1,B2)＝eq \f(4,1)
【模型演练2】(2020·吉林长春市六中3月线上测试)如图所示，在0≤x≤3a的区域内存在与xOy平面垂直的匀强磁场，磁感应强度大小为B.在t＝0时刻，从原点O发射一束等速率的相同的带电粒子，速度方向与y轴正方向的夹角分布在0°～90°范围内．其中，沿y轴正方向发射的粒子在t＝t0时刻刚好从磁场右边界上P(3a，eq \r(3)a)点离开磁场，不计粒子重力，下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做圆周运动的半径为3a
B．粒子的发射速度大小为eq \f(4πa,t0)
C．带电粒子的比荷为eq \f(4π,3Bt0)
D．带电粒子在磁场中运动的最长时间为2t0
【典例分析3】(2020·全国卷Ⅱ·24)如图，在0≤x≤h，－∞
(1)若粒子经磁场偏转后穿过y轴正半轴离开磁场，分析说明磁场的方向，并求在这种情况下磁感应强度的最小值Bm；
(2)如果磁感应强度大小为eq \f(Bm,2)，粒子将通过虚线所示边界上的一点离开磁场．求粒子在该点的运动方向与x轴正方向的夹角及该点到x轴的距离．
【模型演练4】(2020·湖北宜昌市四月调研)如图所示，直线MN上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的a点垂直MN和磁场方向射入磁场，经t1时间从b点离开磁场．之后电子2也由a点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经t2时间从a、b连线的中点c离开磁场，则eq \f(t1,t2)为( )
A．3 B．2 C.eq \f(3,2) D.eq \f(2,3)
【模型演练5】（2021届云南省昆明市高三（上）三诊一模摸底诊断测试理综物理试题 ）如图所示，虚线上方存在方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，下方存在方向相同、磁感应强度大小为的匀强磁场，虚线为两磁场的分界线。位于分界线上，点为的中点。一电子从点射入磁场，速度方向与分界线的夹角为，电子离开点后依次经两点回到点。已知电子的质量为，电荷量为，重力不计，求：
(1)的值；
(2)电子从射入磁场到第一次回到点所用的时间。
三．平行边界磁场模型
【运动模型】
平行边界存在临界条件，图a中粒子在磁场中运动的时间t1＝eq \f(θm,Bq)，t2＝eq \f(T,2)＝eq \f(πm,Bq)
图b中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θm,Bq)
图c中粒子在磁场中运动的时间
t＝(1－eq \f(θ,π))T＝(1－eq \f(θ,π))eq \f(2πm,Bq)＝eq \f(2mπ－θ,Bq)
图d中粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
【模型演练1】.(多选)(2020·辽宁沈阳市第一次质检)两个带等量异种电荷的粒子分别以速度va和vb射入匀强磁场，两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°，磁场宽度为d，两粒子同时由A点出发，同时到达B点，如图所示，则( )
A．a粒子带正电，b粒子带负电
B．两粒子的轨道半径之比Ra∶Rb＝eq \r(3)∶1
C．两粒子的质量之比ma∶mb＝1∶2
D．两粒子的质量之比ma∶mb＝2∶1
【模型演练2】(2020·湖南长沙模拟)如图所示，一个理想边界为PQ、MN的匀强磁场区域，磁场宽度为d，方向垂直纸面向里．一电子从O点沿纸面垂直PQ以速度v0进入磁场．若电子在磁场中运动的轨道半径为2d.O′在MN上，且OO′与MN垂直．下列判断正确的是( )
A．电子将向右偏转
B．电子打在MN上的点与O′点的距离为d
C．电子打在MN上的点与O′点的距离为eq \r(3)d
D．电子在磁场中运动的时间为eq \f(πd,3v0)
【模型演练4】.如图所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的同种带电粒子从S点沿SP方向同时射入磁场，粒子的带电量相同，其中穿过a点的粒子速度v1与MN垂直；穿过b点的粒子速度v2与MN成60°角，设两粒子从S到a、b所需时间分别为t1和t2，则t1∶t2为(重力不计)( )
A．1∶3 B．4∶3
C．1∶1 D．3∶2
四．圆形边界磁场模型
【模型构建】沿径向射入圆形磁场的粒子必沿径向射出，运动具有对称性(如图所示)
粒子做圆周运动的半径r＝eq \f(R,tan θ)
粒子在磁场中运动的时间t＝eq \f(θ,π)T＝eq \f(2θm,Bq)
θ＋α＝90°
1． 圆形有界磁场问题（1）
2． 圆形有界磁场问题（2）
【模型演练1】(2020·贵州黔东南州一模)如图，直角坐标系xOy平面内，有一半径为R的圆形匀强磁场区域，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向里，边界与x、y轴分别相切于a、b两点．一质量为m，电荷量为q的带电粒子从b点沿平行于x轴正方向进入磁场区域，离开磁场后做直线运动，经过x轴时速度方向与x轴正方向的夹角为60°，不计带电粒子重力，下列判断正确的是( )
A．粒子带正电
B．粒子在磁场中运动的轨道半径为R
C．粒子运动的速率为eq \f(\r(3)qBR,m)
D．粒子在磁场中运动的时间为eq \f(πm,6qB)
【模型演练2】.(多选)(2020·福建厦门市3月质检)如图所示，圆形区域直径MN上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同．现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以v1、v2的速度沿图示方向垂直磁场方向从M点入射，最终都从N点离开磁场，则( )
A．粒子a、b可能带异种电荷
B．粒子a、b一定带同种电荷
C．v1∶v2可能为2∶1
D．v1∶v2只能为1∶1
【模型演练3】.(多选)(2021·福建厦门市线上检测)如图所示，圆形区域直径MN上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场，下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小相同．现有两个比荷相同的带电粒子a、b，分别以v1、v2的速度沿图示方向垂直于磁场从M点入射，最终都从N点离开磁场，不计粒子重力及粒子间的相互作用，则( )
A．粒子a、b可能带异种电荷
B．粒子a、b一定带同种电荷
C．v1∶v2可能为2∶1
D．v1∶v2只能为1∶1
【模型演练4】(多选)(2020·四川乐山市高三下学期三调)如图所示，在一个半径为R的圆形区域内存在磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，一个比荷为eq \f(q,m)的正粒子，从A点沿与AO成30°角的方向射入匀强磁场区域，最终从B点沿与AO垂直的方向离开磁场．若粒子在运动过程中只受磁场力作用，则( )
A．粒子运动的轨道半径r＝R
B．粒子在磁场区域内运动的时间t＝eq \f(πm,6Bq)
C．粒子的初速度为v0＝eq \f(qBR,m)
D．若仅改变初速度的方向，该粒子仍能从B点飞出磁场区域
【模型演练5】如图甲所示，有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图乙所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角．已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，则B1与B2的比值为( )
A．2cs θ B．sin θ
C．cs θ D．tan θ
【模型演练6】.(2020·山东潍坊检测)如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B.一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角．设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力．求：
(1)电子在磁场中运动轨迹的半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r.
【模型演练7】．(2020·陕西咸阳模拟)如图所示，A点距坐标原点的距离为L，坐标平面内有边界过A点和坐标原点O的圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于坐标平面向里．有一电子(质量为m、电荷量为e)从A点以初速度v0平行于x轴正方向射入磁场区域，在磁场中运动，从x轴上的B点射出磁场区域，此时速度方向与x轴的正方向之间的夹角为60°，求：
(1)磁场的磁感应强度大小；
(2)磁场区域的圆心O1的坐标；
(3)电子在磁场中运动的时间．
五．环形磁约束模型
【模型构建】
【模型演练1】(2020·安徽十校联盟检测)如图所示，磁场的边界是两个同心圆，内圆的半径为r，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B，A是内侧边界上的一点．在圆心O处沿平行纸面方向射出一个质量为m、电荷量为q的带电粒子，粒子速度方向与OA成60°角，粒子经磁场第一次偏转后刚好从A点射出磁场，不计粒子重力，则下列说法正确的是( )
A．粒子一定带正电
B．粒子第一次在磁场中运动的时间为eq \f(2πm,3qB)
C．粒子运动的速度大小为eq \f(\r(3)qBr,2m)
D．磁场外边界圆的半径至少为eq \r(3)r
【模型演练2】(2020·全国卷Ⅲ·18)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图8所示．一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略重力．为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( )
A.eq \f(3mv,2ae) B.eq \f(mv,ae) C.eq \f(3mv,4ae) D.eq \f(3mv,5ae)
【模型演练3】(2021·广东深圳高级中学月考)如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域(Ⅰ区)和小圆内部(Ⅱ区)均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上极板开有一小孔．一质量为m、电荷量为＋q的粒子由小孔下方eq \f(d,2)处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆射入磁场．不计粒子的重力．
(1)求极板间电场强度的大小；
(2)若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小．
【模型演练4】(2021届·潍坊模拟)如图所示，两个同心圆，半径分别为r和2r，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。圆心O处有一放射源，放出粒子的质量为m、带电荷量为q，假设粒子速度方向都和纸面平行。
(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场后第一次通过A点，则初速度的大小是多少？
(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？
【模型演练5】 (2021·安徽安庆市下学期第二次模拟)如图所示，半径分别为R、2R的两个同心圆，圆心为O，大圆和小圆之间区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，其余区域无磁场，一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的P点沿PO 方向以速度v1射入磁场，其运动轨迹如图所示，图中轨迹所对的圆心角为120°；若将该带电粒子从P点射入的速度大小变为v2，不论其入射方向如何，都不可能射入小圆内部区域，则eq \f(v1,v2)至少为( )
A.eq \f(4\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(4\r(3),9) D.eq \f(\r(3),3)
六．三角形或四边形边界磁场模型
【模型演练1】 (2019·全国卷Ⅱ·17)如图，边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面(abcd所在平面)向外．ab边中点有一电子发射源O，可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子．已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为( )
A.eq \f(1,4)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl B.eq \f(1,4)kBl，eq \f(5,4)kBl
C.eq \f(1,2)kBl，eq \f(\r(5),4)kBl D.eq \f(1,2)kBl，eq \f(5,4)kBl
【模型演练2】 (2021·山东省实验中学第二次模拟)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q的带正电粒子(重力不计)以速度v从AC边的中点O垂直AC边射入磁场区域．若三角形的两直角边长均为2L，要使粒子从CD边射出，则v的取值范围为( )
A.eq \f(qBL,m)≤v≤eq \f(2\r(2)qBL,m) B.eq \f(qBL,m)≤v≤eq \f(5qBL,m)
C.eq \f(qBL,2m)≤v≤eq \f(\r(2)＋1qBL,m) D.eq \f(qBL,2m)≤v≤eq \f(5qBL,2m)
【模型演练3】(2020·河北第二次省际调研)如图，在边长为L的正方形abcd的部分区域内存在着方向垂直纸面的匀强磁场，a点处有离子源，可以向正方形abcd所在区域的任意方向发射速率均为v的相同的正离子，且所有离子均垂直bc边射出，下列说法正确的是( )
A．磁场区域的最小面积为eq \f(π－2,4)L2
B．离子在磁场中做圆周运动的半径为eq \r(2)L
C．磁场区域的最大面积为eq \f(π,4)L2
D．离子在磁场中运动的最长时间为eq \f(2πL,3v)
【模型演练4】(2020·黑龙江哈尔滨六中期末)如图所示，边长为l的等边三角形ACD内、外分布着方向相反的匀强磁场，磁感应强度大小均为B.由顶点A处沿∠CAD的角平分线方向发射不同速度的粒子，粒子质量均为m、电荷量均为＋q.不计粒子重力．粒子以下列速度发射时其中不能通过D点的是( )
A.eq \f(qBl,4m) B.eq \f(qBl,2m) C.eq \f(3qBl,4m) D.eq \f(qBl,m)
【模型演练5】如图所示，在边长为L的正方形abcd内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。从边ad的四等分点P处沿与ad边成45°角的方向向磁场区域内射入速度大小不等的带电粒子，粒子的质量为m，电荷量为－q(q>0)。不计粒子重力，关于粒子的运动，下列说法正确的是( )
A．可能有粒子从b点射出
B．粒子在磁场中运动的最长时间为eq \f(3πm,2qB)
C．速度为v＝eq \f(qBL,2m)的粒子从cd边射出磁场
D．从bc边射出的粒子的运动轨迹所对应的圆心角一定小于135°
七．数学圆模型在电磁学中的应用
模型一 “放缩圆”模型的应用
【模型演练1】(2020·全国卷Ⅰ·18)一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图9中虚线所示，为半圆，ac、bd与直径ab共线，ac间的距离等于半圆的半径．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从c点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为( )
A.eq \f(7πm,6qB) B.eq \f(5πm,4qB)
C.eq \f(4πm,3qB) D.eq \f(3πm,2qB)
【模型演练2】.(多选)(2020·山东潍坊市检测)如图所示，一束电子以大小不同的速率沿图示方向垂直飞入横截面是一正方形的匀强磁场区域，下列判断正确的是( )
A．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线越长
B．电子在磁场中运动时间越长，其轨迹线所对应的圆心角越大
C．在磁场中运动时间相同的电子，其轨迹线不一定重合
D．电子的速率不同，它们在磁场中运动时间一定不相同
【模型演练3】(多选)如图所示，在一等腰直角三角形ACD区域内有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子(重力不计)从AC边的中点O垂直于AC边射入该匀强磁场区域，若该三角形的两直角边长均为2l，则下列关于粒子运动的说法中正确的是( )
A．若该粒子的入射速度为v＝eq \f(qBl,m)，则粒子一定从CD边射出磁场，且距点C的距离为l
B．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)＋1qBl,m)
C．若要使粒子从CD边射出，则该粒子从O点入射的最大速度应为v＝eq \f(\r(2)qBl,m)
D．当该粒子以不同的速度入射时，在磁场中运动的最长时间为eq \f(πm,qB)
【模型演练4】（2021届云南省保山市智源中学周测）一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，ab＝be＝2bc＝2de＝L，bcde为矩形．一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率．不计粒子之间的相互作用．在磁场中运动时间最长的粒子，其运动速率为( )
A.eq \f(3qBL,4m) B.eq \f(\r(2)qBL,2m) C.eq \f(5qBL,8m) D.eq \f(\r(3)qBL,3m)
模型二 “旋转圆”模型的应用
【模型演练1】(2017·全国卷Ⅱ)如图所示，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点。大量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同方向射入磁场。若粒子射入速率为v1，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圆周上；若粒子射入速率为v2，相应的出射点分布在三分之一圆周上。不计重力及带电粒子之间的相互作用。则v2∶v1为( )
A．eq \r(3)∶2 B．eq \r(2)∶1 C．eq \r(3)∶1 D．3∶eq \r(2)
【模型演练2】.(多选)(2020·四川绵阳市高三第三次诊断)如图所示，在边长为L的正方形区域ABCD内存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场．质量为m，电荷量为q的带电粒子(不计重力)，分别以相同的速率v从A点沿不同方向垂直磁场方向射入磁场，当沿AC方向射入时，垂直于BC边射出磁场．则粒子( )
A．带负电
B．运动速率v＝eq \f(\r(2)qBL,m)
C．在磁场中运动的最长时间Tm＝eq \f(πm,3qB)
D．在磁场中运动的最长时间Tm＝eq \f(πm,qB)
【模型演练3】如图所示为圆形区域的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源，沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子，带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q，不考虑带电粒子的重力。
(1)推导带电粒子在磁场空间做圆周运动的轨迹半径；
(2)求带电粒子通过磁场空间的最大偏转角。
【模型演练4】(2020·蚌埠二模)如图所示，直线MN是一匀强磁场的边界，三个相同的带正电粒子分别沿图示1、2、3三个方向以相同的速率从O点射入磁场，沿箭头1、3两个方向的粒子分别经t1、t3时间均从p点离开磁场，沿箭头2方向(垂直于MN)的粒子经t2时间从q点离开磁场，p是Oq的中点，则t1、t2、t3之比为 ( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4C．1∶3∶5 D．2∶3∶10
【模型演练5】(2021·安徽宣城市第二次模拟)如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点．有无数个带有相同电荷量和相同质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P点进入磁场．这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的弧长是圆周长的eq \f(1,3).将磁感应强度的大小从原来的B1变为B2，结果相应的弧长变为圆周长的eq \f(1,4)，则eq \f(B2,B1)等于( )
A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
模型三 “平移圆”模型的应用
【模型演练1】(2020·江西红色七校一联)如图所示，在直角三角形ABC内充满垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，AB边长度为d，∠B＝eq \f(π,6)。现垂直AB边射入一群质量均为m、电荷量均为q、速度大小均为v(未知)的带正电粒子，已知垂直AC边射出的粒子在磁场中运动的时间为t，而运动时间最长的粒子在磁场中运动的时间为eq \f(4,3)t(不计粒子重力)。则下列说法正确的是( )
A．粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为4t
B．该匀强磁场的磁感应强度大小为eq \f(πm,2qt)
C．粒子在磁场中运动的轨迹半径为eq \f(2,5)d
D．粒子进入磁场时的速度大小为eq \f(\r(3)πd,7t)
【模型演练2】如图所示，边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( )
A．2∶1 B．2∶3 C．3∶2 D．eq \r(3)∶eq \r(2)
模型四 “磁聚焦”模型
1．带电粒子的会聚
如图甲所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出．(会聚)
证明：四边形OAO′B为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点发出的带电粒子必然经过B点．
2．带电粒子的发散
如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行．(发散)
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，O1A(O2B、O3C)均平行于PO，即出射速度方向相同(即水平方向)．
【模型演练1】(多选)(2021·山东泰安市一模)如图所示，半径为R、磁感应强度为B的圆形匀强磁场，MN是一竖直放置的足够长的感光板．大量相同的带正电粒子从圆形磁场最高点P以速率v沿不同方向垂直磁场方向射入，不考虑速度沿圆形磁场切线方向入射的粒子．粒子质量为m，电荷量为q，不考虑粒子间的相互作用力和粒子的重力．关于这些粒子的运动，以下说法正确的是( )
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越短
B．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的时间越长
C．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，出射后均可垂直打在MN上
D．若粒子速度大小均为v＝eq \f(qBR,m)，则粒子在磁场中的运动时间一定小于eq \f(πm,qB)
【模型演练2】(2021·山东济南市上学期期末)(多选)如图所示，长方形abcd的长ad＝0.6 m，宽ab＝0.3 m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心，eb为半径的圆弧和以O为圆心，Od为半径的圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(eb边界上无磁场)，磁感应强度B＝0.25 T．一群不计重力、质量m＝3×10－7 kg、电荷量q＝2×10－3C的带正电粒子以速度v＝5×102 m/s沿垂直于ad且垂直于磁场方向射入磁场区域，粒子间的相互作用不计，则下列判断正确的是( )
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
B．从aO边射入的粒子，出射时全部通过b点
C．从Od边射入的粒子，出射时全部通过b点
D．从aO边射入的粒子，出射点分布在ab边
【模型演练3】(2020·广东模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．大量质量为m、电荷量为＋q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R＝eq \f(mv,qB)，正确的图是( )
基本思路
图例
说明
圆心的确定
①与速度方向垂直的直线过圆心②弦的垂直平分线过圆心③轨迹圆弧与边界切点的法线过圆心
P、M点速度垂线交点
P点速度垂线与弦的垂直平分线交点
某点的速度垂线与切点法线的交点
半径的确定
利用平面几何知识求半径
常用解三角形法：例：(左图)
R＝eq \f(L,sin θ)或由R2＝L2＋(R－d)2求得R＝eq \f(L2＋d2,2d)
运动时间的确定
利用轨迹对应圆心角θ或轨迹长度L求时间
①t＝eq \f(θ,2π)T
②t＝eq \f(L,v)
(1)速度的偏转角φ等于所对的圆心角θ
(2)偏转角φ与弦切角α的关系：φ<180°时，φ＝2α；φ>180°时，φ＝360°－2α
正对圆心射入圆形磁场区域
正对圆心射出，两圆心和出（入）射点构成直角三角形，有→磁偏转半径，根据半径公式求解；时间。速度v越大→磁偏转半径r越大→圆心角α越小→时间t越短。若r=R，构成正方形。
不对圆心射入圆形磁场区域
两个等腰三角形，一个共同的底边
若r=R，构成菱形
临界圆
临界半径
勾股定理(R2-R1)2=R12+r2
解得：
适用条件
速度方向一定，大小不同
粒子源发射速度方向一定，大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹圆圆心共线
如图所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上
界定
方法
以入射点P为定点，圆心位于PP′直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
适用条件
速度大小一定，方向不同
粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径为R＝eq \f(mv0,qB)。如图所示
轨迹圆圆心共圆
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝eq \f(mv0,qB)的圆上
界定
方法
将一半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件，这种方法称为“旋转圆”法
适用条件
速度大小一定，方向一定，但入射点在同一直线上
粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同，但在同一直线的带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝eq \f(mv0,qB)，如图所示
轨迹圆圆心共线
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
将半径为R＝eq \f(mv0,qB)的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法叫“平移圆”法
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