苏科版八年级数学下册同步精品讲义 第15讲 分式的加减（学生版+教师版）

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知识精讲
知识点 分式的加减
1.同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
.
【微点拨】
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误。
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式。
2.异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
上述法则可用式子表为：
。
【微点拨】
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法。
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式。
【即学即练1】计算：．
【答案】1
【分析】直接利用分式的加减运算法则计算即可．
【解析】解：，
，
，
．
【即学即练2】计算：
（1）；（2）；（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）先把分母都化为 再按照同分母分式的加减运算进行计算即可；
（2）先把分母都化为 再按照同分母分式的加减运算进行计算即可；
（3）先把分母都化为 再按照同分母分式的加减运算进行计算即可；
【解析】解：（1）；
（2）；

（3）


能力拓展
考法01 同分母分式的加减
【典例1】计算：
（1）
【答案】（1）；（2）m-n；（3）1；（4）-1
【分析】首先通分，然后再依照“分母不变，分子相加减”的规则进行运算，计算过程中要合理运用因式分解相关公式，注意结果要约分化为最简形式.
【解析】解：
（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=.
考法02 异分母分式的加减
【典例2】计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）1
【分析】（1）根据同分母分式的加减和整式的加减计算法则进行求解即可；
（2）根据同分母分式的加减和整式的加减计算法则进行求解即可；
（3）根据异分母分式的加减和整式的加减计算法则进行求解即可；
（4）根据同分母分式的加减和整式的加减计算法则进行求解即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
分层提分
题组A 基础过关练
1．化简的结果是（ ）
A．a2﹣b2B．a＋bC．a﹣bD．1
【答案】D
【分析】根据同分母分式的减法运算则计算即可．
【解析】解： ．故选：D．
2．计算的正确结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案．
【解析】解：原式．故选：A．
3．﹣的计算结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减运算可进行求解．
【解析】解：原式=
=
=；
故选C．
4．计算的结果是（ ）
A．B．﹣C．﹣1D．1﹣a
【答案】C
【分析】通分将原式化简，即可求解．
【解析】解：．
故选：C
5．计算的结果是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】先根据同分母分式的加减法则计算，然后再约分即可；
【解析】解：
故选：A
6．计算：＋＝( )
A．B．C．－D．－
【答案】A
【解析】原式＝，选A.
题组B 能力提升练
1．如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据同分母分式的加减运算以及分式的性质，变形求得，进而即可求得
【解析】
即
故选C
2．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据分式的加减法则“异分母分式相加减就，先通分，变为同分母的分式，再加减”得原式等于，再根据进行完全平方即可得，进行计算即可得．
【解析】解：∵，
∴
则原式=，
故选C．
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】异分母分式的加减：先通分，化为同分母，再按照分母不变，把分子相加减，根据运算法则逐一分析计算即可得到答案.
【解析】解：故A不符合题意；
故B不符合题意；
故C不符合题意；
故D符合题意；
故选D
4．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据分式的运算法则化简即可求解．
【解析】
=
=
=
=
故选A．
5．、为实数，且，设，，则和的大小关系是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】分别通分化成同分母的分式相加，再根据同分母分式相加的法则进行计算，最后比较即可．
【解析】解：Q


∵ab＝1，
∴P


，
∴P＝Q，故选：C．
6．若bm（b+m）≠0，对于等式＝的描述，正确的是（ ）
A．当a≠b时，等式＝成立
B．当a＝﹣b时，等式＝成立
C．当a＝b时，等式＝成立
D．当a＝mb时，等式＝成立
【答案】C
【分析】根据分式的减法运算法则对等式进行化简计算，然后进行分析判断．
【解析】解：若等式成立，
则，
，
，
，
又，
，，，
A、当时，则，
又，，，
，即不成立，不符合题意；
B、当时，则，
又，，，
，
，即不成立，不符合题意；
C、当时，则，
，即成立，符合题意；
D、当，则，当时，，
即，即不成立，不符合题意；
故选：C．
7．若，且，则______．
【答案】
【分析】由等式，两边同时除以，可得，进而根据分式的性质求解即可
【解析】，且，
故答案为：
8．化简的结果是_________．
【答案】
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解析】解：
．
故答案为：
9．已知ab＝﹣4，a+b＝3，则_____．
【答案】
【分析】先通分：，然后再代入数据即可求解．
【解析】解：由题意可知：，
故答案为：．
10．小明在学习分式运算过程中，计算的解答过程如下：
解：
= ①
= ②
= ③
= ④
李老师批阅小明的解答过程，并和小明交流了计算过程中出现的错误. 请你指出小明解答过程中的错误出现在第_____步（写出对应的序号即可），错误的原因是_______________，请将该步改写正确：_____________________
【答案】 ② 同分母分式加减时分母不变，分子相加减，而他把分母省略了
【分析】根据分式的加减运算法则解答即可．
【解析】解：分式加减法的重点是异分母加减，需要先通分化成同分母加减法，再将分母不变，分子相加减，因此第②步出错，
正确的结果应该是，
故答案为：故答案为：②；同分母分式加减时分母不变，分子相加减，而他把分母省略了，故错误；．
题组C 培优拔尖练
1．计算++所得的结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先后两项通分相加结果再与第一项通分相加即可求解．
【解析】解：++，
=+-，
=+，
=+，
=+，
=，
=，
=．
故选C．
2．已知，，，都是正实数，且，其中，，则与的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】作差，通分后利用同分母分式的减法法则计算，判断即可．
【解析】解：∵a、b、c、d都是正实数，，
∴ad＜bc，即bc-ad＞0，
∵B-C=-
=，
∴B＞C，
故选A．
3．已知a，b均为正数，设．下列结论：①当时，；②当时，；③当时，，正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】D
【分析】根据分式的加减计算法则计算出M－N，再逐条分析即可．
【解析】∵，
∴
，
由于a、b均为正数，
∴，
∴当时，，即，，故①正确；
当时，，即，，故②正确；
当时，，即，，故③正确．
故选：D．
4．已知，用a表示c的代数式为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入消去b，进行化简即可得到结果．
【解析】解：把代入，得
，
，
，
，
，
．
故选D．
5．把分式的均扩大为原来的10倍后，则分式的值（ ）
A．为原分式值的B．为原分式值的
C．为原分式值的10倍D．不变
【答案】A
【分析】先将分式化简可得，然后将化简后的分式中均扩大为原来的10倍可得，然后约分可得与原分式化简后相比即可求解.
【解析】解：因为，
所以将中均扩大为原来的10倍可得：，
故选A.
6．由值的正负可以比较与的大小，下列正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】C
【分析】先计算的值，再根c的正负判断的正负，再判断与的大小即可．
【解析】解：，
当时，，无意义，故A选项错误，不符合题意；
当时，，，故B选项错误，不符合题意；
当时，，，故C选项正确，符合题意；
当时，，；当时，，，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
7．我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式．例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：像，…这样的分式是假分式；像，，…这样的分式是真分式．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．
例如：；
＝x+2+．
(1)下列分式中，属于真分式的是： （填序号）
①；②；③；④．
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求x的整数值．
【答案】(1)③
(2)；
(3)0，2．
【分析】（1）根据阅读材料中的定义判断即可；
（2）分式分子变形后，化为整式与真分式的和即可；
（3）分式分子变形后分为整式和真分式，根据分式的值为整数且整式的值为整数，确定出x的整数值即可．
【解析】(1)解：由阅读材料知道：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，
由此可知只有为真分式，故答案为：③
(2)解：
=
=；
(3)解：
=
=
=
∵分式的值为整数，是整数，
∴ 是整数
则的整数值为0，2．
8．材料：已知，求证．
证法一：原式．
证法二：原式．
证法三：∵∴
∴原式．
阅读上述材料，解决以下问题：
(1)已知，求的值；
(2)已知，求证．
【答案】(1)1 (2)见解析
【分析】（1）由题意把原式第一项分母里的“1”换为ab，约分后利用同分母分式的加法法则计算即可求出值；
（2）根据题意把左边第一、二项分母中的“1”换为abc，约分后再将第一项分母中的“1”换为abc，计算得到结果，与右边相等即可求证．
【解析】(1)解：：∵ab=1，
∴
；
(2)证明：∵abc=1，
∴
．
9．阅读下列材料：
小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：
小铭：“我知道一般当m≠n时，m2＋n≠m＋n2．可是我见到有这样一个神奇的等式：（）2＋＝＋（）2（其中a，b为任意实数，且b≠0）．你相信它成立吗？”
小雨：“我可以先给a，b取几组特殊值验证一下看看．”
完成下列任务：
（1）请选择两组你喜欢的、合适的a，b的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立；
①当a＝2，b＝3时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）；
②当a＝3，b＝5时，等式__________（填写“成立”或“不成立”）．
（2）对于任意实数a，b（b≠0），通过计算说明（）2＋＝＋（）2是否成立．
【答案】（1）①成立；②成立；（2）成立
【分析】（1）①把a与b的值代入两边的代数式中计算即可，若值相等则成立，否则不成立；②把a与b的值代入两边的代数式中计算即可，若值相等则成立，否则不成立；
（2）分别把等式两边通分并化简，结果相等则成立，否则不成立．
【解析】（1）①成立；②成立．
（2）∵左边＝（）2＋＝＝，
右边＝＋（）2＝＋＝．
所以等式（）2＋＝＋（）2成立．
10．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，解决下列问题：
（1）分式是____（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式_____；
（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数的值；
【答案】（1）真分式， ；（2）0，1，3，4
【分析】（1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解；
（2）先将化为带分式，可得到只需要 为整数，再由为整数，可得到当 时， 为整数，即可求解．
【解析】解：（1）根据题意得：分式是真分式；
；
（2），
∵分式的值为整数，
∴只需要 为整数即可，
又∵为整数，
∴当 时， 为整数，
解得： 或1或3或4，
即满足条件的整数的值为0，1，3，4．
课程标准
课标解读
能进展简单的分式加、减运算
1．能利用分式的基本性质通分；
2．会进行同分母分式的加减法；
3．会进行异分母分式的加减法。