2023-2024学年湖南省永州市新田县八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市新田县八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：120分 考试时量：120分钟
一、单选题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．若分式无意义，则满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
2．年月日，上海微电子研发的浸没式光刻机的成功问世，标志着我国在光刻机领域迈出了坚实的一步．已知为米，数据用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．计算正确的结果是（ ）
A．B．C．D．
4．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数B．算术平方根不可能是负数
C．如果，那么，D．同旁内角互补，两直线平行
6．如图，若的面积为，是的中线，是的中线，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
7．如果不等式的解集为，则a必须满足的条件是（ ）
A．B．C．D．
8．若，则代数式的值是（ ）．
A．2006B．2005C．2004D．2003
9．如图，在中，的面积为，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于，连接为的中点，为直线上任意一点．则长度的最小值为( )

A．B．C．D．
10．如图，．点，，，，在射线上，点，，，，在射线上，，，，均为等边三角形，若，则的边长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共6个小题，每小题3分，共18分）
11． ．
12．如图，线段AD与BC相交于点O，连接AB、CD，且∠B＝∠D，要使△AOB≌△COD，应添加一个条件是 (只填一个即可)．
13．如图，一艘船上午8时从海岛A出发，以的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛处．分别从，两处望灯塔，测得，，则海岛到灯塔的距离为 ．
14．关于的不等式组有3个整数解，则的取值范围是 ．
15．若分式方程有增根，则k的值是 ．
16．将一组数，2，，，，，按图中的方法排列：
……
若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为 ．
三、解答题（共9个小题，第17、18、19题，每题6分，第20、21题，每题8分，第22、23题，每题9分，第24、25题，每题10分，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再从，0，1中选一个合适的x的值代入求值．
19．解分式方程：．
20．解不等式组，并把其解集表示在数轴上．
21．如图，点，在上，，，

(1)求证：；
(2)若与的交点为点，求证：是等腰三角形
22．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．长沙某汽车销售决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用1500万元购进型汽车的数量比1200万元购进型汽车的数量少20辆．
(1)型和型汽车的进价分别为每辆多少万元；
(2)该公司决定用不多于1220万元购进型和型汽车共100辆，最多可以购买多少辆型汽车？
23．观察下列一组式的变形过程，然后回答问题：
例1：．
例2：，，
利用以上结论解答以下问题：
(1)__________；
(2)应用上面的结论，求下列式子的值，
．
24．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”．如，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”．
(1)若关于x的不等式，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”；
(2)已知关于x的不等式C：，D：，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围；
(3)已知，且k为整数，关于x的不等式，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
25．如图①，在中，，，，，现有一动点，从点出发，沿着三角形的边运动，回到点停止，速度为，设运动时间为．
(1)如图①，当__________时，的面积等于面积的一半；
(2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点，与点同时从点出发，沿着边运动，回到点停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好以、、为顶点的三角形与全等，求点的运动速度．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答．
【详解】解：若分式无意义，则，
∴，
∴当时，分式无意义．
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．由此即可求解，确定的取值是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3．D
【分析】本题考查了负整数指数幂，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．
根据同底数幂的乘法，可得答案．
【详解】．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴是表示不等式的解集，先解不等式，然后将解集表示在数轴上即可，正确解答一元一次不等式是解题的关键．
【详解】解：移项得，，
合并同类项得，，
在数轴是表示不等式的解集为：
故选：．
5．A
【分析】根据无理数的定义、算术平方根的意义、二次根式的性质和化简、平行线的性质定理逐项判断即可．
【详解】解：A、无理数包括正无理数和负无理数，原说法错误，是假命题；
B、非负数的平方根称为算术平方根，所以算术平方根不可能是负数，原说法正确，是真命题；
C、如果，那么，，原说法正确，是真命题；
D、平行线的判断定理：同旁内角互补，两直线平行，即原说法正确，是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查了真假命题的判断，牢记基础定义和性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题主要考查了三角形面积的求法和三角形的中线有关知识，根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，进而解答即可．熟知三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分是解决本题的关键．
【详解】解：∵是的中线，的面积为，
∴的面积为，
∵是的中线，
∴的面积为．
故选：B．
7．D
【分析】根据不等式的性质：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变可得，再解即可．
【详解】解：不等式的解集为，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知该性质是解题的关键．
8．A
【分析】本题主要考查了二次根式化简求值和完全平方公式的运用，对原式能进行正确的变形是解答本题的关键．对原式配方再根据已知条件代入求解即可．
【详解】解：∵，
∴；
∴
．
故选：A．
9．B
【分析】连接，先根据两点之间线段最短，，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解．
【详解】解：连接，,

由作图得：是的垂直平分线，
，
，
，为的中点，
，
的面积为，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键．
10．B
【分析】根据等边三角形的性质和，可求得，进而证得是等腰三角形，可求得的长，同理可得是等腰三角形，可得，同理得规律，即可求得结果．
【详解】解：∵，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，则是等腰三角形，
∴，
∵，
∴=1，，
同理可得是等腰三角形，可得=2，
同理得、，
根据以上规律可得：，即的边长为，
故选：B．
【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．
11．
【分析】根据立方根的概念求解．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一个数的立方根，理解概念正确计算是解题关键．
12．OB＝OD(答案不唯一)
【分析】添加条件OB=OD，可利用ASA定理证明△AOB≌△COD．
【详解】解：添加条件OB=OD，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
故答案为OB=OD（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
13．30
【解析】略
14．
【分析】先解一元一次不等式组，求出的取值范围，根据其有三个整数解求出的取值范围．
【详解】解：解一元一次不等式组得，
∵不等式组有3个整数解，
∴，
∴3个整数解为，，，
，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式组，掌握解不等式组的技巧是解题的关键．
15．0
【分析】本题考查了分式方程的定义，以及分式方程的增根，理解分式方程的增根是解题的关键．首先根据题意解得的值，再代入即可求出的值．
【详解】解：∵分式方程的最简公分母是，
根据题意分式方程有增根，
则
∴得；
∴原分式方程两边同乘以得
将代入上式
解得．
故答案为：0．
16．
【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探索，先将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，总结规律可得(m为正整数)在第m行的第6个，再由可得解．将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，从而发现规律是解题的关键．
【详解】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得：
……
观察可知：(m为正整数)在第m行的第6个，
∴，在第17行的第6个，
∴这组数中最大数的位置记为，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了实数的混合运算，利用负整数指数幂、零指数幂、绝对值、立方根、乘方的定义分别运算，再进行加减运算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
．
18．，
【分析】本题考查了分式化简求值，注意根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可．
【详解】解：原式
∵，
∴
取，则
19．
【分析】本题主要考查解分式方程，先方程两边都乘最简公分母，把分式方程化为整式方程，进而即可求解．
【详解】解：
方程两边都乘最简公分母得：
检验：当时，，
原方程的解为．
20．解集为，数轴见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，分别解出两个不等式的解集，并表示在数轴上，再找到公共解集即可求解，熟知：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到的原则是解题的关键．
【详解】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等角对等边；
（1）根据条件可得，通过即可证明；
（2）根据可得，即可证明
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴；
（2）证明：由（1）得：，
∴，
∴，
∴是等腰三角形
22．(1)A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元；
(2)最多可以购买44辆A型汽车．
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，根据用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆，列出方程求解即可．
（2）设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，根据购进A型和B型汽车共100辆的总价是不多于1220万元，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）设B型汽车的进价为每辆x万元，则A型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是方程的解，，
答：A型汽车的进价为每辆15万元，B型汽车的进价为每辆10万元；
（2）解：设购买m辆A型汽车，则购买辆B型汽车，
依题意得：
解得：，
答：最多可以购买44辆A型汽车．
23．(1)；
(2)．
【分析】（）类比题目中所给的方法，利用平方差公式解答即可；
（）根据题目中所给的算式，可得规律 ，根据规律把各式化简后合并即可解答；
本题考查了二次根式的运算，根据题目中所给的计算方法把各个二次根式化简是解题的关键．
【详解】（1），
故答案为：；
（2）原式=…+，
，
，
．
24．(1)A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”
(2)
(3)存在，k的值为0或1
【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出，解不等式即可；
（3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据，，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值；
【详解】（1）不等式A：的解集为，
A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”；
（2）∵不等式C：的解集为，不等式D：的解集为，且C是D的“子式”，
∴，
解得；
（3）由求得，
∵，，
∴，
解得，
∵k为整数，
∴k的值为；
不等式P：整理得，；不等式的解集为，
①当时，不等式P的解集是全体实数，
∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
②当时，不等式P的解集为，
不能满足P与Q存在“雅含”关系，
③当时，不等式P：的解集为，
∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，
∴，且，
解得，
∴，
综上k的值为0或1．
【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
25．(1)或
(2)Q运动的速度为或或或．
【分析】（1）分点P运动到、的中点时，根据三角形中线的性质即可求解；
（2）由，分①，②，由全等三角形的性质即可依次求解．
此题主要考查三角形的面积与三角形全等的判定，解题的关键是会画出与已知三角形全等的三角形．
【详解】（1）如图，当P在上，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
当P在上时，如图，的面积等于面积的一半，
∴，
∴，
综上当t为或时，的面积等于面积的一半．
（2）解：设点Q的运动速度为，
①当点P在上，点Q在上，时，，
∴，解得，
②当点P在上，点Q在上，时，，

∴，解得，
③当点P在上，点Q在上，时，，

∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴，解得，
④当点P在上，点Q在上，时，，

∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴，解得；
∴Q运动的速度为或或或．