2023-2024学年湖南省永州市祁阳市九年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省永州市祁阳市九年级（上）学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时量：120分钟 分值：120分）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列各点，一定在反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
2．在中，，，，则（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程，配方后可得（ ）
A．B．C．D．
4．已知（），则下列说法错误的是（ ）
A．B．C．D．
5．已知点在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（ ）．
A． B． C． D．
6．环保人员为估计某自然保护区山雀的数量，随机捕捉了100只山雀，然后在身体某部位做好标记，放回山中，隔了一段时间之后，环保人员随机捕捉了300只山雀，发现其中5只的身体上有之前做好的标记，由此可知该自然保护区山雀的数量大约为（ ）
A．6000只B．3000只C．5000只D．8000只
7．方程的根的情况是
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定
8．如图，在中，E在上，交于F，若，且，则的长为（ ）
A．B．C．D．
9．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（ ）
A．B．C．3D．
10．如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，，与相交于点．给出下列结论：；；；．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
11．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是 ．
12．如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，则＝ ．
13．已知一元二次方程的两个实数根为，若，则实数 ．
14．如图，传送带和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物体从地面送到离地面10米高的地方，那么该物体所经过的路程是 ．

15．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆125人次，进馆人次逐月增加，第三个月进馆405人次，若进馆人次的月平均增长率相同．进馆人次的月平均增长率是 ．
16．如图，n边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点为边的中点，的面积为，的面积为，…的面积为，则n＝ ．
三、解答题（共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．解方程：
19．如图，相交于点O，．
(1)求证：；
(2)已知，的面积为6，求的面积．
20．我市教育局为深入贯彻落实立德树人根本任务，2022年在全市中小学部署开展“六个一”德育行动．某校为了更好地开展此项活动，随机抽取部分学生对学校前段时间开展活动的情况进行了满意度调查，满意度分为四个等级：A：非常满意；B：满意；C：一般；D：不满意．根据调查数据绘制了如下两幅不完整的统计图表：
请你根据图表中的信息，解答下列问题：
(1)本次被调查的学生人数是多少？
(2)求以上图表中m，n的值及扇形统计图中A等级对应的圆心角度数；
(3)若该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有多少人？
21．已知关于的一元二次方程．
(1)若这个方程没有实数根，求的取值范围．
(2)当时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
22．已知一次函数（）与反比例函数（）的图象交于，两点．
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求的面积．
23．随着技术进步和成果转化，在我国无人机的用武之地越来越多，农林植保、应急救援、文物保护、电力巡检……，加速赋能千行百业．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，无人机在点A处，无人机距地面高度为120米，此时测得试验田一侧边界点C处俯角为，无人机垂直下降40米至点B处，又测得试验田另一侧边界点D处俯角为，且点C，O，D在同一条直线上，求点C与点D的距离．（参考数据：，结果保留整数）
24．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，求的长．
25．在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点B称为点A的“倒数点”．
(1)写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 ；
(2)点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
(3)如图，矩形的顶点，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．根据，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于3，就在函数图象上．
【详解】解：∵，，
A．，不符合题意；
B．，不合题意；
C．，符合题意；
D．，不合题意．
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了解直角三角形函数，熟记余弦的定义是解题的关键．
根据余弦的定义求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵在中，，，，
∴．
故选．
3．B
【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程．按照配方法的步骤即可．配方法的一般步骤：1、把常数项移到等号的右边；2、把二次项的系数化为1；3、等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【详解】解：移项，得，
配方，得，
．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵（）
∴，，，，
故A错误，B，C，D正确；
故选A．
5．C
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小．根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数图象过一，三象限，
∵点在反比例函数的图象上，且，
∴；
故选C．
6．A
【分析】本题考查利用样本估计总体．根据题意，用300除以被抓标记的山雀占总标记山雀的比例，求解即可．
【详解】解：（只）；
故选A．
7．A
【分析】由方程的系数结合根的判别式可得出△=1>0，由此即可得出原方程有两个不相等的实数根，此题得解．
【详解】∵
∴方程有两个不相等的实数根．
故选:A.
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
8．B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
由，可得，，证明，则，求，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
连接，根据反比例函数的几何意义即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵轴，
∴，
∴
∴
∵反比例函数图象在第二象限，
∴，
∴，
故选：D．
10．D
【分析】由是等边三角形，得，而，故正确；由，，可判定正确；如图，过P作于，于，设正方形的边长是，再分别表示，，则判定正确，由，得，则，可判定正确．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在中，
∵，
∴，
又∵，
∴，故正确；
∵，，
∴，
∴，故正确；
如图，过P作于，于，
设正方形的边长是，
∵为正三角形，
∴，，
∴，
∴，
，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，故正确，
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
11．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：反比例函数的图象位于第二、四象限，
，
．
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数图像经过象限与的关系是解题的关键．
12．
【分析】根据位似的性质：位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可．
【详解】解：∵以点为位似中心，放大后得到，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了位似图形，解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质．
13．
【分析】本题考查根与系数的关系．根据题意，得到，代入，求解即可．熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键．
【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．20米##
【分析】本题主要考查斜坡的坡度和勾股定理，根据题意求得水平距离，再利用勾股定理求得经过的路程即可．
【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度，把某物体从地面送到离地面10米高的地方，
∴水平距离为米，
则该物体所经过的路程米，
故答案为：20米．
15．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设进馆人次的月平均增长率是x，根据第一个月及第三个月的进馆人次数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设进馆人次的月平均增长率是x，
根据题意得：，
解得，（舍），
答：进馆人次的月平均增长率为．
故答案为：．
16．128
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质及正方形的性质，应用相似三角形的面积比等于相似比的平方把难求的三角形转化为求易求三角形的面积是解题的关键．
首先根据题意求得的面积，又由，即可得，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求得，然后代数求解即可．
【详解】解：个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点分别为边，，，，的中点，
，
，
，
，
，
，
，
即，
∴当的面积为时，
，
解得．
故答案为：128．
17．4
【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，含特殊角的三角函数值的混合运算，先分别计算绝对值，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，再合并即可．
【详解】解：
；
18．，
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
首先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方配成完全平方公式，然后开方求解即可．
【详解】解：
移项得，
配方得，
即
开方得，，
解得，．
19．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质．
（1）对顶角相等，结合，即可得出；
（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可．
掌握两组对应角相等的两个三角形相似，是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，又，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
解得．
所以的面积为．
20．(1)本次被调查的学生人数是240人；
(2)，；图中A等级对应的圆心角度数为；
(3)该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有人．
【分析】（1）由C等级的人数除以其占比可得总人数，
（2）由总人数减去A，B，C三个等级的人数可得m的值，再由B等级的人数除以总人数可得n的值，由A等级的占比乘以可得圆心角的度数；
（3）由A，B等级的占比乘以1200，可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴本次被调查的学生人数是240人；
（2）由题意可得：，
，
∴；
，
∴图中A等级对应的圆心角度数为；
（3）∵，
∴该校共有学生1200人，估计满意度为A，B等级的学生共有人．
【点睛】本题考查的从频数分布表与扇形图中获取信息，利用样本估计总体，掌握以上基础的统计知识是解本题的关键．
21．(1)
(2)等腰三角形的周长为7
【分析】此题主要考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用边关系定理检验；
（1）计算方程的根的判别式，若，则方程没有实数根；
（2）分两种情况若3为腰，若1为腰，再求出等腰三角形的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验；
【详解】（1）根据题意，得，
，
解得．
（2）当时，方程为，
解得．
若3为腰，则周长；
若1为腰，构不成三角形，舍去，
等腰三角形的周长为7．
22．(1)，
(2)8
【分析】（1）首先把代入反比例函数中，就可以确定m的值，从而确定反比例函数的表达式，再把代入反比函数解析式确定n的值，再利用待定系数法确定一次函数的表达式；
（2）先求出直线AB与y轴的交点坐标，然后利用面积的分割法求出△AOB的面积.
【详解】（1）解：∵反比例函数经过点，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴．
∴，
把A，的坐标代入，
则有
解得，
∴一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为．
（2）如图设直线交轴于，则，
∴．
【点睛】此题主要考查了用待定系数法确定函数的解析式，以及一次函数的应用，难易适中．在求解面积时要注意运用分割法，把总面积分割为两个小三角形的面积之和是解题的关键．
23．点C与点D的距离约为
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，在中，求出的长，在中求出的长，利用求出的长即可．掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键．
【详解】解：由题意，得：，，
在中：，
∴，
在中，，
∴，
∴；
答：点C与点D的距离约为．
24．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：
（1）根据正方形的性质得到，证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据正方形的性质得到，证明，根据相似三角形的性质即可得证；
（3）根据正方形的性质证明，可得，设，则，得到，再证明，根据相似三角形的性质可得，代入数据求解即可．
【详解】（1）证明：∵是正方形的对角线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
25．(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，理解并掌握倒数点的定义，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）根据第三象限的点的横纵坐标均为负数，结合倒数是本身的负数为，即可得解；
（2）设点，则：，，进而得到，即可得出结果；
（3）设点A的坐标为，得到点B的坐标为，分点B在上和点B在上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵第三象限的点的横纵坐标均为负数，且倒数是本身的负数为，
∴第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标为；
（2）设点，则：，
∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴，
∴，
∴点在反比例函数上；
即：Q满足的函数表达式为；
（3）设点A的坐标为，
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B的坐标为，
∵点B的横纵坐标满足，
∴点B在某个反比例函数上．
∴点B不可能在上，分两种情况：
①点B在上，
∵轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，
∴．解得（负值舍去），
∴点B的纵坐标为1，此时；
②点B在上，则点B的横坐标为3，即，
∴点B的纵坐标为，此时；
所以的面积为或．
等级
人数
A
72
B
108
C
48
D
m