专题19 图形的相似与位似的核心知识点精讲（讲义）-备战2024年中考数学一轮复习考点全预测（全国通用）

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1.了解线段的比、成比例线段、黄金分割、相似图形有关概念及性质．
2.探索并掌握三角形相似的性质及条件，并能利用相似三角形的性质解决简单的实际问题．
3.掌握图形位似的概念，能用位似的性质将一个图形放大或缩小．
4.掌握用坐标表示图形的位置与变换，在给定的坐标系中，会根据坐标描出点的位置或由点的位置写出
它的坐标，灵活运用不同方式确定物体的位置。
考点1：比例线段
1. 比例线段的相关概念
如果选用同一长度单位量得两条线段a，b的长度分别为m，n，那么就说这两条线段的比是，或写成a：b=m：n.在两条线段的比a：b中，a叫做比的前项，b叫做比的后项.
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
若四条a，b，c，d满足或a：b=c：d，那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.
如果作为比例内项的是两条相同的线段，即或a：b=b：c，那么线段b叫做线段a，c的比例中项.
2.比例的基本性质：①a：b=c：dad=bc ②a：b=b：c.
3.黄金分割
把线段AB分成两条线段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC=AB≈0.618AB.
考点2：相似图形
相似图形：我们把形状相同的图形叫做相似图形.
也就是说：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到的.(全等是特殊的相似图形).
2.相似多边形：对应角相等，对应边的比相等的两个多边形叫做相似多边形.
3.相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边成的比相等.
相似多边形的周长的比等于相似比，相似多边形的面积的比等于相似比的平方.
4.相似三角形的定义：形状相同的三角形是相似三角形.
5.相似三角形的性质：
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
(2)相似三角形对应边上的高的比相等，对应边上的中线的比相等，对应角的角平分线的比相等，都等于相似比.
(3)相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
6.相似三角形的判定：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
(3)如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似；
(4)如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
(5)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边的比对应相 等，那么这两个三角形相似.
考点3：位似图形
1.位似图形的定义
两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，不经过交点的对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫位似中心.
2.位似图形的分类
(1)外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外.
(2)内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上.
3.位似图形的性质
位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；
位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
4.作位似图形的步骤
第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；
第二步：作位似中心与各关键点连线；
第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；
第四步：顺次连接截取点.
【注意】在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
【题型1：相似三角形的相关计算】
【典例1】（2023•雅安）如图，在▱ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴，
即，
∴，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴，
∴GF＝8，
故选：C
1．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，BD＝3，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝＝＝．
故选：A．
2．（2023•内江）如图，在△ABC中，点D、E为边AB的三等分点，点F、G在边BC上，AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）
A．1B．C．2D．3
【答案】C
【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故选：C．
3．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
A．1.8B．2.4C．3D．3.2
【答案】C
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴，
∴AD＝3，
故选：C．
4．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（﹣1）aB．（﹣2）aC．（+1）aD．（+2）a
【答案】D
【解答】解：设AB＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝（2+2）a，
经检验：x＝（2+2）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2）a，
故选：D．
5．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
【题型2：相似三角形的实际应用】
【典例2】（2022•广西）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔影子的顶部直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图，木杆EF长2米，它的影长FD是4米，同一时刻测得OA是268米，则金字塔的高度BO是 134 米．
【答案】134
【解答】解：据相同时刻的物高与影长成比例，
设金字塔的高度BO为x米，则可列比例为，，
解得：x＝134，
经检验，x＝134是原方程的解，
∴BO＝134．
故答案为：134．
1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆高度为（ ）
A．6.4mB．8mC．9.6mD．12.5m
【答案】B
【解答】解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
∴，
即，
∴DE＝8（m），
故选：B．
2．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （80﹣160） cm．（结果保留根号）
【答案】（80﹣160）．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，
故答案为：（80﹣160）．
3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 18.2 米．
【答案】18.2．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴＝，
∴＝，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米，
故答案为：18.2．
【题型3：位似】
【典例3】（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1）B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4）D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【答案】D
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣4），
故选：D．
1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶点C′的坐标是（ ）
A．（2，4）B．（4，2）C．（6，4）D．（5，4）
【答案】C
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
2．（2023•长春）如图，△ABC和△A'B'C'是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段OA′上．若OA：AA′＝1：2，则△ABC与△A'B'C'的周长之比为 1：3 ．
【答案】1：3．
【解答】解：∵OA：AA′＝1：2，
∴OA：OA′＝1：3，
∵△ABC和△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AC∥A′C′，△ABC∽△A′B′C′，
∴△AOC∽△A′OC′，
∴AC：A′C′＝OA：OA′＝1：3，
∴△ABC与△A′B′C′的周长比为1：3，
故答案为：1：3．
3．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形PA1A2A3的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），则顶点A100的坐标为（ ）
A．（31，34）B．（31，﹣34）C．（32，35）D．（32，0）
【答案】A
【解答】解：由题意可知：点A1（﹣2，1），点A4（﹣1，2），点A7（0，3），
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A100的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
故选：A．
一．选择题（共10小题）
1．已知，则的值是（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【解答】解：∵＝，
∴＝，
∴＝﹣1＝﹣1＝．
故选：D．
2．如图，△ABC∽△ADE，若∠A＝60°，∠ABC＝45°，那么∠E＝（ ）
A．75°B．105°C．60°D．45°
【答案】A
【解答】解：∵△ABC∽△ADE，∠ABC＝45°，
∴∠ADE＝∠ABC＝45°．
在△ADE中，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，∠A＝60°，
即∠AED+45°+60°＝180°，
∴∠AED＝75°．
故选：A．
3．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段BC＝4cm，则线段AC的长是（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【答案】C
【解答】解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，
则＝，即＝，
解得：AB＝2，
∴AC＝2+4＝6（cm）．
故选：C．
4．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】C
【解答】解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
5．美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的比值是0.60，为尽可能达到美的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
【答案】C
【解答】解：根据已知条件得下半身长是165×0.60＝99cm，
设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：
＝0.618，
解得：y≈8cm．
故选：C．
6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，则下列比例式中正确的是（ ）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【答案】D
【解答】解：A、因为DF∥AC，所以＝，故A选项错误；
B、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，则＝，故B选项错误；
C、由DF∥AC得＝，故C选项错误；
D、由DF∥AC得＝，由DE∥BC得＝，则＝，故D选项正确．
故选：D．
7．如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F．若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为（ ）
A．6B．9C．10D．25
【答案】B
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，DE＝15，
∴＝＝，即＝，
解得，EF＝9，
故选：B．
8．△ABO三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（6，0），C（0，0），以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A'B'O，则点A′的坐标是（ ）
A．（1，2）B．（1，2）或（﹣1，﹣2）
C．（2，1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【答案】B
【解答】解：以原点O为位似中心，把△ABO缩小为原来的，得到△A'B'O，点A的坐标为（2，4），
则点A'的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]，即（1，2）或（﹣1，﹣2），
故选：B．
9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4B．3：1C．9：1D．9：16
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE：S△BFA＝9：16，
故答案为：D．
10．小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【解答】解；∵点A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
∴＝＝，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为 2：3 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比为2：3，
∴这两个相似三角形的相似比为2：3，
∴它们的对应高的比为：2：3，
故答案为：2：3．
12．如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.2m，测得AB＝1.6m，BC＝12.4m，则楼高CD为 10.5 m．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵EB∥CD，
∴△ABE∽△ACD，
∴＝，即＝，
∴CD＝10.5（米）．
故答案为10.5．
13．如图，在某校的2022年新年晚会中，舞台AB的长为20米，主持人站在点C处自然得体，已知点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，则此时主持人与点A的距离为 （10﹣10） 米．
【答案】（10﹣10）．
【解答】解：∵点C是线段AB上靠近点B的黄金分割点，AB＝20米，
∴AC＝AB＝×20＝（10﹣10）（米），
故答案为：（10﹣10）．
14．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步．问勾中容方几何．”其大意是：如图，Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF的边长为 ．
【答案】．
【解答】解：设正方形CDEF边长为x，则CD＝DE＝x，
由Rt△ABC的两条直角边的长分别为5和12可知AC＝5，AD＝5﹣x，BC＝12，
∵正方形CDEF，
∴DE∥BC，
∴∠ADE＝∠ACB，
又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，
解得x＝．
故答案为：．
15．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意可知：AB＝3，AC∥BD，AC＝2，BD＝3，
∴△AEC∽△BED，
∴＝，
∴＝，
解得AE＝．
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
16．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1的相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 （2a，﹣2b） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．
故答案为（2a，﹣2b）．
17．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD＝∠C．
（1）求证：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．
【答案】（1）证明见解析过程；
（2）9．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBA；
（2）∵△ABD∽△CBA，
∴，
∵AB＝6，BD＝3，
∴，
∴BC＝12，
∴CD＝BC﹣BD＝12﹣3＝9．
18．如图，矩形ABCD中，M为BC上一点，EM⊥AM交AD的延长线于点E．
（1）求证：△ABM∽△EMA；
（2）若AB＝4，BM＝3，求ME的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB．
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
（2）解：∵AB＝4，BM＝3，
∴，
∵△ABM∽△EMA，
∴，即，
∴．
19．某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度AB．如图，塔前有一棵高4米的小树CD，发现水平地面上点E、树顶C和塔顶A恰好在一条直线上，测得BD＝57米，D、E之间有一个花圃距离无法测量；然后，在E处放置一平面镜，沿BE后退，退到G处恰好在平面镜中看到树顶C的像，EG＝2.4米，测量者眼睛到地面的距离FG为1.6米；已知AB⊥BG，CD⊥BG，FG⊥BG，点B、D、E、G在同一水平线上．请你求出凌霄塔的高度AB．（平面镜的大小厚度忽略不计）
【答案】凌霄塔的高度AB为42米，见解析．
【解答】解：∵CD⊥BG，FG⊥BG，
∴∠CDE＝∠FGE＝90°，
∵∠CED＝∠FEG，
∴△CDE∽△FGE，
∴，
∵CD＝4，FG＝1.6，EG＝2.4，
∴，
解得：DE＝6，
∵BD＝57，
∴BE＝BD+DE＝57+6＝63，
∵AB⊥BG，CD⊥BG，
∴∠ABE＝∠CDE＝90°，
∵∠AEB＝∠CED，
∴△ABE∽△CDE，
∴，
即，
解得：AB＝42，
∴凌霄塔的高度AB为42米．
20．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点G，使CG＝CD，连接AG．
（1）求证：四边形ABCG是平行四边形；
（2）若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝，
即BE＝＝，
∵△AEB∽△DEC，
∴＝＝，
∴CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝3，
∴AG＝BC＝3．
一．选择题（共10小题）
1．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是BC，AC上的点，∠ADE＝60°，AB＝4，CD＝1，AE＝（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解答】方法一：∵AB＝4＝BC，CD＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵∠ADC＝∠BAD+∠B＝∠ADE+∠CDE，
∴∠CDE＝∠BAD，
∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，即＝，
∴CE＝，
∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝；
故选：D；
方法二：过点A作AF⊥BC于点F，如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴BF＝CF＝BC＝2，AF＝AB＝2，
∵CD＝1，
∴DF＝1，
∴AD＝＝，
∵∠ADE＝∠ACD＝60°，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，即＝，
解得：AE＝，
故选：D．
2．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE＝60°，若AD＝4，＝，则DE的长度为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°．
∴∠ADB+∠BAD＝180°﹣∠B＝120°．
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝180°﹣∠ADE＝120°，
∴∠ADB+∠BAD＝∠ADB+∠EDC，
∴∠BAD＝∠EDC，
∴△BAD∽△CDE，
∴，
∴，
∴DE＝．
故选：D．
3．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：延长BE交CD的延长线于点M．
∵AE＝3DE，设DE＝a，则AE＝3a，AD＝AB＝CD＝BC＝4a，DF＝2a，
∵CM∥AB，
∴＝＝，
∴DM＝a，
∴FM＝DF+DM＝a，
∴＝＝＝．
故选：C．
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D为线段BC上一点，以AD为一边构造Rt△ADE，∠DAE＝90°，AD＝AE，下列说法正确的是（ ）
①∠BAD＝∠EDC；②△ADO∽△ACD；③；④2AD2＝BD2+CD2．
A．仅有①②B．仅有①②③C．仅有②③④D．①②③④
【答案】D
【解答】解：①∵∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠EDC＝180°﹣∠ADE﹣∠BDA＝135°﹣∠BDA，
∴∠BAD＝∠EDC，
故①正确；
②∵∠ADE＝∠ACB，∠CAD＝∠OAD，
∴△ADO∽△ACD．
故②正确；
③∵∠ABD＝∠AEO，∠BAD＝∠EAO，
∴△BAD∽△EAO，
∴．
故③正确；
④如图，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M，N，
在Rt△AED中，DE2＝AD2+AE2，AD＝AE，
∴DE2＝2AD2，
同理，在Rt△BMD中，BD2＝2MD2；在Rt△DCN中，CD2＝2DN2．
∵∠DMA＝∠MAN＝∠DNA＝90°，
∴四边形AMDN是矩形，
∴DN＝AM，
在Rt△AMD中，AD2＝AM2+MD2，
∴2AD2＝2AM2+2MD2，
∴2AD2＝BD2+CD2．
故④正确．
故选：D．
5．凸透镜成像的原理如图所示，AD∥l∥BC．若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线DB的距离之比为5：4，则物体被缩小到原来的（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解答】解：∵BC∥l，CG⊥l，BO⊥l，
∴四边形OBCG为矩形，
∴OB＝CG，
∵AH⊥HO，BO⊥HO，
∴△AHF1∽△BOF1，
∴＝＝，
∴＝，
∴物体被缩小到原来的．
故选：A．
6．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①∠DPC＝75°；②CF＝2AE；③；④△FPD∽△PHB．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【解答】解：∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABE＝∠DCF＝30°，
∴∠CPD＝∠CDP＝75°，故①正确；
∵△BPC是等边三角形，
∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PEF＝∠PFE＝60°，
∴△PEF是等边三角形，
∴PE＝PF，
∴CP+PF＝CP+PE，
∴CF＝BE，
在Rt△ABE中，
∠ABE＝∠ABC﹣∠PBC＝30°，
∴BE＝2AE，
∴CF＝2AE，故②正确；
∴∠PDE＝15°，
∵∠PBD＝∠PBC﹣∠HBC＝60°﹣45°＝15°，
∴∠EBD＝∠EDP，
∵∠DEP＝∠DEB，
∴△BDE∽△DPE，
∴∠EPD＝∠BDE＝45°，
∵∠BPC＝∠EPF＝60°，
∴∠FPD＝105°，
∵∠BHP＝∠BCH+∠HBC＝105°，
∴∠DPF＝∠BHP，
又∵∠PDF＝∠DBP＝15°，
∴△BHP∽△DPF，故④正确；
∴，
∴＝，
∵∠DCF＝30°，
∴DC＝DF，
∴＝，
∴＝＝，故③错误，
故选：B．
7．如图，在边长为5的正方形ABCD中，点E在AD边上，AE＝2，CE交BD于点F，则DF的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝5，∠BCD＝90°，AD∥BC，
∴△DBC是等腰直角三角形，
∴BD＝＝5，
∵DE∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴DE：BC＝DF：BF，
∵AE＝2，
∴DE＝AD﹣AE＝3，
∴3：5＝DF：（5﹣DF），
∴FD＝．
故选：C．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5，AE平分∠BAC，点D是AC的中点，AE与BD交于点O，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【解答】解：过C作CN∥AB交AE延长线于N，过E作EM∥BD交AC于M，
∴∠BAE＝∠N，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∴∠N＝∠CAE，
∴CN＝CA＝5，
∵AB∥CN，
∴△ABE∽△NCE，
∴BE：EC＝AB：CN＝4：5，
∵EM∥BD，
∴DM：MC＝BE：EC＝4：5，
∴DC：DM＝9：4，
∵D是AC的中点，
∴AD＝CD，
∴AD：DM＝9：4，
∵OD∥EM，
∴＝＝．
故选：B．
9．如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC＝•AB•BC＝•AC•BP，
∴BP＝＝＝．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝．
设DE＝x，则有：＝，
解得x＝，
故选：D．
10．如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示．当AP恰好平分∠BAC时，BP的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：如图1，作∠BAC的平分线AP交BC于点P，由题意中的函数图象知AB＝BC＝4，
∵∠B＝36°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠C＝72°，
∵AP平分∠BAC，
∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，
∴AP＝BP，∠APC＝∠B+∠BAP＝72°＝∠C，
∴AP＝AC＝BP，
∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△APC∽△BAC，
∴，
∴AP⋅AC＝AB⋅PC，
∴AP2＝AB⋅PC＝4（4﹣AP），
解得：或（舍），
∴，
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．如图，△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，点D、E分别是AC、AB边上的动点，折叠△ADE得到△A′DE，且点A′落在BC边上，若△A′DC恰好与△ABC相似，AD的长为 2.4或 ．
【答案】2.4或．
【解答】解：设AD＝x，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣x，
∵折叠△ADE得到△A′DE，
∴A′D＝AD＝x，
当△A′DC∽△BAC时，
∴A′D：AB＝CD：AC，
∴x：4＝（6﹣x）：6，
∴x＝2.4；
当△A′DC∽△ABC时，
∴A′D：AB＝DC：BC，
∴x：4＝（6﹣x）：5，
∴x＝，
∴AD长是2.4或．
故答案为：2.4或．
12．如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点D在BC上，DE交AC于点F，若DF＝2，EF＝4，则CD的长是 ．
【答案】．
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AD＝AE＝DE＝DF+EF＝2+4＝6，∠ABD＝∠DCF＝60°，
∵∠BAD+∠ABD＝∠ADC＝∠ADF+∠CDF，∠ABD＝∠ADF＝60°，
∴∠BAD＝∠CDF，
∴△ABD∽△DCF，
∴＝＝，
∴＝3，
设CD＝x，则AB＝3x，BD＝2x，
∴＝＝＝，
∴CF＝x，则AF＝AC﹣CF＝AB﹣CF＝3x﹣x＝x，
∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴∠ADF＝∠ACD，∠DAF＝∠CAD，
∴△ADF∽△ACD，
∴＝，
即＝，
AF＝，
∴AF＝＝x，
解得：x＝．
故答案为：．
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BD＝1，CD＝4，则AD的长为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，BD＝1，CD＝4，
∴AD2＝CD•BD＝4，
∴AD＝2，
故答案为：2．
14．如图，一张矩形纸片ABCD中，（m为常数），将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点A落在BC边上的点H处，点D的对应点为点M，CD与HM交于点P．当点H落在BC的中点时，且，则m＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵＝，
设CP＝t，则CD＝AB＝4t，
∵点H是BC的中点，
∴CH＝BH＝；
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴∠CHP+∠CPH＝90°，
∵∠MHE＝∠A＝90°，
∴∠CHP+∠BHE＝90°，
∴∠CPH＝∠BHE，
∴△CHP∽△BEH，
∴，
即，
∴BC2＝4BE•t①，
∵AE＝AB﹣BE，AE＝EH，CD＝AB＝4t，
∴AE＝EH＝4t﹣BE，
在Rt△BEH中，EH2＝BE2+BH2，
∴（4t﹣BE）2＝②，
联立①②并解得：BE＝t，BC＝t，
∴m＝＝＝，
故答案为：．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，AE平分∠BAC交BC于点E，连接CD交AE于点F．若AC＝5，BC＝12，则EF的长是 ．
【答案】．
【解答】解：过点E作EG⊥AB，垂足为G，过点D作DH∥BC，交AE于点H，
∵∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝＝13，
∵AE平分∠BAC，
∴EC＝EG，
∵△ABC的面积＝△ACE的面积+△ABE的面积，
∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，
∴AC•BC＝AC•CE+AB•EG，
∴5×12＝5CE+13EG，
∴CE＝CG＝，
∴BE＝BC﹣CE＝，
在Rt△ACE中，AE＝＝＝，
∵D是AB的中点，DH∥BC，
∴AH＝HE＝AE＝，
∴DH是△ABE的中位线，
∴DH＝BE＝，
∵DH∥CE，
∴∠DHF＝∠CEF，∠HDF＝∠ECF，
∴△DHF∽△CEF，
∴＝＝＝，
∴EF＝EH＝×＝，
故答案为：．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（2，0），C（0，1），在坐标轴上有一点P，它与A、C两点形成的三角形与△ABC相似，则P点的坐标是 （3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0） ．
【答案】（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
【解答】解：如图，
∵A（1，0），B（2，0），C（0，1），
∴OA＝OC＝1，OB＝2，AB＝OB﹣OA＝1，
∴AC＝，
当点P在x轴上时，△PAC∽△CAB时，
∴＝，
∴＝，
∴PA＝2，
∴OP＝3，
∴P（3，0），
当点P′在y轴上时，△P′CA∽△BAC，
∵AC＝CA，
∴AB＝CP′＝1，
∴OP′＝2，
∴P′（0，2）．
根据对称性可知．P（0，3）也符合题意．
P与B重合，也符合题意，此时P（2，0）．
综上所述，满足条件的点P的坐标为（3，0）或（0，2）或（0，3）或（2，0）．
三．解答题（共3小题）
17．如图，点P在△ABC的外部，连结AP、BP，在△ABC的外部分别作∠1＝∠BAC，∠2＝∠ABP，连结PQ．
（1）求证：AC•AP＝AB•AQ；
（2）判断∠PQA与∠ACB的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）∠PQA＝∠ACB，理由见解答．
【解答】（1）证明：∵∠1＝∠BAC，
∴∠1+∠PAC＝∠BAC+∠PAC，
∴∠CAQ＝∠BAP，
∵∠2＝∠ABP，
∴△CAQ∽△BAP，
∴＝，
∴AC•AP＝AB•AQ．
（2）解：∠PQA＝∠ACB，
理由：∵AC•AP＝AB•AQ，
∴＝，
∵∠1＝∠BAC，
∴△APQ∽△ABC，
∴∠PQA＝∠ACB．
18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，AD与BE相交于点O，且AB＝AD，AE2＝OE•BE．
（1）求证：①∠EAD＝∠ABE；②BE＝EC；
（2）若BD：CD＝4：3，CE＝8，求线段AE的长．
【答案】（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）．
【解答】（1）①证明：∵AE2＝OE•BE，
∴，
∵∠AEO＝∠BEA，
∴△AEO∽△BEA，
∴∠EAD＝∠ABE；
②证明：∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB．
∵∠ABD＝∠ABE+∠CBE，∠ADB＝∠EAD+∠C，
由①知：∠EAD＝∠ABE，
∴∠CBE＝∠C，
∴BE＝EC；
（2）解：过点A作AF⊥BD于点F，交BE于点G，连接GD，如图，
∵AB＝AD，AF⊥BD，
∴BF＝FD，
即AF为BD的垂直平分线，
∴GB＝GD，
∴∠GBC＝∠GDB，
由（1）②知：∠CBE＝∠C，
∴∠GDB＝∠C，
∴GD∥EC，
∴△BGD∽△BEC，
∴．
∵BD：CD＝4：3，
∴，
∴，
∴GD＝．
∵BD：CD＝4：3，BF＝FD，
∴FD：DC＝2：3，
∴．
∵GD∥EC，
△FGD∽△FAC，
∴，
∴，
∴AC＝．
∴AE＝AC﹣EC＝﹣8＝．
19．某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：
【观察与猜想】
（1）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB、AD上的两点，连接DE，CF，DE⊥CF，求证△AED≌△DFC．
【类比探究】
（2）如图②，在矩形ABCD中，AD＝7，CD＝4，点E是边AD上一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值．
【拓展延伸】
（3）如图③，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，连结AD，过点C作CE⊥AD于点E，CE的延长线交AB边于点F．若AC＝3，BC＝4，，求CD的值．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）．
【解答】（1）证明：如图1，设DF与CF的交点为G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，
∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
在△AED和△DFC中，
，
∴△AED≌△DFC（AAS）；
（2）解：如图2，设DB与CE交于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠EDC＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DGC＝90°，
∴∠CDG+∠ECD＝90°，
∠ADB+∠CDG＝90°，
∴∠ECD＝∠ADB，
∵∠CDE＝∠A，
∴△DEC∽△ABD，
∴；
（3）解：如图，过点A作GA∥BC，延长CF交AG于点G，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴，
∵，
∴，
∵GA∥BC，
∴△AFG∽△BFC，∠GAC＝∠ACB＝90°，
∴＝，
∴，
∵CE⊥AD，∠CAE+∠ACE＝90°，
∴∠CAE+∠ACE＝90°，
又∵∠CAE+∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ADC，
∴△ACG∽△CDA，
∴，
∴CD＝＝．
20．（2023•武汉）问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．
【答案】问题探究（1）45°；
（2）∠GCF＝α﹣90°；
问题拓展：．
【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°；
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°；
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝；
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴ m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴＝，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
1．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，且，则AE的长为（ ）
A．1B．2C．1或D．1或2
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝2，∠C＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝，
∵，
∴DE＝1，
如图，当∠ADE＝90°时，
∵∠ADE＝∠ABC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴AE＝2，
如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH∥BC，DH＝BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故选：D．
2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于点D，再分别以B，D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36°B．BC＝AE
C．D．
【答案】C
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
∴∠BCE＝∠ACE＝∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴＝，
∴＝，
∴＝＝，
∴＝＝，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
3．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和△DEF的面积比是 4：9 ．
【答案】4：9．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故答案为：4：9．
4．（2023•乐山）如图，在平行四边形ABCD中，E是线段AB上一点，连结AC、DE交于点F．若，则＝ ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∵，
∴设AE＝2a，则BE＝3a，
∴AB＝CD＝5a，
∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
5．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴＝＝，
故答案为：．
6.（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 △MCB ．
【答案】△MCB．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CMB＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
7．（2023•辽宁）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE∥AC，交DA的延长线于点E，连接OE，交AB于点F，则四边形BCOF的面积与△AEF的面积的比值为 ．
【答案】．
【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA＝OC，
又∵BE∥AC，
∴四边形AEBC是平行四边形，
∴AC＝BE，
∴BE＝2•OA，
∴△OAF∽△EBF，
∴＝＝，
∴S△EBF＝4S△OAF，
＝＝2，
∴S△AEF＝2S△AOF，
同理S△EBF＝2S△OBF，
S△OBC＝S△OAB，
设S△OAF＝x，
则S△EBF＝4x，S△AEF＝2x，S△OBF＝2x，
S△AOB＝S△BOC＝S△AOF+S△BOF＝x+2x＝3x，
S四边形BCOF＝S△BOC+S△BOF＝3x+2x＝5x，
∴＝＝，
故答案为：．
8．（2022•东营）如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的长为 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：设AD交EH于点R，
∵矩形EFGH的边FG在BC上，
∴EH∥BC，∠EFC＝90°，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ARE＝∠ADB＝90°，
∴AR⊥EH，
∴＝，
∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，
∴RD＝EF＝EH，
∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，
∴＝，
解得EH＝，
∴EH的长为，
故答案为：．
9．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）3.6．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴，
∴，
∴BD＝3.6．
10．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
【答案】该古建筑AB的高度为36m．
【解答】解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴，即，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴，即，
∴，
解得x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，
∴＝，
∴AB＝36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
11．（2023•上海）如图，在梯形ABCD中AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．
【答案】证明过程见解答．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF•DE＝BF•CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF•CE．
12．（2023•菏泽）（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：△ADE∽△DCF．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC到点H，使CH＝DE，连接DH．求证：∠ADF＝∠H．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
（3）3．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ADE＝90°，
∴∠CDF+∠DFC＝90°，
∵AE⊥DF，
∴∠DGE＝90°，
∴∠CDF+∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠DFC，
∴△ADE∽△DCF；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°，
∵AE＝DF，
∴Rt△ADE≌Rt△DCF（HL），
∴DE＝CF，
∵CH＝DE，
∴CF＝CH，
∵点H在BC的延长线上，
∴∠DCH＝∠DCF＝90°，
又∵DC＝DC，
∴△DCF≌△DCH（SAS），
∴∠DFC＝∠H，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∴∠ADF＝∠H；
（3）解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝DC，AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DCG，
∴△ADE≌△DCG（SAS），
∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG，
∵AE＝DF，
∴DG＝DF，
∴△DFG是等边三角形，
∴FG＝DF＝11，
∵CF+CG＝FG，
∴CF＝FG﹣CG＝11﹣8＝3，
即CF的长为3．