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    专题19 最值问题

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    这是一份专题19 最值问题,共4页。

    在实际生活与生产中,人们总想节省时间或费用,而取得最好的效果或最高效益,反映在数学问题上,就是求某个量的和、差、积、商的最大值和最小值,这类问题被称之为最值问题,在现阶段,解这类问题的相关知识与基本方法有:
    通过枚举选取.
    利用完全平方式性质.
    运用不等式(组)逼近求解.
    借用几何中的不等量性质、定理等.
    解答这类问题应当包括两个方面,一方面要说明不可能比某个值更大(或更小),另一方面要举例说明可以达到这个值,前者需要详细说明,后者需要构造一个合适的例子.
    例题与求解
    【例1】 若c为正整数,且,,,则()()()()的最小值是 .
    (北京市竞赛试题)
    解题思路:条件中关于C的信息量最多,应突出C的作用,把a,b,d及待求式用c的代数式表示.
    【例2】 已知实数a,b满足,则的最小值是( )
    A. B.0 C.1 D.
    ( 全国初中数学竞赛试题)
    解题思路:对进行变形,利用完全平方公式的性质进行解题.
    【例3】 如果正整数满足=,求的最大值.
    解题思路:不妨设,由题中条件可知=1.结合题意进行分析.
    【例4】 已知都为非负数,满足,,记,求的最大值与最小值.
    (四川省竞赛试题)
    解题思路:解题的关键是用含一个字母的代数式表示.
    【例5】 某工程车从仓库上水泥电线杆运送到离仓库恰为1000米的公路边栽立,要求沿公路的一边向前每隔100米栽立电线杆一根,已知工程车每次之多只能运送电线杆4根,要求完成运送18根的任务,并返回仓库,若工程车每行驶1千米耗油m升(在这里耗油量的多少只考虑与行驶的路程有关,其他因素不计).每升汽油n元,求完成此项任务最低的耗油费用.
    (湖北省竞赛试题)
    解题思路:要使耗油费用最低,应当使运送次数尽可能少,最少需运送5次,而5次又有不同运送方法,求出每种运送方法的行驶路程,比较得出最低的耗油费用.
    【例6】 直角三角形的两条直角边长分别为5和12,斜边长为13,P是三角形内或边界上的一点,P到三边的距离分别为,,,求++的最大值和最小值,并求当++取最大值和最小值时,P点的位置.
    (“创新杯”邀请赛试题)
    解题思路:连接P点与三角形各顶点,利用三角形的面积公式来解.
    能力训练
    A 级
    1.社a,b,c满足,那么代数式的最大值是 .
    (全国初中数学联赛试题)
    2.在满足的条件下,能达到的最大值是 .
    (“希望杯”邀请赛试题)
    3.已知锐角三角形ABC的三个内角A,B,C满足A>B>C.用表示A-B,B-C,以及90-A中的最小值,则的最大值是 .
    (全国初中数学联赛试题)
    4.已知有理数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=0,.那么的取值范围是 .
    (数学夏令营竞赛试题)
    5.在式子中,代入不同的x值,得到对应的值,在这些对应的值中,最小的值是( ).
    A.1 B.2 C.3 D.4
    6.若a,b,c,d是整数,b是正整数,且满足,,,那么的最大值是( ).
    A.-1 B.-5 C.0 D.1
    (全国初中数学联赛试题)
    7.已知则代数式的最小值是( ).
    A.75 B.80 C.100 D.105
    (江苏省竞赛试题)
    8.已知,,均为非负数,且满足=30, ,又设,则M的最小值与最大值分别为( ).
    A.110,120 B.120,130 C.130,140 D.140,150
    已知非负实数,,满足,记.求的最大值和最小值
    (“希望杯”邀请赛试题)
    10.某童装厂现有甲种布料38米,乙钟布料26米,现计划用这两种布料生产L,M两种型号的童装共50套,已知做一套L型号的童装需用甲种布料0.5米,乙种布料1米,可获利45元;做一套M型号的童装需用甲种布料0.9米,乙种布料0.2米,可获利30元,试问该厂生产的这批童装,当L型号的童装为多少套是,能使该厂获得利润最大?最大利润为多少?
    (江西省无锡市中考试题)
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