【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题08+二倍角公式、三角变换的应用（2大考点+7种题型）-练习

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思维导图
核心考点聚焦
考点一：二倍角的正弦、余弦和正切公式
考点二：半角的正弦、余弦和正切公式.
题型一：给角求值
题型二：给值求值、求角问题
题型三：化简证明问题
题型四：化简求值问题
题型五：三角恒等式的证明
题型六：恒等变换与三角函数图象性质的综合
题型七： 三角函数在实际问题中的应用
考点一：二倍角的正弦、余弦和正切公式
在两角和的正弦、余弦和正切公式中，用代入，就得到二倍角的正弦、余弦和正切公式
，
，
.
由于，因此二倍角的余弦公式还可以表示为
.
考点二：半角的正弦、余弦和正切公式
，，.
taneq \f(α,2)＝eq \f(sin \f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2cs\f(α,2),cs\f(α,2)·2cs\f(α,2))＝eq \f(sin α,1＋cs α)，taneq \f(α,2)＝eq \f(sin\f(α,2),cs\f(α,2))＝eq \f(sin\f(α,2)·2sin\f(α,2),cs\f(α,2)·2sin\f(α,2))＝eq \f(1－cs α,sin α)
它们分别叫做半角的正弦、余弦和正切公式. 其中，公示右侧的“”号，根据角所在的象限由左侧相应的符号确定.
题型一：给角求值
【例1】 (1)cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)的值为( )
A.eq \f(1,4) B．－eq \f(1,4)
C.eq \f(1,8) D．－eq \f(1,8)
(2)求下列各式的值：
①cs415°－sin415°；②1－2sin275°；③eq \f(1－tan275°,tan 75°)；
④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°).
【答案】(1)D
【解析】∵cseq \f(3π,7)＝－cseq \f(4π,7)，cseq \f(5π,7)＝－cseq \f(2π,7)，
∴cseq \f(π,7)cseq \f(3π,7)cseq \f(5π,7)＝cseq \f(π,7)cseq \f(2π,7)cseq \f(4π,7)＝eq \f(8sin\f(π,7)cs\f(π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(4sin\f(2π,7)cs\f(2π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(2sin\f(4π,7)cs\f(4π,7),8sin\f(π,7))＝eq \f(sin\f(8π,7),8sin\f(π,7))＝－eq \f(1,8).]
(2)[解] ①cs415°－sin415°＝(cs215°－sin215°)(cs215°＋sin215°)＝cs215°－sin215°＝cs 30°＝eq \f(\r(3),2).
②1－2sin275°＝1－(1－cs 150°)＝cs 150°＝－cs 30°＝－eq \f(\r(3),2).
③eq \f(1－tan275°,tan 75°)＝2×eq \f(1－tan275°,2tan 75°)
＝2×eq \f(1,tan 150°)＝－2eq \r(3).
④eq \f(1,sin 10°)－eq \f(\r(3),cs 10°)＝eq \f(cs 10°－\r(3)sin 10°,sin 10°cs 10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 10°－\f(\r(3),2)sin 10°)),sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 30°cs 10°－cs 30°sin 10°,2sin 10°cs 10°)
＝eq \f(4sin 20°,sin 20°)＝4.
【变式1】．求下列各式的值
(1)cs 72°cs 36°； (2)eq \f(1,sin 50°)＋eq \f(\r(3),cs 50°).
[解] (1)cs 36°cs 72°＝eq \f(2sin 36°cs 36°cs 72°,2sin 36°)＝eq \f(2sin 72°cs 72°,4sin 36°)＝eq \f(sin 144°,4sin 36°)＝eq \f(1,4).
(2)原式＝eq \f(cs 50°＋\r(3)sin 50°,sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs 50°＋\f(\r(3),2)sin 50°)),\f(1,2)×2sin 50°cs 50°)
＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 100°)＝eq \f(2sin 80°,\f(1,2)sin 80°)＝4.
题型二：给值求值、求角问题
【例2】 (1)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(3,5)，eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))的值；
(2)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，且sin 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))，求α.
[解] (1)∵eq \f(π,2)≤α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(3π,4)≤α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4).
∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＞0，∴eq \f(3π,2)＜α＋eq \f(π,4)＜eq \f(7π,4)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5)，
∴cs 2α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(3,5)＝－eq \f(24,25)，
sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(7,25)，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)cs 2α－eq \f(\r(2),2)sin 2α＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(24,25)))－eq \f(\r(2),2)×eq \f(7,25)＝－eq \f(31\r(2),50).
(2)∵sin 2α＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2)))＝－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2cs2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－1))
＝1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))
＝－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))，
∴原式可化为1－2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))，
解得cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝1或cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(1,2).
∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，
∴α＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
故α＋eq \f(π,4)＝0或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(2π,3)，
即α＝－eq \f(π,4)或α＝eq \f(5π,12).
题型三：化简证明问题
【例3】 (1)化简：eq \f(1,tan θ＋1)＋eq \f(1,tan θ－1)＝________.
(2)证明：eq \f(\r(3)tan 12°－3,sin 12°4cs212°－2)＝－4eq \r(3).
【答案】(1)－tan 2θ
【解析】原式＝eq \f(tan θ－1＋tan θ＋1,tan θ＋1tan θ－1)＝eq \f(2tan θ,tan2θ－1)＝－eq \f(2tan θ,1－tan2θ)＝－tan 2θ.]
(2)[证明] 左边＝eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2sin 12°2cs212°－1)
＝eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),2sin 12°cs 12°cs 24°)
＝eq \f(2\r(3)sin12°－60°,sin 24°cs 24°)
＝eq \f(－2\r(3)sin 48°,\f(1,2)sin 48°)
＝－4eq \r(3)＝右边，所以原等式成立．
【变式】求证：(1)cs2(A＋B)－sin2(A－B)＝cs 2Acs 2B；
(2)cs2θ(1－tan2θ)＝cs 2θ.
[证明] (1)左边＝eq \f(1＋cs2A＋2B,2)－eq \f(1－cs2A－2B,2)
＝eq \f(cs2A＋2B＋cs2A－2B,2)
＝eq \f(1,2)(cs 2Acs 2B－sin 2Asin 2B＋cs 2Acs 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cs 2Acs 2B＝右边，
∴等式成立．
(2)法一：左边＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))
＝cs2θ－sin2θ＝cs 2θ＝右边．
法二：右边＝cs 2θ＝cs2θ－sin2θ
＝cs2θeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(sin2θ,cs2θ)))＝cs2θ(1－tan2θ)＝左边．
题型四：化简求值问题
【例4】 (1)设5π＜θ＜6π，cseq \f(θ,2)＝a，则sineq \f(θ,4)等于( )
A.eq \f(\r(1＋a),2) B.eq \f(\r(1－a),2)
C．－eq \f(\r(1＋a),2) D．－eq \r(\f(1－a,2))
(2)已知π<αeq \f(1＋sin α,\r(1＋cs α)－\r(1－cs α))＋eq \f(1－sin α,\r(1＋cs α)＋\r(1－cs α)).
【答案】(1)D
【解析】∵5π＜θ＜6π，∴eq \f(θ,2)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,2)，3π))，eq \f(θ,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2))).
又cseq \f(θ,2)＝a，
∴sineq \f(θ,4)＝－eq \r(\f(1－cs\f(θ,2),2))＝－eq \r(\f(1－a,2)).]
(2)[解] 原式＝
eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))－\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))＋\r(2)\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)))).
∵π＜α＜eq \f(3π,2)，∴eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜eq \f(3π,4)，∴cseq \f(α,2)＜0，sineq \f(α,2)＞0，
∴原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2,－\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2))))＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2))))
＝－eq \f(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2),\r(2))＋eq \f(sin\f(α,2)－cs\f(α,2),\r(2))＝－eq \r(2)cseq \f(α,2).
【变式】．已知cs θ＝－eq \f(3,5)，且180°<θ<270°，求tan eq \f(θ,2).
[解] 法一：∵180°<θ<270°，∴90°∴tan eq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,1＋cs θ))＝－eq \r(\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))))＝－2.
法二：∵180°<θ<270°，即θ是第三象限角，
∴sin θ＝－eq \r(1－cs2θ)＝－eq \r(1－\f(9,25))＝－eq \f(4,5)，
∴tan eq \f(θ,2)＝eq \f(1－cs θ,sin θ)＝eq \f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5))),－\f(4,5))＝－2.
题型五：三角恒等式的证明
【例5】 求证：eq \f(cs2α,\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2))＝eq \f(1,4)sin 2α.
[证明] 法一：用正弦、余弦公式．
左边＝eq \f(cs2α,\f(cs\f(α,2),sin\f(α,2))－\f(sin\f(α,2),cs\f(α,2)))
＝eq \f(cs2α,\f(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cs\f(α,2)))＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))
＝eq \f(cs2αsin\f(α,2)cs\f(α,2),cs α)＝sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)cs α
＝eq \f(1,2)sin αcs α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
∴原式成立．
法二：用正切公式．
左边＝eq \f(cs2αtan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·eq \f(2tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,2)cs2α·tan α＝eq \f(1,2)cs αsin α＝eq \f(1,4)sin 2α＝右边，
∴原式成立．
【变式】．求证：
eq \f(2sin xcs x,sin x＋cs x－1sin x－cs x＋1)＝eq \f(1＋cs x,sin x).
[证明] 左边＝eq \f(2sin xcs x,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)－2sin2\f(x,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2sin\f(x,2)cs\f(x,2)＋2sin2\f(x,2))))
＝eq \f(2sin xcs x,4sin2\f(x,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(x,2)－sin2\f(x,2))))
＝eq \f(sin x,2sin2\f(x,2))
＝eq \f(cs \f(x,2),sin\f(x,2))＝eq \f(2cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(1＋cs x,sin x)＝右边．
所以原等式成立．
题型六：恒等变换与三角函数图象性质的综合
【例6】 已知函数f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x.
(1)求f(x)的最小正周期．
(2)求证：当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))时，f(x)≥－eq \f(1,2).
[解](1)f(x)＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))－2sin xcs x＝eq \f(\r(3),2)cs 2x＋eq \f(3,2)sin 2x－sin 2x＝eq \f(1,2)sin 2x＋eq \f(\r(3),2)cs 2x＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，所以T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)证明：令t＝2x＋eq \f(π,3)，因为－eq \f(π,4)≤x≤eq \f(π,4)，
所以－eq \f(π,6)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(5π,6)，
因为y＝sin t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上单调递增，在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))上单调递减，
所以f(x)≥sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＝－eq \f(1,2)，得证．
【变式】．已知函数f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))(x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
[解] (1)∵f(x)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))
＝eq \r(3)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))＋1－cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))
＝2eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)cs\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))))))＋1
＝2sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,12)))－\f(π,6)))＋1
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＋1，∴T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)当f(x)取得最大值时，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))＝1，
有2x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)，即x＝kπ＋eq \f(5π,12)(k∈Z)，
∴所求x的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(5π,12)，k∈Z)))).
题型七： 三角函数在实际问题中的应用
【例7】 如图所示，要把半径为R的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB的周长最大？
[解] 设∠AOB＝α，△OAB的周长为l，则AB＝Rsin α，OB＝Rcs α，
∴l＝OA＋AB＋OB
＝R＋Rsin α＋Rcs α
＝R(sin α＋cs α)＋R
＝eq \r(2)Rsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋R.
∵0<α∴l的最大值为eq \r(2)R＋R＝(eq \r(2)＋1)R，此时，α＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(π,4)，
即当α＝eq \f(π,4)时，△OAB的周长最大．
一、填空题
1、已知x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin x＝－eq \f(3,5)，则tan 2x＝
【答案】－eq \f(24,7)；
【解析】因为x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，sin x＝－eq \f(3,5)，所以cs x＝eq \r(1－sin2x)＝eq \f(4,5)，tan x＝eq \f(sin x,cs x)＝－eq \f(3,4)，
则tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝－eq \f(24,7)，；
2、设sin 2α＝－sin α，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan 2α的值是________
【答案】eq \r(3)；
【解析】因为，sin 2α＝－sin α，所以，2sin αcs α＝－sin α；
由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))知sin α≠0，所以，cs α＝－eq \f(1,2)，所以，α＝eq \f(2π,3)，因此，tan 2α＝taneq \f(4π,3)＝taneq \f(π,3)＝eq \r(3)；
3、已知等腰三角形底角的正弦值为eq \f(\r(5),3)，则顶角的正弦值是
【答案】eq \f(4\r(5),9) ；
【解析】设底角为θ，则θ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，顶角为180°－2θ；
因为，sin θ＝eq \f(\r(5),3)，所以，cs θ＝eq \r(1－sin2θ)＝eq \f(2,3)，
则sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcs θ＝2×eq \f(\r(5),3)×eq \f(2,3)＝eq \f(4\r(5),9)；
4、已知sin 2α＝eq \f(2,3)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________
【答案】eq \f(1,6)；
【解析】cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(1＋cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,2))),2)＝eq \f(1－sin 2α,2)＝eq \f(1－\f(2,3),2)＝eq \f(1,6)；
5、已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))的值等于
【答案】－eq \f(7,9)；
【解析】因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))＝eq \f(1,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)－2α))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)－α))－1＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))2－1＝－eq \f(7,9)；；
6、化简下列各式：eq \f(（1＋sin α＋cs α）·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(2＋2cs α))(0<α<π)＝
【答案】cs α；
【解析】原式＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2cs2\f(α,2)＋2sin\f(α,2)cs\f(α,2)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)－sin\f(α,2))),\r(4cs2\f(α,2)))
＝eq \f(cs\f(α,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs2\f(α,2)－sin2\f(α,2))),\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2))))＝eq \f(cs\f(α,2)cs α,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))).
因为0<α<π，所以00，所以原式＝cs α；
7、已知，则
【答案】
【解析】因为，，所以， ，，则，
因为，，可得，．
8、已知csα＝eq \f(2,3)，270°<α<360°，那么cseq \f(α,2)的值为
【答案】－eq \f(\r(30),6)；
【解析】因为270°<α<360°，所以135°故cseq \f(α,2)＝－eq \r(\f(1＋cs α,2))＝－ eq \r(\f(1＋\f(2,3),2))＝－eq \r(\f(5,6))＝－eq \f(\r(30),6)；
9、设－3π<α<－eq \f(5π,2)，化简 eq \r(\f(1－cs（α－π）,2))的结果是
【答案】－cseq \f(α,2)；
【解析】原式＝ eq \r(\f(1＋cs α,2))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs\f(α,2)))，因为－3π<α<－eq \f(5,2)π，所以－eq \f(3π,2)所以cseq \f(α,2)<0.因此原式＝－cseq \f(α,2)；
10、若cs xcs y＋sin xsin y＝eq \f(1,2)，sin 2x＋sin 2y＝eq \f(2,3)，则sin(x＋y)＝
【答案】eq \f(2,3)；
【解析】因为cs xcs y＋sin xsin y＝eq \f(1,2)，所以cseq (\a\vs4\al\c1(x－y))＝eq \f(1,2)，因为sin 2x＋sin 2y＝eq \f(2,3)，
所以2sineq (\a\vs4\al\c1(x＋y))cseq (\a\vs4\al\c1(x－y))＝eq \f(2,3)，所以2sineq (\a\vs4\al\c1(x＋y))·eq \f(1,2)＝eq \f(2,3)，所以sin(x＋y)＝eq \f(2,3)；
11、若cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,3)，则cs2α－sin2β等于
【答案】eq \f(1,3)；
【解析】由cs(α＋β)cs(α－β)＝eq \f(1,2)(cs 2α＋cs 2β)＝eq \f(1,2)[(2cs2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cs2α－sin2β，
所以，cs2α－sin2β＝eq \f(1,3)；
12、在△ABC中，若sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，则△ABC是 三角形；
【答案】等腰；
【解析】由sin Asin B＝cs2eq \f(C,2)，得eq \f(1,2)cs(A－B)－eq \f(1,2)cs(A＋B)＝eq \f(1＋cs C,2)，
所以，eq \f(1,2)cs(A－B)＋eq \f(1,2)cs C＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs C，即cs (A－B)＝1，所以，A－B＝0，即A＝B.
则△ABC是等腰三角形；
二、选择题
13、若sineq \f(α,2)＝eq \f(12,13)，cseq \f(α,2)＝－eq \f(5,13)，则角α是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角
【答案】 C；
【解析】因为，sin α＝2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝2×eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))＜0，cs α＝cs2eq \f(α,2)－sin2eq \f(α,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5,13)))2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12,13)))2＜0，
所以，α是第三象限的角；
14、若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，则tan 2α＝( )
A．－eq \f(3,4) B.eq \f(3,4) C．－eq \f(4,3) D.eq \f(4,3)
【答案】B；
【解析】 因为eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)＝eq \f(1,2)，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2 α)＝eq \f(2×－3,1－－32)＝eq \f(3,4)；
15、已知|cs θ|＝eq \f(3,5)，且eq \f(5π,2)<θ<3π，则sineq \f(θ,2)，cseq \f(θ,2)，taneq \f(θ,2)的值分别为( )
A．－eq \f(2\r(5),5)，eq \f(\r(5),5)，2 B．－eq \f(2\r(5),5)，－eq \f(\r(5),5)，2 C. eq \f(2\r(5),5)，－eq \f(\r(5),5)，2 D．－eq \f(2\r(5),5)，－eq \f(\r(5),5)，－2
【答案】B；
【解析】因为|cs θ|＝eq \f(3,5)，eq \f(5π,2)<θ<3π，所以cs θ＝－eq \f(3,5)，eq \f(5π,4)得sineq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1－cs θ,2))＝－eq \r(\f(1＋\f(3,5),2))＝－eq \f(2\r(5),5)，
又cs θ＝2cs2eq \f(θ,2)－1，所以cseq \f(θ,2)＝－eq \r(\f(1＋cs θ,2))＝－eq \f(\r(5),5)，所以tan eq \f(θ,2)＝eq \f(sin \f(θ,2),cs\f(θ,2))＝2；
16、将cs 2x－sin2y化为积的形式，结果是( )
A．－sin(x＋y)sin(x－y) B．cs(x＋y)cs(x－y)
C．sin(x＋y)cs(x－y) D．－cs(x＋y)sin(x－y)
【答案】B；
【解析】cs2x－sin2y＝eq \f(1＋cs 2x,2)－eq \f(1－cs 2y,2)＝eq \f(1,2)(cs2x＋cs2y)＝cs(x＋y)cs(x－y)；
三、解答题
17、已知eq \f(π,2)＜α＜π，cs α＝－eq \f(4,5)；
（1）求：tan α的值；（2）求：sin 2α＋cs 2α的值
【解析】（1）因为cs α＝－eq \f(4,5)，eq \f(π,2)＜α＜π，所以sin α＝eq \f(3,5)，所以tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(3,4).
（2）因为sin 2α＝2sin αcs α＝－eq \f(24,25)，cs 2α＝2cs2α－1＝eq \f(7,25)，
所以sin 2α＋cs 2α＝－eq \f(24,25)＋eq \f(7,25)＝－eq \f(17,25).
18. 已知，，计算下列各式的值.
（1）；（2）.
【解析】（1）平方得，故
又，故，，故
所以，
（2）
19、已知，，求和的值.
【答案】；
【解析】∵ ∴
化简得： ∴
因为，，所以，，所以， ，即
20、已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上．
（1）求：cs 2α的值；
（2）若角β满足tan(2α－β)＝1，求：tan β的值．
【解析】（1）由已知得tan α＝2，所以cs 2α＝cs2α－sin2α＝eq \f(cs2α－sin2α,cs2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5).
（2）由（1）知tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(4,3)，
而tan β＝tan[2α－(2α－β)]＝eq \f(tan 2α－tan（2α－β）,1＋tan 2αtan（2α－β）)＝eq \f(－\f(4,3)－1,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝7；
21、（1）证明三倍角的余弦公式：；
（2）利用等式，求的值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）
.
（2），因为，，又因为，，
所以，，则.
，令，（）
则有：，解得：，即的值为：.