【寒假作业】苏教版2019 高中数学 高二寒假巩固提升训练 复习专题03+椭圆13种常见考法归类-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
考点一、求椭圆的标准方程
考点二、点与椭圆的位置关系
考点三、椭圆的定义及其应用
(一)根据椭圆的方程求参数的范围
(二)椭圆的焦点三角形问题
考点四、求椭圆的离心率
(一)求椭圆的离心率
(二)求椭圆的离心率的取值范围
(三)由椭圆的离心率求参数(范围)
考点五、与椭圆有关的轨迹问题
考点六、直线与椭圆的位置关系
考点七、弦长及中点弦问题
(一)弦长问题
(二)中点弦问题
考点八、求椭圆的参数或范围问题
考点九、求椭圆的最值问题
考点十、椭圆的定点、定值问题
考点十一、椭圆中的向量问题
考点十二、椭圆的实际应用问题
考点十三、与椭圆有关的综合问题
知识点1 椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
注：在椭圆的定义中必须要注意以下两个问题
(1)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(2)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆．
①若，M的轨迹为线段；
②若，M的轨迹无图形
知识点2 椭圆的方程及简单几何性质
知识点3 椭圆的焦点三角形
椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理．
以椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一点P(x0，y0)(y0≠0)和焦点F1(－c,0)，F2(c,0)为顶点的△PF1F2中，若∠F1PF2＝θ，则
(1)椭圆的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a.
(2)余弦定理：4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ.
(3)面积公式：S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|·sin θ，当|y0|＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，为bc.
重要结论：S△PF1F2=
推导过程：由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cs θ得
由三角形的面积公式可得
S△PF1F2=
=
注：S△PF1F2===（是三角形内切圆的半径）
(4)焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(5)在椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)中,F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意的一点，当点P在短轴端点时，最大.
知识点4 点与椭圆的位置关系
点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
知识点5 直线与椭圆的位置关系
直线y＝kx＋m与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．
当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；
当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；
当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．
知识点6 直线与椭圆相交的弦长公式
1．定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦．
2．求弦长的方法
(1)交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．
(2)根与系数的关系法：
如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：
|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
注：（1）已知弦是椭圆（）的一条弦，中点坐标为，则的斜率为，运用点差法求的斜率，设，；、都在椭圆上，
两式相减得：，
即 ，故
（2）弦的斜率与弦中心和椭圆中心的连线的斜率之积为定值：
1、确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面
(1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；
(2)“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解．
2、椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.
(2)直线过左焦点与椭圆相交于A、B两点，则的周长为4a，即（直线过右焦点亦同）.
（3）涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|·|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解．
3、解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
(1)直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.
(2)定义法：用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．
(3)相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．
4、利用椭圆的几何性质求标准方程的思路
利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：
(1)确定焦点位置；
(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数．列方程(组)时常用的关系式有b2＝a2－c2，e＝eq \f(c,a)等．
5、点P(x0，y0)与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系：
点P在椭圆上⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1；点P在椭圆内部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)<1；点P在椭圆外部⇔eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)>1.
6、求椭圆离心率及范围的两种方法
(1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝eq \f(c,a)求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝eq \f(c,a)求解．
(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围．
7、判断直线与椭圆的位置关系
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．
8、解决椭圆中点弦问题的两种方法
(1)根与系数关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1， ①,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1， ②))
由①－②，得eq \f(1,a2)(xeq \\al(2,1)－xeq \\al(2,2))＋eq \f(1,b2)(yeq \\al(2,1)－yeq \\al(2,2))＝0，变形得eq \f(y1－y2,x1－x2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)，即kAB＝－eq \f(b2x0,a2y0).
9、求与椭圆有关的最值、范围问题的方法
(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．
(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．
(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意椭圆的范围．
10、解决和椭圆有关的实际问题的思路(数学抽象)
(1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题．
(2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解．
(3)用解得的结果说明原来的实际问题．
考点剖析
考点一、求椭圆的标准方程
1.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为B．若，则该椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
2.若椭圆过点，则椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
3.已知直线经过椭圆的顶点和焦点，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
4.过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为（ ）
A．B．
C．D．
5.已知椭圆C:,四点,,,中恰有三点在椭圆上,则椭圆C的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
6.已知，是椭圆的焦点，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
考点二、点与椭圆的位置关系
7.若点在椭圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．点不在椭圆上B．点不在椭圆上
C．点在椭圆上D．无法判断上述点与椭圆的关系
8.若点在椭圆的外部，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
9.已知直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围为___________.
考点三、椭圆的定义及其应用
根据椭圆的方程求参数的范围
10.“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
11.设表示的是椭圆；，则p是成立的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
12.已知方程表示椭圆，则的取值范围为（ ）
A．且B．且
C． D．
13.若方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．或D．或
14.若方程表示椭圆，则下面结论正确的是（ ）
A．B．椭圆的焦距为
C．若椭圆的焦点在轴上，则D．若椭圆的焦点在轴上，则
椭圆的焦点三角形问题
15.已知椭圆的左，右两焦点为和，P为椭圆上一点，且，则（ ）
A．8B．12C．16D．64
16.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A．12B．C．16D．10
17.已知椭圆的方程为，若点在第二象限，且，则的面积（ ）．
A．B．C．D．
18.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且，若的面积为，则（ ）
A．9B．3C．4D．8
19.设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（ ）
A．B．C．0D．1
20.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，则的内切圆的半径（ ）
A．1B．C．D．2
考点四、求椭圆的离心率
求椭圆的离心率
21.设，是椭圆的两个焦点，为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则的离心率为_______.
22.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的点，，，则C的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
23.已知椭圆的左､在顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
24.已知椭圆的下焦点，M点在椭圆C上，线段MF与圆相切于点N，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
25.已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
求椭圆的离心率的取值范围
26.已知椭圆的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线交椭圆E于A，B两点.若，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
27.已知椭圆的左右焦点为，若椭圆上恰好有6个不同的点，使得为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
28.已知，是椭圆的左、右焦点，若椭圆C上存在一点P使得，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
由椭圆的离心率求参数(范围)
29.已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
30.设是椭圆的离心率，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
31.设椭圆的离心率为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
32.设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
考点五、与椭圆有关的轨迹问题
33.若动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
34.在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
35.已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
36.已知为圆的一个动点，定点，线段的垂直平分线交线段于点，则点的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
37.已知圆：，从这个圆上任意一点向轴作垂线段（在轴上），在直线上且 ，则动点的轨迹方程是（ ）
A．B．
C．D．
考点六、直线与椭圆的位置关系
38.已知直线，椭圆，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
39.已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（ ）
A．B．
C．D．
40.直线与曲线的公共点的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
考点七、弦长及中点弦问题
弦长问题
41.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（ ）
A．B．C．D．
42.已知椭圆，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为_________．
43.已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程．
44.已知椭圆的焦点坐标为、，点为椭圆上一点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，求的面积.
中点弦问题
45.椭圆与直线相交的弦被M点平分，则M点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
46.若椭圆 的弦中点坐标为， 则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
47.已知椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程为______.
48.已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于A、B陃点，若弦中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
49.椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点的直线的斜率为，则等于（ ）
A．B．C．D．
考点八、求椭圆的参数或范围问题
50.设点，分别为椭圆的左，右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数m的一个取值可以为（ ）
A．0B．1C．2D．3
51.设分别为椭圆的上、下顶点，若在椭圆上存在点，满足，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
52.已知椭圆，若椭圆上存在两点、关于直线对称，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
考点九、求椭圆的最值问题
53.设是椭圆上的一个动点，定点，则的最大值是（ ）
A．B．1C．3D．9
54.已知点是椭圆上一点，求点P到点的距离的取值范围．
55.若为椭圆上的一点，，分别是椭圆的左、右焦点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
56.已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的最近距离为______.
考点十、椭圆的定点、定值问题
57.已知椭圆离心率为，焦距为.
(1)求的方程；
(2)过点分别作斜率和为的两条直线与，设交于、两点，交于、两点，、的中点分别为、.求证：直线过定点.
58.已知椭圆C：过点，椭圆C离心率为，其左右焦点分别为，，上下顶点为，.
(1)求椭圆C的方程；
(2)点Q是椭圆C上的一个动点，求面积的最大值；
(3)若M，N为椭圆C上相异两点（均不同于点），，的斜率分别是，，若.求证：直线MN必过定点，并求出定点坐标.
59.已知椭圆C：过点．右焦点为F，纵坐标为的点M在C上，且AF⊥MF．
(1)求C的方程；
(2)设过A与x轴垂直的直线为l，纵坐标不为0的点P为C上一动点，过F作直线PA的垂线交l于点Q，证明：直线PQ过定点．
60.己知椭圆，过点．
(1)求C的方程；
(2)若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
61.已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若经过点，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q（均异于点A），证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值.
62.已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
63.已知椭圆的左、右顶点分别为，且，离心率为，为坐标原点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设是椭圆上不同于的一点，直线与直线分别交于点 .证明：以线段为直径作圆被轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.
考点十一、椭圆中的向量问题
64.已知椭圆的右焦点为，离心率．
(1)求的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，若，求的方程．
65.已知，是椭圆M：的左右焦点．
(1)若C是椭圆上一点，求的最小值；
(2)直线与椭圆M交于A，B两点，O是坐标原点．椭圆M上存在点P使得四边形OAPB为平行四边形，求m的值．
考点十二、椭圆的实际应用问题
66.某海域有两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），两岛收到鱼群反射信号的时间比为．你能否确定鱼群此时分别与两岛的距离？
67.如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（ ）
A．B．C．D．
68.某高速公路隧道设计为单向三车道，每条车道宽4米，要求通行车辆限高5米，隧道全长1.5千米，隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状（如图所示）.
（1）若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽至少是多少米？（结果取整数）
（2）如何设计拱高和拱宽，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（结果取整数）
参考数据：，椭圆的面积公式为，其中，分别为椭圆的长半轴和短半轴长.
考点十三、与椭圆有关的综合问题
69.【多选】已知为坐标原点，椭圆的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆上，则（ ）
A．椭圆的离心率为
B．椭圆的短轴长为
C．直线 与椭圆相交
D．若点在椭圆上，中点坐标为，则直线的方程为
70.【多选】设，为椭圆的左，右焦点，直线过交椭圆于A，B两点，则以下说法正确的是（ ）
A．的周长为定值8B．的面积最大值为
C．的最小值为8D．存在直线l使得的重心为
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一、单选题
1．（2023上·河南省直辖县级单位·高二济源市第四中学校考期末）已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线交于，两点，且，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·贵州黔东南·高二校考期末）已知椭圆的右焦点为，点和所连线段的中点在椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023上·浙江·高二校联考期中）已知分别是椭圆的左､右两个焦点，若该椭圆上存在点满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023上·陕西渭南·高三校考期末）已知椭圆的两焦点分别为、．若椭圆上有一点P，使，则的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
5．（2023上·湖北·高二宜昌市一中校联考阶段练习）若点为椭圆上的点，、为其左右焦点，且，则的面积为（ ）
A．1B．C．D．2
6．（2023上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考期末）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆的上焦点作斜率为的直线，直线交椭圆于两点，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）已知、分别为椭圆：的左、右焦点，为椭圆上一点，以为圆心，为半径的圆交轴于、两点，则的最大值为（ ）
A．4B．C．D．
8．（2023上·安徽淮北·高二淮北一中校考阶段练习）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．B．C．D．
9．（2023上·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）已知椭圆的左､右焦点分别为为椭圆上第一象限的点，直线与轴相交于点，若（为坐标原点），则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
10．（2023·江西南昌·统考三模）如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在点P处变轨进入以F为一焦点的椭圆轨道Ⅱ上绕月球飞行，最后在点Q处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ上绕月球飞行．设圆形轨道Ⅰ的半径为，圆形轨道Ⅲ的半径为，则下列结论中正确的是（ ）

A．轨道Ⅱ的焦距为
B．轨道Ⅱ的长轴长为
C．若不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小
D．若不变，越大，轨道Ⅱ的离心率越大
11．（2023上·江苏南通·高二统考期末）已知，分别为椭圆C：的左，右焦点，A为C的上顶点，过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则（ ）
A．椭圆C的焦距为2B．
C．的面积为D．的周长为8
12．（2023上·福建莆田·高二仙游一中校联考期末）已知点是椭圆上一点，为其左、右焦点，且△的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．P点到轴的距离为B．
C．△的周长为D．△的内切圆半径为
13．（2023上·福建福州·高二福建省福州外国语学校校考期中）已知椭圆：，则下列各选项正确的是（ ）
A．若的离心率为，则
B．若，的焦点坐标为
C．若，则的长轴长为6
D．不论取何值，直线都与没有公共点
三、填空题
14．（2023上·宁夏银川·高二校考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则面积的最大值是 ．
15．（2023上·浙江湖州·高三校考期末）已知的顶点和，顶点A在椭圆上，则的值为 ．
16．（2023上·重庆·高二重庆市育才中学校联考阶段练习）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且，则 ．
17．（2023上·江苏常州·高二统考期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点在椭圆上，满足的面积为，，过点作的垂线交椭圆于，两点，则的周长为 .
18．（2023上·黑龙江哈尔滨·高二哈师大附中校考期末）设椭圆的左焦点为，点P在椭圆上且在第一象限，直线与圆相交于两点，若是线段的两个三等分点，则直线的斜率为 .
四、解答题
19．（2023上·四川成都·高二校联考期末）已知圆，圆，若动圆M与圆F1外切，与圆F2内切．
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程；
(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A，B两点，若Q为线段AB的中点，求直线l的方程．
20．（2023上·陕西延安·高二校考期末）已知椭圆的离心率为，右焦点为．
(1)求此椭圆的方程；
(2)若过点F且倾斜角为的直线与此椭圆相交于A、B两点，求|AB|的值．
21．（2023上·广东汕尾·高三统考期末）已知椭圆经过点，离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线交椭圆于A，B两点，为椭圆C的左焦点，若，求直线的方程.
22．（2023上·黑龙江佳木斯·高二校考期末）已知椭圆的离心率，其焦点三角形面积的最大值是.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值.
23．（2023上·江西·高二校联考期中）已知椭圆过点，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)已知的下顶点为，不过的直线与交于点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
24．（2023·陕西西安·校联考模拟预测）椭圆的两个焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，不在轴上，的面积的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于M，N两点，设点，求证：直线，的斜率之和为定值，并求出定值.
焦点的位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)
范围
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0),_ B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a), B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长
长轴长＝eq \a\vs4\al(2a)，短轴长＝eq \a\vs4\al(2b)
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝eq \a\vs4\al(2c)
对称性
对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)
离心率
e＝eq \f(c,a)(0