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【寒假作业】人教A版2019 高中数学 高二寒假提升训练专题07 排列组合（十五大考点）-练习
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思维导图
核心考点聚焦
考点一：排列的概念
考点二：简单的排列问题
考点三：排列数公式的应用
考点四：相邻问题
考点五：不相邻问题
考点六：定序问题
考点七：间接法
考点八：组合概念的理解
考点九：简单的组合问题
考点十：组合数公式的应用
考点十一：多面手问题
考点十二：分组、分配问题
考点十三：与几何有关的组合应用题
考点十四：隔板法
考点十五：分堆问题
知识点一、排列的概念
1、排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点诠释：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
知识点二：排列数
1、排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．
知识点诠释：
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
2、排列数公式
，其中，且．
知识点诠释：
公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．
知识点三：阶乘表示式
1、阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!．
规定：．
2、排列数公式的阶乘式：
所以．
知识点四：排列的常见类型与处理方法
1、相邻元素捆绑法
2、相离问题插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
知识点五：组合
1、定义：
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
知识点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．知识点六：组合数及其公式
1、组合数的定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
知识点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2、组合数公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知识点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
知识点七：组合数的性质
性质1：（，且）
性质2：（，且）
知识点诠释：
规定：．
组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合考点：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的考点：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”：
考点剖析
考点一：排列的概念
例1．（多选题）（2024·江西新余·高二校考阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
例2．（多选题）（2024·高二课时练习）下列问题中不属于排列问题的是（ ）
A．从个人中选出人去劳动
B．从个人中选出人去参加数学竞赛
C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队
D．从数字､､､中任取个不同的数做中的底数与真数
例3．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
变式1．（多选题）（2024·高二课前预习）(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ）
A．加法B．减法C．乘法D．除法
考点二：简单的排列问题
例4．（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
例5．（2024·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．
例6．（2024·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
变式2．（2024·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．
考点三：排列数公式的应用
例7．（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·北京大兴·高二统考）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·高二课时练习）证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
变式3．（2024·江苏·高二专题练习）求证：
变式4．（2024·高二课时练习）解不等式：
考点四：相邻问题
例10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
例11．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A．144B．72C．36D．24
例12．（2024·辽宁·高二校联考阶段练习）市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48B．54C．72D．84
变式5．（2024·吉林长春·高二长春外国语学校校考）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（ ）
A．48B．96C．144D．288
考点五：不相邻问题
例13．（2024·山东德州·高二校考期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．14B．120C．72D．24
例14．（2024·海南·高二校考）琼中中学一条校道路边有7盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3盏路灯，但要求点亮的3盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（ ）种
A．5B．10C．15D．20
例15．（2024·福建泉州·高二校联考阶段练习）某选拔性考试需要考查4个学科语文、数学、物理、政治，已知物理考试与数学考试不能相邻，则这4个学科不同的考试顺序共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
变式6．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（ ）
A．48B．72C．96D．144
考点六：定序问题
例16．（2024·高二课时练习）氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法的种数为（ ）
A．210B．126
C．70D．35
例17．（2024·山东烟台·高二统考）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20B．120C．360D．720
例18．（2024·高二课时练习）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于（ ）
A．1 543B．2 543
C．3 542D．4 532
考点七：间接法
例19．（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
例20．（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A．198个B．180个C．216个D．234个
例21．（2024·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（ ）
A．84B．78C．108D．96
变式7．（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60B．66C．72D．80
考点八：组合概念的理解
例22．（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
例23．（多选题）（2024·高二单元测试）下列问题中是组合问题的有（ ）.
A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
B．从7本不同的书中取出5本给某同学
C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法
例24．（多选题）（2024·高二课时练习）下列问题是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合含有三个元素的子集有多少个
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
变式8．（多选题）（2024·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
考点九：简单的组合问题
例25．（2024·高二课时练习）写出：
(1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合；
(2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合．
例26．（2024·高二课时练习）平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.
（1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段.
（2）试写出以其中任意两个点为端点的线段.
（3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形.
例27．（2024·高二课时练习）用列举法写出下列组合：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合；
(2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合．
考点十：组合数公式的应用
例28．（2024·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）（1）求值:；
（2） 解不等式:.
例29．（2024·高二课时练习）求证：.
例30．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
变式9．（2024·高二课时练习）解关于正整数x的方程：
(1)；
(2)．
变式10．（2024·高二课时练习）利用组合数的性质化简：．
考点十一：多面手问题
例31．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225B．185C．145D．110
例32．（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
例33．（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
考点十二：分组、分配问题
例34．（2024·全国·模拟预测）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项．甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为亚运会的3个项目写新闻稿，每个项目至少有1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有 种分配方法．
例35．（2024·上海·高二上海市大同中学校考阶段练习）某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有 种.
例36．（2024·江苏南京·高二金陵中学校考期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为 .
变式11．（2024·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有 （用数字作答）.
变式12．（2024·吉林延边·高二延边二中校考）有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为 .
考点十三：与几何有关的组合应用题
例37．（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
例38．（2024·高二课时练习）在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
例39．（2024·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是 ．
变式13．（2024·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 .
考点十四：隔板法
例40．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
例41．（2024·江苏苏州·高二吴县中学校考）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135B．10C．75D．120
例42．（2024·山西大同·高二统考）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84种B．504种C．729种D．39种
变式14．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16B．18C．27D．28
考点十五：分堆问题
例43．（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
例44．（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考）已知有9本不同的书．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
例45．（2024·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
变式15．（2024·高二单元测试）已知有6本不同的书.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（3）分给甲､乙､丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
过关检测
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）“天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮向全国青少年进行太空科普授课，这次授课过程主要有以下6个项目：梦天实验舱介绍、球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验、又见陀螺实验、天地互动环节．某校科技小组6人观看了这次“天宫课堂”后，各自选出1个自己最喜欢的项目谈谈自己的感想，则球形火焰实验被2人选中，其他项目至多被1人选中的所有情况有（ ）
A．428种B．828种C．1200种D．1800种
2．（2024·全国·模拟预测）某冰淇淋店至少需要准备种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”．若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有（ ）
A．110种B．115种C．120种D．125种
3．（2024·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个B．12个C．18个D．24个
4．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．24B．48C．72D．120
5．（2024·全国·模拟预测）一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（ ）
A．480B．270C．240D．60
6．（2024·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720B．960C．1120D．1440
7．（2024·河南·模拟预测）某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派往一辆车，则不同派法的种数为（ ）
A．20B．15C．12D．10
8．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
二、多选题
9．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
10．（2024·福建龙岩·高二校考阶段练习）甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种
C．甲乙不排在两端的不同排法有种
D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种
11．（2024·河南·高二校联考阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
三、填空题
13．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有 个
14．（2024·江西九江·高三校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
15．（2024·甘肃白银·高二校考期末）若，则实数 .
16．（2024·江西·高二校联考阶段练习）2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为 ．（用数字作答）
四、解答题
17．（2024·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
18．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
19．（2024·陕西汉中·高二校联考阶段练习）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）
(1)若必须在内，有多少种排法？
(2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？
20．（2024·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法总数：
(1)选其中4人排成一排；
(2)全体排成一排，男生必须站在一起；
(3)全体排成一排，女生互不相邻.
21．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400000大的正整数.
22．（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
思维导图
核心考点聚焦
考点一：排列的概念
考点二：简单的排列问题
考点三：排列数公式的应用
考点四：相邻问题
考点五：不相邻问题
考点六：定序问题
考点七：间接法
考点八：组合概念的理解
考点九：简单的组合问题
考点十：组合数公式的应用
考点十一：多面手问题
考点十二：分组、分配问题
考点十三：与几何有关的组合应用题
考点十四：隔板法
考点十五：分堆问题
知识点一、排列的概念
1、排列的定义：
一般地，从n个不同的元素中取出m（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
知识点诠释：
（1）排列的定义中包括两个基本内容，一是“取出元素”，二是“按照一定的顺序排列”．
（2）从定义知，只有当元素完全相同，并且元素排列的顺序也完全相同时，才是同一个排列．
（3）如何判断一个具体问题是不是排列问题，就要看从n个不同元素中取出m个元素后，再安排这m个元素时是有顺序还是无顺序，有顺序就是排列，无顺序就不是排列．
知识点二：排列数
1、排列数的定义
从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示．
知识点诠释：
“排列”和“排列数”是两个不同的概念，一个排列是指“从个不同的元素中，任取个元素，按照一定的顺序排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列（也就是具体的一件事）；
2、排列数公式
，其中，且．
知识点诠释：
公式特征：第一个因数是，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是，共有个因数．
知识点三：阶乘表示式
1、阶乘的概念：
把正整数1到的连乘积，叫做的阶乘．表示：，即!．
规定：．
2、排列数公式的阶乘式：
所以．
知识点四：排列的常见类型与处理方法
1、相邻元素捆绑法
2、相离问题插空法
3、元素分析法
4、位置分析法
知识点五：组合
1、定义：
一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合．
知识点诠释：
（1）从排列与组合的定义可知，一是“取出元素”；二是“并成一组”，“并成一组”即表示与顺序无关．
排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关，这是它们的根本区别．
（2）如果两个组合中的元素相同，那么不管元素的顺序怎样都是相同的组合；只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．因此组合问题的本质是分组问题，它主要涉及元素被取到或末被取到．知识点六：组合数及其公式
1、组合数的定义：
从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数．记作．
知识点诠释：
“组合”与“组合数”是两个不同的概念：
一个组合是指“从个不同的元素中取出个元素并成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；组合数是指“从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数”，它是一个数．
2、组合数公式：
（1）（，且）
（2）（，且）
知识点诠释：
上面第一个公式一般用于计算，但当数值m、n较大时，利用第二个式子计算组合数较为方便，在对含有字母的组合数的式子进行变形和论证时，常用第二个公式．
知识点七：组合数的性质
性质1：（，且）
性质2：（，且）
知识点诠释：
规定：．
组合问题常见题型
（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合考点：
“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．
（2）“至少”或“最多”含有几个元素的考点：
解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，但通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．
（3）分堆问题
①平均分堆，其分法数为：．
②分堆但不平均，其分法数为．
（4）定序问题．
对于某些元素的顺序固定的排列问题，可先全排，再除以定序元素的全排，或先在总位置中选出定序元素的位置而不参加排列，然后对其他元素进行排列．
（5）相同元素分组问题用“隔板法”：
考点剖析
考点一：排列的概念
例1．（多选题）（2024·江西新余·高二校考阶段练习）下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
例2．（多选题）（2024·高二课时练习）下列问题中不属于排列问题的是（ ）
A．从个人中选出人去劳动
B．从个人中选出人去参加数学竞赛
C．从班级内名男生中选出人组成一个篮球队
D．从数字､､､中任取个不同的数做中的底数与真数
例3．（多选题）（2024·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）下列问题属于排列问题的是（ ）
A．从6人中选2人分别去游泳和跳绳
B．从10人中选2人去游泳
C．从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5，6，7，8中任取三个数组成没有重复数字的三位数
变式1．（多选题）（2024·高二课前预习）(多选)从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有（ ）
A．加法B．减法C．乘法D．除法
考点二：简单的排列问题
例4．（2024·高二课时练习）写出从a、b、c、d、e这五个不同元素中任意取出两个元素的所有排列．
例5．（2024·高二课时练习）请列出下列排列：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有排列；
(2)从7个不同元素中任取2个元素的所有排列．
例6．（2024·江苏·高二专题练习）写出下列问题的所有排列：
(1)从1，2，3，4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)由1，2，3，4四个数字能组成多少个没有重复数字的四位数？试全部列出.
变式2．（2024·高二课时练习）用红、黄、蓝3面小旗（3面小旗都要用）竖挂在绳上表示信号，不同的顺序表示不同的信号，试写出所有的信号．
考点三：排列数公式的应用
例7．（2024·福建·高二校联考期末）可表示为（ ）
A．B．
C．D．
例8．（2024·北京大兴·高二统考）若，则（ ）
A．B．
C．D．
例9．（2024·高二课时练习）证明，并利用这一结果化简：
(1)；
(2)．
变式3．（2024·江苏·高二专题练习）求证：
变式4．（2024·高二课时练习）解不等式：
考点四：相邻问题
例10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
例11．（2024·贵州铜仁·校联考模拟预测）2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛．现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种．
A．144B．72C．36D．24
例12．（2024·辽宁·高二校联考阶段练习）市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A．48B．54C．72D．84
变式5．（2024·吉林长春·高二长春外国语学校校考）A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻的不同站法的种数为（ ）
A．48B．96C．144D．288
考点五：不相邻问题
例13．（2024·山东德州·高二校考期末）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任意两人不相邻的坐法种数为（ ）
A．14B．120C．72D．24
例14．（2024·海南·高二校考）琼中中学一条校道路边有7盏路灯，为了节约用电，学校决定每天晩上点亮其中的3盏路灯，但要求点亮的3盏路灯都不相邻，不同的点亮方式有（ ）种
A．5B．10C．15D．20
例15．（2024·福建泉州·高二校联考阶段练习）某选拔性考试需要考查4个学科语文、数学、物理、政治，已知物理考试与数学考试不能相邻，则这4个学科不同的考试顺序共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
变式6．（2024·湖南永州·高二统考阶段练习）5人排成一行，其中甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法种数是（ ）
A．48B．72C．96D．144
考点六：定序问题
例16．（2024·高二课时练习）氨基酸的排列顺序是决定蛋白质多样性的原因之一，某肽链由7种不同的氨基酸构成，若只改变其中3种氨基酸的位置，其他4种不变，则不同的改变方法的种数为（ ）
A．210B．126
C．70D．35
例17．（2024·山东烟台·高二统考）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20B．120C．360D．720
例18．（2024·高二课时练习）由1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{an}，则a72等于（ ）
A．1 543B．2 543
C．3 542D．4 532
考点七：间接法
例19．（2024·北京海淀·高二期末）某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A．24种B．18种C．12种D．6种
例20．（2024·全国·西北工业大学附属中学高二期末）某人根据自己爱好，希望从中选2个不同字母，从中选3个不同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，且数字2不能排在首位，字母和数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（ ）
A．198个B．180个C．216个D．234个
例21．（2024·江苏·常州市武进区礼嘉中学高二阶段练习）小李和父母、爷爷奶奶一起排队去做核酸，5人排成一列（他们之间没有其他人）.若小李的父母至少有一人与他相邻，则不同排法的总数为（ ）
A．84B．78C．108D．96
变式7．（2024·全国·高三专题练习）中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱､问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲､乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有（ ）
A．60B．66C．72D．80
考点八：组合概念的理解
例22．（多选题）（2024·高二单元测试）下列是组合问题的是（ ）
A．平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？
B．10支球队以单循环进行比赛（每两队比赛一次），共进行多少场次？
C．从10个人中选出3个为代表去开会，有多少种选法？
D．从10个人中选出3个为不同学科的课代表，有多少种选法？
例23．（多选题）（2024·高二单元测试）下列问题中是组合问题的有（ ）.
A．某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票
B．从7本不同的书中取出5本给某同学
C．3个人去做5种不同的工作，每人做一种，有多少种分工方法
D．把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法
例24．（多选题）（2024·高二课时练习）下列问题是组合问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次
B．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段
C．集合含有三个元素的子集有多少个
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法
变式8．（多选题）（2024·全国·高二专题练习）下面问题中，是组合问题的是（ ）
A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B．从40人中选5人组成篮球队
C．从100人中选2人抽样调查
D．从1，2，3，4，5中选5个数组成集合
考点九：简单的组合问题
例25．（2024·高二课时练习）写出：
(1)从a，b，c，d，e五个元素中取两个元素的所有组合；
(2)从a，b，c，d，e五个元素中取三个元素的所有组合．
例26．（2024·高二课时练习）平面内有A，B，C，D四个不同的点，其中任意3个点不共线.
（1）试写出以其中任意两个点为端点的有向线段.
（2）试写出以其中任意两个点为端点的线段.
（3）试写出以其中任意三点为顶点的三角形.
例27．（2024·高二课时练习）用列举法写出下列组合：
(1)从4个不同元素中任取3个元素的所有组合；
(2)从5个不同元素中任取2个元素的所有组合．
考点十：组合数公式的应用
例28．（2024·江西抚州·高二江西省抚州市第一中学校考阶段练习）（1）求值:；
（2） 解不等式:.
例29．（2024·高二课时练习）求证：.
例30．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）（1）解关于x的不等式．
（2）求等式中的n值．
变式9．（2024·高二课时练习）解关于正整数x的方程：
(1)；
(2)．
变式10．（2024·高二课时练习）利用组合数的性质化简：．
考点十一：多面手问题
例31．（2024·全国·高三专题练习）某国际旅行社现有11名对外翻译人员，其中有5人只会英语，4人只会法语，2人既会英语又会法语，现从这11人中选出4人当英语翻译，4人当法语翻译，则共有（ ）种不同的选法
A．225B．185C．145D．110
例32．（2024·黑龙江·大庆市东风中学高二期中）某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现要选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有_______
例33．（2024·全国·高二课时练习）某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法．
考点十二：分组、分配问题
例34．（2024·全国·模拟预测）杭州第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，竞赛项目设置为40个大项，61个分项，481个小项．甲、乙、丙、丁、戊、己6位记者为亚运会的3个项目写新闻稿，每个项目至少有1人写，且每个人只写1份稿件，甲、乙两位记者不能写一样的项目，则共有 种分配方法．
例35．（2024·上海·高二上海市大同中学校考阶段练习）某中学为迎接即将到来的元宵节筹备了3款灯谜，现准备将其印制在5个灯笼上，若每个灯谜都必须印制，且每个灯笼仅印制一款灯谜，则不同的审核分配方案有 种.
例36．（2024·江苏南京·高二金陵中学校考期末）某学校派出5名优秀教师去边远地区的4所中学进行教学交流，每所中学至少派1名教师，则不同的分配方法种数为 .
变式11．（2024·重庆荣昌·高二重庆市荣昌中学校校考阶段练习）为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遣方案共有 （用数字作答）.
变式12．（2024·吉林延边·高二延边二中校考）有5名学生志愿者到3个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为 .
考点十三：与几何有关的组合应用题
例37．（2024·上海长宁·高二上海市延安中学校考期末）已知正方形ABCD的中心为点O，以A、B、C、D、O中三个点为顶点的三角形共有 个.
例38．（2024·高二课时练习）在如图所示的四棱锥中，顶点为P，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P在同一平面内，则不同的取法种数为 .（用数字作答）
例39．（2024·山东青岛·高二青岛市即墨区第一中学统考）以三棱柱的顶点为顶点的四棱锥的个数是 ．
变式13．（2024·广东深圳·高二深圳市宝安第一外国语学校校考）在如图所示的三角形边上的9个点中任取3个，可构成三角形的个数是 .
考点十四：隔板法
例40．（2024·江苏淮安·高二校考阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．B．C．D．
例41．（2024·江苏苏州·高二吴县中学校考）学校有6个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少1个名额，则有（ ）种分配方案．
A．135B．10C．75D．120
例42．（2024·山西大同·高二统考）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（ ）
A．84种B．504种C．729种D．39种
变式14．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（ ）
A．16B．18C．27D．28
考点十五：分堆问题
例43．（2024·甘肃白银·高二甘肃省靖远县第一中学校考期末）现有10个运动员名额，作如下分配方案.
(1)平均分成5个组，每组2人，有多少种分配方案？
(2)分成7个组，每组最少1人，有多少种分配方案？
例44．（2024·山西吕梁·高二山西省交城中学校统考）已知有9本不同的书．
(1)分成三堆，每堆3本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆2本，一堆3本，一堆4本，有多少种不同的分堆方法？（用数字作答）
例45．（2024·全国·高三专题练习）已知有6本不同的书.
(1)分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
变式15．（2024·高二单元测试）已知有6本不同的书.
（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？
（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？
（3）分给甲､乙､丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？
过关检测
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）“天宫课堂”第四课于2023年9月21日15时45分开课，神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮向全国青少年进行太空科普授课，这次授课过程主要有以下6个项目：梦天实验舱介绍、球形火焰实验、奇妙“乒乓球”实验、动量守恒实验、又见陀螺实验、天地互动环节．某校科技小组6人观看了这次“天宫课堂”后，各自选出1个自己最喜欢的项目谈谈自己的感想，则球形火焰实验被2人选中，其他项目至多被1人选中的所有情况有（ ）
A．428种B．828种C．1200种D．1800种
2．（2024·全国·模拟预测）某冰淇淋店至少需要准备种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”．若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有（ ）
A．110种B．115种C．120种D．125种
3．（2024·河南驻马店·高三河南省驻马店高级中学校联考期末）用2个0，2个1和1个2组成一个五位数，则这样的五位数有（ ）
A．8个B．12个C．18个D．24个
4．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考一模）从5名学生中选出4名分别参加A，B，C，D四科竞赛，其中甲不能参加A，B两科竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）
A．24B．48C．72D．120
5．（2024·全国·模拟预测）一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登，这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人．现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队，如果这4人中恰有2人同姓，则不同的挑选方法的种数为（ ）
A．480B．270C．240D．60
6．（2024·黑龙江鸡西·高三鸡西市第一中学校校考期末）2023年杭州亚运会期间，甲､乙､丙3名运动员与4名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻､丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．720B．960C．1120D．1440
7．（2024·河南·模拟预测）某地突发洪水，当地政府组织抗洪救灾活动，现有7辆相同的车派往3个不同的地方，每个地方至少派往一辆车，则不同派法的种数为（ ）
A．20B．15C．12D．10
8．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）2023年杭州亚运会期间，甲、乙、丙3名运动员与5名志愿者站成一排拍照留念，若甲与乙相邻、丙不排在两端，则不同的排法种数有（ ）
A．1120B．7200C．8640D．14400
二、多选题
9．（2024·辽宁辽阳·高二统考期末）某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理4节课，且该天上午总共4节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节，则有18种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有6种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有12种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有3种不同的安排方法
10．（2024·福建龙岩·高二校考阶段练习）甲乙丙等人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）
A．甲乙不相邻的不同排法有种
B．甲乙中间恰排一个人的不同排法有种
C．甲乙不排在两端的不同排法有种
D．甲在乙左侧（可以不相邻）的不同排法有种
11．（2024·河南·高二校联考阶段练习）下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2024·江西新余·高二校考阶段练习）现有2名男生和3名女生，在下列不同条件下进行排列，则（ ）
A．排成前后两排，前排3人后排2人的排法共有120种
B．全体排成一排，女生必须站在一起的排法共有36种
C．全体排成一排，男生互不相邻的排法共有72种
D．全体排成一排，甲不站排头，乙不站排尾的排法共有72种
三、填空题
13．（2024·上海·高二校考阶段练习）若一个五位数恰好为“前3个数字保持递减，后3个数字保持递增”（如五位数“43125”，前3个数字“431”保持递减，后3个数字“125”保持递增），则称其为“古典数字”.由1，2，3，4，5组成的没有重复数字的五位数中，古典数字有 个
14．（2024·江西九江·高三校考阶段练习）由1，2，3，4，5，6组成的没有重复数字的六位数，要求奇数1，3，5两两不相邻，但1和2必须相邻，这样的六位数共有 个．
15．（2024·甘肃白银·高二校考期末）若，则实数 .
16．（2024·江西·高二校联考阶段练习）2023年10月11日，习近平总书记在江西省上饶市考察，他来到婺源县秋口镇王村石门自然村了解推进乡村振兴等情况．其中婺源“晒秋”展开的是一幅乡村振兴新图景．当地百姓不仅要晾晒农产品使其得到更好的保存和售卖，更要考虑晒出独一无二的“中国最美的符号”．当地百姓现将“金色南瓜”“白色扁豆”“红色辣椒”“黄色皇菊”四种农产品全部晒入如图所示的5个小区域中，规定每个区域只能晒一种农产品，且相邻区域的农产品不能相同，则不同的晾晒方案种数为 ．（用数字作答）
四、解答题
17．（2024·陕西汉中·高二西乡县第一中学校考阶段练习）电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
18．（2024·山东德州·高二校考阶段练习）名男生和名女生站成一排．
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)甲、乙两人必须站在两端的站法有多少种？
(3)男、女分别排在一起的站法有多少种？
(4)男、女相间的站法有多少种？
(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
19．（2024·陕西汉中·高二校联考阶段练习）从等7人中选5人排成一排.（以下问题的结果均用数字作答）
(1)若必须在内，有多少种排法？
(2)若都在内，且必须相邻，与都不相邻，有多少种排法？
20．（2024·辽宁沈阳·高二校考阶段练习）有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求排列的方法总数：
(1)选其中4人排成一排；
(2)全体排成一排，男生必须站在一起；
(3)全体排成一排，女生互不相邻.
21．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）用0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复的数字：
(1)六位奇数；
(2)个位数字不是5的六位数；
(3)比400000大的正整数.
22．（2024·江西宜春·高二江西省宜丰中学校考阶段练习）（1）现有4男2女共6个人排成一排照相，其中两个女生相邻的排法种数为多少？
（2）8个体育生名额，分配给5个班级，每班至少1个名额，有多少种分法？
（3）要排一份有4个不同的朗诵节目和3个不同的说唱节目的节目单，如果说唱节目不排在开头，并且任意两个说唱节目不排在一起，则不同的排法种数为多少？
（4）某医院有内科医生7名，其中3名女医生，有外科医生5名，其中只有1名女医生．现选派6名去甲、乙两地参加赈灾医疗队，要求每队必须2名男医生1名女医生，且每队由2名外科医生1名内科医生组成，有多少种派法？（最后结果都用数字作答）
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